Về tính hyperbolic của miền trong cn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC ———————o0o——————– VŨ THỊ DUNG VỀ TÍNH HYPERBOLIC CỦA MIỀN TRONG Cn Luận văn thạc sĩ khoa học Chuyên ngành: Toán giải tích Hà Nội - 2020 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC ———————o0o——————– VŨ THỊ DUNG VỀ TÍNH HYPERBOLIC CỦA MIỀN TRONG Cn Luận văn thạc sĩ khoa học Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 8460101.02 Cán hướng dẫn khoa học: PGS.TS Ninh Văn Thu Hà Nội - 2020 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin bày tỏ cảm ơn chân thành tới thầy Ninh Văn Thu, người thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ em suốt q trình hồn thành luận văn Em xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô giáo cán Khoa ToánCơ-Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, quan tâm, dạy dỗ, chia kinh nghiệm, kiến thức giúp đỡ em thời gian học tập trường Nhân dịp này, em xin cảm ơn gia đình bạn bè ln bên em, động viên, khuyến khích tạo điều kiện suất trình học tập thực luận văn Do thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận góp ý thầy bạn bè để luận văn hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng năm 2020 Học viên Vũ Thị Dung Danh mục ký hiệu ∆ Đĩa đơn vị C (:= {z ∈ C : |z| < 1}) ∆r Đĩa tâm bán kính r C (:= {z ∈ C : |z| < r}) Lp (ρ) Dạng Levi hàm xác định ρ điểm p TpC (∂Ω) Không gian tiếp xúc phức ∂Ω điểm p Hol(∆, Ω) Tập ánh xạ chỉnh hình từ ∆ vào Ω Hol(U, Cm ) Tập ánh xạ chỉnh hình từ tập mở U ⊂ Cn vào Cm C k (Ω) Không gian hàm khả vi liên tục cấp k Ω dK Ω (p, q) Giả khoảng cách Kobayashi p, q ∈ Ω FΩ (p, X) Giả metric Kobayashi đa tạp Ω điểm p ∈ Ω vectơ X ∈ Tp Ω Mục lục Danh mục ký hiệu Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Miền giả lồi Miền giả lồi chặt 1.2 Họ chuẩn tắc, miền taut Định lý Montel 1.3 Giả metric Kobayashi Đa tạp hyperbolic Tính hyperbolic đầy tính taut miền Cn 12 2.1 Một số bổ đề kỹ thuật 12 2.2 Tính hyperbolic đầy tính taut miền Cn 16 2.3 Các miền với nhóm tự đẳng cấu khơng compact Cn 18 2.4 Các miền xác định đa thức 20 Kết luận 22 Tài liệu tham khảo 23 Mở đầu Trong lý thuyết hàm nhiều biến phức, nhiều tác giả quan tâm đến toán phân loại miền thỏa mãn điều kiện tô pô định Chẳng hạn B.Wong [17], J.P Rosay [16], E Bedford-S Pinchuk [2, 3], R Greene - S G Krantz [13] F Berteloot [4] nghiên cứu miền với nhóm tự đẳng cấu khơng compact Giả thiết họ có điểm biên điểm tụ quỹ đạo nhóm tự đẳng cấu miền Vì vậy, cách tự nhiên tính chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình phần quan trọng lập luận nhiều kết họ Luận văn viết dựa theo báo "Tautness and complete hyperbolicity of domains in Cn " H Gaussier đăng Proc Amer Math Soc năm 1999 (xem [12]) Gaussier đưa điều kiện đủ (theo thuật ngữ tính hyperbolic) cho miền để suy tính chuẩn tắc ánh xạ tự chỉnh hình Đặc biệt, tác giả quan tâm nghiên cứu miền khơng bị chặn Với mong muốn tìm hiểu hình học địa phương điểm biên miền không bị chặn, miền nhận quan tâm lớn Luận văn trình bày lại nội dung tính hyperbolic đầy tính taut miền khơng gian Cn với nhóm tự đẳng cấu khơng compact báo nói Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm quan trọng lý thuyết hàm nhiều biến phức như: Miền giả lồi, giả lồi chặt, giả metric Kobayashi, họ chuẩn tắc, miền taut, hàm peak antipeak đa điều hòa địa phương điểm biên miền Ω Cn Ngoài ra, nhắc lại số kết sử dụng chương sau Chương 2: Tính hyperbolic đầy tính taut Cn Trong chương này, chứng minh bổ đề địa phương hố (Bổ đề 2.1.1) định lý tính hyperbolic đầy tính taut miền Cn (Định lý 2.2.1 Mệnh đề 2.2.2) Ngồi ra, số ví dụ giới thiệu cuối chương Ta giả thiết miền Ω ⊂ Cn xét chương miền không bị chặn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Miền giả lồi Miền giả lồi chặt Trước hết, ta nhắc lại định nghĩa hàm xác định miền khái niệm miền giả lồi Định nghĩa 1.1.1 Xét miền Ω ⊆ Cn với biên trơn lớp C Hàm thực ρ : Cn → R thuộc lớp C gọi hàm xác định Ω thỏa mãn tính chất sau (i) Ω = {z ∈ Cn : ρ(z) < 0} , c (ii) Ω = {z ∈ Cn : ρ(z) > 0} , (iii) ρ(z) = ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ , , , , ∂x1 ∂y1 ∂xn ∂yn = với z ∈ ∂Ω Xét Ω ⊆ Cn với biên C hàm xác định ρ Ký hiệu TpC (∂Ω) không gian tiếp xúc phức ∂Ω p ∈ ∂Ω n TpC (∂Ω) = {w ∈ Cn : w ρ = 0} = w ∈ Cn : j=1 ∂ρ (p)wj = ∂zj Định nghĩa 1.1.2 Giả sử Ω ⊆ Cn miền với biên trơn thuộc lớp C p ∈ ∂Ω i) Điểm p ∈ ∂Ω gọi điểm giả lồi Ω tồn hàm xác định ρ thuộc lớp C Ω cho: n Lp (ρ)(w) := ∂ 2ρ (p)wj wk ≥ ∂z j ∂z k j,k=1 với w ∈ TpC (∂Ω) ii) Tương tự ta định nghĩa p điểm giả lồi chặt Ω Lp (ρ)(w) > với w ∈ TpC (∂Ω) \ {0} iii) Miền Ω gọi giả lồi (chặt) điểm thuộc ∂Ω điểm giả lồi (chặt) Ví dụ 1.1.3 Xét E1,m = {(z1 , z2 ) ∈ C2 : ρ = |z1 |2 + |z2 |2m − < 0}, m ∈ Z+ p = (p1 , p2 ) ∈ ∂E1,m Khi đó, miền E1,m miền giả lồi Thật vậy, tính tốn ta có ma trận Hessian phức  H=  2m−2 m |z2 |  ≥ Do đó, Lp (ρ)(w) ≥ với w ∈ Tp1,0 (∂E1,m ) p ∈ ∂E1,m Vậy, E1,m miền giả lồi Ngoài ra, điểm (eiθ , 0), ≤ θ ≤ 2π, giả lồi chặt 1.2 Họ chuẩn tắc, miền taut Định lý Montel Định nghĩa 1.2.1 (i) Một dãy (fν )ν họ ánh xạ chỉnh hình miền D vào miền G, D, G miền Cn , gọi phân kỳ compact với tập compact K D tập compact K G tồn ν0 ∈ Z+ cho fν (K) ∩ K = ∅, ∀ν ≥ ν0 (ii) Một họ A ánh xạ từ D vào G gọi chuẩn tắc dãy A phân kỳ compact chứa dãy hội tụ tập compact D (iii) Miền Ω ⊂ Cn gọi taut họ Hol(∆, Ω) gồm ánh xạ chỉnh hình từ ∆ vào Ω họ chuẩn tắc (iv) Miền Ω gọi taut địa phương điểm p ∈ ∂Ω tồn lân cận U p cho Ω ∩ U taut Ví dụ 1.2.2 Hình cầu đơn vị Bn (0, 1) = {z ∈ Cn : |z| < 1} miền taut Sau đây, ta nêu hai mệnh đề liên quan đến khái niệm Mệnh đề 1.2.3 Giả sử Ω ⊂ Cn miền taut Khi đó, Hol(M, Ω) họ chuẩn tắc với miền M ⊂ Cm Mệnh đề 1.2.4 Giả sử dãy ánh xạ chỉnh hình {fν : D → G}ν chuẩn tắc tồn p ∈ D q ∈ G cho lim fν (p) = q Khi đó, dãy {fν }ν khơng phân kỳ ν→∞ compact tồn dãy dãy {fν }ν hội tụ tập compact D Chứng minh Xét K D tập compact chứa điểm p L = {fν (p)} ∪ {q} tập compact G Khi đó, ta có fν (p) ∈ fν (K) ∩ L = ∅ với ν Do vậy, dãy {fν }ν không phân kỳ compact Xét tập mở U ⊂ Cn Họ ánh xạ F ⊂ Hol(U, Cm ) gọi bị chặn tập compact với tập compact K U , tồn số ≤ C < ∞ cho |f (z)| ≤ C với z ∈ K f ∈ F Họ F gọi bị chặn địa phương tập compact với a ∈ U , tồn lân cận V a cho họ F|V := {f |V : f ∈ F} bị chặn Sau đây, Định lý Montel đưa điều kiện đủ để họ ánh xạ chỉnh hình họ chuẩn tắc Định lý 1.2.5 (Montel) Giả sử tập mở U ⊂ Cn F ⊂ Hol(U, Cm ) họ ánh xạ chỉnh hình Khi đó, họ F bị chặn dãy {fn }n ⊂ F chứa dãy hội tụ tập compact U 1.3 Giả metric Kobayashi Đa tạp hyperbolic Sau đây, ta nêu định nghĩa giả metric Kobayashi giả khoảng cách Kobayashi, tính chất chúng Định nghĩa 1.3.1 Xét Ω đa tạp phức Với p ∈ Ω X ∈ Tp Ω vectơ tiếp xúc, giả metric Kobayashi FΩ (p, X) định nghĩa sau FΩ (p, X) = inf α > 0|∃g : ∆ → Ω chỉnh hình với g(0) = p, g (0) = X/α Ví dụ 1.3.6 Đĩa đơn vị ∆ = {z ∈ C : |z| < 1} hyperbolic Trong trường hợp này, giả khoảng cách Kobayashi trùng với khoảng cách Poincaré Ví dụ 1.3.7 Mọi miền bị chặn Cn hyperbolic Thật vậy, giả sử Ω miền bị chặn Cn Khi đó, với z0 ∈ Ω, tồn số M > cho Ω ⊂ B(z0 , M ), với B(z0 , M ) hình cầu tâm z0 bán kính M Theo Hệ 1.3.4, với p, q ∈ Ω, p = q ta có K dK B(z0 ,M ) (p, q) ≤ dΩ (p, q) K Vì B(z0 , M ) hyperbolic nên dK B(z0 ,M ) (p, q) > Do đó, dΩ (p, q) > Ω miền hyperbolic Ví dụ 1.3.8 Khơng gian Cn khơng hyperbolic Thật vậy, cố định điểm p ∈ Cn vectơ X ∈ Cn Với < α < +∞ ta xét hàm chỉnh hình f : ∆α → Cn cho f (z) = p + zX, ∆α := {z ∈ C : |z| < α} Khi đó, ta có f (0) = p, f (0) = X Vì thế, FΩ (p, X) = inf α = Cn không hyperbolic Nhận xét Giả sử M đa tạp phức tồn ánh xạ chỉnh hình khác f : C → M Khi đó, M khơng hyperbolic Thật vậy, với hai điểm phân biệt a, b ∈ f (C) ⊂ M , tồn hai điểm p, q ∈ C, p = q cho f (p) = a, f (q) = b K K Theo Hệ 1.3.4, ta có dK M (f (p), f (q)) ≤ dC (p, q) Mặt khác, dC (p, q) = Từ đó, dK M (f (p), f (q)) = Do vậy, miền M không hyperbolic Định nghĩa 1.3.9 Một miền hyperbolic Ω gọi hyperbolic đầy đầy với khoảng cách dK Ω Nhận xét H L Royden [16] chứng minh rằng: (i) Một miền Ω hyperbolic với điểm p ∈ Ω, tồn lân cận U p số C > cho FΩ (y, X) ≥ C ||X| |, ∀y ∈ U Trong trường hợp này, họ ánh xạ chỉnh hình từ ∆ vào Ω liên tục với khoảng cách dK Ω 10 (ii) Một miền hyperbolic Ω hyperbolic đầy với điểm z ∈ Ω với số thực r > hình cầu Kobayashi ∀y ∈ Ω : dK Ω (z, y) ≤ r tập compact Ω Chúng ta có mối quan hệ tính hyperbolic, tính taut tính hyperbolic đầy miền không bị chặn Ω ⊂ Cn chứng minh [16] qua mệnh đề sau: Mệnh đề 1.3.10 Ω hyperbolic đầy ⇒ Ω taut ⇒ Ω hyperbolic Chúng ta coi lân cận vô miền không bị chặn Ω tập chứa phần bù hình cầu đóng Ω Nếu ϕ hàm xác định Ω c số phức ta đặt ϕ(∞) = c lim ϕ(z) = c |z|→∞ Định nghĩa 1.3.11 Một hàm ϕ (t.ư h hàm peak ) gọi hàm peak đa điều hòa địa phương (t.ư peak chỉnh hình) điểm p ∈ ∂Ω ∪ {∞} tồn lân cận U p cho ϕ (t.ư h hàm peak ) đa điều hịa (t.ư h hàm chỉnh hình) Ω ∩ U , liên tục Ω ∩ U thỏa mãn   ϕ(p) = (t.ư h(p) = 1)  ϕ(z) < (t.ư |h(z)| < 1), ∀z ∈ Ω ∩ U Ví dụ 1.3.12 Xét miền Ω = {z = x + iy ∈ C | x < −y } ánh xạ chỉnh hình h : Ω → C cho h(z) = ez , ∀z ∈ C Khi đó, ta có |h(z)| = |ez | = eRe(z) < 1, h(0) = Do vậy, h hàm peak chỉnh hình tồn cục ∈ ∂Ω Định nghĩa 1.3.13 Một hàm ψ gọi hàm antipeak đa điều hòa địa phương điểm p ∈ ∂Ω ∪ {∞} tồn lân cận U p cho ψ đa điều hòa Ω ∩ U , liên tục Ω ∩ U thỏa mãn   ψ(p) = −∞  ψ(z) > −∞, ∀z ∈ (Ω ∩ U ) \ {p} Nhận xét: Sự tồn hàm antipeak đa điều hòa địa phương điểm hữu hạn p ln đảm bảo cách đặt ψ(z) = ln |z − p| 11 Chương Tính hyperbolic đầy tính taut miền Cn Trong chương này, chứng minh số kết tính hyperbolic đầy tính taut miền khơng bị chặn Cn Vì vậy, xun suốt tồn chương khơng nói thêm, ta ln hiểu Ω miền không bị chặn Cn Các kết chương Định lý 2.2.1 Mệnh đề 2.2.2 2.1 Một số bổ đề kỹ thuật Trước hết, ta nhắc lại bổ đề địa phương hoá sau: Bổ đề 2.1.1 Cho p điểm nằm ∂Ω ∪ {∞} Vp lân cận p Giả sử tồn hàm peak antipeak đa điều hịa địa phương p, kí hiệu ϕ, ψ chúng xác định Vp Khi đó, với lân cận U p, tồn lân cận U p cho với đĩa giải tích f : ∆ → Ω ta có f (0) ∈ U ⇒ f (∆1/2 ) ⊂ U, ∆1/2 = {ζ ∈ ∆ : |ζ| < 1/2} Chứng minh Vì ϕ hàm peak đa điều hòa địa phương điểm p nên tồn hai lân cận U, V p (U ⊂ V ⊂ Vp ) hai số dương c, c (c > c ) cho 12   inf  sup = −c ϕ(z) z∈Ω∩∂U z∈Ω∩∂V ϕ(z) = −c Ta xét hàm ϕ miền Ω xác định    ϕ(z)     c+c ϕ(z) = sup ϕ(z), −     c + c  − z ∈ Ω ∩ U z ∈ Ω ∩ (V \ U ) z ∈ Ω \ V Khi đó, ϕ hàm peak điểm p, đa điều hịa âm tồn cục Giả sử f đĩa giải tích Ω Vì ϕ ◦ f hàm điều hịa nên bất đẳng thức tích phân suy với α < cho (ϕ ◦ f )(0) > α, độ đo tập Eα := θ ∈ [0, 2π], (ϕ ◦ f )(eiθ ) ≥ 2α (kí hiệu mes(Eα )) thỏa mãn mes(Eα ) ≥ π Lấy > đủ nhỏ cho   inf Ω∩∂U (ϕ  sup = −c1 < + ψ) Ω∩∂V (ϕ (2.1) + ψ) = −c2 < −c1 Ta định nghĩa hàm ρ Ω xác định   (ϕ + ψ)(z)     c1 + c2 ρ(z) = sup (ϕ + ψ)(z), −     c + c  − z ∈ Ω ∩ U z ∈ Ω ∩ (V \ U ) z ∈ Ω \ V Khi đó, ρ hàm đa điều hịa âm liên tục Ω thỏa mãn ρ−1 (−∞) = {p} Áp dụng cơng thức tích phân Possion cho điểm ζ ∈ ∆1/2 , ta nhận (ρ ◦ f )(ζ) ≤ 10π 2π (ρ ◦ f )(eiθ )dθ (2.2) Vì ϕ hàm peak p hàm ρ thỏa mãn ρ(p) = −∞ nên với số L > 0, tồn số α < cho với ∀z ∈ Ω, bất đẳng thức ϕ(z) ≥ 2α kéo theo 13 ρ(z) < −L Kết hợp (2.1), (2.2) ý ρ hàm âm, với đĩa giải tích f : ∆ → Ω với điểm ζ ∈ ∆1/2 , ta có ϕ(f (0)) > α ⇒ (ρ ◦ f )(ζ) ≤ −3L 10 (2.3) n sở lân cận 10 n p Ω Do đó, với số nguyên dương n (n ≥ 1), tồn số αn < Vì ρ−1 (−∞) = {p}, họ Un = z ∈ Ω : ρ(z) < − cho ϕ(z) ≥ 2αn ⇒ ρ(z) < −n Gọi Un lân cận p Ω định nghĩa Un = z ∈ Ω : ϕ(z) > αn Sử dụng phương trình (2.3), với n ta nhận f (0) ∈ Un ⇒ f (∆1/2 ) ⊂ Un Đó điều phải chứng minh Nhận xét Từ Bổ đề 2.1.1, với dãy (fν )ν đĩa giải tích Ω cho lim fν (0) = p dãy (fν )ν hội tụ ∆1/2 đến p ν→∞ Bổ đề 2.1.2 Cho Ω miền Cn Giả sử tồn hàm peak antipeak đa điều hịa địa phương vơ Khi đó, Ω miền hyperbolic Chứng minh Giả sử ngược lại Ω khơng miền hyperbolic Khi đó, tồn điểm z ∈ Ω, dãy điểm (yν )ν Ω hội tụ đến z dãy (Vν )ν không gian phức Cn cho FΩ (yν , Vν ) ≤ 1/ν Do đó, tồn dãy (fν )ν đĩa giải tích có tâm yν cho fν (0) ≥ ν Theo định lý Montel, tồn dãy điểm (pν )ν ∆ hội tụ đến cho lim |fν (pν )| = ∞ Lấy hợp thành ν→∞ fν vi mt ỏnh x Mă obius, ta thu c dóy (fν )ν xác định fν = fν ◦ ϕ cho fν (0) = fν (pν ), fν (pν ) = yν ϕ : ∆ → ∆ hàm chỉnh hình cho pν − z ϕ(z) = thoả mãn ϕ(pν ) = 0, ϕ(0) = pν Điều mâu thuẫn với tính địa − pν z phương hóa Bổ đề 2.1.1 Do vậy, Ω hyperbolic Bổ đề 2.1.3 Cho Ω miền Cn Giả sử p ∈ ∂Ω ∪ {∞} tồn hàm peak chỉnh hình địa phương p Khi đó, với lân cận U p Cn ta nhận 14 lim dK Ω (z, z ) = ∞, z→p với z ∈ Ω ∩ ∂U Chứng minh Giả sử h hàm peak đa điều hòa địa phương điểm p lân cận Vp p Vì hàm ψ(z) = ln(|1 − h(z)|) hàm antipeak đa điều hòa địa phương p, theo Bổ đề 2.1.1 với lân cận U p, tồn lân cận U p cho với đĩa giải tích f : ∆ → Ω ta có f (0) ∈ U ⇒ f (∆1/2 ) ⊂ U Đặc biệt, với z ∈ U X ∈ Cn ta có FΩ (z, X) ≥ FU (z, X) Gọi z ∈ Ω ∩ ∂U Nếu γ đường cong trơn Ω nối hai điểm z tới z tồn t0 ∈ [0; 1] cho γ(t0 ) ∈ Ω ∩ ∂U tập γ([t0 , 1]) ⊂ Ω ∩ U Do đó, có FΩ (γ(t), γ (t))dt ≥ FU (γ(t), γ (t)dt t0 Vì ánh xạ h : Ω ∩ Vp → ∆ ánh xạ chỉnh hình supz∈Ω∩∂U |h(z)| = C < nên có FΩ (γ(t), γ (t))dt ≥ Hơn nữa, lim ln z→p F∆ (h(γ(t)), dh(γ(t))) γ (t)dt ≥ t0 1−C ln − |h(z)| 1−C = ∞ nên lim dK Ω (z, z ) = ∞ Vì vậy, bổ đề chứng z→p − |h(z)| minh Với ζ ∈ ∆ số thực θ ∈ [0; 2π], gọi gζ,θ : ∆ → ∆ tự đẳng cấu ∆ xác định ζ − eiθ λ gζ,θ (λ) = − eiθ λζ 15 Bổ đề 2.1.4 Với tập compact tương đối K ∆, tồn số thực rK > cho với tự đẳng cấu g ∆ thỏa mãn g(0) ∈ K ⇒ ∆(g(0), rK ) ⊂ g(∆1/2 ), ∆(g(0), rK ) = {λ ∈ ∆ : |λ − g(0)| < rK } Chứng minh Gọi ζ ∈ K, θ ∈ [0; 2π] gζ,θ : ∆ → ∆ tự đẳng cấu tương ứng với λ ∈ ∆, ζ ∈ K Ta cần chứng minh inf |λ|=1/2 |gζ,θ (λ) − gζ,θ (0)| bị chặn tập K Vì |gζ,θ (λ) − gζ,θ (0)| ≥ |λ| (1 − |ζ|2 ) minζ∈K (1 − |ζ|2 ) Khi đó, inf |λ|=1/2 |gζ,θ (λ) − gζ,θ (0)| ≥ rK vói ζ ∈ K Vì vậy, bổ đề chứng minh nên ta chọn rK = 2.2 Tính hyperbolic đầy tính taut miền Cn Định lý sau nói mối liên hệ tồn hàm peak chỉnh hình điểm biên miền hyperbolic đầy Định lý 2.2.1 Cho Ω miền Cn Giả sử tồn hàm peak chỉnh hình địa phương điểm p ∈ ∂Ω ∪ {∞} Khi đó, Ω miền hyperbolic đầy Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.2, miền Ω hyperbolic từ Bổ đề 2.1.3 hình cầu Kobayashi ∀y ∈ Ω : dK Ω (z, y) ≤ r tập compact Ω với z ∈ Ω số r > Do vậy, Ω hyperbolic đầy Mệnh đề 2.2.2 Cho Ω miền Cn Giả sử Ω taut địa phương điểm p ∈ ∂Ω tồn hàm peak antipeak đa điều hòa địa phương điểm vơ Khi đó, Ω miền taut Chứng minh Chúng ta xét hai trường hợp: 16 • Trường hợp Tồn điểm ζ ∈ ∆ dãy (fνk )k dãy (fν )ν cho lim |fνk (ζ)| = ∞ Đặt E = λ ∈ ∆ : lim |fνk (λ)| = ∞ Vì với k→∞ k→∞ ζ ∈ E, ta có lim |fνk ◦ gζ,θ | = ∞ k→∞ hội tụ ∆1/2 theo Bổ đề 2.1.1 Do đó, theo Bổ đề 2.1.4 tồn số thực dương rζ cho lim fνk (∆(ζ, rζ )) = ∞ k→∞ Do vậy, E tập mở ∆ Hơn nữa, dãy điểm (ζn )n E hội tụ đến ζ ∈ ∆ theo Bổ đề 2.1.1, tính compact tập {ζn , n ≥ 0} ∪ {ζ} suy tồn số dương r > cho với số nguyên dương n, lim |fνk | = ∞ k→∞ hội tụ ∆(ζn , r) lim |fνk | = ∞ Do đó, E tập đóng k→∞ ∆ Do vậy, E = ∆ với điểm ζ ∈ ∆, tồn số thực dương rζ cho lim |fνk | = ∞ hội tụ ∆(ζ, rζ ) Cụ thể dãy (|fνk |)k phân kỳ tới vô k→∞ cùng, hội tụ tập compact ∆ vậy, dãy (fνk )k phân kỳ compact • Trường hợp Với điểm ζ ∈ ∆, dãy (fν (ζ))ν compact tương đối Cn Cũng giống phần chứng minh E tập đóng ∆ Trường hợp 1, ta suy dãy (fν )ν bị chặn địa phương ∆ Theo định lý Montel, dãy (fν )ν họ compact tương đối đó, tồn dãy (fνk )k ⊂ (fν )ν hội tụ đến ánh xạ chỉnh hình f từ ∆ đến Ω Do đó, dáng điệu dãy (fνk )k suy luận từ việc nghiên cứu ánh xạ f đưa Khẳng định Nếu tồn ζ ∈ ∆ cho f (ζ) ∈ ∂Ω tập f (∆) chứa ∂Ω Chứng minh Khẳng định Đặt E = {λ ∈ ∆ : f (λ) ∈ ∂Ω} Khi đó, E tập đóng Theo giả thiết, E khác rỗng Xét điểm λ ∈ E Vì Ω taut địa phương điểm f (λ) nên tồn lân cận V f (λ) cho Ω ∩ V taut Vì f giới hạn liên tục dãy (fνk )k nên tồn lân cận U λ lân cận V f (λ), (V V ) cho tập fνk (U ) chứa Ω ∩ V với k đủ lớn Do đó, tính taut 17 Ω ∩ V suy f (U ) ⊂ ∂Ω E tập mở Do vậy, ∆ tập liên thông nên E = ∆ khẳng định chứng minh Như vậy, trường hợp thứ dãy (fν )ν chứa dãy phân kỳ compact trường hợp thứ hai khẳng định (fν )ν chứa họ phân kỳ compact hội tụ tập compact ∆ Do vậy, Ω miền taut mệnh đề cuối chứng minh 2.3 Các miền với nhóm tự đẳng cấu khơng compact Cn Ta xét Ω miền Cn Giả sử tồn điểm p điểm tụ quỹ đạo nhóm tự đẳng cấu Ω điểm z ∈ Ω Khi đó, tồn dãy (ϕν )ν tự đẳng cấu Ω cho lim ϕν (z ) = p Giả thiết chúng tơi đặt ν→∞ cách địa phương điểm tụ quỹ đạo p thể theo tồn hàm peak chỉnh hình địa phương hàm peak đa điều hịa địa phương Trước hết, ta có bổ đề sau Bổ đề 2.3.1 Cho Ω miền Cn với nhóm tự đẳng cấu khơng compact Giả sử điểm p ∈ ∂Ω điểm tụ dãy (ϕν )ν tự đẳng cấu Ω Khi đó, tồn hàm peak đa điều hịa địa phương p dãy (ϕν )ν hội tụ đến p tập compact Ω Bổ đề 2.3.1 chứng minh E Bedford- S.Pinchuk [2] F Berteloot [4] Tuy nhiên, xem bổ đề cải tiến Bổ đề 2.1.1, làm việc với nhóm tự đẳng cấu Ω thay đĩa giải tích Ω Đặc biệt, điều suy miền không bị chặn Ω hyperbolic lân cận điểm p Vì thế, miền khơng bị chặn Ω ∈ Cn hyperbolic khoảng cách Kobayashi bất biến tác động ánh xạ song chỉnh hình F Berteloot [4] chứng minh tính taut địa phương Ω điểm p suy tính taut miền Ω Ứng dụng điều có số ví dụ miền taut Ví dụ 2.3.2 Giả sử Ω miền với nhóm tự đẳng cấu khơng compact Cn Nếu Ω giả lồi trơn có kiểu hữu hạn theo nghĩa D’Angelo [8] gần điểm tụ 18 Ω miền taut Nhắc lại miền Ω gọi có kiểu hữu hạn theo nghĩa D’Angelo điểm p ∈ ∂Ω cấp tiếp xúc p ∂Ω đường cong chỉnh hình Cn qua p bị chặn Ví dụ 2.3.3 Cho ϕ hàm trơn đa điều hòa theo trọng Cn−1 Khi đó, miền Ω = {(z0 , z ) ∈ Cn : Im(z0 ) + ϕ(z ) < 0} có kiểu hữu hạn theo nghĩa D’Angelo điểm Ω miền taut Chứng minh Tính theo trọng hàm ϕ hiểu tồn đa số (m1 , m2 , , mn−1 ) ∈ N∗ cho với z = (z1 , z2 , , zn−1 ) ∈ Cn−1 với số thực t > ta có ϕ(t1/m1 z1 , t1/m2 z2 , , t1/mn−1 zn−1 ) = tϕ(z1 , z2 , , zn−1 ) Ta xét dãy ánh xạ ϕj , j ∈ N∗ , xác định Ω ϕj ((z, z )) = j −1 z0 , j −1/m1 z1 , , j −1/mn−1 zn−1 , dãy tự đẳng cấu Ω có điểm tụ Do vậy, Ω miền taut Nhận xét Chúng ta khó nghiên cứu tính hyperbolic đầy miền Ví dụ 2.3.2 2.3.3 khơng có thơng tin cụ thể hình cầu Kobayashi Tuy nhiên, theo Bổ đề 2.1.3, chứng minh tính hyperbolic đầy miền Ω giả thiết mạnh sau đây: Mệnh đề 2.3.4 Giả sử p điểm tụ miền Ω với nhóm tự đẳng cấu không compact U lân cận điểm p Nếu tồn hàm peak chỉnh hình địa phương điểm thuộc ∂Ω ∩ U Ω hyperbolic đầy Chứng minh Theo giả thiết, miền Ω hyperbolic Giả sử z ∈ Ω r số dương Khi đó, dãy (ϕν (z ))ν hội tụ đến điểm p theo Bổ đề 2.3.1 Đồng thời, theo Bổ đề 2.1.3, tồn số nguyên dương ν0 cho tập ϕν0 ∀y ∈ Ω, dK Ω (z , y) ≤ r chứa miền Ω ∩ U khơng tụ đến điểm ∂Ω ∩ U Do đó, tập compact Ω ∩ U hình cầu Kobayashi dK Ω (z , y) ≤ r compact Ω Do vậy, Ω hyperbolic đầy 19 Chúng ta dùng Mệnh đề 2.3.4 để đưa ví dụ miền hyperbolic đầy Ví dụ 2.3.5 Giả sử p điểm tụ miền Ω với nhóm tự đẳng cấu khơng compact Cn Nếu Ω giả lồi có kiểu nửa quy (semiregular hextendible) gần điểm p Ω miền hyperbolic đầy Nhận xét Các miền giả lồi có kiểu nửa quy nghiên cứu K Diederich G Herbot [10] J Yu [19], tổng quát hóa miền lồi có kiểu hữu hạn theo nghĩa D’Angelo Ví dụ 2.3.6 Giả sử p điểm tụ miền Ω với nhóm tự đẳng cấu khơng compact C2 Nếu Ω miền giả lồi có kiểu hữu hạn theo nghĩa D’Angelo điểm p Ω miền hyperbolic đầy 2.4 Các miền xác định đa thức Các miền xuất cách tự nhiên sử dụng phương pháp scaling cho miền kiểu hữu hạn với nhóm tự đẳng cấu khơng compact Một miền xác định đa thức (cịn gọi mơ hình) miền xác định Ω = {(z0 , z ) ∈ Cn : Im(z0 ) + P (z ) < 0} P đa thức Cn−1 Nhóm tự đẳng cấu miền đa thức khơng compact chúng chứa nhóm (z0 , z ) → (z0 + t, z ) với tham số thực t Đồng thời, tất tự đẳng cấu chúng tụ vơ nên điểm vơ đóng vai trị quan trọng phần Chúng ta đạt số kết cho miền với giả thiết vơ Ví dụ 2.4.1 Giả sử Ω = {(z0 , z1 ) ∈ C2 : Im(z0 ) + P (z1 ) < 0} với P đa thức điều hịa C khơng chứa hạng tử điều hịa Khi đó, Ω miền hyperbolic đầy Thật vậy, hệ Định lý 2.2.1 ln tồn hàm peak chỉnh hình địa phương điểm biên Ω vơ theo báo [1] Ví dụ 2.4.2 Giả sử Ω = {(z0 , z ) ∈ Cn : Im(z0 ) + P (z ) < 0} với P đa thức lồi Cn−1 không chứa hạng tử điều hòa Giả sử P (0) = dP (0) = tập 20 {P = 0} không chứa tập giải tích khơng tầm thường Khi đó, Ω hyperbolic đầy Thật vậy, theo giả thiết, Ω miền lồi có kiểu hữu hạn theo nghĩa D’Angelo Do đó, tồn hàm peak chỉnh hình địa phương điểm nằm biên Ω Vì P đa thức lồi khơng chứa hạng tử điều hịa nên hàm Ψ xác định Ω Ψ ((z0 , z )) = (z0 + i)(z0 − i)−1 hàm peak chỉnh hình địa phương vơ Do đó, áp dụng Định lý 2.2.1 ta kết luận Ω miền hyperbolic đầy Nếu P với giả thiết lồi tồn hàm peak chỉnh hình vơ khơng chắn Tuy nhiên, có kết sau (xem tài liệu [11]) Ví dụ 2.4.3 Cho Ω = {(z0 , z ) ∈ Cn : Im(z0 ) + P (z ) < 0} với P đa thức lồi Cn−1 Giả sử P (0) = dP (0) = tập {P = 0} không chứa tập giải tích khơng tầm thường Khi đó, Ω miền taut 21 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau: • Trình bày khái niệm giải tích phức nhiều biến • Chứng minh số kết tính hyperbolic tính taut miền Cn • Giới thiệu số ví dụ miền với nhóm tự đẳng cấu không compact miền xác định đa thức 22 Tài liệu tham khảo [1] E Bedford et J E Fornaess, A construction of peak functions on weakly pseudoconvex domains, Ann of Math 107 (1978) 555-568 [2] E Bedford, S Pinchuk, Domains in C2 with noncompact automorphisms group, Matth USSR Sbornik 63 (1989) 141-151 [3] E Bedford, S Pinchuk, Convex domains with noncompact automorphisms group, Matem Sb 185-5 (1994) 3-26 [4] F Berteloot, Characterization of models in C2 by their automorphisms groups, Internat J Math 5-5 (1994) 619-634 [5] B Coupet, H Gaussier, A.Sukhov, On local version of Fefferman’s mapping theorem, preprint [6] B Coupet, S.Pinchuk, A.Sukhov, On boudary rigidity and regularity of holomorphic mappings, Internat J Math 7-5 (1996) 617-643 [7] B Coupet, A.Sukhov, On CR mappings between pseudoconvex hypersurface of finite type in C2 , Duke Math J 88 (1997) 281-304 [8] J P D’Angelo, Finite type conditions for real hypersurfaces, J Diff Geom 14 (1979) 59-66 [9] J P Demainlly, Mesures de Monge-Ampère et mesures pluriharmoniques, Math Zeit 194 (1987) 519-564 [10] K Diederich and G Hertbot, Pseudoconvex domains of semiregular type, Contributions to complex analysis and analytic geometry, Vieweg Braushweig (1994) 127-161 23 [11] H Gaussier, Caractérisation de domains et d’hypersurfaces convexes, Thesis (1996) [12] H Gaussier, Tautness and complete hyperbolicity of domains in Cn , Proc Amer Math Soc 127 (1999), no 1, 105-116 [13] R E Greene, S G Krantz, Characterization of certain weakly pseudoconvex domains with noncompact automorphisms group, Lect Notes in Math 1268 (1987) 121-157 [14] S Kobayashi, Intrinsic distances, measures and geometric function theory, Bull Amer Math Soc 82-3 (1976) 357-416 [15] S Pinchuk, The scaling method and holomorphic mappings, Proc.Symp Pure Math 52, AMS Providence, RI (1991) 151-161 [16] H L Royden, Remarks on the Kobayashi metric, Lect Notes in Math 185, Springer, Berlin (1971) [17] B Wong, Characterization of the unit ball in Cn by its automorphisms group, nvent Math 41 (1997) 253-257 [18] H Wu, Normal families of holomorphic mappings, Acta Math 119 (1967) 193233 [19] J Yu, Weighted boundary limits of the generalized Kobayashi-Royden metrics on weakly pseudoconvex domains, Trans Amer Math Soc 347-2 (1995) 587-614 24 ... Chương Tính hyperbolic đầy tính taut miền Cn Trong chương này, chứng minh số kết tính hyperbolic đầy tính taut miền khơng bị chặn Cn Vì vậy, xun suốt tồn chương khơng nói thêm, ta ln hiểu Ω miền. .. hệ tính hyperbolic, tính taut tính hyperbolic đầy miền không bị chặn Ω ⊂ Cn chứng minh [16] qua mệnh đề sau: Mệnh đề 1.3.10 Ω hyperbolic đầy ⇒ Ω taut ⇒ Ω hyperbolic Chúng ta coi lân cận vô miền. .. hyperbolic đầy tính taut miền Cn 12 2.1 Một số bổ đề kỹ thuật 12 2.2 Tính hyperbolic đầy tính taut miền Cn 16 2.3 Các miền với nhóm tự đẳng cấu không compact Cn