Luận văn cấu trúc và tính chính quy của nghiệm toàn cục của bài toán cauchy cho phương trình hamilton jacobi với dữ kiện ban đầu lồi

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI • ••• ĐỖ THI HỒNG THẮM CẤU TRÚC VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM TỒN cục CỦA BÀI TỐN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON - JACOBI VỚI DỮ KIÊN BAN ĐẨU LỒI Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 • LUẬN VÃN THẠC Sĩ TỐN HỌC •• Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN HỮU THỌ HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Nguyễn Hữu Thọ Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Nguyễn Hữu Thọ, đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Thầy, Cô tham gia giảng dạy cao học chun ngành Tốn giải tích giúp đỡ tác giả suốt trình học tập Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thực hướng dẫn TS Nguyễn Hữu Thọ Trong hoàn thiện luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Mục lục BẢNG KÍ HIỆU Luận văn sử dụng kí hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: M Đường thẳng thực R" Không gian Euclid N chiều M = MU {—0 , +0 } Tập số thực suy rộng Tập hợp rỗng ||.|| Chuẩn không gian dom/ Miền hữu hiệu f epi/ Trên đồ thị f ƯX Lân cận mở X fịự Thu hẹp f U x \X\ Giá trị tuyệt đ ố i X (X, Y) Tích vơ hướng X y /* Liên hợp Fenchel f Lip(O) Tập hợp hàm số liên tục Lipchitz địa phương rỉ C K (U ) khả vi liên tục cấp k u Ă Bao đóng A AN B Giao tập A tập B A\B Tập hợp hàm số Hiệu tập A tập B MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Việc nghiên cứu phương trình phi tuyến nói chung phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến nói riêng vấn đề cần thiết Giải tích đại: lĩnh vực Phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp thơi thấy hàng loạt cơng trình nhiều nhà Tốn học giới, Phương trình Hamilton-Jacobi quan tâm nhiều Phương trình Hamilton-Jacobi phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp có dạng sau: ỠU -7 + H(t, X, и, Du) = 0, t > о, X € dt H gọi Hamiltonian Những nghiên cứu phương trình Hamilton-Jacobi xuất từ lâu, có lẽ từ việc khảo sát tốn biến phân với đầu mút động Có nhiều phương pháp cổ điển nghiên cứu nghiệm trơn, địa phương phương trình Định lý Cauchy-Kovalevskaya định lý nói tồn tại, nghiệm địa phương với kiện đặt hàm giải tích Các phương pháp tách biến, biến đổi Legendre, tích phân tồn phần, lý thuyết đặc trưng Cauchy, biến phân, đồng dạng góp phần làm phong phú lĩnh vực nghiên cứu phương trình Hamilton-Jacobi Tuy nhiên, nhiều toán vật lý ứng dụng, nghiệm cổ điển địa phương phương trình Hamilton-Jacobi chưa đáp ứng yêu Cầu thực tế mong muốn nhận thông tin tổng thể đầy đủ Nhìn chung, nghiên cứu cổ điển trước chưa quan tâm đến vấn đề nghiệm tồn cục, chưa có cách hiểu nghiệm cách mềm dẻo (do chất phi tuyến phương trình Hamilton- Jacobi, nghiệm cổ điển tồn cục tốn Cauchy phương trình Hamilton-Jacobi nói chung tồn số lớp đặc biệt) Bắt đầu từ năm 1950-1951, với đời báo E Hopf J.D Cole phương trình Burger, việc nghiên cứu nghiệm tồn cục phương trình Hamilton-Jacobi đặt móng nhà Tốn học quan tâm, sau có nhiều kết kinh điển đời tạo định hướng quan trọng Do tính phi tuyến Hamiltonian nên miền xác định nghiệm nói chung bị hạn chế nghiêm ngặt Để đạt tồn toàn cục cho nghiệm cổ điển tốn Cauchy địi hỏi phải có điều kiện ngặt đặt Hamiltonian kiện ban đầu Đây nguyên nhân thúc đẩy phát triển phương pháp tìm nghiệm tồn cục, nghĩa tìm nghiệm toàn miền cho Để nhận điều không hy vọng đạt độ trơn cao nghiệm mà thiết phải giảm yêu cầu Một lớp hàm quan tâm trước hết việc mở rộng khái niệm nghiệm tồn cục lớp hàm liên tục Lipschitz Theo Định lý Rademacher: “Mỗi hàm liên tục Lipschitz địa phương khả vi hầu khắp nơi miền xác định nó”, thấy lớp hàm lớp không rộng lớp hàm liên tục chứa lớp hàm khả vi, từ gợi ý cho nghiên cứu lớp nghiệm suy rộng Với mong muốn tiếp cận tới lý thuyết nghiệm suy rộng Bài tốn Cauchy phương trình Hamilton-Jacobi, hướng dẫn Tiến sỹ Nguyễn Hữu Thọ, chọn đề tài về: "Cấu trúc tính quy nghiệm tồn cục Bài tốn Cauchy cho phương trình Hamilton Jacobi - với kiện ban đầu lồi " Mục đích nghiên cứu Mơ tả cấu trúc nghiệm tồn cục tốn Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi thơng qua đặc trưng trường hợp kiện ban đầu lồi xét tính quy nghiệm tồn cục Nhiệm vụ nghiên cứu Tổng quan phương pháp đặc trưng phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp Mơ tả nghiệm tồn cục cho tốn Cauchy cho phương trình HamiltonJacobi trường hợp kiện ban đầu lồi thơng qua nghiệm hệ phương trình vi phân đặc trưng Khảo sát tính quy nghiệm tồn cục tốn Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi kiện ban đầu lồi Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bài tốn Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi trường hợp kiện ban đầu lồi, hệ phương trình vi phân đặc trưng, công thức dạng Hopf-Lax cho nghiệm tồn cục X = ф(у) Khi ф = Ф-1 ánh xạ X — > Ф(Х) = У làm phẳng gần DU điểm XQ Chú ý det к, ta đặt v(y) := и{ф{у)), (у £ V), (2.20) U(X) = г;(ф(а;)) (X € И ) (2.21) Giả sử И nghiệm thuộc lớp С toán biên (2.1) — (2.2) u , ta xétxem V thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng V? Theo (2.21) ta thấy 71 U *ẢX) = (i = tức Du{x) = Dv{y) DQ{x) Từ (2.1) suy = F { x , u ( x ) , D u ( x ) ) = F Ụ ỉ ĩ ( y ) , v ( y ) , D v ( y ) D & Ụ ỉ ĩ ( y ) ) ) B i ể u t h ứ c n y c ó d n g G{y ì v( y) ì Dv( y)) = V Đặt A := 3? (r), h(y ) := A, g(iỊĩ(y)) : = h V A Và toán (2.1) — (2.2) trở thành V (2.22) với G H xác định Điều có nghĩa là: ta biến đổi để làm phẳng phần biên r tốn biên (2.1) — (2.2) biến thành tốn có dạng tương tự b Điều kiện tương thích kiện biên Như trình bày trên, với điểm XŨ € r ta từ đầu (khơng tính tổng quát) giả thiết phần biên r phẳng gần X° nằm mặt phẳng XN = Bây ta dùng hệ phương trình vi phân thường đặc trưng (2.11) để thiết lập nghiệm (2.1) — (2.2) chí gần x°, để làm điều ta cần xác định điều kiện ban đầu tương ứng: .0 Dễ thấy rằng, đường cong x(.) qua X ° ta phải địi hỏi (2.24) Thế cịn điều kiện p(0) = P° sao? Từ (2.2 ) suy ra: u{xi,x , = g(xi,x , £n_i) g ầ n xữ ta lấy đạo hàm nhận u X i {x ữ ) = g X i {x ữ )\ i = 15 72 Do ta địi hỏi p(0) = PŨ = (p5, ••• Ì P N ) thỏa mãn quan hệ sau (2.25) Hệ (2.25) xác định cho ta N phương trình để xác định N số P ° = ( P ®, , PỊ ) Ta gọi (2.24), (2.25) NH ỮNG ĐIỀ U KIỆ N TƯƠN G THÍCH Một ba (X Ũ , Z Ũ , P ữ ) € K2n+1 thỏa mãn (2.24), (2.25) gọi THỪA NHẬ N ĐƯỢ C Chú ý Z° xác định điều kiện biên từ việc chọn X °, véc tơ P° khơng tồn có tồn khơng ... trúc tính quy nghiệm tồn cục Bài tốn Cauchy cho phương trình Hamilton Jacobi - với kiện ban đầu lồi " Mục đích nghiên cứu Mơ tả cấu trúc nghiệm tồn cục tốn Cauchy cho phương trình Hamilton- Jacobi. .. trình HamiltonJacobi trường hợp kiện ban đầu lồi thông qua nghiệm hệ phương trình vi phân đặc trưng Khảo sát tính quy nghiệm tồn cục tốn Cauchy cho phương trình Hamilton- Jacobi kiện ban đầu lồi. .. nghiên cứu cấu trúc nghiệm toàn cục tốn Cauchy cho phương trình Hamilton- Jacobi trường hợp kiện ban đầu lồi Dự kiến đóng góp đề tài Trình bày cách có hệ thống cấu trúc nghiệm tồn cục mơ tả cơng