Một định lý mới về ổn định lũy thừa của họ tiến hóa tuần hoàn trên không gian banach

THƯ VIỆN BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH LÊ XUÂN HẬU MỘT ĐỊNH LÍ MỚI VỀ ỔN ĐỊNH LŨY THỪA CỦA HỌ TIẾN HĨA TUẦN HỒN TRÊN KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ HỒN HĨA Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 LỜI CẢM ƠN Để hồn thành luận văn Người mà tơi tỏ lịng biết ơn sâu sắc PGS TS Lê Hồn Hóa, người thầy tận tâm hướng dẫn bảo bước cho tơi suốt q trình học tập Xin trân trọng cảm ơn TS……………….và TS………………đã đọc góp ý cho luận văn Xin trân tọng cảm ơn q thầy thuộc khoa Tốn – Tin học trường Đại Học Sư Phạm TPHCM, quý thầy cô giảng dạy cho lớp cao học khóa 18 chuyên nghành Giải Tích nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ cho tơi suốt khóa học Tơi xin cảm ơn q thầy phịng KHCN - SĐH trường Đại Học Sư Phạm TPHCM tạo điều kiện giúp đỡ cho tơi hồn thành chương trình học Xin gửi lời cảm ơn đến Lãnh Đạo Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Phú Yên, Ban Giám Hiệu, toàn thể giáo viên cơng nhân viên trường THPT Trần Bình Trọng – Phú Hòa – Phú Yên tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tơi hồn thành khóa học Cuối tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên nhiệt tình giúp đỡ tơi suốt thời gian qua Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng Lê Xuân Hậu năm 2010 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan sư dụng nội dung số báo, tài liệu liên quan để hồn thành tốt luận văn khơng chép luận văn khác có trước Học viên Lê Xuân Hậu MỞ ĐẦU Lý mục đích chọn đề tài: Lý thuyết ổn định lũy thừa họ tiến hóa tuần hồn lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng đời từ sớm có nhiều ứng dụng quan trọng nhiều lĩnh vực toán học Cùng với nhiều nhà toán học khác, hai nhà toán học Constantin Jitianu đặt vấn đề tìm nghiệm yếu v(t )  A(t )v(t )  f (t ) dựa lý thuyết phổ v f (., 0) phương trình Cauchy không nhất:  v(0)  nửa nhóm tiến hóa Đến năm 2003 hai tác giả đưa kết quan trọng với nhiều ứng dụng đem đến cho lĩnh vực thêm đa dạng đặc sắc Với tâm đắc, với mục đích tìm hiểu nhiều phương pháp với ứng dụng để học tập, bước đầu làm quen công việc nghiên cứu khoa học, chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết ổn định lũy thừa họ tiến hóa tuần hồn khơng gian Banch ứng dụng Trong luận văn tơi xin đề cập đến kết hai tác giả nói trên, là: “MỘT ĐỊNH LÍ MỚI VỀ ỔN ĐỊNH LŨY THỪA CỦA HỌ TIẾN HĨA TUẦN HỒN TRÊN KHƠNG GIAN BANACH” Cụ thể Chúng ta xem xét nghiệm yếu tốn Cauchy khơng ìïv ¢(t ) = A(t )v(t ) + f (t ) ïï í ïïv(0) = ïỵ khơng gian Banach phức X , với A (.) tốn tử tuần hồn chu kì Ta chứng minh v f (., 0) thuộc tập AP0 (R+, X ) với f thuộc AP0 (R+, X ) với x thuộc X nghiệm tốn Cauchy ìu ¢(t ) = A(t )u(t ) ï ï ï í ïïu(0) = x ï ỵ ổn định theo lũy thừa ngược lại Chi tiết không gian AP0 (R+, X ) trình bày mục 2.1 chương II Phương pháp nghiên cứu dựa lý thuyết phổ nửa nhóm tiến hóa Nội dung luận văn trình bày lại kết báo: “A new theorem on exponential stability of periodic evolution families on Banach spaces” hai tác giả Constantin Buse & Oprea Jitianu trình bày chi tiết Nội dung luận văn chia làm ba chương Chương I: Các kiến thức Trong chương nhắc lại định nghĩa tính chất nửa nhóm, nửa nhóm liên tục đều, nửa nhóm liên tục mạnh, nửa nhóm tiến hóa, họ tiến hóa, khái niệm tính chất liên quan làm sở cho kiến thức chương II Chương II: Lời giới thiệu kết Trong chương giới thiệu kí hiệu sử dụng luận văn kết luận văn Chương III: Ứng dụng Giới thiệu số ứng dụng quan trọng kết chương II Vì kiến thức thân cịn nhiều hạn chế nên chắn có thiếu xót trình trình bày luận văn Rất mong nhận phê bình đóng góp ý kiến Q Thầy cô bạn bè quan tâm CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nửa nhóm liên tục tốn tử tuyến tính bị chặn Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian Banach Họ tham số T (t ), £ t < ¥ , tốn tử tuyến tính bị chặn từ X vào X gọi nửa nhóm tốn tử tuyến tính bị chặn X i) T (0) = I ,(I ánh xạ đồng X ) ii) T (t + s ) = T (t ).T (s ) với t, s ³ Một nửa nhóm tốn tử tuyến tính bị chặn T (t ) gọi liên tục lim T (t ) - I = (1.1) t 0 Từ định nghĩa ta có: Nếu T (t ), £ t < ¥ nửa nhóm liên tục tốn tử tuyến tính bị chặn lim T (t ) - T (s ) = (1.2) t s Định nghĩa 1.1.2 Cho {T (t )} t ³0 nửa nhóm tốn tử tuyến tính bị chặn, xác định X Với h > 0, ta định nghĩa toán tử Ah x xác định sau Ah x = T (h )x - x , x Ỵ X h (1.3) Kí hiệu D(A) tập tất x Ỵ X cho giới hạn lim Ah x tồn h 0 Ta xác định toán tử A D(A) sau: Ax = lim Ah x , x Ỵ D(A) h 0 (1.4) Ta gọi toán tử A xác định tốn tử sinh nửa nhóm T (t ), D(A) tập xác định A Định lí 1.1.3 Một tốn tử tuyến tính A tốn tử sinh nửa nhóm liên tục A toán tử tuyến tính bị chặn Chứng minh: Cho A tốn tử tuyến tính bị chặn X , đặt (tA)n n ! n =0 ¥ T (t ) = e tA = å (1.5) Vế phải (1.5) hội tụ theo chuẩn với t ³ 0, xác định với t toán tử tuyến tính bị chặn T (t ) Rõ ràng T (0) = I , với cách tính trực tiếp chuỗi lũy thừa, ta có: T (t + s ) = T (t ).T (s ) Tiến hành đánh giá chuỗi lũy thừa trên, ta có: T (t ) - I £ t A e t A T (t ) - I - A £ A T (t ) - I t Suy T (t ) nửa nhóm liên tục tốn tử tuyến tính bị chặn X , A tốn tử sinh T (t ) Mặt khác, cho T (t ) nửa nhóm liên tục tốn tử tuyến tính bị chặn X r Cố định r > đủ nhỏ cho I - r -1 ò T (s )ds < r Suy r -1 r ò T (s )ds khả nghịch ị T (s )ds khả nghịch 0 Mặt khác r r r ửữ 1 ổỗỗ T (h ) - I ) ũ T (s )ds = ỗ ũ T (s + h )ds - ị T (s )ds ÷÷÷ ( h h ỗỗố ứữ 0 r +h h ửữ ổỗỗ = ỗ ũ T (s )ds -ũ T (s )ds ữữữ h ỗỗố r ứữ Vỡ h ỉ r +h ư÷ h 1 çç T (h ) - I ) = ç ò T (s )ds- ị T (s )ds÷÷÷(ị T (s )ds)-1 ( ỗỗố h r h h ữứ (1.6) Trong (1.6), cho h  ta có (T (h ) - I ) hội tụ theo chuẩn Do tốn tử tuyến tính bị chặn h r (T (r) - I )(ị T (s)ds) -1 tốn tử sinh T (t ) Toán tử sinh nửa nhóm T (t ) Định lí sau chứng minh cho khẳng định Định lí 1.1.4 Cho T (t ) S (t ) nửa nhóm liên tục tốn tử tuyến tính bị chặn X T (t ) - I S (t ) - I T (t ) = S (t ), với t ³ (1.7) = lim t 0 t 0 t t Nếu A = lim Chứng minh: Cho T > 0, chứng minh S(t ) = T (t ), với £ t £ T Cố định T > 0, hàm t  T (t ) , t  S (t ) liên tục nên tồn số C cho: T (t ) S (t ) £ C , với £ t, s £ T Cho e > 0, (1.7) nên tồn số d > cho: e T (h ) - S (h ) < , với £ h £ d h TC Cho £ t £ T , chọn n ³ cho t 0, cho T (t ) bị chặn £ t £ h, trái lại có dãy {tn } thõa tn ³ 0, lim tn = 0, T (tn ) ³ n n ¥ Áp dụng định lí bị chặn đều, tồn x Ỵ X cho T (tn )x không bị chặn Điều mâu thuẫn với (1.9) Vì T (t ) £ M , với £ t £ h Do M ³ T (0) = Cho w = log M ³ 0, t ³ 0, ta có t = nh + d , với £ d < h h Áp dụng tính chất nửa nhóm, ta thu n T (t ) = T (d)T (h) £ M n +1 t h £ M M = M e wt Hệ 1.2.3 Nếu T (t ) nửa nhóm _C với x Î X , t  T (t )x hàm liên tục từ  +0 (đường thẳng thực không âm) vào X Chứng minh: Cho t, h ³ 0, ta có: T (t + h )x - T (t )x £ T (t ) T (h )x - x £ M e wt T (h )x - x cho t ³ h ³ 0, ta có: T (t - h )x - T (t )x £ T (t - h ) x - T (h )x £ M e wt x - T (h )x Cho h  0, áp dụng tính chất liên tục mạnh nửa nhóm T (t ), suy hàm t  T (t )x liên tục từ  +0 vào X Định lí 1.2.4 Cho T (t ) nửa nhóm _C cho A tốn tử sinh nó, ta có: a) Với x Ỵ X , lim h 0 h t +h ò T (s )xds = T (t )x (1.11) t t b) Cho x Ỵ X , ị T (s )xds ẻ D(A) ổt ữử ỗ v A çç ị T (s )xds ÷÷ = T (t )x - x ữữ ỗố ứ (1.12) c) Cho x Ỵ D(A), T (t )x Ỵ D(A) d T (t )x = AT (t )x = T (t )Ax dt t d) Cho x Ỵ D(A), T (t )x - T (s )x = (1.13) t ò T (r )Axdr = ò AT (r )xdr s s Chứng minh: a) Phần suy trực tiếp từ tính liên tục t  T (t )x b) Cho x Ỵ X , h > 0, ta có: (1.14) Suy t  g(t ) = e -i mt f (t ) thuộc vào TP0 ( +, X ) Mặt khác TP0 ( +, X ) Ì A0 ( +, X ) = AP0 ( +, X ) Do hàm t  g(t ) = e -i mt f (t ) thuộc vào AP0 ( +, X ) , với f Ỵ P10 ( +, X ) Hay g Ỵ AP0 ( +, X ), với f Ỵ P10 ( +, X ) t Vì e -i mt f (t ) thuộc vào AP0 ( +, X ) nên nghiệm v f (t, 0) = ò U (t, s )e -i mt f (t )ds t thuộc vào AP0 ( +, X ) Tức hàm t  ò U (t, s )e -i ms f (s )ds Ỵ AP0 ( +, X ), với f Ỵ AP0 ( +, X ) t Hơn AP0 ( +, X ) Ì BUC ( +, X ) , hàm t  ị U (t, s )e -i ms f (s )ds bị chặn  + Theo định lí 2.2.5 (iv)  (i ) ta suy U ổn định lũy thừa Chú ý Từ điều kiện tương đương (i) (iv) định lí 2.2.5 với kết định lí 2.2.3 thấy họ tiến hóa U định lí 2.2.3 ổn định lũy thừa với f Ỵ AP0 ( +, X ) nghiệm v f (., 0) bị chặn  + Thật vậy, U ổn định lũy thừa theo định lí 2.2.3 ta suy v f (., 0) Ỵ AP0 ( +, X ), với f Ỵ AP0 ( +, X ) Tức nghiệm v f (., 0) bị chặn  + Trái lại với f Ỵ AP0 ( +, X ) nghiệm v f (., 0) bị chặn  + theo chứng minh (ii)  (i) định lí 2.2.3 ta suy U ổn định lũy thừa CHƯƠNG III ỨNG DỤNG Một hệ trực tiếp định lí 2.2.3 định lí phổ ánh xạ cho nửa nhóm tiến hóa S không gian AP0 ( +, X ) Kết tương tự tìm thấy ([13], định lí 2.2) cho nửa nhóm tiến hóa C 00 ( +, X ), [14, định lí 5] cho nửa nhóm tiến hóa AAP0 ( +, X ) Ở C 00 ( +, X ) không gian hàm nhận giá trị X , xác định  + cho: f (0) = lim f (t ) = t ¥ AAP0 ( +, X ) khơng gian chứa hàm h nhận giá trị X , xác định  + cho h (0) = 0, tồn f Ỵ C ( +, X ), g Ỵ AP ( +, X ) , cho: h = f +g Định lí 3.3.1 Cho U họ tiến hóa tuần hồn chu kì tốn tử tuyến tính bị chặn X Nửa nhóm tiến hóa S liên kết tới U AP0 ( +, X ) thõa mãn định lí phổ ánh xạ, tức Mặt khác e t s(G ) = s(S (t )) \ {0}, t ³ s(G ) = l Ỵ  : Re(l) £ s(G ) { } { } s(S (t )) = l Ỵ  : l £ r (S (t )) , với t > Chứng minh: Theo bổ đề 2.2.2, S nửa nhóm liên tục mạnh AP0 ( +, X ) Do theo định lí phổ ánh xạ, ta có: e t s(G ) = s(S (t )) \ {0}, t ³ Cho l Ỵ r(G ), m Ỵ  cho Rem ³ Rel ( ) Đặt Sl = Sl (t ) = e -ltS (t ) t ³0 , U l = (U l (t, s )) t ³s ³0 ( ) = e -l(t -s )U (t, s ) t ³s ³0 Ta chứng minh U l họ tiến hóa tuần hồn chu kỳ  + tốn tử tuyến tính, bị chặn X Thật vậy, với x , y Ỵ X , a, b Ỵ , ta có: ( ) U l (t, s )(ax + by ) = e -l(t -s )U (t, s ) (ax + by ) = e -l(t -s ) (U (t, s )(ax + by )) = e -l(t -s ) (aU (t, s )x + bU (t, s )y ) = ae -l(t -s )U (t, s )x + be -l(t -s )U (t, s )y, = aU l (t, s )x + bU l (t, s )y, "t ³ s ³ Mặt khác U l (t, s ) = e -l(t -s )U (t, s ) £ e -Rel.(t -s ) U (t, s ) = U (t, s ) e Rel.(t -s ) Vì U (t, s ) Ỵ L(X ) nên U bị chặn, tức tồn M > cho: U (t, s ) £ M , "t ³ s ³ Với t ³ s ³ , tồn N > 0, cho: e R e l ( t -s ) £ N Từ suy U l (t, s ) £ M N , với t ³ s ³ Vậy U l (t, s ) Ỵ L(X ), hay họ U l = (U l (t, s )) t ³s ³0 Ì L(X ) Với t ³ r ³ s ³ 0, ta có: U l (t, t ) = e -l(t -t )U (t, t ) = I , ( I ánh xạ đồng X ) U l (t, r )U l (r , s ) = e -l(t -r )U (t, r )(e -l(r -s )U (r , s )) = e -l(t -r )e -l(r -s )U (t, r )U (r , s ) = e -l(t -s )U (t, s ) = U l (t, s ) Hơn ánh xạ (t, s )  U (t, s )x liên tục với x Ỵ X, nên ánh xạ (t, s )  e -l(t -s )U (t, s )x liên tục với x Ỵ X Suy ánh xạ (t, s )  U l (t, s )x liên tục với x Ỵ X Vậy U l họ tiến hóa tuần hồn tốn tử tuyến tính bị chặn X Mặt khác U l (t + 1, s + 1) = e -l(t +1-(s +1))U (t + 1, s + 1) = e -l(t -s )U (t, s ), "t ³ s ³ Vậy U l tuần hoàn chu kì Tương tự ta kiểm tra Sl nửa nhóm tiến hóa tốn tử tuyến tính, bị chặn AP0 ( +, X ) Ta gọi Sl nửa nhóm tiến hóa cảm sinh họ tiến hóa U l khơng gian AP0 ( +, X ) Vì l Ỵ r(G ) nên G - lI song ánh Suy G - lI toán tử khả nghịch ( ) Ta lại có G - lI tốn tử sinh nửa nhóm tiến hóa S l = e -ltS (t ) ( t ³0 ) không gian AP0 ( +, X ), cảm sinh họ tiên hóa U l = e -l(t -s )U (t, s ) Thật vậy, với f Ỵ AP0 ( +, X ) , ta có: ổ f ữử -lt ỗ ữ e S ( t ) f ỗ ỗố e -lt ữữứ e -ltS (t )f - f = lim lim t 0 t 0 t t t ³s ³0 ỉ f ççS (t )f - f + f - -lt ÷÷÷÷ çè e ø = lim t 0 t ỉ çç f - f ÷÷ S (t )f - f ) ỗố ( e -lt ữứữ = lim + lim t 0 t 0 t t ( f - fe ) + lim lt = Gf t t 0 = Gf - lim ( ) f e lt - t t 0 e ( = Gf -l f lim t 0 lt ) -1 lt = Gf - l f = (G - lI ) f ( Với I ánh xạ đồng không gian AP0 ( +, X ) ) ( ) Do G - lI tốn tử sinh nửa nhóm tiến hóa S l = e -ltS (t ) ( ) AP0 ( +, X ), cảm sinh họ tiên hóa U l = e -l(t -s )U (t, s ) t ³s ³0 t ³0 không gian Theo chứng minh định lí 2.2.3, ta có U l ổn định lũy thừa Do tồn M w > , w Ỵ , w < cho: U l (t, s ) £ M we w(t -s ), với t ³ s Điều tương đương với e -l(t -s )U (t, s ) £ M we w(t -s ), với t ³ s Hay U (t, s ) e (Rel)(t -s ) £ M we w(t -s ) với t ³ s Ta có U m (t, s ) = e -m(t -s )U (t, s ) =e (-Rem)(t -s ) U (t, s ) = £ U (t, s ) e (Re m)(t -s ) U (t, s ) e (Rel)(t -s ) £ M we w(t -s ) Suy U m ổn định lũy thừa Theo chứng minh định lí 2.2.3, suy G - mI khả nghịch Hay m Ỵ r(G ) Do s(G ) = {l Ỵ  : Rel £ s(G )} Nếu Re l > s(G ) l Ï s(G ) Do l Ỵ r(G ) Suy luận tương tự ta có U l ổn định lũy thừa Vì nửa nhóm tiến hóa ( ) Sl (t ) = e -ltS (t ) t ³0 ổn định lũy thừa ( ) Trường hợp đặc biệt: r e -ltS (t ) < Điều dẫn đến r (S (t )) < e Rel.t , với t > Do r (S (t )) £ e s (G ).t , t ³ Mặt khác theo định lí phổ bao hàm, ta có: e s(G ).t Í s(S (t )) , t ³ Suy s(S (t )) đĩa thõa mãn định lí ánh xạ phổ Một ứng dụng khác định lí 2.2.3 bất đẳng thức Landau – kallman – Rota Chi tiết kết xem “C Buse, S S Dragomir, A Kallman-Rota Inequality for Evolution Semigroups, submitted” “C Buse, The spectral mapping theorem for evolution semigroups on the space of asymptotically almost periodic functions defined on the half-line, Electronic Journal of Differential Equations, Vol 2002(2002), No 70, pp.1-11” Kí hiệu Y không gian C 00 ( +, X ) , AAP0 ( +, X ) , hay AP0 ( +, X ) Định lí 3.3.2 Cho U = {U (t, s ) : t ³ s ³ 0} họ tiến hóa tuần hồn với chu kỳ tốn tử tuyến tính bị chặn X , f Ỵ Y thõa mãn điều kiện sau i) v f (., 0) = ò U (., s)f (s)ds thuộc vào Y ii) w f (.) = ò ( - s )U (., s )f (s )ds thuộc vào Y { Nếu sup U (t, s ) : t ³ s ³ v f (., 0) Y £ 4M f Y } = M < ¥ w f (.) Y Để chứng minh định lí ta sử dụng kết sau: Cho T = {T (t ) : t ³ 0} nửa nhóm liên tục mạnh A : D(A) Ì X  X hàm sinh nửa nhóm T Nếu T ổn định đều, tức tồn số dương M cho sup T (t ) = M < ¥ , t ³0 Ax £ 4M A2x x , với x thuộc D(A2 ) Chứng minh: Sử dụng kết d) định lí 1.2.4 ta dễ dàng kiểm tra với x Ỵ D(A2 ), ta có: t T (t )x - x = tAx + ò (t - s )T (s )A2xds Thật vậy, với x Ỵ D(A2 ), ta có: t t ò (t - s )T (s )A xds = d ò (t - s ) ds T (s )Axds t Sử dụng phương pháp tích phân phần cho tích phân ị (t - s ) t ò t d T (s )Axds, ta thu được: ds d (t - s ) T (s )Axds = (t - s )T (s )Ax |t0 +ò T (s )Axds ds t = -tT (0)Ax +ò T (s )Axds t = -tAx +ò d T (s )xds ds = -tAx + T (s )x |t0 = -tAx + T (t )x - x t = tAx + ò (t - s )T (s )A2xds T (t )x - x Vậy t ư÷ ổỗ = ỗỗT (t )x - x - ò (t - s )T (s )A xds ÷÷ ÷÷ t ỗố ứ Ax Do ú iu ny dn n t ửữ ổỗ ỗ Ax = ỗT (t )x - x - ò (t - s )T (s )A xds ữữ ữữ t ỗố ứ ổ ỗỗ Ê ỗ T (t )x + x + t ỗỗố t ũ ửữ (t - s )T (s )A xds ữữữ ứữ t ửữ ổỗ Ê ỗỗ T (t )x + x + ũ (t - s ) T (s )A x ds ÷÷ ữữ t ỗố ứ ổỗ Ê ỗỗ T (t )x + x + T (s ) A2x t çè £ t ị ư÷ (t - s )ds ÷÷ ÷÷ ø 2M Mt x + Ax t Ta giả sử M ³ , ( T (0) = 1) Nếu A2x = Ax = 0, bất đẳng thức cần chứng minh Nếu A x ¹ 0, chọn t = x 2M Ax £ x A2x Điều tương đương với 2 Ax - , ta có: M x + x 2 Ax - A2x Ax £ 2M x 2 Ax Hay Ax £ 4M A2x x (Ngoài tham khảo chứng minh kết R.R Kallman and G C Rota, on the inequality f ¢ £ f f ¢¢ , Inequality II, O.Shiha, Ed., Academic Press, NewYork 1970, pp 187-192) Chứng minh định lí 3.3.2 Trường hợp Y = AP0 ( +, X ) Gọi S nửa nhóm tiến hóa liên kết với U khơng gian Y = AP0 ( +, X ) , (G, D(G )) hàm sinh Vì v f (., 0) = ị U (., s)f (s)ds f Ỵ AAP0 ( +, X ) nên theo bổ đề 2.2.4, ta có: v f (., 0) Ỵ D(G ) Gv f (., 0) = -f Mặt khác t w f (t ) = ò (t - s )U (t, s )f (s )ds t = ò (ò dr )U (t, s)f (s )ds t = = = s t ò ds ò U (t, s )f (s )dr s t t ò ds ò U (t, r )U (r, s )f (s )dr, s t r ò dr ò U (t, r )U (r, s )f (s )ds, t = t "t ³ r ³ s ³ 0 r ò U (t, r )dr ò U (r, s )f (s )ds, "t ³ r ³ s ³ 0 "t ³ r ³ s ³ t = ò U (t, r )v (r, 0)dr, "t ³ r ³ s ³ f Vì v f (., 0) Ỵ AP0 ( +, X ) nên theo bổ đề 2.2.4, ta có: w f (.) Ỵ D(G ) , G 2w f (.) = f G w f (.) = v f (., 0) Ta lại có S (t )f AP0 (  + , X ) = sup U (s, s - t )f (s - t ) s ³t ( £ sup U (s, s - t ) f (s - t ) s ³t £M f Suy S (t ) AP0 (  + ,X ) ) £ M , "t ³ AP0 (  + , X ) Do sup S (t ) t ³0 AP0 (  + ,X ) Sử dụng bất đẳng thức Ax £ M < ¥ £ 4M A2x x , với x thuộc D(A2 ) cách chọn A º G, x = w f (.) Ỵ D(G ), ta thu v f (., 0) Y £ 4M f Y w f (.) Y Chứng minh định lí 3.3.2 trường hợp lại suy tương tự Giả thiết định lí Neerven – Vu viết lại sau Tồn số dương K cho: t sup t ³0 ò T (x)e -i mx xd x £ K e i m.x BUC (  + , X ) , với x Ỵ X kết sau hiển nhiên Định lí 3.3.3 Cho U = {U (t, s ) : t ³ s Ỵ } họ tiến hóa tuần hồn chu kỳ 1, gồm tốn tử tuyến tính bị chặn X Hai khẳng định sau tương đương (1) U ổn định lũy thừa (2) Với p Ỵ TP0 ( +, X ) nghiệm v p (., 0) thuộc vào AP0 ( +, X ), tồn số K dương cho: v p (., 0) £K p AP0 (  + , X ) AP0 (  + , X ) (3.3.1) Chứng minh: (1) kéo theo (2) Giả sử U ổn định lũy thừa p Ỵ TP0 ( +, X ) Vì TP0 ( +, X ) Ì AP0 ( +, X ) nên p Ỵ AP0 ( +, X ) Áp dụng định lí 2.2.3 ta có v p (., 0) thuộc vào AP0 ( +, X ) Do p Ỵ AP0 ( +, X ) , v p (., 0) Ỵ AP0 ( +, X ) nên tồn M , N > cho p Chọn K ³ AP0 (  + , X ) £ M , v p (., 0) AP0 (  + , X ) £ N N , ta có: M v p (., 0) £N AP0 (  + , X ) £ K M £K p AP0 (  + , X ) (2) kéo theo (1) Cho f Ỵ AP0 ( +, X ) pn Ỵ TP0 ( +, X ) với (pn ) dãy hội tụ tới f AP0 ( +, X ) Tức lim pn - f n ¥ AP0 (  + ,X ) = Từ giả thiết (3.1), ta có: v p (., 0) n ( AP0 (  + ,X ) £ K pn AP0 (  + , X ) ) Suy v p (., 0) hội tụ AP0 ( +, X ) n Mặt khác với t ³ ta có t v p (t, 0) = n ò U (t, s )p (s )ds , n Do t v p (t, 0) - v f (t, 0) n AP0 (  + , X ) = t ò U (t, s )p (s )ds - ò U (t, s )f (s )ds n 0 AP0 (  + ,X ) t ò U (t, s )(p (s ) - f (s ))ds = n AP0 (  + ,X ) t £ ò U (t, s )(pn (s ) - f (s )) ds t £ ò U (t, s ) (p (s) - f (s )) ds n t £ ò U (t, s ) pn - f AP0 (  + ,X ) ds Vì U (t, s ) Ì L(X ) nên bị chặn Tức tồn M > 0, cho: U (t, s ) £ M , "t ³ s Do t v p (t, 0) - v f (t, 0) n AP0 (  + ,X ) ( £ ò M pn - f ) AP0 (  + , X ) ds (3.3.2) Cho n  ¥ (3.3.2) ta v p (t, 0) hội tụ v f (t, 0), "t ³ Hay (v pn n ) (, 0) hội tụ điểm v f (, 0) Vì v f (., 0) thuộc AP0 ( +, X ) Theo định lí 2.2.3 ta suy U ổn định lũy thừa Hoàn thành chứng minh định lí 3.3.3■ KẾT LUẬN Luận văn trình bày lại cách có hệ thống số kết ổn định lũy thừa họ tiến hóa tuần hồn, mối quan hệ với nghiệm toán Cauchy Đồng thời tác giả đưa số ứng dụng quan trọng kết Tác giả trình bày cách chi tiết đề nghị phép chứng minh cho định lí Các kết luận văn bao gồm: Bổ đề nửa nhóm liên tục mạnh sinh bỡi hàm không gian AP0 ( +, X ) (Bổ đề 2.2.1 bổ đề 2.2.2) Định lí mối liên hệ tính chất nghiệm tốn Cauchy với tính ổn định lũy thừa họ tiến hóa tuần hồn (định lí 2.2.3, bổ đề 2.2.4, định lí 2.2.5) Một số ứng dụng định lí 2.2.3 (Định lí 3.3.1, định lí 3.3.2, định lí 3.3.3) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A.Abbondandolo and P.Majer, Ordinary differential operators in Hilbert spaces Fredholm pairs, Math.Z 243 (and 2003), 525- 562 [2] A.G Baskakov, semigroups of differential operators in the spectral analysis of linear differential operators, Funct Anal Appl 30 (1996), 149- 157 [3] A.G Baskakov, on correct linear differential operators, Math Sbornik 190(1999), 323-348 [4] A.G Baskakov, Spectral analysis of linear differential operators and simigroups of difference operators I, Diff Eqns 33 (1997), 1305-1312 [5] A Ben – Artzi and I Gohberg, Dichotomy of systems and invertibility of linear ordinary differential operators, Oper Theory Adv Appl.56, 1992, 91119 [6] C Buse (2001), “Exponential stability for periodic evolution family of bounded linear operators”, Rend Sem Mat Univ Pol TorinoVol 59, (2001) [7] Constantin Buse (2002) “A spectral mapping theorem for evolution semigroups on asymptotically almost periodic functions defined on the half line”, Electronic Journal of Differential Equations, Vol, (2002) [8] NVM “Exponential stability, exponential expansiveness, and exponential dichotomy of evolution equations on the half-line”, Frank Rabiger and Roland Schnaubelt Department of Mathematics University of Tubingen D-72076-Tubingen, Germany [9] NVMinh(2006) “Almost periodic solution of C – Well – Posed evolution equation”, Math J Okayama Univ 48 (2006), 145–157 [10] Klaus, Jochen Engel, Rainer Nagel (2000), One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Springer [11] VQP(2001), “ On stability of C0 - Semigroups”, Proceedings of The American Mathematical SocietyVolume 129, Number 10, Pages 2871–2879, S 0002-9939(01)05614-3 [12] A.Pazy, (1973), Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer-Verlag [13] [17] Nguyen Van Minh, Frank Rabiger and Roland Schnaubelt, Exponential stability, exponential expansiveness, and exponential chotomy of evolution equations on the half-line, Integral Equations Operator Theory, 32,(1998), 332-353 [14] [2] C Buse, The spectral mapping theorem for evolution semigroups on the space of asymptotically almost periodic functions defined on the half-line, Electronic Journal of Differential Equations, Vol 2002(2002), No 70, pp.1-11 ... Trong luận văn tơi xin đề cập đến kết hai tác giả nói trên, là: “MỘT ĐỊNH LÍ MỚI VỀ ỔN ĐỊNH LŨY THỪA CỦA HỌ TIẾN HĨA TUẦN HỒN TRÊN KHƠNG GIAN BANACH? ?? Cụ thể Chúng ta xem xét nghiệm yếu tốn Cauchy...  + Theo định lí 2.2.5 (iv)  (i ) ta suy U ổn định lũy thừa Chú ý Từ điều kiện tương đương (i) (iv) định lí 2.2.5 với kết định lí 2.2.3 thấy họ tiến hóa U định lí 2.2.3 ổn định lũy thừa với... )x , liên tục với x Ỵ X Một họ tiến hóa bị chặn lũy thừa tồn w Ỵ , M w > cho U (t, s ) £ M we w(t -s ) với t ³ s ³ gọi ổn định lũy thừa (1.24) với số w < Nếu họ tiến hóa thõa mãn điều kiện (e3)