Sử dụng cặp phương pháp nystrom và adams moulton trong dự báo và hiệu chỉnh nghiệm số của bài toán cauchy

Mục lục1 Các kiến thức cơ bản về phương pháp số giải phương trình 1.1 Phương trình vi phân.. 47 3 Dự báo và hiệu chỉnh với cặp phương pháp Nystro¨m và Adams- Moulton trong giải số phương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

KHOA TOÁN

− − − ? − − −

TRẦN THỊ THU TRANG

SỬ DỤNG CẶP PHƯƠNG PHÁP

TRONG DỰ BÁO VÀ HIỆU CHỈNH NGHIỆM SỐ CỦA BÀI TOÁN

CAUCHY

Chuyên ngành: Cử Nhân Toán

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn Th.S NGUYỄN HOÀNG THÀNH

Mục lục

1 Các kiến thức cơ bản về phương pháp số giải phương trình

1.1 Phương trình vi phân 6

1.1.1 Bài toán Cauchy 7

1.1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 7

1.2 Tiếp cận lời giải số bài toán Cauchy 7

1.3 Đại cương về phương pháp số giải phương trình vi phân 9 1.3.1 Cấp chính xác của phương pháp số 10

1.3.2 Tính phù hợp của phương pháp số 12

1.3.3 Tính zero- ổn định của phương pháp số 14

1.3.4 Sự hội tụ của phương pháp số 15

1.4 Đa thức nội suy Newton 16

1.4.1 Sai phân 16

1.4.2 Đa thức nội suy Newton lùi với các mốc cách đều 17 1.5 Phương pháp Runge-Kutta 19

1.6 Phương trình Riccati 21

1.7 Phương pháp lặp đơn 23

2 Phương pháp Nystr¨om và phương pháp Adams - Moulton 24 2.1 Phương pháp tuyến tính đa bước 24

2.1.1 Cấp chính xác 25

2.1.2 Tính phù hợp 26

2.1.3 Sự hội tụ 28

2.2 Phương pháp Nystro¨m 29

2.2.1 Xây dựng công thức 29

2.2.2 Một vài phương pháp Nystro¨m 32

2.2.3 Sự hội tụ 34

2.2.4 Cấp chính xác 36

2.3 Phương pháp Adams- Moulton 38

2.3.1 Xây dựng công thức 38

2.3.2 Một vài phương pháp Adams- Moulton 41

2.3.3 Sự hội tụ 45

2.3.4 Cấp chính xác 47

3 Dự báo và hiệu chỉnh với cặp phương pháp Nystro¨m và Adams- Moulton trong giải số phương trình vi phân 50 3.1 Kết hợp phương pháp Nystro¨m 2 bước với phương pháp Adams - Moulton 2 bước 50

3.1.1 Thuật toán 50

3.1.2 Áp dụng thuật toán giải một số ví dụ 52

3.2 Kết hợp phương pháp Nystro¨m 3 bước với phương pháp Adams - Moulton 2 bước 58

3.2.1 Thuật toán 58

3.2.2 Áp dụng thuật toán giải một số ví dụ 59

3.3 Kết hợp phương pháp Nystro¨m 3 bước với phương pháp Adams - Moulton 3 bước 66

3.3.1 Thuật toán 66

3.3.2 Áp dụng thuật toán giải một số ví dụ 68 Chương trình giải trên Maple 79

Lời nói đầu

Phương trình vi phân là mô hình mô tả khá tốt các quy luật trong tựnhiên và kỹ thuật Để nghiên cứu phương trình vi phân, người ta thườngtiếp cận theo hai hướng đó là nghiên cứu định tính và định lượng Khóaluận này nghiên cứu định lượng phương trình vi phân bằng phương pháp

số Giải tích số là một lĩnh vực của toán học chuyên nghiên cứu cácphương pháp giải các bài toán (chủ yếu là gần đúng) bằng cách dựa trênnhững số liệu cụ thể và cho kết quả cũng dưới dạng số Giải tích số có thểgiải gần đúng các bài toán mà các phương pháp thông dụng khác khôngthể giải được

Mặc dù đã có lịch sử phát triển hàng trăm năm, do còn có nhiềubài toán thuộc lĩnh vực khoa học kỹ thuật quy về việc tìm nghiệm củaphương trình vi phân, giải số phương trình vi phân thường vẫn thu hút sựquan tâm mạnh mẽ của các nhà toán học và các nhà nghiên cứu toán họcứng dụng Trong lĩnh vực này đã có khá nhiều tên tuổi mang dấu ấn nhưMilne- Simpson, Euler, J.D Lambert, Nystro¨m, Arieh Iserles, Buttcher,

Trong giải số phương trình vi phân, người ta thường cố gắng tìm ranhững phương pháp hữu hiệu bảo đảm sự hội tụ, tính ổn định và tínhchính xác cao Đề tài này nghiên cứu phương pháp dự báo- hiệu chỉnhvới cặp phương pháp hiển Nystro¨m và phương pháp ẩn Adams- Moultonnhằm tăng độ chính xác của nghiệm xấp xỉ của bài toán Cauchy đối vớiphương trình vi phân

Khóa luận bao gồm 3 chương và một phụ lục

• Chương 1 Trình bày một số khái niệm cơ bản của phương pháp sốgiải phương trình vi phân và kiến thức liên quan

• Chương 2 Tập trung trình bày cặp phương pháp tuyến tính đa bước

sử dụng làm cặp phương pháp dự báo- hiệu chỉnh là phương phápNystro¨m và phương pháp Adams- Moulton

• Chương 3 Trình bày thuật toán sử dụng cặp phương pháp dự hiệu chỉnh trên để giải số phương trình vi phân và việc lập trình trênMaple để giải quyết một số ví dụ cụ thể và minh họa bằng hình vẽ

báo-• Phụ lục Trình bày một số đoạn code được lập trình trên Maple đểgiải phương trình vi phân

Em xin chân thành cảm ơn Thầy Nguyễn Hoàng Thành, người đã giớithiệu đề tài, cung cấp tài liệu và tận tình hướng dẫn em trong suốt quátrình thực hiện khóa luận

Em cũng xin chân thành cảm ơn Thầy Tôn Thất Tú, đã giúp đỡ cáchlập trình và làm quen với Maple ứng dụng giải số phương trình vi phân.Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoaToán, trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Đà Nẵng đã cho em những kiếnthức toán học bổ ích trong suốt quá trình học tập tại trường

Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chếnên khi thực hiện khóa luận không tránh khỏi những sai sót Em rấtmong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô vàcác bạn Xin chân thành cảm ơn!

Đà Nẵng, ngày 20 tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Trần Thị Thu Trang

Chương 1

Các kiến thức cơ bản về phương

pháp số giải phương trình vi phân

1.1 Phương trình vi phân

Định nghĩa 1.1 Phương trình vi phân là một phương trình trong đó ẩn

là một hàm số và trong phương trình vi phân luôn chứa thực sự đạo hàm(hoặc đạo hàm cấp cao) của ẩn hàm

Một phương trình vi phân bậc n thường có dạng tổng quát

F (x, y, y0, , y(n)) = 0 (1.1)Hay

1.1.1 Bài toán Cauchy

Bài toán tìm giá trị ban đầu hay còn gọi bài toán Cauchy là bài toántìm nghiệm y(x) = (y1(x), y2(x), , yn(x)) thỏa mãn điều kiện







y0 = f (x, y)y(a) = η

(1.2)

trong đóf : [a, b]×Rn → Rn,y : [a, b] → Rn,η = (y1(a), y2(a), , yn(a))

1.1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Định nghĩa 1.3 (Xem [7]) Cho f : [a, b] ×Rn →Rn là ánh xạ liên tụctrên D = [a, b] ×Rn và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến y, nghĩa

là tồn tại L ≥ 0 (L gọi là hằng số Lipschitz) sao cho

kf (x, y) − f (x, y1)k ≤ L ky − y1k ∀(x, y), (x, y1) ∈ D

Định lý 1.1 (Xem [7]) (Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm) Giả sử hàm

số f(x,y) trong bài toán Cauchy liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitztheo biến y trên hình chữ nhật

D =

(

(x, y) ∈ R2



và M := max

(x,y)∈D

|f (x, y)|

1.2 Tiếp cận lời giải số bài toán Cauchy

Xét bài toán (1.2) thỏa các giả thiết của định lý tồn tại và duy nhấtnghiệm.Chia [a, b] thành N phần bằng nhau bởi các điểm chia

a = x0, x1, x2, · · · , xN = b

Giả sử y(x) là nghiệm của bài toán (1.2) Khi đó nghiệm số của (1.2) là

{y1, y2, · · · , yN} trong đó yn là xấp xỉ của y(xn) tại xn( yn ≈ y (xn))

Phương pháp số giải bài toán (1.2) là một hệ sai phân của k + 1 giátrị xấp xỉ {yn+1−i}ki=1 của {y(xn+1−i)}ki=1 để từ đó ta có thể tính tuần

tự các giá trị xấp xỉ y1, y2, , yN nếu biết k giá trị ban đầu Tham số

• Giải số bằng phương pháp Euler ẩn yn+1 = yn + hf (xn+1, yn+1)

Nếu k = 1 thì phương pháp được gọi là phương pháp số một bước

Nếu k > 1 thì phương pháp được gọi là phương pháp số đa bước hayphương pháp số k-bước

Ví dụ 1.4 Phương pháp số

yn+1 = yn + hf (xn, yn)

là phương pháp hiển 1 bước (Còn gọi là phương pháp Euler hiển)

trong đó 0(hp+1) là vô cùng bé cùng cấp với hp+1 khi h tiến đến 0.

Ví dụ 1.8 Phương pháp Euler hiển

yn+1 = yn + hf (xn, yn)

Giả thiết yn+1 = y(xn+1), yn = y(xn)

Khai triển Taylor đối với y(x) tại x = xn ta có

y(xn+1) = y(xn + h) = y(xn) + hy0(xn) + 0(h2)

⇒ y(xn+1) = y(xn) + hf (xn, y(xn)) + 0(h2)

⇒ y(xn+1) − y(xn) − hf (xn, y(xn)) = 0(h2) = 0(h1+1)

trong đó 0(h2) là vô cùng bé cùng cấp với h2 khi h → 0

Vậy phương pháp Euler hiển có cấp chính xác p= 1

= y(xn) + hy0(xn) + 0(h2) − y(xn) − h[y0(xn) + 0(h)] = 0(h2) = 0(h1+1)

trong đó 0(h2) là vô cùng bé cùng cấp với h2 khi h → 0

Vậy phương pháp Euler ẩn có cấp chính xác p = 1

Ví dụ 1.10 Phương pháp Euler cải tiến

trong đó 0(h3) là vô cùng bé cùng cấp với h3 khi h → 0

Vậy phương pháp Euler cải tiến có cấp chính xác p = 2

với R(xn+1) là sai số chặt cụt địa phương.

Định nghĩa 1.6 (Xem [7]) Phương pháp số (1.3) gọi là phù hợp nếu

a Phương pháp Euler hiển là phù hợp

b Phương pháp Euler ẩn là phù hợp

c Phương pháp Euler cải tiến là phù hợp

Định nghĩa 1.7 Đa thức đặc trưng thứ nhất của phương pháp số (1.3)

a Đa thức đặc trưng thứ nhất của phương pháp Euler là ρ(t) = t − 1.

b Đa thức đặc trưng của phương pháp số

Ví dụ 1.14 Các phương pháp Euler đều phù hợp

Thật vậy, xét phương pháp Euler có đa thức đặc trưng thứ nhất là

1.3.3 Tính zero- ổn định của phương pháp số

Định nghĩa 1.8 (Xem [7]) Đa thức đặc trưng thứ nhất của phương pháp

số (1.3) gọi là thỏa mãn điều kiện nghiệm nếu mọi nghiệm của nó đều

có modul nhỏ hơn hoặc bằng 1 và các nghiệm có modul bằng 1 phải lànghiệm đơn

3 và t = 1 có modul nhỏ hơn hoặc bằng 1 và nghiệm t = 1

là nghiệm đơn nên thỏa mãn điều kiện nghiệm

a Các phương pháp Euler có đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) = t − 1

có nghiệm đơn t = 1 thỏa mãn điều kiện nghiệm nên phương pháp Euler

1.3.4 Sự hội tụ của phương pháp số

Định nghĩa 1.10 (Xem [7]) Phương pháp số (1.3) gọi là hội tụ nếu

∆yk = yk+1 − yk

∆2yk = ∆yk+1 − ∆yk

∆myk = ∆m−1yk+1 − ∆m−1yk

∇yk = yk − yk−1

∇2yk = ∇yk − ∇yk−1

đa thức, gọi là đa thức nội suy, rồi tính giá trị của đa thức đó tại x.Khi đó có duy nhất một đa thức Nn(x) bậc n thỏa mãn điều kiện

∇3y43! t(t + 1)(t + 2)+∇4y4

Ví dụ 1.19 Với bảng Butcher

0 0 0 0 0

1 2

1 3

1 3

1 6

ta có phương pháp Runge - Kutta 4 nấc sau

ta có phương pháp Runge - Kutta 4 nấc sau

Định lý 1.4 (Xem [14]) Nếu biết một nghiệm của phương trình Riccati(1.5) thì có thể đưa phương trình đã cho về phương trình Bernoulli.Chứng minh Gọi một nghiệm của phương trình (1.5) là y1(x), tức là

y10 = p (x) y12 + q (x) y1 + r (x)

Đặt y = y1 + z trong đó z là ẩn mới Thay vào phương trình (1.5) tađược

y, y∗ ∈ Rm, 0 ≤ M < 1 Khi đó phương trình (1.6) có duy nhất nghiệm

y = α và nếu {yn} được định nghĩa bởi (*) thì yn → α khi n → ∞

Chương 2

pháp Adams - Moulton

2.1 Phương pháp tuyến tính đa bước

Định nghĩa 2.1 Một phương pháp số được gọi là phương pháp tuyếntính k bước nếu phương pháp số đó được cho bởi công thức sau

Nếuβ0 = 0 thì phương pháp (2.1) được gọi là phương pháp tuyến tính

đa bước hiển

Nếu β0 6= 0 thì phương pháp (2.1) được gọi là phương pháp tuyến tính

Định nghĩa 2.2 (Xem [13]) Đa thức đặt trưng thứ hai của phương pháp

số (2.1) là đa thức được đặt trưng bởi công thức

Lại có xn+1−i = xn+1−k + (i − k)h, ∀i = 0, k

với h = 0 thì xn+1−i = xn+1−k, ∀i = 0, k

Các xấp xỉ tại xn+1−i(i = 0, k) trở thành xấp xỉ tại xn+1−k

hay yn+1−i = yn+1−i(i = 0, k) Với ρ0(t) = ktk−1 −

Vậy phương pháp BDF 2 bước phù hợp.

b Phương pháp tuyến tính 2 bước

Định nghĩa 2.4 (Xem [7]) Phương pháp số (2.1) hội tụ khi và chỉ khi

nó vừa có tính phù hợp vừa có tính zero- ổn định

là hội tụ Thật vậy phương pháp số trên phù hợp (Xem ví dụ 2.3b) và

có tính zero- ổn định vì đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) = t2 − 1 =(t − 1)(t + 1)có 2 nghiệm đơn t = 1,t = −1 thỏa mãn điều kiện nghiệm

2.2 Phương pháp Nystr¨ om

2.2.1 Xây dựng công thức

Xét bài toán Cauchy (1.2)

Lấy tích phân 2 vế từ xn−1 tới xn+1 ta được

Áp dụng công thức nội suy Newton lùi cho yn+t0 = y0(xn + th) và thay

y(xn−1) bởi yn−1, y(xn) bởi yn, y(xn+1) bởi yn+1 và y0n = f (xn, yn) ta có

· · · + ∇

kyn0k! t(t + 1) (t + k − 1)

Công thức (2.2) chính là công thức Nystro¨m.

2.2.2 Một vài phương pháp Nystr¨om

a Phương pháp Nystrom 2 bước

Ta có yn+1 = yn−1+ h[2 + 0∇]yn0 = yn−1+ 2hyn0

⇒ yn+1 = yn−1 + 2hf (xn, yn)

Phương pháp Nystro¨m 2 bước gọi là phương pháp trung điểm

b Phương pháp Nystr¨om 3 bước

0 n−2− 73

45y

0 n−3+ 29

90y

0 n−4

Hình 2.1: Bảng giá trị hệ số βi tương ứng với phương pháp Nystr¨ om k bước

2.2.3 Sự hội tụ

Ví dụ 2.5 Phương pháp trung điểm yn+1 = yn−1 + 2hf (xn, yn) hội tụ

Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) = t2 − 1 có nghiệm t = −1, t = 1

nên thỏa mãn điều kiện nghiệm nên có tính zero - ổn định

Phương pháp trung điểm có cấp chính xác p = 2 ≥ 1 nên phù hợp.Vậy phương pháp trung điểm hội tụ

Ví dụ 2.6 Phương pháp Nystro¨m ba bước

có 3 nghiệm đơn t = −1, t = 0, t = 1, đều có môđun nhỏ hơn hoặc bằng

1 nên thỏa mãn điều kiện nghiệm nên có tính zero - ổn định

Suy ra phương pháp Nystro¨m 3 bước phù hợp

Vậy phương pháp Nystro¨m 3 bước hội tụ

Ví dụ 2.7 Phương pháp Nystro¨m bốn bước

có 2 nghiệm đơn t = −1, t = 1 có môđun bằng 1, có 1 nghiệm kép t = 0

có môđun nhỏ hơn 1 nên thỏa mãn điều kiện nghiệm nên có tính zero

Suy ra phương pháp Nystro¨m bốn bước phù hợp.

Vậy phương pháp Nystro¨m bốn bước hội tụ

Vậy phương pháp trung điểm có cấp chính xác p = 2

Ví dụ 2.9 Phương pháp Nystro¨m ba bước

yn+1 = yn−1 + h

3[7f (xn, yn) − 2f (xn−1, yn−1) + f (xn−2, yn−2)]

có cấp chính xác p = 3

Thật vậy, ta có đa thức đặc trưng thứ nhất

Vậy phương pháp Nystro¨m ba bước có cấp chính xác p = 3

Ví dụ 2.10 Phương pháp Nystro¨m bốn bước

Vậy phương pháp Nystro¨m bốn bước có cấp chính xác p = 4.

2.3 Phương pháp Adams- Moulton

2.3.1 Xây dựng công thức

Xét bài toán Cauchy (1.2)

Lấy tích phân 2 vế từ xn tới xn+1 ta được

Áp dụng công thức nội suy Newton lùi cho yn+t0 = y0(xn + th) và thay

y(xn−1) bởi yn−1, y(xn) bởi yn, y(xn+1) bởi yn+1 và y0n = f (xn, yn) ta có

yn+t0 = yn0 +∇y0

n

1! t+

∇2yn02! t (t + 1)+· · ·+

∇kyn0k! t(t+1) (t+k−1)+ .

Thay n bởi n + 1 và t bởi t − 1 ta có

yn+t0 = yn+10 +∇y0n+1

1! (t − 1)+

∇2yn+102! (t − 1)t+· · ·+

∇kyn+10k! (t − 1)t (t + k − 2) + (2.4)

Thay (2.4) vào (2.3) ta được

· · · + ∇

kyn+10k! (t − 1)t (t + k − 2) +

Công thức (2.5) chính là công thức Adams- Moulton.

2.3.2 Một vài phương pháp Adams- Moulton

a Phương pháp Adams- Moulton 2 bước

12(y

0 n+1− 2y0n+ yn−10 )

⇒ yn+1 = yn + h yn+10 − 1

2(y

0 n+1 − yn0) − 1

12(y

0 n+1 − 2yn0 + y0n−1) −1

24y

0 n−2

12(y

0 n+1 − 2yn0 + y0n−1) −1

720y

0 n−2 − 19

720y

0 n−3

⇒ yn+1 = yn + h yn+10 − 1

2(y

0 n+1 − yn0) − 1

12(y

0 n+1 − 2yn0 + y0n−1) −1

yn−3) − 3

160(y

0 n+1− 5y0n+ 10y0n−1− 10yn−20 + 5yn−3− yn−4)

Hình 2.2: Bảng giá trị hệ số βi tương ứng với phương pháp Adams- Moulton k bước

e Phương pháp Adams - Moulton 8 bước

Suy ra phương pháp Adams- Moulton 2 bước phù hợp.

Vậy phương pháp Adams- Moulton 2 bước hội tụ

b Phương pháp Adams- Moulton 3 bước

24f (xn−2, yn−2)



hội tụ, thật vậy

Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) = t3 − t2 = t2(t − 1)

Khi ρ(t) = 0 có nghiệm kép t = 0 và nghiệm đơn t = 1 thỏa mãn điềukiện nghiệm nên phương pháp trên có tính zero- ổn đinh.

Suy ra phương pháp Adams- Moulton 3 bước phù hợp

Vậy phương pháp Adams- Moulton 3 bước hội tụ

c Phương pháp Adams- Moulton 8 bước

Suy ra phương pháp Adams- Moulton 8 bước phù hợp.

Vậy phương pháp Adams- Moulton 8 bước hội tụ

b Phương pháp Adams- Moulton 3 bước

Vậy cấp chính xác của phương pháp Adams - Moulton 3 bước là p = 4

c Phương pháp Adams- Moulton 8 bước

Chương 3

Dự báo và hiệu chỉnh với cặp

Moulton trong giải số phương trình

vi phân

3.1 Kết hợp phương pháp Nystr¨ om 2 bước với

phương pháp Adams - Moulton 2 bước

• Bước 2: Sử dụng phương pháp Runge - Kutta hiển 4 nấc

ylk

2 − ylk−1

2

... yn+1)

Nếu k = phương pháp gọi phương pháp số bước

Nếu k > phương pháp gọi phương pháp số đa bước hayphương pháp số k-bước

Ví dụ 1.4 Phương pháp số

yn+1... 2

pháp Adams - Moulton< /h2>

2.1 Phương pháp tuyến tính đa bước

Định nghĩa 2.1 Một phương pháp số gọi phương pháp tuyếntính k bước phương pháp số cho cơng thức... ρ(t) = có nghiệm kép t = nghiệm đơn t = thỏa mãn điềukiện nghiệm nên phương pháp có tính zero- ổn đinh.

Suy phương pháp Adams- Moulton bước phù hợp

Vậy phương pháp Adams- Moulton bước