Luận văn nghiệm dừng của hệ phương trình g navier stokes

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM THỊ THU HƯƠNG NGHIỆM DỪNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH g-NAVIER-STOKES LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Hà Nội, 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM THỊ THU HƯƠNG NGHIỆM DỪNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH g-NAVIER-STOKES LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số : 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS Đào Trọng Quyết Hà Nội, 2018 Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các không gian hàm toán tử 1.2 Các bất đẳng thức liên quan đến số hạng phi tuyến 1.3 Một số kết tồn nghiệm hệ g-Navier-Stokes hai chiều 11 Chương Nghiệm dừng hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều 2.1 Nghiệm dừng yếu hệ phương trình g-Navier-Stokes 13 13 2.1.1 Sự tồn tính nghiệm dừng yếu 14 2.1.2 Tính ổn định nghiệm dừng yếu 17 2.2 Nghiệm dừng mạnh hệ phương trình g-Navier-Stokes 19 2.2.1 Sự tồn tính nghiệm dừng mạnh 19 2.2.2 Tính ổn định nghiệm dừng mạnh 23 Kết luận 25 Tài liệu tham khảo 26 Lời cảm ơn Tác giả xin chân thành cảm ơn TS Đào Trọng Quyết, người bảo tận tình cho tác giả nhận xét q báu để tác giả hồn thành luận văn cách tốt Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo Khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, tận tình giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu, giúp tác giả hồn thành luận văn cách thuận lợi Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, bạn đồng nghiệp trường THPT Xuân Giang - Hà Nội, tạo nhiều điều kiện thuận lợi giúp tác giả hồn thành luận văn Nhân dịp tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, cổ vũ, tạo điều kiện tốt để tác giả hồn thành khóa học Hà Nội, tháng 06 năm 2018 Tác giả Phạm Thị Thu Hương i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Đào Trọng Quyết, luận văn thạc sĩ chuyên ngành Tốn giải tích với đề tài "Nghiệm dừng hệ phương trình g-Navier-Stokes" hồn thành thân tác giả Trong suốt trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2018 Tác giả Phạm Thị Thu Hương ii Mở đầu Lý chọn đề tài Các phương trình hệ phương trình học chất lỏng xuất mơ tả chuyển động chất lỏng khí nước, khơng khí, dầu mỏ, , điều kiện tương đối tổng quát, chúng xuất nghiên cứu nhiều tượng quan trọng khoa học hàng khơng, khí tượng học, cơng nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma, Một lớp hệ phương trình quan trọng học chất lỏng hệ phương trình Navier-Stokes có dạng:    ∂u − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f (x, t), ∂t   ∇ · u = 0, u = u(x, t) hàm vận tốc, p = p(x, t) hàm áp suất, ν = const > hệ số nhớt f ngoại lực Mặc dù đưa lần vào năm 1822, có hàng vạn báo sách viết hệ phương trình Navier-Stokes, nhiên hiểu biết nghiệm hệ phương trình khiêm tốn Do nhu cầu Khoa học Công nghệ mà việc nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes nói riêng phương trình hệ phương trình học chất lỏng nói chung ngày trở nên thời cấp thiết Bên cạnh hệ phương trình Navier-Stokes, nhiều lớp phương trình hệ phương trình khác học chất lỏng thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học ý nghĩa tầm quan trọng chúng, khó khăn thách thức mặt tốn học đặt nghiên cứu chúng Một số lớp hệ phương trình g-NavierStokes, đưa lần Roh (xem [5, 6]) Hệ phương trình g-Navier-Stokes có dạng:    ∂u − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f (x, t), ∂t   ∇ · (gu) = 0, g = g(x) hàm số dương, thỏa mãn số điều kiện cho trước Như đề cập [5, 6], có hai lí dẫn đến việc nghiên cứu hệ phương trình g-Navier-Stokes: • Thứ nhất, mặt tốn học, hệ phương trình dạng tổng quát hệ phương trình Navier-Stokes cổ điển, cụ thể g = const, ta thu lại hệ phương trình Navier-Stokes cổ điển Vì có kết lớp phương trình này, cần cho g = 1, ta nhận kết tương ứng hệ phương trình Navier-Stokes Ngược lại, việc chuyển kết biết hệ phương trình Navier-Stokes cho hệ phương trình g-Navier-Stokes đặt vấn đề tốn học lí thú • Thứ hai, hệ phương trình g-Navier-Stokes chiều xuất cách tự nhiên nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes chiều miền mỏng Ωg = Ω × (0, g), Ω miền khơng gian chiều, tính chất tốt hệ phương trình g-NavierStokes chiều giúp ích cho việc nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes miền mỏng chiều (xem [5, 6]) Những hiểu biết nghiệm hệ phương trình Navier-Stokes miền mỏng chiều tốt nhiều miền chiều tổng qt Chính lí trên, lớp hệ phương trình g-Navier-Stokes thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học ngồi nước năm gần Những vấn đề đặt nghiên cứu phương trình hệ phương trình học chất lỏng là: • Sự tồn tại, tính tính qui nghiệm: Nghiệm nghiệm yếu nghiệm mạnh Tính qui tính qui theo biến thời gian, tính qui theo biến khơng gian • Dáng điệu tiệm cận nghiệm: Nghiên cứu dáng điệu nghiệm thời gian t vô Khi ngoại lực f “lớn”, nghiên cứu tồn tính chất tập hút, tập compact, bất biến, hút tập bị chặn chứa đựng nhiều thơng tin dáng điệu tiệm cận nghiệm; ngoại lực f “nhỏ” không phụ thuộc thời gian, nghiên cứu tồn tính nghiệm dừng, tức nghiệm toán dừng tương ứng, chứng minh nghiệm hệ xét dần đến nghiệm dừng thời gian t vô Đặc biệt, trạng thái hệ phụ thuộc vào khứ nghiệm ngoại lực xuất thêm số hạng chứa trễ Trong trường hợp ngoại lực “nhỏ”, chứa trễ không phụ thuộc thời gian, dáng điệu tiệm cận hệ nghiên cứu thông qua tồn tính ổn định nghiệm dừng Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận quan trọng cho phép dự đoán xu phát triển tương lai hệ xét, từ có điều chỉnh thích hợp để đạt mục đích mong muốn Với lí phân tích trên, tơi chọn đề tài “Nghiệm dừng hệ phương trình g-Navier-Stokes” làm luận văn thạc sĩ Luận văn ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, chia thành hai chương: Chương chúng tơi trình bày khơng gian hàm, toán tử dùng để nghiên cứu hệ phương trình g-Navier-Stokes Chương chúng tơi trình bày số kết tồn tại, tính tính ổn định nghiệm dừng yếu nghiệm dừng mạnh hệ phương trình g-Navier-Stokes Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu kết tồn tại, tính ổn định nghiệm dừng yếu nghiệm dừng mạnh hệ phương trình g-NavierStokes Nhiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu tồn tại, tính nghiệm dừng; • Nghiên cứu tính ổn định nghiệm dừng hệ phương trình g-Navier-Stokes Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Nghiệm dừng (yếu, mạnh) hệ phương trình g-Navier-Stokes • Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn tại, tính ổn định Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp lí thuyết hệ động lực tiêu hao vơ hạn chiều, lí thuyết hệ g-Navier-Stokes Đóng góp luận văn Luận văn trình bày kết tồn tại, tính ổn định nghiệm dừng yếu trường hợp miền Ω không bị chặn kết tồn tại, tính ổn định nghiệm dừng mạnh trường hợp miền Ω bị chặn hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều [1, 4] Luận văn tài liệu tham khảo tốt nghiệm dừng hệ g-Navier-Stokes hai chiều u(τ ) = u0 thỏa mãn đẳng thức sau với h.k t ∈ (τ, T ), d u(t) + νAu(t) + B(u(t), u(t)) + νCu(t) = f (t) Vg dt Định nghĩa 1.2 ([2]) Cho f ∈ L2 (0, T ; Hg ) u0 ∈ Vg , nghiệm mạnh khoảng (0, T ) toán (1.1) hàm u ∈ L2 (0, T ; D(A))∩ L∞ (0, T ; Vg ) với u(0) = u0 thỏa mãn đẳng thức sau với h.k t ∈ (0, T ), d u(t) + νAu(t) + B(u(t), u(t)) + νCu(t) = f (t) Vg dt Ta có kết tồn nghiệm yếu nghiệm mạnh toán (1.1) qua định lí sau Định lí 1.1 ([1]) Giả sử cho trước u0 ∈ Hg Nếu bất đẳng thức (1.2)(1.3) giả thiết (G) đúng, với τ ∈ R T > τ cho trước, tốn (1.1) có nghiệm yếu u (τ, T ) Hơn nữa, nghiệm phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu ta có đánh giá e−σt |u(t)|2 ≤ e−σ(t−τ ) |u0 |2 + 2ν t eσs f (s) 2∗ ds, −∞ > cho σ = 2νλ1 (γ0 − ) Định lí 1.2 ([2]) Giả sử f ∈ L2loc (0, ∞; Hg ) u0 ∈ Vg cho trước Khi đó, với T > tồn nghiệm mạnh u toán (1.1) (0, T ) Hơn nữa, ánh xạ u0 −→ u(t) liên tục Vg với t ∈ [0, T ], tức nghiệm mạnh phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu 12 Chương Nghiệm dừng hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều Trong chương nghiên cứu nghiệm dừng yếu nghiệm dừng mạnh hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều (1.1), tức nghiên cứu nghiệm yếu nghiệm mạnh    −ν∆u + (u · ∇)u + ∇p     ∇ · (gu)      u(x) toán dừng tương ứng: = f, x ∈ Ω, = 0, x ∈ Ω, = 0, x ∈ ∂Ω (2.1) Phần đầu chương trình bày kết tồn nghiệm dừng yếu, tính tính ổn định nghiệm dừng yếu Phần tiếp đó, chúng tơi trình bày kết tồn nghiệm dừng mạnh, tính tính ổn định nghiệm dừng mạnh 2.1 Nghiệm dừng yếu hệ phương trình g-NavierStokes Trong mục này, miền Ω xét không bị chặn thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré (1.2), điều kiện (1.3) giả thiết (G) hàm g Phần viết dựa tài liệu tham khảo [1] 13 2.1.1 Sự tồn tính nghiệm dừng yếu Trước hết ta có định nghĩa nghiệm dừng yếu tốn (1.1) sau Định nghĩa 2.1 Cho trước f ∈ Vg , nghiệm dừng yếu toán (1.1) hàm u ∈ Vg thỏa mãn ν((u, v))g + b(u, u, v) = f, v (2.2) với hàm thử v ∈ Vg Ta có kết tồn nghiệm dừng yếu tốn (1.1) qua định lí sau Định lí 2.1 Với f ∈ Vg , tồn nghiệm dừng yếu toán (1.1) Hơn nữa, f ∈ Hg , tất nghiệm dừng yếu thuộc D(A) Nếu điều kiện sau thỏa mãn ν 1− |∇g|∞ 1/2 m0 λ1 c1 > 1/2 λ1 f ∗ (2.3) với c1 số Bổ đề 1.1, nghiệm dừng yếu toán (1.1) Chứng minh Xét sở trực giao {wj }∞ j=1 ⊂ V Hg gồm hàm riêng toán tử Stokes Ω với điều kiện biên Dirichlet Không gian Vg sinh w1 , , wm kí hiệu Vm Xét phép chiếu Pm : Hg → Vm 14 xác định m Pm u = (u, wi )g wi i=1 ta đặt m m u = γmi wi , i=1 ν((um , wi )) + νb( ∇g m , u , wi ) + b(um , um , wi ) = f, wi g (2.4) với v Vm Phương trình (2.4) tương đương với νAum + Pm Bum + νPm Cum = Pm f (2.5) Sự tồn nghiệm xấp xỉ um (2.4) đảm bảo nhờ định lí điểm bất động Brouwer trường hợp nghiệm dừng hệ phương trình Navier-Stokes [7, p.164] Ta lấy v = um (2.4) (2.2), nên ta có ν um (t) = f, um − νb( ∇g m m ,u ,u ) ≤ f g ∗ um + ν |∇g|∞ 1/2 m0 λ1 um Do đó, ν(1 − |∇g|∞ 1/2 m0 λ1 ) um ≤ f ∗ (2.6) Hay dãy {um } dãy bị chặn Vg Do đó, ta trích từ {um } dãy um hội tụ yếu Vg tới giới hạn u Vì miền Ω bị chặn, nên nhờ phép nhúng Vg vào Hg compact, ta có um u Vg um → u Hg 15 qua dãy Qua giới hạn (2.4) với dãy m , ta thu u nghiệm dừng yếu (1.1) Nếu Ω không bị chặn phép nhúng Vg vào Hg khơng compact Tuy nhiên, khó khăn vượt qua cách sử dụng lí luận [7, pp.168-171] Để chứng minh khẳng định thứ hai định lí, ta ý −1/2 u ∈ Vg , Bu ∈ Vg −1/2 Cu ∈ Vg Từ u = (1/ν)A−1 (f − Bu − νCu) ∈ Vg3/2 f ∈ Hg Vì Bu ∈ Hg Cu ∈ Hg u thuộc D(A) Đối với tính nghiệm dừng yếu, giả sử u1 u2 hai nghiệm dừng yếu (1.1) Đặt u = u1 − u2 , ta có ν u + νb( ∇g , u, u) = b(u2 , u2 , u) − b(u1 , u1 , u) = −b(u, u2 , u) g Nhờ Bổ đề 1.1, áp dụng u ≥ λ1 |u|2 bất đẳng thức (2.6) với nghiệm u2 , ta có nghiệm dừng yếu u2 |b(u, u2 , u)| ≤ c1 |u| u u2 c1 ≤ 1/2 u u2 λ1 c1 ≤ 1/2 f ∞ λ1 ν(1 − |∇g|1/2 ) ∗ u 2, m0 λ1 Theo Bổ đề 1.3, ta có b ∇g , u, u g ≤ |∇g|∞ 1/2 m0 λ0 u Vì vậy, ν 1− |∇g|∞ m20 λ1 − c1 1/2 λ1 ν(1 16 − |∇g|∞ ) m20 λ1 f ∗ u ≤ 0, điều kiện (2.3) nên từ bất đẳng thức suy u = 0, tức u1 = u2 2.1.2 Tính ổn định nghiệm dừng yếu Định lí 2.2 Cho f ∈ Hg , giả sử ν λ1 − |∇g|2∞ m20 λ1 > c2 |∇g|∞ |f | 1+ 1/2 |∇g|∞ ν m0 λ1 (1 − 1/2 ) m0 λ1 + c22 3/2 2ν λ1 (1 − |∇g|∞ 1/2 ) m0 λ1 (2.7) |f |3 , 1/2 c2 số Bổ đề 1.3 c2 = 34 (c2 (λ1 ))4/3 Khi nghiệm dừng yếu (1.1) (kí hiệu u∞ ) Nếu u nghiệm yếu toán (1.1) với u0 ∈ Hg tùy ý f (t) ≡ f với t, u(t) → u∞ Hg t → ∞ Chứng minh Đặt w(t) = u(t) − u∞ Khi đó, ta có dw(t) + νAw(t) + νCw(t) + Bu(t) − Bu∞ = 0, dt lấy tích vơ hướng đẳng thức với w(t), ta thu 1d |w(t)|2 + ν w(t) dt +ν ∇g , w(t), w(t) g + b(u(t), u(t), w(t)) − b(u∞ , u∞ , w(t)) = Vì 1d |w(t)|2 + ν w(t) dt = −b(w(t), u∞ , w(t)) − νb ∇g , w(t), w(t) g 17 |∇g|∞ 3/2 1/2 |w(t)| w(t) |Au | + ν w(t) |w(t)| ∞ 1/2 m0 λ1 ν ν c2 |∇g|2∞ 4/3 2 ≤ w(t) + 1/3 |w(t)| |Au∞ | + w(t) + ν |w(t)|2 , 4 m0 ν ≤ c2 1/2 ta sử dụng Bổ đề 1.2, bất đẳng thức |Au∞ | ≥ λ1 u∞ , bất đẳng Young, c2 c2 = λ1/2 4/3 Vì thế, c2 |∇g|2∞ d 4/3 |w(t)| + νλ1 − 1/3 |Au∞ | − ν |w(t)|2 ≤ dt m0 ν (2.8) Nếu c2 |∇g|2∞ 4/3 ν = νλ1 − 1/3 |Au∞ | − ν > 0, m20 ν (2.9) (2.8) chứng tỏ |w(t)| giảm theo tốc độ mũ tới t → ∞, tức |w(t)|2 ≤ |w(t)|e−νt , w(0) = u0 − u∞ Hơn nữa, u∞ ∈ D(A) nên ta có: ν|Au∞ | ≤ |f | + |Bu∞ | + ν|Cu∞ | ≤ |f | + c2 u∞ 3/2 ν|∇g|∞ u∞ m0 ν|∇g|∞ + u∞ m0 |f |3 ∞ − |∇g|1/2 |Au∞ |1/2 + ν c22 ≤ |f | + |Au∞ | + u∞ 2ν ν c22 ≤ |f | + |Au∞ | + 3/2 2ν λ1 m0 λ1 + |∇g|∞ 1/2 m0 λ1 1− |∇g|∞ 1/2 m0 λ1 18 |f |, ta sử dụng (2.6) f |Au∞ | ≤ ∗ ≤ 1/2 |f | λ1 Từ |∇g|∞ 1+ 1/2 ν m0 λ1 ∞ − |∇g|1/2 |f | m0 λ1 + c22 3/2 2ν λ1 1− (2.10) 3 |f | |∇g|∞ 1/2 m0 λ1 Sử dụng (2.10), ta thu điều kiện đủ cho (2.9), điều kiện (2.7) Bây giờ, u(t) nghiệm dừng yếu u∗∞ khác (1.1), bất đẳng thức (2.8) có dạng ν|u∞ − u∗∞ |2 ≤ Điều chứng tỏ tính nghiệm dừng yếu điều kiện (2.7) 2.2 Nghiệm dừng mạnh hệ phương trình g-NavierStokes Trong mục chúng tơi xét miền Ω miền bị chặn R2 giả thiết (G) Phần viết dựa tài liệu tham khảo [4] 2.2.1 Sự tồn tính nghiệm dừng mạnh Trước tiên định nghĩa nghiệm dừng mạnh toán (1.1) Định nghĩa 2.2 Cho f ∈ Hg , nghiệm dừng mạnh toán (1.1) hàm u∗ ∈ D(A) thỏa mãn: ν((u∗ , v))g + ν(Cu∗ , v)g + b(u∗ , u∗ , v) = (f, v)g , v ∈ Vg (2.11) Ta có kết tồn tính nghiệm dừng mạnh tốn (1.1) qua định lí sau 19 Định lí 2.3 Nếu ngoại lực f ∈ Hg , tốn (1.1) có nghiệm dừng mạnh u∗ , ta có ước lượng |∇g|∞ ν 1− u∗ ≤ 1/2 m0 λ1 1/2 |f | (2.12) λ1 Hơn nữa, điều kiện sau thỏa mãn ν(1 − |∇g|∞ ) 1/2 m0 λ1 > c1 |f | , λ1 (2.13) với c1 số Bổ đề 1.1, nghiệm dừng mạnh Chứng minh i) Sự tồn tại: Lấy sở Vg gồm hàm riêng v1 , v2 , toán tử A Với m ≥ 1, ta đặt Vm = span{v1 , v2 , , vm } định nghĩa nghiệm dừng mạnh xấp xỉ um (1.1) m m u = γmi vi , i=1 cho ν((um , v))g + ν(Cum , v)g + b(um , um , v) = (f, v)g , ∀v ∈ Vg (2.14) Để chứng tỏ tồn nghiệm xấp xỉ um , ta định nghĩa toán tử Rm : Vm → Vm xác định ((Rm u, v)) = ν Au, v g + ν(Cu, v)g + b(u, v, v) − (f, v)g , ∀u, v ∈ Vm Khi đó, với u ∈ Vm , ta có b(u, u, u) = nên ((Rm u, u)) = ν Au, v g + ν(Cu, v)g − (f, v)g , ν|∇g|∞ |f | u − u 1/2 1/2 λ1 m0 λ1 ν|∇g|∞ =ν 1− u − 1/2 |f | u 1/2 m0 λ1 λ1 ≥ν u − 20 Vì vây, ta đặt β= |f | , ν|∇g|∞ 1/2 λ1 ν − 1/2 m0 λ1 ta thu ((Rm u, u)) ≥ với u ∈ Vm cho u = β Do đó, áp dụng định lí điểm bất động Brouwer, với m ≥ tồn vm ∈ Vm cho Rm (um ) = 0, với um ≤ β Chọn v = Aum (2.14) ta thu ν|Aum |2 = (f, Aum )g − ν(Cum , Aum )g − b(um , um , Aum ) ν|∇g|∞ m |u ||Aum | + c3 |um |1/2 um |Aum |3/2 m0 ν|∇g|∞ ν|∇g|∞ m m |Au | + u + c3 um ≤ |f |2 + |Aum |2 + 1/2 1/2 m0 λ1 4m0 λ1 ≤ |f ||Aum | + Từ đó, sử dụng (2.12) ta suy ν 1− |∇g|∞ 1/2 m0 λ1 − |Aum |2 ≤ C(|f |, ν, λ1 , |∇g|∞ ), (2.15) > chọn cho γ0 − > Bất đẳng thức chứng tỏ, {um } dãy bị chặn D(A), phép nhúng D(A) vào Vg compact nên ta trích dãy {um } ⊂ {um } mà hội tụ yếu D(A) hội tụ mạnh Vg tới phần tử u∗ ∈ D(A) Qua giới hạn (2.14) ta thu u∗ nghiệm dừng mạnh toán (1.1) Để chứng tỏ ước lượng (2.12), ta thấy u∗ nghiệm dừng mạnh (1.1) ta có ν((u∗ , u∗ ))g + ν(Cu∗ , u∗ )g = (f, u∗ )g , 21 ν u∗ ν|∇g|∞ λ1 1/2 m0 λ1 |f | u∗ + 1/2 ≤ u∗ , hay |∇g|∞ ν 1− u∗ ≤ 1/2 m0 λ1 1/2 |f | λ1 Do ta thu ước lượng (2.12) ii) Tính nhất: Giả sử u∗ v ∗ hai nghiệm dừng mạnh (1.1) Khi đó, ta có ν Au∗ − Av ∗ , v g + b(u∗ , u∗ , v) − b(v ∗ , v ∗ , v) + ν(Cu∗ − Cv ∗ , v)g = với v ∈ Vg Chọn v = u∗ − v ∗ , ta có ν Au∗ − Av ∗ , u∗ − v ∗ g = b(u∗ − v ∗ , v ∗ , u∗ − v ∗ ) − ν(Cu∗ − Cv ∗ , u∗ − v ∗ )g Từ đó, ν u∗ − v ∗ ≤ c1 u∗ − v ∗ λ1/2 v∗ + |∇g|∞ u∗ − v ∗ , 1/2 m0 λ1 hay ν 1− |∇g|∞ u∗ − v ∗ 1/2 m0 λ1 c1 ≤ v∗ (2.16) c1 ∗ u − v ∗ |f |, λ1 (2.17) 1/2 λ1 u∗ − v ∗ Từ ước lượng (2.12) (2.16) ta có ν 1− |∇g|∞ 1/2 m0 λ1 u∗ − v ∗ ≤ hay, ν 1− |∇g|∞ 1/2 m0 λ1 − c1 |f | λ1 Do điều kiện (2.13) nên suy u∗ −v ∗ Do nghiệm dừng mạnh Định lí chứng minh 22 u∗ − v ∗ ≤ ≤ Điều chứng tỏ u∗ = v ∗ 2.2.2 Tính ổn định nghiệm dừng mạnh Định lí 2.4 Nếu f ∈ Hg điều kiện (2.13) thỏa mãn, nghiệm mạnh u(·) tốn (1.1) ta có |u(t) − u∗ | → t → ∞ Chứng minh Đặt w(t) = u(t) − u∗ , ta có d (w(t), v)g + ν((w(t), v))g + ν(Cw(t), v)g dt + b(u(t), u(t), v)g − b(u∗ , u∗ , w(t)) = 0, ∀v ∈ Vg Thay v w(t) lưu ý b(u(t), u(t), w(t)) − b(u∗ , u∗ , w(t)) = b(w(t), u∗ , w(t)), ta thu d (w(t), w(t))g +ν((w(t), w(t)))g +ν(Cw(t), w(t))g +b(w(t), u∗ , w(t)) = dt Nhân hai vế đẳng thức với hàm eλt , λ > số xác định sau, theo Bổ đề 1.1 1.4 ta có, d λt (e |w(t)|2 ) dt = eλt λ|w(t)|2 − 2ν w(t) − 2ν(Cw(t), w(t))g − 2b(w(t), u∗ , w(t)) ≤ eλt λ|w(t)|2 − 2ν w(t) + ≤ eλt ≤ eλt 2ν|∇g|∞ 1/2 m0 λ1 w(t) + 2c1 u∗ |w(t)| w(t) λ 2ν|∇g|∞ 2c1 ∗ − 2ν + + u w(t) 1/2 1/2 λ1 m0 λ1 λ1 λ 2ν|∇g|∞ 2c1 |f | + w(t) , − 2ν + 1/2 |∇g| ∞ λ1 λ1 ν(1 − m0 λ1 1/2 ) m0 λ1 23 (2.18) ta sử dụng (2.12) cho nghiệm dừng u∗ Nếu điều kiện (2.13) thỏa mãn, ta chọn λ > cho λ 2ν|∇g|∞ 2c1 |f | − 2ν + + < 1/2 |∇g|∞ λ1 λ1 ν(1 − m0 λ1 1/2 ) m0 λ1 Vì vậy, lấy tích phân theo t từ bất đẳng thức (2.18) ta suy |w(t)|2 ≤ e−λt |w(0)|2 Cho t → ∞ ta thu kết luận định lí 24 Kết luận Nội dung luận văn nghiên cứu nghiệm dừng hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều miền bị chặn Các kết trình bày luận văn bao gồm: Trình bày số điều kiện đảm bảo cho tồn nghiệm dừng yếu nghiệm dừng mạnh hệ phương trình g-Navier-Stokes; Trình bày tính ổn định nghiệm dừng yếu nghiệm dừng mạnh, đồng thời chứng tỏ nghiệm yếu (tương ứng nghiệm mạnh) hệ g-Navier-Stokes hội tụ theo tốc độ mũ nghiệm dừng yếu (tương ứng nghiệm dừng mạnh) thời gian t vô Các kết luận văn dừng lại việc trình bày, xếp lại cách có hệ thống số kết gần nghiệm dừng yếu/mạnh hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều Hi vọng luận văn tài liệu tham khảo tốt cho bạn đọc tìm hiểu nghiệm dừng hệ phương trình g-Navier-Stokes Luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận góp ý q thầy bạn học viên để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn ! 25 Tài liệu tham khảo [1] C T Anh and D T Quyet, Long-time behavior for 2D nonautonomous g-Navier-Stokes equations, Ann Pol Math 103 (2012), no 3, 277 − 302 [2] C T Anh and D T Quyet, and D T Tinh, Existence and finite time approximation of strong solution to 2D g-Navier-Stokes equations, Acta Math Vietnam 38 (2013), no 3, 413 − 428 [3] H Bae and J Roh, Existence of solution of the g-Navier-Stokes equations, Taiwanese J Math (2004), no 1, 85-102 [4] D T Quyet, Asymptotic behavior of strong solutions to 2D g-NavierStokes equations, Comun Korean Math Soc., 29 no (2014), 505518 [5] J Roh, Dynamics of the g-Navier-Stokes equations, J Differential Equations 211 (2005), no 2, 452-484 [6] J Roh, Dervivation of the g-Navier-Stokes equations, J Chungcheon Math Soc 19 (2006), 213-218 [7] R Teman, Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis, 2nd ed., North-Holland, Amsterdam, 1979 26 ... Chương Nghiệm dừng hệ phương trình g- Navier- Stokes hai chiều Trong chương nghiên cứu nghiệm dừng yếu nghiệm dừng mạnh hệ phương trình g- Navier- Stokes hai chiều (1.1), tức nghiên cứu nghiệm yếu nghiệm. .. ổn định nghiệm dừng yếu nghiệm dừng mạnh hệ phương trình g- Navier- Stokes Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu kết tồn tại, tính ổn định nghiệm dừng yếu nghiệm dừng mạnh hệ phương trình g- NavierStokes... kết trình bày luận văn bao g m: Trình bày số điều kiện đảm bảo cho tồn nghiệm dừng yếu nghiệm dừng mạnh hệ phương trình g- Navier- Stokes; Trình bày tính ổn định nghiệm dừng yếu nghiệm dừng mạnh,