Luận văn nghiệm nhớt của các phương trình hamilton jacobi tựa lồi trên khớp nối

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHÙNG THỊ THU HẰNG NGHIỆM NHỚT CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON-JACOBI TỰA LỒI TRÊN KHỚP NỐI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, NĂM 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHÙNG THỊ THU HẰNG NGHIỆM NHỚT CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON-JACOBI TỰA LỒI TRÊN KHỚP NỐI Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN VĂN BẰNG HÀ NỘI, NĂM 2018 Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Văn Bằng, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy phòng Sau đại học, thầy giáo dạy lớp thạc sỹ chun ngành Tốn giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập hồn thành luận văn Hà Nội, tháng 11 năm 2018 Tác giả Phùng Thị Thu Hằng Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chun ngành Tốn giải tích với đề tài “Nghiệm nhớt phương trình Hamilton-Jacobi tựa lồi khớp nối” kết trình tìm hiểu, nghiên cứu tác giả hướng dẫn TS Trần Văn Bằng Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 11 năm 2018 Tác giả Phùng Thị Thu Hằng Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu Chương Các phương trình Hamilton-Jacobi khớp nối 1.1 Mơ hình tốn 1.2 Một số khái niệm nghiệm nhớt 1.2.1 Nghiệm nhớt cổ điển 1.2.2 Nghiệm thông lượng hạn chế 1.2.3 Nghiệm nới lỏng tựa lồi Chương Tính chất nghiệm nhớt 2.1 Tính chất 2.2 Xây dựng hàm thử đỉnh xấp xỉ trường hợp lồi trơn 2.2.1 Hàm thử đỉnh Ji × Jj với i = j 2.2.2 Hàm thử đỉnh Ji × Jj 2.2.3 Chứng minh Mệnh đề 2.2.2 2.3 Chứng minh Định lý 2.1.1 2.3.1 Trường hợp lồi trơn 2.3.2 Trường hợp tổng quát 2.4 Tính chất nghiệm thơng lượng hạn chế 2.5 Tính chất nghiệm nới lỏng 7 11 11 12 13 15 15 19 21 27 29 32 32 33 36 40 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 Mở đầu Lí chọn đề tài Phương trình Hamilton-Jacobi lớp phương trình đạo hàm riêng có vai trò quan trọng học, lý thuyết điều khiển tối ưu Có thể nói có nhiều kết liên quan tới lớp phương trình công bố (xem [1]-[10] tài liệu đó) Trong vài năm gần đây, việc nghiên cứu phương trình Hamilton-Jacobi khớp nối nhận quan tâm nghiên cứu đặc biệt nhà toán học giới (xem [2], [6]-[9] tài liệu đó) Kết chủ yếu là: 1, Đưa khái niệm nghiệm (nhớt) nới lỏng để có tồn tại; 2, Đề xuất khái niệm nghiệm (nhớt) hạn chế thơng lượng để có tính nhất; 3, Chỉ tương đương hai loại nghiệm Với mong muốn tìm hiểu sâu vấn đề này, hướng dẫn TS.Trần Văn Bằng, chọn đề tài: “Nghiệm nhớt phương trình Hamilton-Jacobi tựa lồi khớp nối” để thực luận văn Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu phương trình Hamilton-Jacobi tựa lồi khớp nối số loại nghiệm nhớt cho phương trình Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu về: + Mơ hình phương trình Hamilton-Jacobi khớp nối + Nghiệm nhớt cho phương trình + Một số tính chất định tính nghiệm nhớt Đối tượng phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Các phương trình Hamilton-Jacobi tựa lồi khớp nối + Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu nghiệm theo nghĩa nhớt cho mơ hình nêu Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp Giải tích khơng lồi Lý thuyết nghiệm nhớt Cấu trúc luận văn Cấu trúc luận văn dự kiến gồm hai chương: Chương 1: Các phương trình Hamilton-Jacobi tựa lồi khớp nối Chương 2: Tính chất nghiệm nhớt Đóng góp đề tài Xây dựng luận văn thành tài liệu tham khảo tốt chủ đề phương trình Hamilton-Jacobi khớp nối Chương Các phương trình Hamilton-Jacobi tựa lồi khớp nối Chương trình bày mơ hình phương trình Hamilton-Jacobi khớp nối quan tâm nghiên cứu số khái niệm nghiệm nhớt cần thiết cho việc nghiên cứu Chương 1.1 Mơ hình tốn Theo [7], khớp nối nhiều chiều (khớp nối không gian nhiều chiều) tạo thành số hữu hạn nửa không gian Euclide dán biên chúng với (Hình 1.1) J= Ji với I=1, ,N Ji = X = (x , xi ) : x ∈ Rd , xi ≥ Ji ∩ Jj = Γ Rd × [0, +∞) Rd × {0} với i = j (1.1.1) (với N ≥ d ≥ 0) Biên chung Γ nửa không gian Ji gọi siêu phẳng nối Với điểm X, Y ∈ J, khoảng cách d(X, Y ) xác định bởi: d (X, Y ) = |x − y |2 + (x + y)2 X ∈ Ji , Y ∈ Jj , i = j |x − y |2 + |x − y|2 X, Y ∈ Ji Hình 1.1: Các phương trình Hamilton-Jacobi khớp nối nhiều chiều Ở có N = nhánh số chiều tiếp xúc d = Điều kiện siêu phẳng nối Γ (là đường thẳng) không hình Với hàm thực đủ quy u xác định J, ∂i u(X) đạo hàm u theo xi X = (x , xi ) ∈ Ji D u(X) gradient u theo x Gradient u định nghĩa bởi: Du (X) := X ∈ Ji ∗ := Ji \Γ, (D u(X), ∂i u(X)) (D u(X , 0), ∂1 u(X , 0), , ∂N u(X , 0)) X = (x , 0) ∈ Γ (1.1.2) Với kí hiệu vậy, ta xét phương trình Hamilton-Jacobi khớp nối nhiều chiều J có dạng: ut + Hi (Du) = i > 0, X ∈ Ji \Γ ut + FA (Du) = i > 0, X ∈ Γ (1.1.3) với điều kiện ban đầu u(0, X) = u0 (X), X ∈ J Các Hamiltonian thỏa mãn giả thiết sau đây:   Hi ∈ C(Rd+1 )  (Liên tục) (Tựa lồi) ∀λ, {p ∈ Rd+1 : Hi (p) ≤ λ} lồi   (Cưỡng bức) lim |p|→+∞ Hi (p) = +∞ (1.1.4) (1.1.5) 40 t−s + H(Y, −GY (ε−1 X, ε−1 Y )) ≤ ν ta lạm dụng ký hiệu cách viết αd(X0 , X) Trừ bất đẳng thức sử dụng (2.1.4), ta thu η ≤ H(X, GX (ε−1 X, ε−1 Y )) − H(X, GX (ε−1 X, ε−1 Y ) T + αd(X0 , X)) + ωCKε (γCKε ) Kε = ε−1 ω(ε) Cho α → 0, từ (2.4.5) ta thu αD(X0 , X) → cho γ → 0, ta ωCKε (γCKε ) → Các giới hạn kéo theo mẫu n thuẫn ≤ T 2.5 Tính chất nghiệm nới lỏng Ta thấy nghiệm thông lượng A-hạn chế (1.1.3) nghiệm FA -nới lỏng (1.1.3) Mệnh đề sau khẳng định điều ngược lại Mệnh đề 2.5.1 (Nghiệm nới lỏng nghiệm hạn chế thông lượng trùng với điều kiện khớp nối hạn chế thông lượng) Giả sử Hamiltonian thỏa mãn (1.1.5) xét hạn chế thông lượng liên tục A Nếu F = FA , nghiệm (trên/dưới) nới lỏng (1.1.3) nghiệm (trên/dưới) hạn chế thông lượng (1.1.3) Chứng minh Ta giải trường hợp nghiệm nghiệm Cho u nghiệm nới lỏng giả sử phản chứng tồn hàm thử ϕ tiếp xúc u∗ từ bên P0 = (t0 , X0 ) với t0 ∈ (0, T ) X0 ∈ Γ, cho ϕt + FA (Dϕ) < P0 (2.5.1) 41 Tiếp theo ta xét hàm thứ ϕ˜ ≤ ϕ lân cận P0 , với dấu P0 cho ϕ˜t (P0 ) = ϕt (P0 ) D ϕ(P ˜ ) = D ϕ(P0 ) ∂i ϕ(P ˜ ) = min(πi0 (D ϕ(D0 )), ∂i ϕ(P0 )) với i = 1, , N Sử dụng kết FA (Dϕ) = FA (Dϕ) ˜ ≥ Hi− (D ϕ, ˜ ∂i ϕ) ˜ = Hi (D ϕ, ˜ ∂i ϕ) ˜ P0 với i, ta suy mâu thuẫn với (2.5.1) cách sử dụng bất đẳng thức nhớt thỏa mãn ϕ˜ với i ∈ {1, , N } Bây cho u nghiệm nới lỏng giả sử phản chứng tồn hàm thử ϕ tiếp xúc u∗ từ bên P0 = (t0 , X0 ) với t0 ∈ (0, T ) X0 ∈ Γ, cho ϕt + FA (Dϕ) > P0 (2.5.2) Ta định nghĩa I = {i ∈ {1, , N }, Hi− (D ϕ, ∂i ϕ) < FA (Dϕ) P0 } với i ∈ I, lấy qi ≥ πi0 (D ϕ(P0 )) cho Hi (D ϕ(P0 ), qi ) = FA (Dϕ(P0 )) ta sử dụng kết Hi (D ϕ(P0 ), +∞) = +∞ Khi ta xây dựng hàm thử ϕ˜ thỏa mãn ϕ˜ ≥ ϕ lân cận P0 , với dấu P0 , cho ϕ˜t (P0 ) = ϕt (P0 ) ∂i ϕ(P ˜ 0) = D ϕ(P ˜ ) = D ϕ(P0 ) max(qi , ∂i ϕ(P0 )) i ∈ I, ∂i ϕ(P0 ) i ∈ / I Sử dụng kết FA (Dϕ) = FA (Dϕ) ˜ ≤ Hi (D ϕ, ˜ ∂i ϕ) ˜ P0 với i, ta suy mâu thuẫn với (2.5.2) nhờ sử dụng bất đẳng thức nhớt với ϕ˜ với i ∈ {1, , N } 42 Khái niệm nghiệm nới lỏng phần trước chọn có kết ổn định tốt; đặc biệt tồn suy từ phương pháp Perron quen thuộc Định lý 2.5.2 (Sự tồn tại) Cho T > Giả sử Hamiltonian thỏa mãn (1.1.5), khớp nối F thỏa mãn (1.2.8) điều kiện ban đầu u0 liên tục Lipschitz J Khi tồn nghiệm nới lỏng u (1.2.6)-(1.2.7) [0, T ) × J số CT > cho |u(t, X) − u0 (X)| ≤ CT với (t, X) ∈ [0, T ) × J Ngoài u liên tục Nếu F khơng thỏa mãn (1.2.8), mà nửa cưỡng (semicoercive), tức F (p , p) → +∞ pi → −∞ với p ∈ Rd i (2.5.3) nghiệm F -nới lỏng thỏa mãn điều kiện liên tục yếu dọc theo siêu phẳng khớp nối Kết sử dụng rút gọn tập hàm thử Bổ đề 2.5.3 (Điều kiện liên tục yếu siêu phẳng khớp nối) Giả sử Hamiltonian thỏa mãn (1.1.5) F thỏa mãn (1.2.8) (2.5.3) Khi nghiệm nới lỏng u (1.2.6) thỏa mãn tính chất liên tục yếu sau u∗ (t, X) = lim sup u(s, Y ) với i = 1, , N, (t, X) ∈ (0, T )×Γ (s,Y )→(t,X),Y ∈Ji∗ (2.5.4) ta nhắc lại Ji∗ = Ji \Γ Chứng minh kết hoàn toàn tương tự chứng minh Bổ đề 2.3 [6] trường hợp d = 43 Như [6], ta thấy tính chất liên tục yếu điều kiện quan trọng để tránh nghiệm nới lỏng (mà thực tồn tại) F khơng nửa cưỡng Ngồi khái niệm liên tục yếu ổn định, kết sau Mệnh đề 2.5.4 (Tính ổn định tích chất liên tục yếu) Xét họ Hamiltonian Hiε thỏa mãn (1.1.5) Ta giả sử tính cưỡng Hamiltonian theo ε Cho uε lớp nghiệm ut + Hiε (Du) = (0, T ) × Ji∗ với i = 1, , N, uε thỏa mãn tính liên tục yếu (2.5.4) Nếu u ¯= lim sup∗ uε hữu hạn khắp nơi, u¯ thỏa mãn tính liên tục yếu (2.5.4) Chứng minh kết hoàn toàn tương tự chứng minh Mệnh đề 2.6 [6] trường hợp d = Sau thảo luận việc rút gọn tập hàm thử Ta nhắc lại hàm Hi+ xác định Hi+ (p , pi ) = Hi (p , πi0 (p )) pi < πi0 (p ) Hi (p , pi ) pi ≥ πi0 (p ) hàm πi± : Rd × R → R định nghĩa với λ ≥ Ai (p ) = Hi (p , ·) πi+ (p , λ) = inf{pi : Hi (p , pi ) = Hi+ (p , pi ) = λ} πi− (p , λ) = sup{pi : Hi (p , pi ) = Hi− (p , pi ) = λ} Định nghĩa 2.5.5 (Nghiệm rút gọn - trường hợp hạn chế thông lượng) Giả sử Hamiltonian thỏa mãn (1.1.5) xét hạn chế thông lượng liên tục A : Rd → R cho với tất p ∈ Rd , A(p ) ≥ A0 (p ) Cho u : [0, T ) × J → R bị chặn địa phương, hàm u nghiệm rút gọn (tương ứng, nghiệm rút gọn) (1.2.6) với F = FA JT 44 u nghiệm (tương ứng, nghiệm trên) bên Γ với hàm thử ϕ ∈ C (JT ) tiếp xúc u từ phía (t0 , X0 ) ∈ (0, +∞) × Γ, có dạng ϕ(t, x , x) = φ(t, x ) + φ0 (x) với φ ∈ C ((0, +∞) × Rd ) φ0 ∈ C (R) D φ(t0 , x0 ) = p0 ∂i φ0 (0) = πi+ (p0 , A(p0 )) ta có ϕt + FA (Dϕ) ≤ (tương ứng, ≥ 0) Mệnh đề 2.5.6 (Sự tương đương Định nghĩa 1.2.2 2.5.5 tính liên tục yếu) Mọi nghiệm (tương ứng, nghiệm dưới) rút gọn u theo nghĩa Định nghĩa 1.2.2 nghiệm (tương ứng, nghiệm dưới) thông lượng hạn chế Định nghĩa 2.5.5 u thỏa mãn tính chất liên tục yếu (2.5.4) Chứng minh Rõ ràng nghiệm (tương ứng, nghiệm trên) thông lượng hạn chế nghiệm (tương ứng, nghiệm trên) rút gọn Để chứng minh chiều ngược lại đúng, ta tiến hành [6] cách xét hệ số góc tới hạn theo x Rõ ràng, ta cần chứng minh bổ đề sau Bổ đề 2.5.7 (Hệ số góc tới hạn nghiệm trên) Cho u nghiệm (1.1.3) bên Γ cho ϕ tiếp xúc u∗ từ bên P0 = (t0 , X0 ) với X0 ∈ Γ Khi hệ số góc tới hạn định nghĩa sau p¯i = sup{¯ p ∈ R+ : ∃r > 0, ϕ(t, X) + p¯x ≤ u∗ (t, X) với (t, X) ∈ Br (P0 ) ∩ ((0, +∞) × Ji )} thỏa mãn với i = 1, , N, ϕt (P0 ) + Hi (D ϕ(P0 ), ∂i ϕ(P0 ) + p¯i ) ≥ 0, với quy ước p¯i = +∞, Hi (p , +∞) = +∞ 45 Bổ đề 2.5.8 (Hệ số góc tới hạn nghiệm dưới) Cho u nghiệm (1.1.3) bên Γ cho ϕ tiếp xúc u∗ từ bên P0 = (t0 , X0 ) với X0 ∈ Γ Khi hệ số góc tới hạn định nghĩa sau p ∈ R− : ∃r > 0, ϕ(t, X) + p¯x ≤ u∗ (t, X) pi = inf{¯ với (t, X) ∈ Br (P0 ) ∩ ((0, +∞) × Ji )} thỏa mãn với i = 1, , N, ϕt (P0 ) + Hi (D ϕ(P0 ), ∂i ϕ(P0 ) + pi ) ≤ pi > −∞ Ngồi ra, ta có pi > −∞ với i = 1, , N thỏa mãn tính chất liên tục yếu (2.5.4) Chú ý 2.5.9 Thậm chí Bổ đề 2.5.8 không phát biểu theo cách này, ý kỹ chứng minh ta cần có tính liên tục yếu điểm (t0 , X0 ) nhánh đơn Ji∗ để chứng minh pi > −∞ với số i Chứng minh bổ đề trực tiếp từ chứng minh tương ứng [6] nên bỏ qua chúng Phần lại chứng minh tương tự bỏ qua Tiếp theo chung ta đề cập tới điều kiện khớp nối hữu hiệu Định nghĩa 2.5.10 (Bộ hạn chế thông lượng hữu hiệu AF ) Cho p0i ≥ πi0 (p ) nhỏ cho Hi (p , pi ) = A0 ký hiệu p0 (p01 , , p0N ) Hàm AF gọi hạn chế thông lượng hữu hiệu định nghĩa sau: với p ∈ Rd , F (p , p0 ) ≤ A0 (p ), AF (p ) = A0 (p ), ngược lại AF (p ) số λ ∈ R cho λ ≥ A0 (p ) = maxi Ai (p ) tồn p+ i ≥ pi cho Hi (p , p+ ) = F (p , p+ ) = λ 46 + p+ = (p+ , , pN ) Chú ý 2.5.11 Chú ý F thỏa mãn (1.2.8) λ Nhưng p+ khơng Định lý 2.5.12 (Điều kiện khớp nối tổng quát rút gọn thành điều kiện hạn chế thông lượng) Cho Hamiltonian thỏa mãn (1.1.5) cho F : RN → R thỏa mãn (1.2.8) Tồn hàm liên tục, cưỡng AF : Rd → R, thỏa mãn AF ≥ A0 với A0 định nghĩa (1.1.7), cho điều sau i) Mọi nghiệm F -nới lỏng (tương ứng, nghiệm thỏa mãn thêm tính chất liên tục yếu (2.5.4)) (1.2.6) nghiệm thông lượng AF -hạn chế (tương ứng, nghiệm dưới) (1.1.3) ii) Ngược lại, nghiệm (tương ứng, nghiệm dưới) thông lượng AF hạn chế (1.1.3), nghiệm (tương ứng, nghiệm dưới) F -nới lỏng (1.2.6) iii) Nếu F tựa lồi, AF Chứng minh Sử dụng ký hiệu Chú ý 2.5.11, ta nhắc lại F (p , p0 ) ≥ A0 (p ), tồn số λ ≥ A0 (p ) + + cho tồn p+ = (p+ , , pN ) với pi ≥ pi cho Hi (p , p+ ) = F (p , p+ ) = λ Tính cưỡng AF hệ trực tiếp kết AF ≥ A0 Do ta chứng minh AF liên tục Xét dãy (pn )n hội tụ tới p Ta có hai trường hợp + +N,n Trường hợp Tồn p+ ) với p+ n = (p1,n , , p i,n ≥ pi (pn ) cho + Hi (pn , p+ i,n ) = F (pn , pn ) = An = AF (pn ) ≥ A0 (pn ) (2.5.5) 47 F (pn , p0 (pn )) ≥ A0 (pn ) Ta chuyển qua giới hạn (2.5.5) thu Hi (p , p+ ) = F (p , p+ ) = A ≥ A0 (p ) với p+ i ≥ pi (p ) A = AF (p ) Trường hợp An = A0 (pn ) = AF (pn ) F (pn , p0 (pn )) ≤ A0 (pn ) Đầu tiên ta khẳng định (p+ i,n )n bị chặn Thật vậy, khơng An → +∞ với n đủ lớn, F (pn , p0 (pn )) ≥ An , điều khơng thể Từ kéo theo (An )n bị chặn Bây xét hai dãy hội tụ, ký hiệu (pn )n (An )n , Gọi p A giới hạn chúng Ta có A = A0 (p ) Nếu F (p , p0 (p )) ≤ A0 (p ), AF (p ) = A0 (p ) = A Nếu F (p , p0 (p )) > A0 (p ), ta phải làm chi tiết Ta có F (p , p¯0 ) ≤ A0 (p ) A = A0 (p ) = Hi (p , p0i ) p0i ≥ πi0 (p ) với p¯0 = lim p0 (pn ) với dãy 0 điều kéo theo p0i ≥ p0i (p ) Khi ta chọn p+ i ∈ [pi (p ), pi ] cho + Hi (p , p+ i ) = F (p , p ) = A0 (p ) = A điều lần AF (p ) = A Kết thúc chứng minh AF liên tục 48 Chứng minh i) Ta chứng minh cho nghiệm chứng minh cho nghiệm tương tự Lấy ϕ hàm thử tiếp xúc u∗ từ bên P0 = (t0 , X0 ) Ta cần xét trường hợp X0 ∈ Γ Từ Mệnh đề 2.5.6, ta giả sử ϕ(t, X) = φ(t, x ) + φ0 (x) với D φ(t0 , x0 ) = p0 ∂i φ0 (0) = πi+ (p0 , AF (p0 )) Ta có ϕt (P0 ) + min(F (Dϕ(P0 )), Hi (D ϕ(P0 ), ∂i ϕ(P0 ))) ≤ i kéo theo ϕt (P0 ) + max(F (p0 , π + (p0 , AF (p0 ))), AF (p0 )) ≤ Theo định nghĩa AF ta ϕt (P0 ) + AF (p0 ) ≤ Bây tính FAF (Dϕ(P0 )) = max(AF (p0 ), max Hi− (p0 , πi+ (p0 , AF (p0 )))) = AF (p0 ) i Kết thúc chứng minh i) Chứng minh ii) Ta chứng minh cho nghiệm chứng minh cho nghiệm tương tự Gọi ϕ hàm thử tiếp xúc u∗ từ bên P0 = (t0 , X0 ) Ta muốn nghiệm F -nới lỏng, tức max(F (Dϕ(P0 )), max Hi (D ϕ(P0 ), ∂i ϕ(P0 ))) ≥ λ := −ϕt (P0 ) (2.5.6) i Ta đặt Dϕ(P0 ) = (p0 , p) với p = (p1 , , pN ) 49 Ta biết u nghiệm FA -rút gọn với A = AF , tức max(AF (p0 ), max Hi− (p0 , pi )) = FAF (Dϕ(P0 )) ≥ λ i (2.5.7) Ngồi ra, ta có F (p0 , π + (p0 , AF (p0 ))) = AF (p0 ) > A0 (p0 ) (2.5.8) AF (p0 ) = A0 (p0 ) (2.5.9) hay Bây ta xét hai trường hợp Trường hợp Đầu tiên giả sử tồn số i0 cho Hi0 (p0 , pi0 ) ≥ max(AF (p0 ), max Hi (p0 , pi )) i Khi (2.5.7) kéo theo kết (2.5.6) Trường hợp Giả sử với i, ta có Hi (p0 , pi ) < AF (p0 ) Khi pi < πi+ (p0 , AF (p0 )) F (p0 , pi ) ≥ F (p0 , π + (p0 , AF (p0 ))) = AF (p0 ) ≥ λ trường hợp (2.5.8) Trong trường hợp (2.5.9), ta có AF (p0 ) = A0 (p0 ) bất đẳng thức với i Hi (p0 , pi ) < AF (p0 ) = A0 (p0 ) = max Hj (p0 , qj ) j qj dẫn tới mâu thuẫn Kết thúc chứng minh ii) Chứng minh iii) Được suy từ Mệnh đề 2.5.13 bên Định lý chứng minh Bây ta quay trở lại mệnh đề hữu ích sau Mệnh đề 2.5.13 (Bộ hạn chế thông lượng hữu hiệu tựa lồi) Nếu Hamiltonian Hi thỏa mãn (1.1.5) hàm thơng lượng F thỏa mãn (1.2.8)(1.2.9), AF liên tục, tựa lồi cưỡng 50 Trước chứng minh Mệnh đề 2.5.13, ta phát biểu chứng minh bổ đề sở sau Bổ đề 2.5.14 (Tính tựa lồi hàm Ai ) Nếu Hamiltonian Hi tựa lồi (tương ứng, lồi), liên tục cưỡng bức, hàm Ai định nghĩa (1.1.7) Nói riêng, A0 = maxi Ai tựa lồi (tương ứng, lồi), liên tục cưỡng Chứng minh Ta giải câu hỏi tính tựa lồi hàm Ai tính liên tục tính cưỡng đơn giản Xét p q cho Ai (p ) ≤ λ Ai (q ) ≤ λ với λ ∈ R Tồn pi , qi ∈ R cho Ai (p ) = Hi (p , pi ), Ai (q ) = hi (q , qi ) Khi (p , pi ), (q , qi ) ∈ {Hi ≤ λ} từ tính lồi {Hi ≤ λ} ta kết luận với t, s ≥ mà t + s = 1, Ai (tp + sq ) ≤ Hi (tp + sq , tpi + sqi ) ≤ λ Chứng minh xong bổ đề Chứng minh Mệnh đề 2.5.13 Ta giả sử Hamiltonian Hi lồi, pi → Hi (p , pi ) tăng [πi0 (p ), +∞) giảm (−∞, πi0 (p )] F lồi theo tất biến p → F (p , p) giảm theo biến với p cố định Nói riêng, hàm ±πi± lõm Trường hợp tổng quát rút từ lập luận xấp xỉ từ ý ta cần tìm β tăng cho β ◦ F β ◦ Hi thỏa mãn giả thiết trước (xem Bổ đề 2.3.2) Bây ta chứng minh G(p , λ) = F (p , π + (p , λ)) 51 lồi (p , λ) epi A0 Với (p , λ), (q , µ) epi A0 t, s ≥ với t + s = 1, ta sử dụng tính đơn điệu F với tính lõm πi+ (xem Bổ đề 3.1) để thu tG(p , λ) + sG(q , µ) ≥ F (tp + sq , tπ + (p , λ) + sπ + (q , µ)) ≥ F (tp + sq , π + (tp + sq , tλ + sµ)) = G(tp + sq , tλ + sµ) Tương tự, ta thấy G hàm không tăng theo λ Tiếp theo ta ý AF (p ) = G(p , AF (p )) với p , q ∈ Rd t, s ≥ với t + s = 1, ta viết tAF (p ) + sAF (q ) = tG(p , AF (p )) + sG(q , AF (q )) ≥ G(tp + sq , tAF (p ) + sAF (q )) AF (tp + sq ) = G(tp + sq , AF (tp + sq )) Do ta suy từ tính đơn điệu G theo λ AF (tp + sq ) ≤ tAF (p ) + sAF (q ) Kết thúc chứng minh mệnh đề 52 Kết luận Luận văn tìm hiểu phương trình Hamilton-Jacobi khớp nối, bao gồm: Mơ hình tốn, số khái niệm nghiệm theo nghĩa nhớt như: nghiệm nhớt cổ điển, nghiệm thông lượng hạn chế, nghiệm nới lỏng số tính chất định tính chúng, đặc biệt tồn tại, nguyên lý so sánh tính nghiệm 53 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Trần Đức Vân (2005), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu Tiếng Anh [2] Y Achdou, F Camilli, A Cutriand, N Tchou (2013), Hamilton-Jacobi equations constrained on networks, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl., 20, 413-445 [3] M G Crandall and P L Lions (1983), Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations, Trans Amer Math Soc., 277:1-42 [4] M G Crandall, H Ishii and P L Lions (1993), User’s guide to viscosity solutions of second order fully nonlinear partial differential equations, Bull Amer Math Soc [5] J Guerand (2017), Effective nonlinear Neumann boundary conditions for 1D nonconvex Hamilton–Jacobi equations, J differential equations, http://dx.doi.org/10.1016/j.jde.2017.04.015 [6] C Imbert and R Monneau (2017), Flux-limited solutions for quasiconvex Hamilton-Jacobi equations on networks, Annales scientifiques de l’ENS, 50, 357-448 54 [7] C Imbert and R Monneau (2017), Quasi-convex Hamilton-Jacobi equations posed on junctions: the multi-dimensional case, Discrete and continuous dynamical systems, 37, No 12, 6405-6435 [8] P L Lions and P Souganidis (2016), Viscosity solutions for junctions: well posedness and stability, Atti Accad Naz Lincei Rend Lincei Mat Appl., 27, No 4, 535–545 [9] P L Lions and P Souganidis (2017), Well posedness for multi-dimensional junction problems with Kirchoff-type conditions, arXiv:1704.04001v1 [10] H M Soner (1986), Optimal control with state-space constraint I, SIAM J Control Optim., 24, No 3, 552–561 ... TS.Trần Văn Bằng, chọn đề tài: Nghiệm nhớt phương trình Hamilton- Jacobi tựa lồi khớp nối để thực luận văn 5 Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu phương trình Hamilton- Jacobi tựa lồi khớp nối số loại nghiệm. .. luận văn thành tài liệu tham khảo tốt chủ đề phương trình Hamilton- Jacobi khớp nối 7 Chương Các phương trình Hamilton- Jacobi tựa lồi khớp nối Chương trình bày mơ hình phương trình Hamilton- Jacobi. .. khơng lồi Lý thuyết nghiệm nhớt Cấu trúc luận văn Cấu trúc luận văn dự kiến gồm hai chương: Chương 1: Các phương trình Hamilton- Jacobi tựa lồi khớp nối Chương 2: Tính chất nghiệm nhớt 6 Đóng góp