Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach

Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach Tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VŨ THỊ NGỌC TÍNH HYPERBOLIC VÀ HYPERBOLIC ĐẦY CỦA MIỀN HARTOGS BANACH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ TÀI THU HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS. Lê Tài Thu. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới TS. Lê Tài Thu, người quan tâm, động viên tận tình hướng dẫn tác giả trình thực luận văn. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám Hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng sau Đại học, thầy cô giáo nhà trường thầy cô giáo dạy chuyên ngành Toán giải tích tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu. Tác giả xin tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân động viên tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Vũ Thị Ngọc Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn trực tiếp TS. Lê Tài Thu. Trong trình nghiên cứu kế thừa thành khoa học nhà khoa học trân trọng biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Vũ Thị Ngọc Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Giả khoảng cách Kobayashi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Giả khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Khoảng cách Bergman Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Giả khoảng cách Kobayashi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4. Một số tính chất giả khoảng cách Kobayashi . . . . . . . . . 1.2. Không gian phức hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Không gian phức hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Một số tính chất không gian phức hyperbolic . . . . . . . . 1.3. Không gian phức hyperbolic đầy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Biểu diễn tích phân giả khoảng cách Kobayashi . . . . . . . . 10 1.4.1. Biểu diễn tích phân giả khoảng cách Kobayashi đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.2. Biểu diễn tích phân giả khoảng cách Kobayashi không gian phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5. Hàm điều hòa hàm đa điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.1. Hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.2. Hàm đa điều hòa dưới. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6. Miền Hartogs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Chương 2. Tính hyperbolic, hyperbolic đầy miền Hartogs không gian phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Tính hyperbolic, hyperbolic đầy không gian phức. . . . . 16 16 2.2. Tính hyperbolic, hyperbolic đầy miền Hartogs không gian phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Chương 3. Tính hyperbolic, hyperbolic đầy miền Hartogs Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1. Một số định nghĩa, khái niệm kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2. Tính hyperbolic, hyperbolic đầy miền Hartogs không gian giải tích Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Mở đầu 1. Lý chọn đề tài Lý thuyết không gian phức hyperbolic Kobayashi xây dựng lần vào năm 70 kỷ XX hướng nghiên cứu quan trọng giải tích phức. Trong năm gần đây, lý thuyết thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới. Những công trình nghiên cứu thúc đẩy hướng nghiên cứu phát triển mạnh mẽ hình thành nên chuyên ngành giải tích toán học, giải tích phức hyperbolic. Từ tìm thấy mối liên hệ bất ngờ sâu sắc với nhiều lĩnh vực khác toán học, đặc biệt toán thác triển ánh xạ chỉnh hình giải tích phức toán tính hữu hạn tập tất ánh xạ phân hình hai lớp không gian phức. Theo quan điểm A. Weil, S. Lang P. Vojta, toán sau có liên quan mật thiết với hình học đại số hình học số học. Có thể nói giải tích phức hyperbolic lĩnh vực nghiên cứu nằm chỗ giao nhiều môn lớn toán học: Hình học vi phân phức, Giải tích phức, Hình học đại số Lý thuyết số. Một hướng nghiên cứu giải tích phức hyperbolic nghiên cứu tính chất hình học miền. Miền Hartogs nghiên cứu từ lâu giải tích phức. Việc nghiên cứu tính chất hình học miền Hartogs không gian phức hữu hạn chiều góc độ giải tích phức hyperbolic, đặc biệt tính hyperbolic đầy khảo sát tương đối chi tiết. Tuy nhiên việc khảo sát cách hệ thống tính chất hình học miền Hartogs không gian giải tích Banach chiều vô hạn quan tâm. Với lý trên, lựa chọn hướng nghiên cứu tính hyperbolic hyperbolic đầy miền Hartogs không gian giải tích Banach.Với tên đề tài là: “Tính Hyperbolic Hyperbolic đầy miền Hartogs Banach” Luận văn gồm chương: Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị. Chương 2. Tính hyperbolic, hyperbolic đầy miền Hartogs không gian phức. Chương 3. Tính hyperbolic, hyperbolic đầy miền Hartogs Banach. 2. Mục đích nghiên cứu Hệ thống lại số kết biết tính hyperbolic, hyperbolic đầy miền Hartogs không gian phức sau mở rộng số kết sang không gian giải tích Banach. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu dấu hiệu nhận biết tính hyperbolic hyperbolic đầy không gian phức, tính hyperbolic hyperbolic đầy miền Hartogs không gian phức mở rộng số kết sang không gian giải tích Banach. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu tính hyperbolic hyperbolic đầy miền Hartogs không gian phức không gian giải tích Banach. • Phạm vi nghiên cứu miền Hartogs không gian phức không gian giải tích Banach. 5. Phương pháp nghiên cứu Để giải nhiệm vụ đề tài vận dụng cách linh hoạt kết hình học giải tích phức, giải tích phức nhiều biến. Đặc biệt sử dụng kết kỹ thuật gần giải tích phức hyperbolic để khắc phục khó khăn nảy sinh trình nghiên cứu. 6. Những đóng góp • Hệ thống lại số kết biết tính hyperbolic, hyperbolic đầy miền Hartogs không gian phức. • Mở rộng số dấu hiệu để nhận biết tính hyperbolic, hyperbolic đầy miền Hartogs không gian giải tích phức sang không gian giải tích Banach. Chương Một số kiến thức chuẩn bị Nội dung chương hệ thống số khái niệm giả khoảng cách Kobayashi, biểu diễn tích phân giả khoảng cách Kobayashi. Sau đưa định nghĩa không gian phức hyperbolic không gian phức hyperbolic đầy. Định nghĩa hàm điều hòa dưới, hàm đa điều hòa đưa định nghĩa miền Hartogs. 1.1. Giả khoảng cách Kobayashi 1.1.1. Giả khoảng cách Giả khoảng cách d tập X hàm d:X ×X →X (x, y) → d(x, y) thỏa mãn ba điều kiện sau i) d(x, y) ≥ với x, y ∈ X ii) d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với x, y, z ∈ X Nếu d thỏa mãn ii) iii) d(x, y) > với x, y ∈ X x = y d gọi khoảng cách X. 28 Vì π −1 (U1 ) compact X × C, không tính tổng quát, giả sử {(zj , λj )} hôi tụ đến điểm {(˜ z0 , λ0 )} X × C. Giả thiết (˜ z0 , λ0 ) ∈ ∂π −1 (U1 ), |λ0 | .eϕ(˜z0 ) = 1. Chọn εj ↓ cho e−ϕ(z) < e−γj (z)+εj , ∀z ∈ U1 . Với j ≥ 1, ta định nghĩa hàm chỉnh hình fj : π −1 (U1 ) → C xác định : fj (z, λ) = λeγj (z)−εj , ∀ (z, λ) ∈ π −1 (U1 ) Dễ dàng |fj (z, λ)| < 1, ∀ (z, λ) ∈ π −1 (U1 ) , fj (z, 0) = 0, ∀z ∈ U1 |fj (zj , λj )| = |λj | . eγj (zj )−εj → |λ0 | .eϕ(˜z0 ) = 1. Mặt khác, {(zj , λj )} dãy Cauchy dãy {(z0 , 0)} hội tụ đến (˜ z0 , 0), tồn số dương N cho: dπ−1 (U1 ) ((zj , λj ) , (zN , λN )) < dπ−1 (U1 ) ((zj , 0) , (˜ z0 , 0)) < với j ∈ N. Khi dπ−1 (U1 ) ((zj , λj ) , (zj , 0)) ≤ dπ−1 (U1 ) ((zj , λj ) , (zN , λN )) + dπ−1 (U1 ) ((zN , λN ) , (˜ z0 , 0)) + dπ−1 (U1 ) ((˜ z0 , 0) , (zj , 0)) < C < ∞ với j ≥ N . Định nghĩa giả khoảng cách Carathéodory π −1 (U1 ) cπ−1 (U1 ) . 29 Ta có ∞ > lim sup dπ−1 (U1 ) ((zj , λj ) , (zj , 0)) j→∞ ≥ lim sup cπ−1 (U1 ) ((zj , λj ) , (zj , 0)) j→∞ ≥ lim log j→∞ + |fj (zj , λj )| =∞ − |fj (zj , λj )| Như vậy, π −1 (U1 ) hyperbolic đầy, Ωϕ (X) hyperbolic đầy. 30 Chương Tính hyperbolic, hyperbolic đầy miền Hartogs Banach Việc nghiên cứu tính hyperbolic hyperbolic đầy miền Hartogs không gian phức hữu hạn chiều góc độ giải tích phức hyperbolic nhiều tác giả quan tâm, đặc biệt tính hyperbolic đầy khảo sát tương đối chi tiết (xem [8]). Tuy nhiên, việc khảo sát cách hệ thống tính hyperbolic hyperbolic đầy miền Hartogs không gian giải tích Banach chiều vô hạn quan tâm. Ta thấy xuất khó khăn lớn mặt kĩ thuật chuyển từ miền Hartogs hữu hạn chiều lên vô han chiều. Chẳng hạn miền Hartogs không gian giải tích Banach ta tính compact địa phương không xây dựng khái niệm Taut theo kiểu Wu cho lớp miền này. Mục đích chương nghiên cứu tính hyperbolic, hyperbolic đầy miền Hartogs không gian giải tích Banach. Trước hết, xin nêu lại định nghĩa miền Hartogs không gian giải tích Banach mà ngắn gọn thường gọi miền Hartogs Banach. Giả sử ϕ hàm nửa liên tục trên không gian giải tích Banach X. 31 Miền Ωϕ (X) xác định bởi: Ωϕ(X) = {(z, λ) ∈ X × C : |λ| < e−ϕ(z) } ⊂ X × C gọi miền Hartogs Banach. 3.1. Một số định nghĩa, khái niệm kết Giả sử X, Y hai không gian giải tích Banach. Ta kí hiệu Hol (X, Y ) tập ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y trang bị tô pô compact mở. Trên đĩa đơn vị mở D ta xét metric Bergman- Poincaré ρD cho ρD (0, α) = ln + |α| với α ∈ D − |α| 1+ z1 −z2 1−¯ z1 z2 1− z1 −z2 1−¯ z1 z2 ρD (z1 , z2 ) = ln với z1 , z2 ∈ D Định nghĩa 3.1.1. Giả sử X không gian giải tích Banach, p q hai điểm X. Ta gọi dây chuyền chỉnh hình γ nối p q tập hợp {a1 , a2 , ., an ∈ D; f1 , f2 , ., fn ∈ Hol (D, X)} cho f1 (0) = p, fi (ai ) = fi+1 (0) , fn (an ) = q . n Với dây chuyền γ ta lập tổng Lγ = ρD (0, ) . i=1 Đặt dX (p, q) = inf Lγ , infimum lấy theo tất dây chuyền chỉnh hình γ nối p q X. Dễ thấy dX thỏa mãn tiên đề giả khoảng cách X tức • dX (p, q) ≥ với p, q ∈ X 32 • dX (p, q) = dX (q, p) với p, q ∈ X • dX (p, r) = dX (p, q) + dX (q, r) với p, q, r ∈ X Nói cách khác dX giả khoảng cách X. Giả khoảng cách dX gọi giả khoảng cách Kobayashi không gian giải tích Banach. Định nghĩa 3.1.2. Không gian giải tích Banach X gọi hyperbolic giả khoảng cách Kobayashi dX khoảng cách xác định tô pô X. Định nghĩa 3.1.3. Giả sử X không gian giải tích Banach hyperbolic. Không gian (X, dX ) gọi đầy dãy Cauchy dX hội tụ X. Thật vậy, theo S. Kobayashi (xem [3]) chứng tỏ X không gian phức hữu hạn chiều X hyperbolic đầy tập đóng bị chặn X compact. Trong trường hợp X vô hạn chiều định lí Kobayashi không không gian giải tích Banach vô hạn chiều tính compact địa phương. 3.2. Tính hyperbolic, hyperbolic đầy miền Hartogs không gian giải tích Banach. Trong mục này, mở rộng số kết nhận biết tính hyperbolic hyperbolic đầy miền Hartogs không gian giải tích phức sang không gian giải tích Banach. Bổ đề 3.2.1. Giả sử θ : X → Y ánh xạ chỉnh hình không gian giải tích Banach. Nếu Y hyperbolic (hyperbolic đầy) với 33 y ∈ Y tồn lân cận V y cho θ−1 (V ) hyperbolic (hyperbolic đầy), X hyperbolic (hyperbolic đầy). Chứng minh. Với z ∈ X, đặt θz = w. Bởi giả thiết, tìm lân cận V w cho θ−1 (V ) hyperbolic. Mặt khác, từ dY xác định tô pô Y , nên tồn lân cận W w cho dY (W, ∂V ) > 0. Giả sử lân cận W có dạng W = U (w, r) {w ∈ Y : dY (w, w) < r} Đặt W = U (w, r/2). Khi tồn c, s > cho: (∗) dX (p, q) ≥ min{s, cdθ−1 W (p, q)} với p, q ∈ θ−1 (W ) Thật vậy, xét dây chuyền chỉnh hình γ nối p q tập hợp {a1 , a2 , . . . , ak ∈ D; f1 , f2 , . . . , fk ∈ Hol(D, X) cho f1 (0) = p, fi (ai ) = fi+1 (0) ; fk (ak ) = q. Khi có hai trường hợp sau: Trường hợp 1. Tồn j ∈ {1, . . . , k} cho fj (aj ) ∈ / θ−1 (W ) . Khi đó: k k dD (0, ) ≥ i=1 dX (fi (0), fi (ai )) i=1 j ≥ dY (θfi (0), θfi (ai )) i=1 ≥ dY (θf1 (0), θfj (aj )) ≥ dY (θfj (aj ), w) − dY (θf1 (0), w) ≥ r − r/2 = r/2 34 Trường hợp 2. Với j ∈ {1, . . . , k} ta có fj (aj ) ∈ θ−1 (W ). Khi θfj (aj ) ∈ W với j = 1, . . . , k. Mặt khác θfj (0) ∈ W với j = 1, . . . , k , tồn δ > cho θfj (Dd ) ⊂ W với j = 1, . . . , k. Nếu tồn j ∈ {1, . . . , k} cho aj ∈ / Dd/2 , k dD (0, ) ≥ dD (0, δ/2) i=1 Giả sử aj ∈ Dd/2 với j ∈ {1, . . . , k}. Dễ thấy tồn c > cho dD (z, w) ≥ cdDδ (z, w) với z, w ∈ Dd/2 Vì k k dD (0, ) ≥ c i=1 dDδ (0, ) i=1 k ≥c dθ−1 (W) (fi (0), fi (ai )) i=1 ≥ cdθ−1 (W) (p, q) Vậy (*) chứng minh. Bây giờ, chứng minh X hyperbolic. Trước hết, chứng minh dX khoảng cách X. Cho z, z ∈ X, z = z. Nếu θz = θz dX (z, z) ≥ dY (θz, θz) > 0. Nếu θz = θz = w theo giả thiết tồn lân cận V w cho θ−1 (V ) hyperbolic. Chọn r đủ nhỏ cho W = U (w, r) ⊂ V . Do θ−1 (V ) không gian θ−1 (V ) nên θ−1 (V ) hyperbolic. Vì vậy, theo (∗) ta có: dX (z, z) > 35 Điều chứng tỏ X hyperbolic. Bây giờ, chứng tỏ dX xác định tô pô X. Giả sử {zn } ⊂ X dX (zn , z0 ) → 0, z0 ∈ X. Do Y hyperbolic dY (θzn , θz0 ) ≤ dX (zn , z0 ) nên dãy {θzn } hội tụ tới θz0 . Đặt θz0 = w0 , theo giả thiết, tồn lân cận V w0 cho θ−1 (V ) hyperbolic. Chọn r đủ nhỏ cho W = U (w0 , r) ⊂ V. Đặt W = U (w0 , r/2) . Không giảm tính tổng quát, giả sử zn ∈ θ−1 (W ) với n ≥ 1. Do dX (zn , z0 ) → , nên tồn n0 ≥ cho dX (zn , z0 ) < s với n > n0 . Theo bất đẳng thức (∗) ta có dθ−1 (W) (zn , z0 ) → zn → z0 . Điều có nghĩa dX xác định tô pô X . Cuối cùng, chứng minh X hyperbolic đầy. Giả sử {zn } dãy Cauchy X. Bởi tính chất giảm khoảng cách giả khoảng cách Kobayashi nên {θzn } dãy Cauchy Y . Do giả thiết Y hyperbolic đầy nên dãy {θzn } hội tụ Y . Giả sử {θzn } → w0 ∈ Y. Theo giả thiết, tồn lân cận V w0 cho θ−1 (V ) hyperbolic đầy. Chọn r đủ nhỏ cho W = U (w0 , r) ⊂ V. Không tính tổng quát ta giả sử zn ∈ θ−1 (W ) với n ≥ 1, W = U (w0 , r/2) . Vì {zn } dãy Cauchy nên tồn n0 ≥ cho dX (zm , zn ) < s với m, n > n0 . Theo bất đẳng thức (∗) , ta suy dX (zm , zn ) ≥ cdθ−1 (W) (zm , zn ) ≥ cdθ−1 (V) (zm , zn ) với m, n > n0 . Điều kéo theo {zn } dãy Cauchy không gian hyperbolic đầy θ−1 (V ) , dãy {zn } hội tụ X. Vậy X không gian hyperbolic đầy. 36 Định lý 3.2.2. Giả sử X không gian giải tích Banach, ϕ : X → [−∞, ∞) hàm nửa liên tục trên. Khi Ωϕ (X) hyperbolic X hyperbolic ϕ bị chặn địa phương X. Chứng minh. (⇒) Giả sử Ωϕ (X) hyperbolic. Do X đẳng cấu với không gian giải tích Banach đóng Ωϕ (X) nên X không gian giải tích Banach hyperbolic. Bây giờ, cần chứng tỏ ϕ bị chặn địa phương X. Giả sử ngược lại, tồn z0 ∈ X dãy {zk } hội tụ tới z0 cho ϕ (zk ) → ∞. Cố định (z0 , w0 ) ∈ Ωϕ (X) , w0 = 0. Không tính tổng quát, giả sử |w0 | < e−ϕ(zk ) , ∀k ≥ Khi đó, có: dΩϕ (X) ((z0 , 0), (z0 , w0 )) ≤ dΩϕ (X) ((z0 , 0), (zk , 0)) + dΩϕ (X) ((zk , 0), (zk , w0 )) + dΩϕ (X) ((zk , w0 ), (z0 , w0 )) ≤ dX (z0 , zk ) + dDk (0, w0 ) + dΩϕ (X) ((zk , w0 ), (z0 , w0 )), ∀k ≥ Dk = {z ∈ C : |z| < e−ϕ(zk ) }. Cho k tiến ∞, thu dΩϕ (X) ((z0 , 0), (z0 , w0 )) = 0. Điều mâu thuẫn với tính hyperbolic Ωϕ (X). (⇐) Ngược lại, giả sử X hyperbolic ϕ bị chặn địa phương X. Xét phép chiếu π : Ωϕ (X) → X cho π (z, w) = z. Do X hyperbolic nên tồn lân cận hyperbolic U z0 X cho 37 R = inf ϕ(z) > −∞. Khi z∈U π −1 (U ) = Ωϕ (U ) ⊂ U × {w : |w| < e−R } hyperbolic. Theo Bổ đề 3.2.1, có Ωϕ (X) hyperbolic. Định lý 3.2.3. Giả sử X không gian giải tích Banach, ϕ : X → [−∞, +∞) hàm nửa liên tục trên X. Nếu Ωϕ (X) hyperbolic đầy, X hyperbolic ϕ hàm liên tục, nhận giá trị thực X. Chứng minh. Do X đẳng cấu với không gian giải tích Banach đóng Ωϕ (X) nên X không gian giải tích Banach hyperbolic đầy. Theo Định lý 2.2.3, ϕ nhận giá trị thực. Bây ϕ liên tục X. Giả sử ngược lại ϕ không liên tục z0 ∈ X. Do ϕ nửa liên tục trên X nên tìm dãy {zk } ⊂ X hội tụ tới z0 cho e−ϕ(z0 ) < r < e−ϕ(zk ) với k ≥ 1. e−ϕ(z0 ) , tức |rλ0 | = e−ϕ(z0 ) . Vì (z0 , rλ0 ) ∈ / Ωϕ (X). r Xét ánh xạ chỉnh hình θ : B(z0 , δ) → Ωϕ (X), cho Giả sử λ0 = θ(z) = (z, rλ0 ). Với k ≥ |rλ0 | = e−ϕ(z0 ) < e−ϕ(zk ) , điều suy (zk , rλ0 ) ∈ Ωϕ (X) . 38 Khi dΩϕ (X) ((zk , rλ0 ), (zj , rλ0 )) = dΩϕ (X) (θ(zk ), θ(zj )) ≤ dB(z0 ,δ) (zk , zj ) ≤ dB(z0 ,δ) (zk , z0 ) + dB(z0 ,δ) (z0 , zj ) Do {(zk , rλ0 )} dãy Cauchy miền Hartogs Banach đầy Ωϕ (X), {(zk , rλ0 )} hội tụ tới (z0 , rλ0 ) ∈ Ωϕ (X). Điều vô lý. Vậy ϕ liên tục. Chú ý. Điều ngược lại Định lý 3.2.3 không nữa. Thật vậy, tồn hàm đa điều hòa liên tục ϕ không gian hyperbolic đầy DR = {(z1 , z2 ) ∈ C : |z1 | < R, |z2 | < R} với R > 0, Ωϕ (DR ) không hyperbolic đầy. Cụ thể sau: Theo M. Jarnicki P. Pflug xây dựng hàm g logarit – đa điều hòa (tức logg ∈ P SH C ), liên tục C . Ngoài ra, {z ∈ C : g(z) < 1} bị chặn có thành phần liên thông Z cho Z không hyperbolic đầy. Khi ta chọn R > cho {z ∈ C : g(z) < 1} ⊂ DR . Xét miền Hartogs Ωϕ (DR ), ϕ = logg. Do |1| < = e− log g(z) = e−ϕ(z) g(z) 2 nên {(z, 1) : z ∈ Z} ⊂ Ωϕ (DR ), Ωϕ (DR ) không hyperbolic đầy. Định lý 3.2.4. Giả sử X không gian giải tích Banach, ϕ hàm liên tục nhận giá trị thực X. Giả sử X hyperbolic đầy ϕ thỏa mãn điều kiện: 39 Với z ∈ X, tồn lân cận V z cho với ε > , tồn hàm h1 , . . . , hn chỉnh hình V cho a) hj (z) = 0, ∀z ∈ V, ∀j = 1, . . . , n; b) ϕ (z ) − ε ≤ max {log |hj (z )|} ≤ ϕ (z ) , ∀z ∈ V 1≤j≤n Khi Ωϕ (X) hyperbolic đầy. Chứng minh. Xét phép chiếu tắc π : Ωϕ (X) → X, cho π(z, λ) = z. Theo giả thiết, với z ∈ X tồn lân cận V z cho với ε > , tồn h1 , . . . , hn ∈ Hol (V ) cho: a) hj (z) = 0, ∀z ∈ V, ∀j = 1, . . . , n; b) ϕ (z) ε ≤ max {log |hj (z)| : ≤ j ≤ n} ≤ ϕ (z) , ∀z ∈ V. Không tính tổng quát, giả sử lân cận V = B(z, δ), δ > 0. Theo Bổ đề 3.2.1, để chứng minh Ωϕ (X) hyperbolic đầy, ta cần chứng tỏ π −1 (V ) hyperbolic đầy. Thật vậy, giả sử {(zk , λk ) ⊂ π −1 (V ) dãy Cauchy dπ−1 (V ) . Chọn εk ↓ 0. Theo giả thiết, với k ≥ 1, tìm hkj ∈ Hol(V ), j = 1, 2, . . . , nk , cho hkj (z) = với z ∈ V ϕ (z) − εk ≤ max {log |hkj (z)| : ≤ j ≤ n} ≤ ϕ (z) , ∀z ∈ V Với k , tồn ≤ jk ≤ nk cho ϕ(zk ) − εk ≤ log |hkjk (zk )| ≤ ϕ(zk ) 40 điều tương đương với eϕ(zk )−εk ≤ |hkjk (zk )| ≤ eϕ(zk ) Đặt fk (z, λ) = hkjk (z)λ, với (z, λ) ∈ π −1 (V ) . Rõ ràng fk chỉnh hình π −1 (V ) fk (z, 0) = với z ∈ V k ≥ 1. Vì π −1 (V ) ⊂ {(z, λ) : |λ| < e−ϕ(z) , z ∈ V } nên có |fk (z, λ)| = |hkjk (z)λ| = |hkjk (z)||λ| ≤ eϕ(z) |λ| < eϕ(z) e−ϕ(z) = 1, ∀z ∈ V. Do sup |fk | ≤ với k ≥ 1. π −1 (V ) Dễ thấy, dãy (zk , λk ) → (z0 , λ0 ) ∈ π −1 (V ). Giả sử (z0 , λ0 ) ∈ ∂π − (V ), tức |λ0 | = e−ϕ(z0 ) . Khi ta có lim dπ− (V ) ((zk , λk ), (zk , 0)) ≥ lim Cπ−1 (V ) ((zk , λk ), (zk , 0)) k→∞ k→∞ ≥ lim log k→∞ + |fk (zk , λk )| = +∞ − |fk (zk , λk )| Cπ−1 (V ) khoảng cách Carathéodory π −1 (V ) . Điều xảy ra. Do (z0 , λ0 ) ∈ / ∂π −1 (V ), tức {(zk , λk )} dãy hội tụ π −1 (V ) . Vì π −1 (V ) hyperbolic đầy. 41 Kết luận Luận văn trình bày số kiến thức sau đây: • Chương 1. Hệ thống số khái niệm giả khoảng cách Kobayashi, biểu diễn tích phân giả khoảng cách Kobayashi. Sau đưa định nghĩa không gian phức hyperbolic không gian phức hyperbolic đầy. Định nghĩa hàm điều hòa dưới, hàm đa điều hòa đưa định nghĩa miền Hartogs. • Chương 2. Nghiên cứu dấu hiệu nhận biết tính hyperbolic hyperbolic đầy không gian phức nghiên cứu tính hyperbolic hyperbolic đầy miền Hartogs không gian phức. • Chương 3. Mở rộng số dấu hiệu nhận biết tính hyperbolic hyperbolic đầy miền Hartogs không gian giải tích phức sang không gian giải tích Banach. Nhiều dấu hiệu nhận biết tính hyperbolic, hyperbolic đầy, giả lồi, siêu lồi, taut, . miền Hartogs không gian phức mở rộng sang không gian giải tích Banach. Việc nghiên cứu dấu hiệu nhận biết tính hình học miền Hartogs Banach chắn đòi hỏi nhiều công sức. Với lực hạn chế, chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Kính mong quý thầy cô bạn góp ý để luận văn hoàn thiện hơn. Chúng xin chân thành cảm ơn! 42 Tài liệu tham khảo [1] P. K. Ban (1991), Banach hyperbolicity and existense of holomorphic maps in infinite dimension, Acta Math. Vietnam, 16, 187 – 199. [2] S. Kobayashi (1976), Intrinsic distances, measures and geometric function theory, Bull. Amer. Math. Soc. 82, 357 – 416. [3] S. Kobayashi (1970), Hyperbolic Manifolds and Holomorphic Mappings, N. Y. Dekker. [4] Jean- Pierre demailly (2012), Hyperbolic algebraic varieties and holomophic differential equations, Acta Mathematica Vietnamica. Volum 37, number 4, 441 - 512. [5] H. L. Royden (1974), Holomophic fiber bundles with hyperbolic fiber, Proc. Amer. Math. Soc. 43, 311 - 312. [6] S. Venturini (1996), The Kobayashi metric on complex space, Math. Ann. 305, 24 - 44. [7] D. D. Thai and P. V. Duc (2000), On the complete hyperbolic and the tautness of the Hartogs domains, Inter. Jour. Math. 11, 103 111. [8] D. D. Thai and N. Q. Dieu (2003), Complete hyperbolic of Hartogs domains, Manuscripta. Math. 112, 171 - 178. 43 [9] Le Tai Thu (2002),Some geometric properties of special domains in a Banach spaces, Acta Math. Vietnamica. 27.2, 175 - 183. [...]... C 16 Chương 2 Tính hyperbolic, hyperbolic đầy của miền Hartogs trong không gian phức Phần đầu của chương, chúng tôi nhớ lại một số tiêu chuẩn để nhận biết tính hyperbolic (hyperbolic đầy) Sau đó, chúng tôi đưa ra một số tiêu chuẩn về tính hyperbolic (hyperbolic đầy) của miền Hartogs trong không gian phức 2.1 Tính hyperbolic, hyperbolic đầy trong không gian phức Mệnh đề 2.1.1 Giả sử X và Y là các không... Carathéodory của π −1 (U1 ) bởi cπ−1 (U1 ) 29 Ta có ∞ > lim sup dπ−1 (U1 ) ((zj , λj ) , (zj , 0)) j→∞ ≥ lim sup cπ−1 (U1 ) ((zj , λj ) , (zj , 0)) j→∞ ≥ lim log j→∞ 1 + |fj (zj , λj )| =∞ 1 − |fj (zj , λj )| Như vậy, π −1 (U1 ) là hyperbolic đầy, vì vậy Ωϕ (X) cũng là hyperbolic đầy 30 Chương 3 Tính hyperbolic, hyperbolic đầy của miền Hartogs Banach Việc nghiên cứu tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền. .. × Y là hyperbolic (đầy) khi và chỉ khi cả X và Y là hyperbolic (đầy) Mệnh đề 2.1.2 Giả sử X, Y là các không gian phức và f : X → Y là ánh xạ chỉnh hình Y là không gian phức con của Y và X = f −1 Y Nếu X và Y là hyperbolic đầy thì X = f −1 Y cũng là hyperbolic đầy Chứng minh Giả sử Gf là đồ thị của f : X → Y thế thì Gf là một không gian con phức đóng của X × Y Cho f là giới hạn của f trong X và Gf... chuyển từ miền Hartogs hữu hạn chiều lên vô han chiều Chẳng hạn đối với miền Hartogs trong không gian giải tích Banach ta không có được tính compact địa phương cũng như không xây dựng được khái niệm Taut theo kiểu Wu cho lớp miền này Mục đích của chương là nghiên cứu tính hyperbolic, hyperbolic đầy của miền Hartogs trong không gian giải tích Banach Trước hết, chúng tôi xin nêu lại định nghĩa miền Hartogs. .. tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền Hartogs trong không gian phức hữu hạn chiều dưới góc độ của giải tích phức hyperbolic đã được nhiều tác giả quan tâm, đặc biệt là tính hyperbolic đầy đã được khảo sát tương đối chi tiết (xem [8]) Tuy nhiên, việc khảo sát một cách hệ thống tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền Hartogs trong không gian giải tích Banach chiều vô hạn còn ít được quan tâm Ta... hyperbolic đầy Định lý 2.2.6 Giả sử X là không gian phức và ϕ là một hàm điều hòa trên X Giả sử rằng với mọi x ∈ X, tồn tại một lân cận mở U của x trong X và một dãy chỉnh hình {hj } trên U và một dãy {cj } của các số thực nằm trong khoảng (0, 1) sao cho dãy {cj log |hj |} hội tụ trên tập con cpmpact của U đến hàm ϕ Khi đó miền Hartogs Ωϕ (X) là hyperbolic đầy khi và chỉ khi X là hyperbolic đầy và ϕ là... là các không gian phức và π : X → Y là một ánh xạ chỉnh hình Nếu Y là hyperbolic (hyperbolic đầy) và nếu Y là một phủ mở {Ui } sao cho mỗi π −1 (Ui ) là hyperbolic (hyperbolic đầy) , thì X là hyperbolic (hyperbolic đầy) Chứng minh Với mỗi t ∈ T , có δ > 0 sao cho U (t, δ) ⊂ Ui Với mỗi Ui thì π −1 (U (t, δ)) là hyperbolic Theo Định lí 2.1.7 thì X là hyperbolic Ta chứng minh nó là đầy Giả sử {pn } là một... phải chứng minh 2.2 Tính hyperbolic, hyperbolic đầy của miền Hartogs trong không gian phức Mệnh đề 2.2.1 Giả sử X là một không gian phức ϕ : X → [−∞, ∞) là một hàm nửa liên tục trên Khi đó Ωϕ (X) là hyperbolic khi và chỉ khi X là hyperbolic, và ϕ là bị chặn địa phương trên X Chứng minh Giả sử Ωϕ (X) là hyperbolic, từ X là đẳng cấu đến không gian con phức đóng của Ωϕ (X) ta chỉ ra X là hyperbolic Tiếp theo... mở của tích các đa đĩa 1.3 Không gian phức hyperbolic đầy Không gian phức X được gọi là hyperbolic đầy nếu X là hyperbolic và mọi dãy Cauchy đối với khoảng cách dX đều hội tụ trong X Ví dụ: Các đĩa và đa đĩa là hyperbolic đầy Định lý 1.3.1 Nếu X là một không gian phức hyperbolic, thì dX được xác định là tôpô của X Mệnh đề 1.3.2 Cho X là một không gian con phức của không gian phức Y (1) Nếu Y là hyperbolic. .. con đóng của không gian phức Y Nếu Y là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic Hay nói cách khác, không gian con của một không gian hyperbolic là hyperbolic 9 Chứng minh Vì phép nhúng chính tắc i : X → Y là ánh xạ chỉnh hình nên theo tính chất giảm khoảng cách của giả khoảng cách Kobayashi ta có ngay điều phải chứng minh Ví dụ: m + Đĩa Dr và đa đĩa Dr là hyperbolic + Một miền bị chặn trong Dm là hyperbolic, . biết tính hyperbolic và hyperbolic đầy của không gian phức, tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền Hartogs trong không gian phức và mở rộng một số kết quả sang không gian giải tích Banach. 4 Một số kiến thức chuẩn bị. Chương 2. Tính hyperbolic, hyperbolic đầy của miền Hartogs trong không gian phức. Chương 3. Tính hyperbolic, hyperbolic đầy của miền Hartogs Ba- nach. 2. Mục đích nghiên. về tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền Hartogs trong không gian giải tích Banach. Với tên đề tài là: Tính Hyperbolic và Hyperbolic đầy của miền Hartogs Banach Luận văn gồm 3 chương: Chương