Tính hyperbolic đầy của miền hartogs

ì ì P P r rts ì ì P P r rts t số ữớ ữợ r sỹ ự tổ ữợ sỹ ữợ r t t tr tr tỹ ữ tứ ữủ ổ ố tr t ự ổ tr P trữ ữớ ữợ r ử ữỡ tự t ự ổ ự s tr ổ ự ổ ự r ổ ự r ổ ự tt ỏ ữợ ỏ ữợ ữỡ r rts t t ự t r ổ ự ởt tr ỳ t ỡ t t ự r ự õ ữủ t ữợ õ ữ t ỳ trữ t r ởt ổ ự tũ ỵ st t r ỳ ợ ổ ự t ự t r ổ ự ỳ ỹ ự t ự r ỳ ự t r ỳ ợ ổ ự t ụ ữ t ỳ ợ ổ ự r tữớ t út ữủ sỹ q t t rts tở số ỳ ợ ổ ự ữ X ởt ổ ự : X [, ) ỷ tử tr tr X rts (X) ữủ (X) = (z, w) X ì C : |w| < e(z) t t t rts ữủ t r ữợ q t ự r r rts tr ởt số rts (X) r r ởt số ợ ỏ ữợ tr X (X) r ỹ tr t q t rt rts s t ỗ tr tr õ õ ữỡ t t t ữỡ r tờ q tố t t tt ữỡ s ữỡ tr ởt số t r rts (X) r ởt số ợ ỏ ữợ tr X s rts (X) r ố ũ t tr tõ tt t q ữủ ự tr ữủ t t rữớ ữ ữợ sỹ ữợ t t r tọ ỏ t ỡ ổ sỹ ữợ t t q tr q tr ự t ỡ ỏ t t ổ rữớ ữ rữớ ữ t t ủ tr q tr t ự t ỡ ợ t ổ s õ ú ù tổ tr sốt q tr t t trữớ ố ũ tổ tọ ỏ t ỡ s s tợ ỳ ữớ t tr ỳ ữớ ổ q t ú ù tổ ổ ọ tổ t ổ s ổ tr ọ ỳ t rt ữủ ỳ õ õ ỵ t ổ ữủ ỡ t P ữỡ tự sỷ X ởt t tr Cn f : X C ởt số f ữủ ự t x0 X tỗ t t t : Cn C s lim|h|0 |f (x0 + h) f (x0 ) (h)| = 0, |h| tr õ h = (h1, , hn) Cn |h| = ( ni=1 |hi|2) f ữủ t x0 X f ự tr ởt õ x0 ữủ tr X f t tở X ởt f : X Cm õ t t ữợ f = (f1, , fm), tr õ fi = i f : X C, i = 1, , m tồ õ f ữủ tr X fi tr X ợ i = 1, , m f : X f (X) Cn ữủ s f s f ụ t ự sỷ X ởt ổ tổổ sr (U, ) ữủ ởt ỗ ữỡ X tr õ U t tr X : U Cn s ữủ tọ (U ) t tr Cn : U (U ) ởt ỗ ổ A = {(Ui, i)}iI ỗ ữỡ X ữủ ởt t ỗ t ts X s ữủ tọ {Ui}iI ởt X ợ Ui, Uj Ui Uj = , t ts tr X ts A1, A2 ữủ tữỡ ữỡ ủ A1 A2 ởt ts ởt q tữỡ ữỡ tr t ts ộ ợ tữỡ ữỡ ởt trú ự tr X X ũ ợ trú ự tr õ ữủ ởt t ự n j i : i (Ui Uj ) j (Ui Uj ) ỳ t ự sỷ M, N t ự tử f : M N ữủ tr M ợ ỗ ữỡ (U, ) M ởt ỗ ữỡ (V, ) N s f (U ) V t f : (U ) (V ) tữỡ ữỡ õ x M, y N, tỗ t ỗ ữỡ (U, ) (V, ) t x y tữỡ ự s sỷ f : M N s ỳ t ự f f t f ữủ s ỳ M N f : (U ) (V ) ổ ự sỷ Z t ự ởt ổ ự õ ởt t õ Z t ữỡ ữủ ỳ ữỡ tr t ự ợ x0 X tỗ t V x tr Z ỳ 1, , m tr V s X X V = {x V |i (x) = 0, i = 1, , m} sỷ X ởt ổ ự tr t ự Z f : X C ữủ ợ ộ x X tỗ t ởt U (x) Z ởt f tr U s f|U X f |U X sỷ f : X Y ỳ ổ ự X Y f ữủ ợ ộ g tr ởt t V Y ủ g f tr f 1(V ) s tr ổ ự t Hol(X, Y ) ổ tứ ởt ổ ự X tợ ởt ổ ự Y ữủ tr tổổ t ợ < r < , t t Dr = {z C : |z| < r}; D1 = D r ỡ D, t t r Pr + |a| ; a D |a| z1 z2 1+| | z z2 , z1 , z2 D D (z1 , z2 ) = n |z1 z2 | 1| | z z2 D (0, a) = n sỷ X ởt ổ ự p, q tũ ỵ X t p0 = p, p1, , pk = q X a1, a2, , ak D f1, , fk tr Hol(D, X) tọ fi (0) = pi1 , fi (ai ) = pi , i = 1, , k t ủ = {p0, , pk , a1, , ak , f1, , fk } ởt ố p q tr X ợ ộ ữ t tờ ki=1 pD (0, ai) t dX (p, q) = inf ki=1 pD (0, ai), p,q , tr õ p,q t ủ tt ố p q tr X t dX : X ì X R ởt s tr ổ ự X õ t ự ữủ t t s dX i) dX tử ii) f : X Y ỳ ổ ự t f ố ợ s dX (p, q) dY (f (p), f (q)), iii) dD = D p, q X r X tt t õ t tt r {fj } tử ữỡ tr D tợ ởt f Hol(D, (X)) t f (w) = (z0, rw) t r|w| < e(z ), w D õ r e(z ) t ợ tử tr X ố ũ t ự ỏ ữợ tr X ỵ rss rs ữủ õ tr t ự X) r g ỏ ữợ ợ g Hol(D, X) (D, t rts ữ s 0 g (X) = (z, w) : z D, |w| < e(g) s ự r g (D) ỗ sỷ ữủ s tỗ g (D)) tọ t ởt {j } tr Hol(D, g (X)) C(D, g (D), n i) n (D) s (D) g (D) ii) {n } tử tr D iii) (D) g (D) t (, w) = (g(), w), (, w) D ì C t {n} n = n ứ t õ n (D) n1 ( )(D) (X) t õ t t ữủ ởt t t tữỡ ố U (X) ự n1 n (D) ( )(D) õ tỗ t n0 ợ z0 D D s n(z0) U ợ n n0 t F = {f Hol(D, (X)) : f (z0 ) U } (X) r (X) tt F t ổ õ tr F õ t ý t n F, ợ n n0 t õ ợ tở F t D (X) t ợ g (D) ỗ r g ỏ ữợ ỵ ữủ ự ự t q t t t s X ởt ổ ự a X số ữỡ , õ tỗ t số c > s ợ ộ > (p, q) tở U (a, ) = {b X : dX (a, b) < } õ t ữủ ố ởt õ l() < C(dX (p, q) + ) tr U (a; + ) t t dU (a;3+)(p, q) C.dX (p, q), p, q U (a; ) ự < r < số ữỡ dD (0, r) = Dr = {z C, |z| < r} r õ ự ợ Pr dD C tọ dDr (0, x) C.dD (0, x) ợ x D ự C tọ t ố p, q U (a, ) ởt tr X õ l() < dX (p, q) + < ợ ọ t || ỡ || tr U (a, 3) fi : D X tự i ai, bi D t pi1, pi X ổ t tờ qt t õ t tt = |bi| < 2r pi1 U (a, 3) fi(Dr ) U (a, + ), z Dr , t dD (0, z) < dX (pi1 , fi (z)) = dX (fi (0), fi (z)) < t fi : D X tr Dr t õ ố p q tr U (a, + ) l() r C.l() < C.(dX (p, q) + ) tũ ỵ t õ ự q sỷ X ởt ổ ự a X, > õ tỗ t số C > s ợ p, q U (a, ) = {b X : dX (a, b) < } t õ dU (a,4) (p, q) C.dX (p, q) ỵ sỷ X ởt ổ ự r ởt ỏ ữợ tử tr tỹ tr X tọ t t s ợ ộ (z0 , w0 ) (X) ợ z0 X tỗ t ởt V z0 tr X ởt f tứ (X) ổ r Y s f (zn , wn ) ổ t tữỡ ố tr Y ợ t ý {(zn , wn )} tử tợ (z, w) õ (X) r ự (X) r ú t ự r (X) r tt r tỗ t ởt {pk }k1 = {(zk , wk )}k1 tr (X) s {pk } ổ tử tợ t ý tr (X) t t {zk } ởt tr X X r tử tợ z0 X sỷ U ởt t tữỡ ố z0 X ởt tt t õ t tt r {zk }k1 U ứ õ s r {(zk , wk )}k1 U ì U ì C tr õ {w : |w| < e inf (z) } ởt tt t õ t sỷ r {pk }k1 tử tợ tr ((X)) ứ tt t õ t ởt V z0 tr X ởt f tr 1(V ) ởt ổ r Y tọ < < 51 inf{dX (z0, x) : X\V } N zU ợ s pn U(p ,) ợ n N sỷ t t t õ N dX (z0 , zn ) p, n N s ự U (pN , 4) 1(V ) t d (X) (pN , ) < t dX ((p), z0 ) dX ((p), zN ) + dX (zN , z0 ) d (X) (p, pN ) + < dX (z0 , X\V ) (p) V t ữủ ự q t õ C1, C2 > tọ d1 (V ) (pn , pN ) dU (pN ,4) (pn , pN ) C1 d (X) (pn , pN ) < C2 , n > N t t õ d1(V ) (pn , pN ) dY (f (pn ), f (pN )), n > N Y r {f (pn)} ổ t tữỡ ố tr Y, t õ t ỵ ữủ ự ứ ỵ tr t õ t q s ỵ X ởt ổ ự r ởt ỏ ữợ tử tr tỹ tr X tọ t t ợ (z0 , w0 ) (X) z0 X, tỗ t ởt V z0 tr X, ởt f tr (V ) s |f (z, w)| < 1, (z, w) (V ) lim(z,w)(z0 ,w0 ) |f (z, w)| = õ (X) r sỷ X ởt ổ ự ỷ tử tr tr X õ r õ t t (S) t ởt a X tỗ t ởt Ua a tr X ởt fa tr Ua tọ s (i) (z) log |fa (z)|, z Ua (ii) (a) = log |fa (a)| t sỷ tr ỷ ữủ tử tr X tt r õ t t (S) t X õ tr ỏ ữợ tr X ữủ ổ ú sỷ X r ởt ỏ ữợ tử tr tỹ tr X tt r õ t t (S) t X õ (X) r ự ởt tũ ỵ (z0, w0) ((X)) ợ z0 X õ t t (S) t z0 t õ t ởt U z0 ởt fz tọ tr t f (z, w) = wfz (z), (z, w) 1(U ) ó r f tr 1(U ) õ |f (z, w)| = |wfz (z)| |we(z)| < 1, (z, w) 1(U ) |f (z0, w0)| = 1, t ỵ t õ ự X ởt ổ ự ởt : X [, ) ỏ ữợ t tr X ợ ú ữỡ j : X Cn, ữỡ ởt ỏ ữợ t tr ỵ s tr t r rts (X) 0 ỵ sỷ X ởt ổ r tt r ởt ỏ ữợ t tr X õ (X) r ự ự t ộ a X õ t t (S) t ữỡ t õ t tt r q a, X ởt t t ởt t Y tr Cn ỏ ữợ t tr X tỗ t ởt ỏ ữợ t tr Y s |X = + pa (z) = 21 (a) n j,k=1 n j=1 (a)(zj aj )+ zj (a)(zj aj )(zk ak ) zj zk ứ õ t õ (a) = Re(2pa (a)) t tr r t a (z) = (a) + 2Re + 21 + n j,k=1 n j,k=1 n (a)(zj j=1 zj aj ) (a)(zj aj )(zk ak ) zj , zj (a)(zj aj )(zk ak ) + o(|z a|2 ) zj zk = 2Re(pa (z)) + n j,k=1 (a)(zj aj )(zk ak ) + o(|z a|2 ) zj zk ỏ ữợ t tr Y tỗ t ởt U a s (z) Re(2pa (z)) = log |e2p (z) |, z U ứ õ s r õ t t (S) t a 2.9 t õ ự a q sỷ X ởt ổ r ởt tử õ tr tỹ tr X tt r ợ z0 X tỗ t ởt U z0 s (z) = supj1 {cj log |fj (z)|}, z U, (1) tr õ {fj }j1 tọ log |fj | > tr U ợ j ởt tr U {cj }j1 ởt số ữỡ tọ < a < cj < b < , j õ (X) r ự ởt {nj }j1 s (z0 ) = limj cnj log |fnj (z0 )| tr U s t ọ U tứ t õ supj1 ||fnj ||U supU < t ọ U tự õ t t tt r {fn }j1 tử ữỡ tr U tợ ởt f õ cj c a > j (z) = c log |f (z)|, z U tr ữủ (z0) = (z0) (z) (z), z U õ t t t z0 2.9 t ữủ ự õ t r õ ỏ ữợ ổ õ t t (S) t ởt t sỷ X ởt ổ ự ỏ ữợ tr X sỷ r õ t t t z0 X (z0 ) = t s ự tọ r X = (z, w) X ì C : Re w + (z) < tọ tỗ t ởt U z0 ởt tr U X {(z, (z))|z U } = tr õ (z0) = (z0) t ởt U z0 tr X s U rút ữủ (z0) = t õ fz (z0) = s r tỗ t ởt tr U tọ |fz0 (z)e(z) | = 1|, (z0 ) = (z0 ), z U ú ỵ r (z) log |fz0 (z)| = log |e(z) | = Re (z), z U, (z0) = (z0) t ữủ ự r r tứ t tr t s r tỗ t ởt ỏ ữợ tr tỹ tr C2 s ổ õ t t (S) t s ự tọ r tỗ t ởt s (X) r ữ ổ õ t t (S) t ởt sỷ X ởt r tr C ự 0, t > s cos(5/7) < 1/t < 5/9 (z) = |z|6 + t|z|2 Re(z ) õ (X) r ữ ổ õ t t t ữủ s trỹ t tứ s sỷ X ởt r tr C, ởt ỏ ữợ tr X tt r t z0 X tỗ t ởt số tỹ n ởt U z0 s tở ợ C n tr U ỡ ỳ tỗ t i, l s i l n l (z0 ) = z li z (2) õ t õ (X) r ự (z0, w0) (X) s z0 X |w0e(z )| = ợ r > t Wz0 , r = {(z, w) X ì C : |z z0 | < r, |w| < e(z) } (X) t tr r tr ởt z0 (z) = nj=0 Pj (z z0 ) + o(|z z0 |n ), tr õ Pj tự t t z, z õ j s ự Pl ổ ỏ t l õ Pl (z) = Pl (z) = l m=0 z lm z m (z0 )z lm z m l m) lm m (z0 )z lm1 z m1 z z Pl s r Pl ổ l1 m=1 m(l ứ tự ỏ t õ t t ữợ s (z) = (z) + Pk (z z0 ) + o(|z z0 |k ), t (4) tr õ ỏ k [1, n] số t s Pk ổ ỏ ởt tr ởt z0 tọ Re((z)) = (z) t |w2 e2(z) | = |we(z) |2 e2((z)(z)) = |we(z) |2 e2((z)(z)) ũ ố tồ z = z z0 w = we(z) w0 e(z0 ) õ Wz ,r s ữủ ố t Wr = {(z , w ) : |z | < r, |w + w0 e(z0 ) |2 |e2((z +z0 )(z +z0 )) | < 1} k = {(z , w ) : |z | < r, |w + w0 e(z0 ) |2 e2 Re Pk (z )+o(|z | ) < 1} = (z , w ) : |z | < r, (1 + |w |2 + Re w w0 e(z0 ) + Re Pk (z ) + o(|z |k ) < 0) (z = (z , w ) : |z | < r, + |w |2 + Re w w0 +2 Re Pk (z ) + |w |2 +4 Re Pk (z )Re w w0 e(z0 ) +o(|z |k ) < = (z , w ) : |z | < r, Re Pk (z )+2 Re w w0 e(z0 ) +o(|w |+|z |k ) < é ỏ tự õ tứ ỏ tự õ tứ tứ tr ex = + x + o(x) ợ r > 0, > Wr ự tr = (z , w ) : |z | < r, Re w + Re Pk (z ) < ||(|w | + |z |k ) ỵ ỡ r r tr ([4], p559) ú t õ ởt f Hol() C() s f (0, 0) = > |f (z , w )|, (z , w ) ứ ỵ t õ (X) r ữủ ự X ởt r tr C ự t > s cos < t < ợ số m tỗ t (0, 2) s + t cos(40 ) < 0, cos(m0 ) > ự cos(5/7) < 1/t < 5/9 tỗ t (/2, 5/7) s tọ cos = 1/t s r tỗ t m4 , m(2) cos( ) > t t t trữớ ủ m 7, t õ t 6(2) ữủ m(2) m = 3() > 4 > m = t m(2) 6(2) < tọ cos( ) > t õ t , = /m t õ ự ự 1/t < 5/9 t õ (z) = 9|z|4 + 5t(z + z )/2 0, z C t tỹ ỏ ữợ tr C ú ỵ r t z0 C, ữủ tọ õ tt r s trt t t z0 t tỹ ỗ t tr ởt z0 ró r ổ t tt tt tr ữủ tọ (X) r ự r ổ õ t t t sỷ ữủ õ tỗ t ởt f tr U ự s (z) log |f (z)|, z U, = log |f (0)| (5) ó r t õ t t f = eg tr U ữủ t (z) Re g(z) , z U, Re g(0) = sỷ < tr ỷ ữớ t l = {rei/4 : r > 0} g õ t ổ số tr g ộ r ú t t ữủ (z) Re az m + o(|z|m ) , a = 0, z U (6) ởt q t õ t tt r a = tr õ tứ t õ t t r m ởt số tọ õ tứ t õ (z) < 0, z l = {rei0 : r > 0} t Re(zm) = rm cos(m0), z l ú t t r ữỡ ợ z l ổ ỵ ổ t t (S) t ữủ ự t tr ởt số t r rts (X) t ự t q s +) sỷ X ởt ổ ự : X [, ) ỷ tử tr tr X (X) r t X r ởt tr tỹ ỏ ữợ tử tr X +) sỷ X ởt ổ ự r ởt ỏ ữợ tử tr tỹ tr X tọ t t s ợ ộ (z0, w0) (X) ợ z0 X tỗ t ởt V z0 tr X ởt f tứ (X) ổ r Y s f (zn, wn) ổ t tữỡ ố tr Y ợ t ý {(zn, wn)} tử tợ (z, w) õ (X) r +) sỷ X ởt ổ r tt r ởt ỏ ữợ t tr X õ (X) r t t P t ự ỵ tt ổ ự r ữ P t ự r t ú r ổ ự t s t II rt s st s t str t r r t r rss strt t s t rss rs r r ss t srts t Pr t rts t tt tt r s r t s r ss rr r tts ssst trt t r ss rr r Ptr Pst t r r s trs t s P t rt t tts t rts s tr r t I t rt r ts s srt t sts s s Pr s s Pr t