Luận văn nghiệm nhớt của các phương trình hamilton jacobi trên các miền có chung khớp nối

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ LỆ THANH NGHIỆM NHỚT CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON-JACOBI TRÊN CÁC MIỀN CĨ CHUNG KHỚP NỐI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ LỆ THANH NGHIỆM NHỚT CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON-JACOBI TRÊN CÁC MIỀN CĨ CHUNG KHỚP NỐI Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Văn Bằng HÀ NỘI, 2018 Lời cảm ơn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội thầy nhiệt tình hướng dẫn, giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành khóa học luận văn Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.S Trần Văn Bằng, người thầy trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ em trình thực đề tài Ngồi tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi, ln động viên khích lệ để tơi hoàn thành luận văn Do điều kiện thời gian lực thân hạn chế, luận văn chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệp để luận văn hồn thiện Tơi xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2018 Người thực Nguyễn Thị Lệ Thanh Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn Tiến Sĩ Trần Văn Bằng Trong nghiên cứu luận văn thừa kế thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2018 Người thực Nguyễn Thị Lệ Thanh Mục lục 0.1 Lý chọn đề tài 0.2 Mục đích nghiên cứu 0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu 0.4 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nghiệm nhớt phương trình đạo hàm riêng cấp 1.2 Nghiệm thông lượng hạn chế Chương Nghiệm nhớt PT Hamilton-Jacobi miền có chung khớp nối 11 2.1 Trường hợp chiều 11 2.1.1 Nghiệm ràng buộc trạng thái 11 2.1.2 Kết 13 2.1.3 Sơ lược chứng minh 15 2.1.4 Một số quan sát 18 2.1.5 Một số mở rộng 20 2.2 Trường hợp nhiều chiều 21 2.2.1 Một số ký hiệu thuật ngữ 21 2.2.2 Thiết lập toán 22 2.2.3 Bổ đề chung 24 2.2.4 Bài toán khớp nối chiều phụ thuộc thời gian 24 2.2.5 Nghiệm hạn chế thông lượng nghiệm suy rộng Kirchoff 28 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 30 Lời nói đầu 0.1 Lý chọn đề tài Nghiệm nhớt phương trình đạo hàm riêng loại nghiệm yếu thích hợp với nhiều tốn phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp cấp hai, chí phương trình vi tích phân phi tuyến [1]-[4] Gần đây, có số kết việc đặc trưng nghiệm nhớt qua khái niệm nghiệm hạn chế thông lượng [6]-[7] Hơn nữa, khái niệm nghiệm nhớt sử dụng để nghiên cứu hệ phương trình Hamilton-Jacobi miền có chung khớp nối [8]-[9] Với mong muốn tìm hiểu sâu vấn đề này, hướng dẫn TS.Trần Văn Bằng, chọn đề tài: “Nghiệm nhớt phương trình Hamilton-Jacobi miền có chung khớp nối” để thực luận văn Đây nội dung nghiên cứu hoàn toàn 0.2 Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu số tính chất định tính nghiệm nhớt phương trình Hamilton-Jacobi miền có chung khớp nối tồn tại, tính hay tính ổn định 0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tính chất nghiệm nhớt phương trình Hamilton Các phương trình Hamilton-Jacobi miền có chung khớp nối 0.4 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiện cứu: Nghiệm nhớt phương trình HamiltonJacobi miền có chung khớp nối Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu số tính chất định tính phương trình trường hợp Hamiltonian không lồi Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức chuẩn bị cần thiết cho việc triển khai nội dung Chương 2, chủ yếu tập trung vào số khái niệm nghiệm nhớt phương trình Hamilton-Jacobi tốn tương ứng Nói chung với mức phi tuyến phương trình điều kiện biên, cần khái niệm nghiệm thích hợp tương ứng để chứng minh tốn có nghiệm 1.1 Nghiệm nhớt phương trình đạo hàm riêng cấp Trong mục này, chúng tơi trình bày khái niệm nghiệm nhớt liên tục phương trình đạo hàm riêng cấp khơng gian hữu hạn chiều Giả sử Ω ⊂ Rd tập mở, F : Ω × R × Rd → R hàm liên tục (x, r, p) Nhắc lại rằng: C(Ω) không gian tất hàm thực liên tục Ω; C k (Ω), k = 1, 2, không gian tất hàm thuộc C(Ω) có đạo hàm riêng đến cấp k liên tục Ω Với hàm u ∈ C (Ω), Du(x) gradient u x ∈ Ω Xét phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một: F (x, u(x), Du(x)) = 0, x ∈ Ω (HJ) Định nghĩa 1.1 Hàm u ∈ C(Ω) nghiệm nhớt phương trình (HJ) với ϕ ∈ C (Ω) ta có: F (x0 , u(x0 ), Dϕ(x0 )) ≤ điểm cực đại địa phương x0 ∈ Ω u − ϕ (1.1) Hàm u ∈ C(Ω) nghiệm nhớt phương trình (HJ) với ϕ ∈ C (Ω) ta có: F (x1 , u(x1 ), Dϕ(x1 )) ≥ (1.2) điểm cực tiểu địa phương x1 ∈ Ω u − ϕ Hàm u nghiệm nhớt vừa nghiệm nhớt vừa nghiệm nhớt phương trình Hàm ϕ(x) định nghĩa thường gọi hàm thử Ví dụ 1.1 Hàm số u(x) = |x| nghiệm nhớt phương trình: − |u (x)| + = 0, x ∈ (−1, 1) Thật vậy, ta xét hai trường hợp: x = cực trị địa phương u − ϕ ϕ (x) = u (x) = ±1 Vì điểm điều kiện nghiệm nhớt, nghiệm nhớt thỏa mãn Nếu cực tiểu địa phương u − ϕ, ta tính |ϕ (0)| ≤ nên điều kiện nghiệm nhớt Bây ta chứng minh cực đại địa phương u − ϕ với ϕ ∈ C ([0, 1]) Thật vậy, cực đại địa phương u − ϕ ta có (u − ϕ)(0) ≥ (u − ϕ)(x) lân cận 0, hay ϕ(x) − ϕ(0) ≥ u(x) lân cận 0, từ ta có: ϕ (0) = lim+ x→0 ϕ(x) − ϕ(0) u(x) ≥ lim+ =1 x→0 x−0 x u(x) ϕ(x) − ϕ(0) ≤ lim+ − = −1 x→0 x→0 x−0 x Từ điều suy cực đại địa phương u − ϕ ϕ (0) = lim− Để ý rằng, hàm số u(x) = |x| khơng phải nghiệm nhớt phương trình: |u (x)| − = 0, x ∈ (−1, 1) Thật điều kiện nghiệm không thỏa mãn x0 = điểm cực tiểu địa phương |x| − (−x2 ) Đối với phương trình tiến hóa có dạng: ut (t, y) + H(t, y, u(t, y), Dy u(t, y)) = 0, (t, y) ∈ (0, T ) × D ta việc đặt: x = (t, y) ∈ Ω = (0, T ) × D ⊆ Rd+1 , F (x, r, p) = qd+1 + H(x, r, q1 , , qd ) với q = (q1 , , qd , qd+1 ) ∈ Rd+1 Trong trường hợp này, hàm H thường gọi hàm Hamilton hay Hamiltonian Chú ý 1.1 1) Trong định nghĩa nghiệm nhớt ta ln giả sử x0 điểm cực đại địa phương ngặt hàm u − ϕ (nếu khơng ta thay ϕ(x) ϕ(x) + |x − x0 |2 ) Hơn (1.1) phụ thuộc vào giá trị Dϕ x0 , nên khơng tính tổng quát ta giả sử u(x0 ) = ϕ(x0 ) Đối với định nghĩa nghiệm nhớt ta có nhận xét tương tự Về mặt hình học điều có nghĩa rằng: hàm thử điều kiện nghiệm nhớt (1.1) u tiếp xúc với đồ thị u 2) Ta ý không gian C (Ω) hàm thử Định nghĩa 1.1 thay C ∞ (Ω) 3) Một số tính chất nghiệm nhớt liên tục xem chi tiết [1]-[3] 4) Nếu ta xét điều kiện biên Dirichlet u = ϕ ∂Ω, nghiệm (tương ứng, nghiệm trên) nhớt toán Dirichlet phương trình (HJ) hiểu nghiệm (tương ứng, nghiệm trên) nhớt phương trình Ω thỏa mãn u ≤ ϕ (tương ứng, u ≥ ϕ) ∂Ω 5) Trong lý thuyết nghiệm nhớt nói chung, để chứng minh tính nghiệm, người ta thường đưa chứng minh nguyên lý so sánh nghiệm, nói cách khác chứng minh nghiệm nhớt tốn ln khơng vượt q nghiệm nhớt tốn Khi có tính nghiệm tồn nghiệm nhớt hệ dễ thấy, nhờ phương pháp Perron Vì mà thường đề cập tới việc chứng minh tính nghiệm mà thơi 6) Từ sau khơng nói thêm, Luận văn dùng khái niệm nghiệm theo nghĩa nhớt, nên để ngắn gọn, thường bỏ từ nhớt dùng nghiệm dưới, nghiệm nghiệm thay cho nghiệm nhớt, nghiệm nhớt nghiệm nhớt tương ứng 1.2 Nghiệm thông lượng hạn chế Trong trường hợp điều kiện biên phi tuyến phụ thuộc vào gradient, kết hạn chế Thường tác giả phải đưa khái niệm nghiệm thích hợp để đạt tính nghiệm, 2.1.4 Một số quan sát Trong mục này, trình bày cách khác để xấp xỉ nghiệm ¯ Để đơn trạng thái ràng buộc khớp nối dựa việc "làm đầy" I giản ký hiệu ta giả thiết K = Với > 0, đặt I lân cận mở I¯ R2 với kích thước , nghĩa I¯ ⊂ I diamI ≤ Xét Hamiltonian H : R2 × R2 → R toán ràng buộc trạng thái u + H(Du , x) ≤ I , u + H(Du , x) ≥ I¯ , (2.12) Dv := (vx1 , vx2 ) x := (x1 , x2 ) Do H nên H liên tục Lipschitz u → u theo dãy Đặt H1 (p1 , x1 ) := H(p1 , p2 , x1 , 0) H2 (p2 , x2 ) := H(p1 , p2 , 0, x2 ), ta p2 ∈R p1 ∈R có định lý sau giới hạn nghiệm xấp xỉ (2.12) Định lí 2.5 Mọi giới hạn họ nghiệm u (2.12) nghiệm u + H1 (ux1 , x1 ) = I1 u + H2 (ux2 , x2 ) I2 với φ ∈ C (R2 ), u − φ đạt cực tiểu địa phương u + H(φx1 (0), φx2 (0), 0) ≥ Chứng minh Việc chứng minh điều thứ hai định lý hiển nhiên Ở ta chứng minmh chi tiết phần đầu định lý Do tính tương tự nên ta lấy i = Với φ ∈ C (I1 ), giả sử x¯1 ∈ I1 cực tiểu địa phương u(x1 , 0)−φ(x1 ) Khi suy với p2 ∈ R, u (x1 , x2 ) − φ(x1 ) − p2 x2 có cực tiểu (¯ x1 , x¯2 ) → x¯1 → x1 x¯2 → Theo (2.12), ta có u(¯ x1 , 0) + H(φ(x¯1 ), p2 , x¯1 , 0) ≥ Lại có p2 tùy ý nên u(¯ x1 , 0) + H1 (φ(¯ x1 ), x¯1 ) ≥ Các tính chất nghiệm suy từ u + H1 (ux1 , x1 ) ≤ u + H( ux1 , ux1 , x1 , 0) Một hệ trực tiếp Định lý 2.5 mệnh đề sau Mệnh đề 2.3 Nếu H(p1 , p2 , x1 , x2 ) = max(H1 (p1 , x1 ), H2 (p2 , x2 ) giới hạn lim u tồn nghiệm ràng buộc trạng thái toán →0 khớp nối Tuy nhiên nhìn chung giả thiết H(p1 , p2 , x1 , x2 ) = max(H1 (p1 , x1 ), H2 (p2 , x2 ) không xảy Thật vậy, 18 H(p1 , p2 ) = p21 +10p22 H1 (p1 ) = p21 H2 (p2 ) = 10p22 p21 +10p22 = max(p21 , 10p22 ) Bây sử dụng lý luận chứng minh tính nghiệm ràng buộc trạng thái để đưa chứng minh đơn giản kết so sánh [7] với khái niệm nghiệm khớp nối giới hạn thơng lượng Đó phương pháp tham số hóa giá trị chúng Như mục tiêu đề ra, phần lại chúng tơi xem xét toán độc lập với thời gian Cần ý khái niệm nghiệm đưa [7] yêu cầu Hamiltonian phải bức, tựa lồi điều kiện khớp nối liên quan tới phần giảm Hamiltonian Để đơn giản, ta giả thiết Hamiltonian Hi lồi khơng có phần phẳng Nếu p0i = argminHi , [7] sử dụng Hamiltonian hỗ trợ Hi− (pi , 0) := H1 (p1 , 0) pi ≤ p0i Hi− (pi , 0) := Hi (p0i , 0) pi ≥ p0i để định nghĩa với A ∈ R, A−hạn chế thông lượng HA (p) := max(A, max Hi− (pi , 0)) 1≤i≤K Định nghĩa sau giới thiệu [7] Định nghĩa 2.2 Một nghiệm (tương ứng nghiệm trên) A−hạn chế thơng lượng tốn miền khớp nối nghiệm nhớt (tương ứng, nghiệm nhớt) toán u + Hi (uxi , xi ) Ii với i u + HA (ux1 , , uxK ) x = Ta ý với đòi hỏi tính lồi, nghiệm A-hạn chế thơng lượng phân loại chủ yếu giá trị gốc nghiệm loại Kirchoff - Neumann mà sử dụng đây, chúng thể tự nhiên Ở chúng tơi trình bày chứng minh đơn giản cho nghiệm Để đơn giản lý luận xét nghiệm liên tục Mệnh đề 2.4 Cho u, v nghiệm (tương ứng nghiệm trên) ¯ A-thông lượng hạn chế Khi u ≤ v I Chứng minh Trước hết ta thấy u(0) ≤ −A Thật vậy, với > 0, ¯ cho φi (xi ) = −xi / Dễ thấy xét hàm thử φ ∈ C (I) ∩ C 0,1 (I) u − φ đạt cực đại địa phương lân cận điểm ¯ := (x¯1 , x¯K ) Nếu có i cho X ¯ ∈ Ii u(X) ¯ + Hi (−1/ , X) ¯ ≤ X ¯ = từ Đây điều đủ nhỏ Hi Do X định nghĩa ta thu u(0) + A ≤ u(0) + HA (Dφ (0), 0) ≤ Để có so sánh theo chứng minh Định lý 2.1 nhắc lại ta cần xét trường hợp điểm cực đại hàm hai biến đạt 19 điểm (¯ xi , 0) với x¯i < 0, ∀i Theo định nghĩa nghiệm A-hạn chế thông lượng ta thu v(0) + HA ( x¯1 + δ , , x¯K + δ , 0) ≥ Nếu HA ( x¯1 +δ , , x¯K +δ , 0) = A v(0) + A ≥ 0, tức v(0) ≥ −A ≥ u(0) có điều phải chứng minh Nếu HA ( x¯1 +δ , , x¯K +δ , 0) = max Hi− ( x¯1 +δ , , x¯K +δ , 0) v(0)+ max 1≤i≤K 1≤i≤d Hi ( x¯1 +δ , , x¯K +δ , 0) ≥ (v(0) + max Hi− ( x¯1 +δ , , x¯K +δ , 0) ≥ 1≤i≤d kết luận chứng minh Định lý 2.1 Ta kết thúc mệnh đề sau đây, xin nêu mà không chứng minh Mệnh đề cung cấp thông tin vị trí phấn tử thuộc vi phân khớp nối nghiệm I Một hệ trực tiếp trường hợp tựa lồi nghiên cứu [7], không cần sử dụng phần giảm Hamiltonian để định nghĩa nghiệm hạn chế thông lượng khớp nối ¯ nghiệm u + H(ux , x) ≤ Mệnh đề 2.5 Giả sử u ∈ C(I) I Khi u nghiệm ràng buộc trạng thái I¯ lim sup u(x)−u(0) ≤ P¯ P¯ := inf{z ∈ R : H(z, 0) ≤ H(p, 0), ∀z ≤ x x→0− p} 2.1.5 Một số mở rộng Mở rộng kết chúng tơi tốn miền khớp nối phụ thuộc thời gian Định nghĩa 2.3 (i) u ∈ C(I¯×[0, T ]; R) nghiệm ràng buộc trạng thái toán miền khớp nối ui,t + Hi (uxi , xi ) ≤ Ii × (0, T ], ∀i (2.13) (ii) u ∈ C(I¯× [0, T ]; R) nghiệm ràng buộc trạng thái toán miền khớp nối ui,t + Hi (uxi , xi ) ≥ Ii × (0, T ]∀i max (ui,t + Hi (uxi , 0)) ≥ 1≤i≤K (2.14) ¯ (iii) u ∈ C(I × [0, T ]; R) nghiệm vừa nghiệm vừa nghiệm 20 Cũng với tốn khơng phụ thuộc vào thời gian trao đổi từ trước, bất đẳng thức nghiệm khớp nối diễn giải theo nghĩa nghiệm nhớt, nghĩa với φ ∈ C (I × (0, T ]) ∩ C 0,1 (I × (0, T ]), u − φ đạt cực tiểu địa phương (0, t0 ) với t0 ∈ (0, T ] max [φi,t (0, t0 ) + 1≤i≤K Hi (φxi (0, t0 ), 0)] ≥ Tính chứng minh tính nghiệm hạn chế thơng lượng cho tốn phụ thuộc thời gian khớp nối tương tự (với điều chỉnh chút) lập luận trình bày mục trước Sự hội tụ xấp xỉ cấp Kirchoff cần thêm số lập luận Chi tiết xin xem mục Sau tốn điển hình Xét miền := ∪ với := (−∞, 0) × R × = {0} × {0} × (−∞, 0) số hạng phi tuyến F, H Xét phương trình  F (uz , z) + u =    H(ux , uy , x, y) + u = H(ux , uy , x, y) + u ≥ ∂    min(H(ux , uy , x, y) + u, F (uz , z) + u) ≥ {0} × {0} × {0} Một ví dụ tổng qt khơng gian nhiều chiều với số hạng phi tuyến miền := {(x, y) ∈ RK+d : xi ≤ 0} Hi (uxi , Dy u, xi , y) + ui = (−∞, 0) × Rd max (Hi (uxi , Dy u, 0, y) + u ≥ {0} × {0} × Rd 1≤i≤K 2.2 Trường hợp nhiều chiều Bây tìm hiểu mở rộng toán xét Mục 2.1 sang trường hợp miền khớp nối nhiều chiều 2.2.1 Một số ký hiệu thuật ngữ Cho x ∈ Rd ta viết x = (x , xd ) với x ∈ Rd−1 Với i = 1, , K, Πi := {(x , xdi ) ∈ Rd : x ∈ Rd−1 , xd,i ≤ 0} nửa mặt phẳng có giao đường thẳng L := {(x , 0) : x ∈ Rd−1 } tập Π := ¯ ∪K i=1 Πi Để đơn giản viết xi thay cho xd,i Cho u ∈ C(Π; R), ¯ i ta viết ui (x , xi ) := u(0, , x , xi , 0, ) Ngoài để (x , xi ) ∈ Π đơn giản ta bỏ số i viết u(x , xi ) Khi uxi (0, xi ) đạo theo vectơ pháp tuyến ui : Π → R L Xét toán K−khớp nối chiều miền I := ∪K i=1 Ii với khớp nối {0} ¯ R), với i = 1, , K, Ii := (−ai , 0) ∈ [−∞, 0) Xét u ∈ C(I; 21 ¯ ta viết ui (xi ) = u(0, , xi , , 0); có với x = (x1 , , xK ) ∈ I, thể, để đơn giản ta bỏ số i viết u(xi ) Ta ký hiệu uxi uxi xi cho đạo hàm cấp đạo hàm cấp hai u theo xi Với w ∈ C(I¯ × [0, T ]) t0 ∈ (0, T ], J + w(0, t0 ) J − (0, t0 ) tương ứng vi phân vi phân w (0, t0 ), rỗng Nếu (p1 , , pK , a) ∈ J + w(0, t0 ) với (x, t) ∈ I¯ × [0, T ], w(xi , t) ≤ w(0, t0 ) + pi xi + a(t − t0 ) + o(|x| + |t − t0 |) Nếu (p1 , , pK , a) ∈ J − w(0, t0 ) w(xi , t) ≥ w(0, t0 ) + pi xi + a(t − t0 ) + o(|x| + |t − t0 |) Trong mục này, ta làm việc với khái niệm nghiệm nhớt nghiệm nhớt Trong hầu hết trường hợp, ta bỏ qua từ nhớt Ta không nhắc lại i ∈ 1, , K thay vào ta ¯ khơng gian tất hàm liên tục nói với i Nhớ BUC(Π) ¯ bị chặn Π 2.2.2 Thiết lập toán Cũng Mục 2.1, ta tìm hiểu tính đặt chỉnh toán biên ¯ ban đầu loại Kirchoff Π   ui,t + Hi (Dui , ui , x, t) = Πi × (0, T ], min( i ui,xi − B, mini (ui,t , +Hi (Dui , ui , x, t))) ≤ 0;L × (0, T ],  max( i ui,xi − B, maxi (ui,t , +Hi (Dui , ui , x, t))) ≥ 0;L × (0, T ], (2.15) với ¯ B ∈ R u(., 0) = u0 Π, (2.16) ¯ u0 ∈ BUC(Π), với i,   Hi theo p theo x, t u bị chặn, liên tục Lipschitz theo u t,  liên tục theo p, u, x, t với p, u bị chặn (2.17) (2.18) Với tốn dừng, tính liên tục Lipschitz Hi theo u thay điều kiện Hi tăng chặt theo u (2.19) Ta ý việc chọn điều kiện Neumann (2.15) không mang ý nghĩa định Thực tế lập luận áp dụng cho điều kiện biên tổng quát có dạng G(ux1 , , uxK , u) với ánh xạ (p1 , , pk , u) → G(ux1 , , uxK , u) tăng chặt theo tất biến Các kết 22 ¯ Định lí 2.6 Giả sử (2.18) thỏa mãn Nếu u, v ∈ BU C(Π×[0, T ]) tương ứng nghiệm nghiệm (2.15) với ui (., 0) ≤ vi (., 0) ¯ i u ≤ v Π ¯ × [0, T ] Hơn nữa, với u0 ∈ BUC(Π) ¯ Bài tốn Π ¯ × [0, T ]) biên ban đầu (2.16), (2.17) có nghiệm u ∈ BUC(Π Từ chứng minh ta thấy, ta mở rộng kết định lý cho toán  ui,t + Hi (D2 ui , Dui , x, t) = Πi × (0, T ],    min( i ui,xi − B, mini (ui,t + Hi (0, Dui , ui , x, t))) ≤ 0;L × (0, T ], max( i ui,xi − B, maxi (ui,t , +Hi (0, Dui , ui , x, t))) ≥ L × (0, T ],    ¯ u(., 0) = u0 Π, (2.20) thêm vào điều kiện (2.18), Hi eliptic suy biến theo biến Hessian Vì lý luận hầu hết đồng với chứng minh Định lý 2.6 nên ta khơng trình bày chi tiết Tiếp theo kết hội tụ dãy nghiệm xấp xỉ nhớt (2.15) Rõ ràng giới hạn chúng nghiệm (2.15) không cần phải chứng minh Ta lưu ý sử dụng xấp xỉ cấp hai phức tạp sau Với > 0, xét toán biên ban đầu   ui, ,t − ∆ui, + Hi (Dui, , ui, , x, t) = Πi × (0, T ], u = B L × (0, T ], (2.21)  i i, ,xi ¯ ui, (., 0) = u0,i Πi , theo (2.18) u0 thỏa mãn (2.17) có nghiệm u ∈ ¯ × [0, T ]) BUC(Π Định lí 2.7 Giả sử (2.17) (2.18) thỏa mãn Khi u = lim u tồn →0 u nghiệm (2.15) Việc chứng minh định lý hệ trực tiếp kết biết đến rộng rãi trước Vậy nên khơng trình bày thêm Ở đây, chúng tơi với toán khớp nối chiều phụ thuộc thời gian, nghiệm hạn chế thông lượng đặt [7] thực nghiệm nhớt suy rộng (2.22) với việc chọn B thích hợp điều kiện Kirchoff, chúng Điều cho ta chứng minh đơn giản trực tiếp tính mà khơng cần thiết phải xét đến hàm thử cồng kềnh không yêu cầu thêm điều kiện lồi Theo điều lưu ý cuối cùng, ta thấy điều kiện loại Kirchoff xuất vừa đủ, chúng điều kiện để tương thích với ngun lý cực đại Điều dễ dàng ra, chẳng hạn với phương trình cấp 23 hai với việc xét nghiệm affin nhánh Trong phần này, để đơn giản ký hiệu diễn giải tốt hơn, ta xem xét với trường hợp đặc biệt d = (2.15) trở thành  ui,t + Hi (ui,xi , x, t) = I × (0, T ],    min( i ui,xi − B, mini (ui,t , +Hi (ui,xi , 0, t))) ≤ × (0, T ] max( i ui,xi − B, maxi (ui,t , +Hi (ui,xi , 0, t))) ≥ × (0, T ]    ¯ u(., 0) = u0 I (2.22) 2.2.3 Bổ đề chung Mục nêu chứng minh bổ đề dùng làm công cụ chứng minh Định lý 2.6 Chúng áp dụng cho toán khớp nối chiều với điều kiện Kirchoff mở rộng cho lớp hướng mà dùng bất đẳng thức khớp nối Bổ đề 2.3 Giả sử H1 , , HK ∈ C(R), p1 , , pK , q1 , , qK ∈ R a, b ∈ R cho với i ∈ {1, , K},   (i) pi ≥ qi a + Hi (pi ) ≤ ≤ b + Hi (qi ), (2.23) (ii) min( i pi , mini (a + Hi (pi ))) ≤ với pi ≤ pi ,  (iii) max( i qi , maxi (b + Hi (qi ))) ≥ với pi ≤ pi a ≤ b Chứng minh Giả sử a > b, cách điều chỉnh p1 , , pK , q1 , , qK , a b lượng nhỏ, tính liên tục tốn tử H1 , , HK ta giả sử pi > qi a + max Hi (pi ) < < b + Hi (qi ) i i Giả sử i pi > > i qi lấy c ∈ (b, a) ri ∈ (qi , pi ) cho Hi (ri ) + c = Nếu i ri ≥ (tương ứng i ri ≤ 0) chọn pi = ri (tương ứng qi = ri ) lập luận ta có điều phải chứng minh 2.2.4 Bài tốn khớp nối chiều phụ thuộc thời gian Ở chúng tơi chứng minh Định lý 2.6 cho tốn giá trị ban đầu (2.22) Việc chứng minh không gian nhiều chiều tương tự nên khơng trình bày chi tiết Sự tồn nghiệm suy trực tiếp từ phương pháp Perron Định lý 2.7 24 Để đơn giản trình bày, ta chọn B = Mặc dù chứng minh không dài, để làm rõ bật ý tưởng trước hết ta mô tả cách trực quan Giả sử ui , vi ∈ C (I¯i × [0, T ]) với đạo hàm riêng theo biến không gian khơng liên tục i thay đổi Cũng ý u, v ∈ C(I¯ × [0, T ]) nên ut (0, t), vt (0, t) xác định với t ∈ (0, t] Theo cách chứng minh nguyên lý cực đại cổ điển, giả sử với δ > 0, max [(u − v)(x, t) − δt] ¯ x∈I×[0,T ] đạt (x0 , t0 ) ∈ I¯ × [0, T ] với t0 > Nếu x0 = 0, ta chứng minh chứng minh cổ điển tính nghiệm Do ta tiếp tục giả sử x0 = Đặt a = ut (0, t0 ) b = vt (0, t0 ) ta có a ≥ b + δ > b Ta thấy hàm số U (xi ) = u(xi , 0) V (xi ) = v(xi , t0 ) trơn nghiệm nhớt nghệm nhớt toán  a + Hi (Uxi , xi , t0 ) ≤ I¯i    min( i Uxi (0), a + mini Hi (Uxi (0), 0, t0 ) ≤ 0, (2.24) b + Hi (Vxi , xi , t0 ) ≥ I¯i    max( i Vxi (0), b + mini Hi (Vxi (0), 0, t0 ) ≥ 0, U (xi ) − V (xi ) ≤ U (0) − V (0), từ suy Uxi (0) ≥ VxI (0) Từ Bổ đề 2.3 suy mâu thuẫn Ta thấy (2.23) với cách chọn H1 , , HK , p1 , , pK , q1 , , qK Vì (2.23)(i) phần (2.24) (2.23)(ii),(iii) suy từ J + Ui (0) = (−∞, Uxi (0)], J − Vi (0) = [Vxi (0), ∞) bất đẳng thức phải theo nghĩa nghiệm nhớt Chứng minh Không tính tổng quát ta giả sử u, v ∈ C 0,1 (I¯ × [0, T ]) tương ứng nghiệm nhớt nghiệm nhớt (2.22) u(., 0) ≤ v(., 0) Sử dụng phép chập sup phép chập inf cổ điển giả sử u, v tương ứng nửa lồi nửa lõm theo t Điều nghĩa cần xem xét khoảng thời gian nhỏ tính H thời điểm khác Tuy nhiên điều khơng làm thay đổi cách chứng minh nên ta bỏ qua khơng trình bày chi tiết Giả sử với δ > 0, maxx∈I× ¯ [0, T ][(u − v)(x, t) − δt] đạt ¯ (x0 , t0 ) ∈ I × [0, T ] với t0 > Nếu x0 = ta thu điều phải chứng minh chứng minh cổ điển tính Do tiếp tục giả sử x0 = Do giả thiết tính nửa lồi nửa lõm tương ứng u v, hai 25 khả vi theo t (0, t0 ) Đặt a = ut (0, t0 ) b = vt (0, t0 ) ta suy a ≥ b + δ > b Tiếp theo ta cần đánh giá kiểu C vi phân vi phân hàm nửa lồi, nửa lõm gần điểm khả vi sau đây: Bổ đề 2.4 Cho z hàm nửa lồi liên tục Lipschitz theo t, nghiệm zt + H(ux , u, x, t) ≤ (c, 0) × [0, T ] với c < giả sử a ¯ = zt (0, t0 ) tồn Nếu ∂z(x, t) vi phân z theo t (x, t) lim sup |p − a ¯| = (2.25) (x,t)→0 p∈∂z(x,t) Khẳng định tương tự cho vi phân theo t, z nghiệm nửa lõm liên tục Lipshitz theo t khả vi (0, t0 ) Điều suy từ kết cổ điển tính nửa lồi kéo theo z khả vi (x, t) cho ∂z(x, t) = với hàm nửa lồi, đạo hàm riêng hội tụ đến đạo hàm riêng tương ứng Sự phụ thuộc vào x cần thiết phải dùng đến điều kiện liên tục Lipshitz Tiếp theo ta ý từ Bổ đề 2.4 thu ηi : I¯i × [0, T ] → R cho lim(xi ,t)→(0,t0 ) ηi (xi , t) = 0, theo nghĩa nghiệm nhớt lân cận (0, t0 ), a + Hi (uxi , 0, t0 ) ≤ ηi (xi , t) b + Hi (vxi , 0, t0 ) ≥ ηi (xi , t) (2.26) Thật (pi , p¯i ) ∈ J + u(x, t) p¯i ∈ ∂u(x, t) tính liên tục Hi kết hợp với chứng minh suy điều phải chứng minh Tiếp theo sử dụng lý luận riêng (0, t0 ) cho tất nhánh để đưa toán toán độc lập với thời gian áp dụng Bổ đề 2.3 Với > đặt ui (xi , t) = vi (xi , t) = u( xi , t0 + (t − t0 )) − u(0, t0 ) v( xi , t0 + (t − t0 )) − v(0, t0 ) Theo định nghĩa (0, t0 ), tính chất u, v quan sát nêu trên, với i ∈ 1, , K > có ui ≤ vi + δ(t − t0 ), 26 (2.27) → 0, dọc theo dãy ui,t (xi , t) = ut ( xi , t0 + (t−t0 )) → a; vi,t (xi , t) = vt ( xi , t0 + (t−t0 )) → b; (2.28) ui,t (xi , t) − ui ( xi , t0 ) → atvi,t (xi , t) − vi ( xi , t0 ) → bt (2.29) địa phương theo (x, t) Cố định dãy n → cho ui n (xi , t) → Ui (xi ) + a(t − t0 ) vi n (xi , t) → Vi (xi ) + a(t − t0 ) Chú ý theo (2.29) Ui Vi độc lập theo t Từ suy  Ui ≤ Vi (−∞, 0) Ui (0) = Vi (0) = 0,    ¯ i,x ) ≤ b + H(V ¯ i,x ) ≥ 0, a + H(U i i (2.30) ¯ min( U , (a + H (U ))) ≤ 0,  i,x i i i,x i i i   ¯i (Vi,x ))) ≥ 0, max( i Vi,xi , maxi (b + H i ¯i (p) viết tắt củaHi (p, 0, t0 ) a > b H Từ Bổ đề 2.3 suy mâu thuẫn Với việc chọn Hi ta cần chọn p1 , , pK , q1 , , qK cho (2.23) thỏa mãn Đặt Ui (xi ) Ui (xi ) , p¯i := lim sup , pi := lim inf xi →0 xi xi xi →0 qi := lim inf xi →0 Vi (xi ) Vi (xi ) , q¯i := lim sup , xi xi xi →0 nhắc lại J + Ui (0) = (−∞, pi ] J − Vi (0) = [q¯i , ∞) Để ý Ui ≤ Vi không đủ để suy pi ≥ q¯i ta cần để sử dụng Bổ đề 2.3 với pi = pi qi = q¯i Tuy nhiên từ Ui ≤ Vi suy p¯i ≥ qi (2.31) Mặc dù p¯i ∈ / J + Ui (0) qi ∈ / J − Vi (0) trừ Ui , Vi tương ứng khả vi 0, có (2.23) với pi = p¯i qi = qi Khi ta suy ¯i (p) ≤ ∀p ∈ [pi , p¯i ] b + H ¯i (q) ≥ ∀q ∈ [qi , q¯i ] a+H 27 (2.32) Hơn pi ≤ pi ∀i pi ∈ J + Ui (0) min( i pi , maxi (a + ¯i (p ))) ≤ Nếu với ii cố định p ∈ [p , p¯i ] theo (2.32) a + H 0 i i0 i0 ¯i (p ))) ≤ Từ Hi0 (pi0 , 0, t0 ) ≤ ta lại có min( i pi , maxi (a + H i suy (2.23)(ii) Bằng lý luận tương tự thu (2.23)(iii), (2.23)(i) theo (2.31) (2.32) 2.2.5 Nghiệm hạn chế thông lượng nghiệm suy rộng Kirchoff Ở nghiệm hạn chế thông lượng thực tế toán khớp nối chiều phụ thuộc thời gian giới thiệu [7] nghiệm nhớt suy rộng (2.22) với việc chọn B thích hợp điều kiện Kirchoff Ta nhắc lại khái niệm nghiệm hạn chế thông lượng Theo [7], ta giả sử với i = 1, , K, Hi ∈ C(R) lồi có cực tiểu p0i , (2.33) xét H ± : R → R Hi (p) p ≥ p0i , Hi (p0i ) p ≤ p0i , (2.34) ý [7] xét trường hợp Hi tựa lồi, nhiên để đơn giản trình bày ta giả thiết chúng lồi Cuối cùng, để đơn giản giả thiết nghiệm liên tục Cố định A ≥ A0 = maxi minR H Ii = (0, ∞) I = ∪K i=1 Ii Khi ¯ u ∈ BUC(I × [0, T ]) nghiệm A-hạn chế thông lượng toán khớp nối H − (p) = Hi (p) p ≤ p0i , H + (p) = 0 Hi (pi ) p ≥ pi , ui,t + Hi (ui,xi ) = Ii × (0, T ], − ut + max(A, maxi Hi (ui,xi )) × (0, T ] (2.35) Với i đặt pA i nghiệm Hi (p) = A, tồn (2.34) Mệnh đề 2.6 Nếu u˜ nghiệm A-hạn chế thông lượng thỏa mãn (2.35) u : I¯ → R xác định u(x) = u˜(−x) nghiệm suy rộng (2.22) A với B = − K i=1 pi Hi (p) = Hi (−p) Chứng minh Để chứng minh mệnh đề ta chứng minh u˜ nghiệm  toán   ui,t + Hi (ui,xi ) = Ii × (0, T ], min(− K i=1 ui,xi ) − B, mini (ui,t + Hi )(ui,xi ) ≤ × (0, T ]   max(− K u ) − B, max (u + H )(u ) ≥ × (0, T ] i i,t i i,xi i=1 i,xi (2.36) 28 Rõ ràng cần kiểm tra bất đẳng thức {0} × (0, T ] Ta bắt đầu với tính chất nghiệm Giả sử với t0 ∈ (0, T ] với i, (pi , a) ∈ J + ui (0, t0 ) Vì u˜ nghiệm A-hạn chế thơng lượng nên với i ta có − a + A = a + H(pA i ) ≤ a + Hi (pi ) ≤ (2.37) Bằng phương pháp phản chứng, ta giả sử K − K pA i > pi + i=1 (2.38) i=1 Khi tồn i0 cho pi0 < pA i0 Nếu pi0 ≤ pi0 tính tăng Hi0 có Hi0 (pi0 ) ≤ Hi0 (pA i0 ) = A a + Hi0 (pi0 ) ≤ (2.39) Nếu p0i0 ≥ pi0 Hi0 (pi0 ) = Hi−0 (pi0 ) lại có (2.39) tính chất nghiệm Đối với tính chất nghiệm để chứng minh, giả sử với t0 ∈ (0, T ] với i, (qi , a) ∈ J − ui (0, t0 ) Theo định nghĩa nghiệm A-hạn chế thơng lượng ta có a + max(A, max Hi− (qi )) ≥ i (2.40) Nếu maxi Hi− (qi ) ≥ A Hi (qi ) ≥ Hi− (qi ), K qi − B, max(a + Hi− (qi ))) ≥ max(− i=1 i (2.41) Nếu A > maxi Hi− (qi ) với i ta có a + Hi+0 (pA i ) = a + A ≥ (2.42) K A Giả sử − K i=1 + i=1 pi ≤ mâu thuẫn với (2.41) + A Từ suy phải tồn i0 cho qi0 ≥ pA i0 suy Hi0 (q0 ) ≥ Hi0 (pi ) = A (2.41) Đặt u(x) = u(−x) ta có điều phải chứng minh 29 Kết luận Luận văn đạt kết sau: Thứ giới thiệu đưa hệ thống khái niệm liên quan đến nội dung đề tài: khái niệm nghiệm nhớt phương trình đạo hàm riêng cấp 1, khái niệm nghiệm thông lượng hạn chế, nghiệm ràng buộc trạng thái nghiệm ràng buộc trạng thái khớp nối Thứ 2, Trình bày kết quan trọng nghiệm nhớt phương trình Hamilton-Jacobi miền có chung khớp nối Trong trường hợp chiều đưa kết tính đặt chỉnh tốn (HJ) miền có chúng khớp nối Các kết trình bày Định lý 2.1, 2.2, 2.3 2.4 Trong định lý phát biểu chứng minh cho tồn nghiệm tính đặt chỉnh tốn đặt Ngồi ra, chúng tơi mở rộng với toán miền chúng khớp nối phụ thuộc thời gian Các khái niệm nghiệm ràng buộc trạng thái nghiệm ràng buộc trạng thái miền có chung khớp nối đưa để giải vấn đề Việc chứng minh mở rộng tương tự lập luận chứng minh với tốn khơng phụ thuộc thời gian Tiếp theo kết tốn trường hợp chiều phát biểu mở rộng trường hợp nhiều chiều Các kết trình Định lý 2.6, 2.7 Luận văn toán đặt [7] trường hợp riêng toán (2.22) với cách chọn B thích hợp điều kiện Kirchoff Như luận văn giải vấn đề đặt tìm hiểu nghiệm nhớt phương trình Hamilton - Jacobi miền có chung khớp nối Các mục đích nghiên cứu đặt phần mở đầu giải triệt để Vì điều kiện lực hạn chế, luận văn khó tránh sai sót Tác giả kính mong Thầy giáo bạn đồng nghiệp góp ý để luận văn hồn thiện Tơi xin trân trọng cảm ơn 30 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Trần Đức Vân, Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005 0.1, 1.1 [B] Tài liệu Tiếng Anh [2] M G Crandall and P L Lions (1983), Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations, Trans Amer Math Soc., 277:1-42 [3] M G Crandall, L C Evans and P L Lions (1984), Some properties of viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations, Trans Amer Math Soc., 282: 487-502 1.1 [4] M G Crandall, H Ishii and P L Lions (1993), User’s guide to viscosity solutions of second order fully nonlinear partial differential equations, Bull Amer Math Soc 0.1 [5] J September 2016., Classification of nonlinear boundary conditions for 1D nonconvex Hamilton-Jacobi equations, arXiv: 1609.08867v1, 1.2, 1.2 [6] J (2017), Effective nonlinear Neumann boundary conditions for 1D nonconvex Hamilton–Jacobi equations, J differential equations http://dx.doi.org/10.1016/j.jde.2017.04.015 0.1 [7] C Imbert and R Monneau 2016, Flux-limited solutions for quasiconvex Hamilton-Jacobi equations on networks, Annales scientifiques de l’ENS, 0.1, 2.1.4, 2.1.4, 2.2.2, 2.2.5, 2.2.5, 2.2.5 [8] P L Lions and P Souganidis 27 (2016), Viscosity solutions for junctions: well posedness and stability, Atti Accad Naz Lincei Rend Lincei Mat Appl no 4, 535–545 0.1, 2.1.3 [9] P L Lions and P Souganidis , 2017, Well posedness for multidimensional junction problems with Kirchhoff-type conditions, preprint arXiv: 1704.04001v1 0.1 31 [10] C Imbert- V D Nguyen, 2016, Generalized junction conditions for degenerate parabolic equations, preprint arXiv: 1601.01862 [11] H M Soner 24 (1986), Optimal control with state-space constraint I, SIAM J Control Optim., No 3, 552–561 MR0838056 32 ... ngữ miền có chung khớp nối nói ngắn gọn miền khớp nối Và tốn miền có chung khớp nối thường gọi tắt toán miền khớp nối Trong mục này, đề cập tới toán dừng miền khớp nối, tức miền Ii xét phương trình. .. thực 10 Chương Nghiệm nhớt phương trình Hamilton- Jacobi miền có chung khớp nối Chúng ta biết rằng, có lớp phương trình Hamilton- Jacobi quan trọng (còn gọi phương trình Hamilton- Jacobi- Bellman)... tính nghiệm nhớt phương trình Hamilton- Jacobi miền có chung khớp nối tồn tại, tính hay tính ổn định 0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tính chất nghiệm nhớt phương trình Hamilton Các phương trình