Bài toán CAUCHY cấp hai trong thanh các không gian banach

1 BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH F G Nguyễn Thanh Hà BÀI TOÁN CAUCHY CẤP HAI TRONG THANG CÁC KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành : Toán Giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2005 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành bày tỏ lòng tôn kính biết ơn sâu sắc PGS.TS Nguyễn Bích Huy, người thầy tận tình giảng dạy, hướng dẫn suốt trình học tập thực luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn PGS.TS Lê Hoàn Hoá, TS Nguyễn Anh Tuấn, PGS.TS Dương Minh Đức, TS Nguyễn Thành Long, quý thầy trực tiếp trang bị cho kiến thức làm tảng cho trình nghiên cứu Đồng thời, thông qua giảng dạy, quý thầy giúp quen dần với công việc nghiên cứu Tôi vô cám ơn BGH, quý thầy cô khoa Toán, phòng KHCN Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh; UBND với Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Bến Tre, quý thầy cô trường THPT Bình Đại A, tạo điều kiện thuận lợi cho học tập nghiên cứu Tôi biết ơn gia đình, quý đồng nghiệp bạn bè gần xa giúp đỡ, hổ trợ tinh thần vật chất cho thời gian qua Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2005 Nguyễn Thanh Hà CHƯƠNG MỞ ĐẦU Nhiều toán từ lónh vực khác khoa học, dẫn đến việc khảo sát tồn tính nghiệm cho phương trình vi phân không gian Banach với điều kiện đầu (bài toán Cauchy) Có nhiều lớp phương trình vi phân khảo sát, lớp phương trình lại có phương pháp nghiên cứu riêng Bài toán Cauchy thang không gian Banach có nhiều ứng dụng nghiên cứu toán chứa kỳ dị Ovsjannikov, Treves, Nirenberg, Nishida, Deimling số tác giả khác nghiên cứu tồn nghiệm cho toán Cauchy cấp thang không gian Banach tìm nhiều ứng dụng khác cho Phương trình Vi phân, Vật lý Cơ khí Sau đó, Barkova Zabreik tìm kết tương tự cho toán Cauchy cấp hai thoả điều kiện Lipschitz Ở luận văn đặc biệt quan tâm đến toán Cauchy cấp hai thang không gian Banach dạng u′′ = f (t , u ) u (0) = u0 , u′(0) = u1 với kết vài ứng dụng đơn giản Trong suốt luận văn, hàm f (t , u ) xét dạng khác ứng với điều kiện khác nhau, ta giả thiết ( E , ) , λ ∈ [ a, b] ⊂ ( 0, +∞ ) λ λ thang không gian Banach cho trước thoã mãn: λ < λ ' Eλ ' ⊂ Eλ vaø u λ ≤ u λ ' , với u ∈ Eλ Trong chương hai, trình bày toán Cauchy cấp hai với du ⎞ ⎛ f (t , u ) thay f ⎜ t , u , ⎟ thoảđiều kiện Lipschitz Đây dt ⎠ ⎝ kết tương tự với toán Cauchy cấp Khi f (t , u ) thay hàm A(t )u + f (t ) hàm A ( Bu (t ), u ) , giả thiết thay đổi theo nhằm đủ cho việc nghiên cứu tồn đánh giá nghiệm toán Kết trình bày chương ba Ở chương bốn, điều kiện nhiễu compact xét đến thay cho điều kiện Lipschitz Kết thu cho toán cấp hai tương tự với kết K Deimling toán Cauchy cấp Kết thúc luận văn vài ứng dụng cho phương trình Kirchhoff CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH CẤP HAI VỚI ĐIỀU KIỆN LIPSCHITZ Trong chương này, ta chứng minh kết tồn nghiệm phương trình cấp hai, tương tự với định lý Nishida-Nirenberg Trước hết, giả sử ta có thang ( Eλ , λ ) , λ ∈ [ 0,1] ánh xạ f tác dụng liên tục từ [ 0, T ]× Eλ × Eλ vào Eλ ' với cặp λ < λ ' thoả điều kiện f (t , u1 , v1 ) − f (t , u2 , v2 ) λ ' ≤ a(λ , λ ') u1 − u2 λ + b(λ , λ ') v1 − v2 λ ; (2.1) hàm a (λ , λ '), b(λ , λ ') không âm, không phụ thuộc t , ui , vi Ta xét toaùn u′′ = f ( t , u, u′ ) (2.2) u (0) = u0 , u′(0) = u1 (2.3) với điều kiện (2.3) thuộc E1 2.1 Phương trình cấp hai với điều kiện Lipschitz với hàm a(λ , λ '), b(λ , λ ') tổng quát Ta cần số xây dựng bổ trợ Ta xét ánh xạ từ không gian C ([ 0, T ] , ) vào sau: c(λ , λ ') w(t ) = ∫ [ a(λ , λ ')(t − τ ) + b(λ , λ ')] w(τ )dτ ( λ ' < λ ) t n c(λ0 , λ1 , , λn ) w(t ) = ∏ c(λi −1 , λi )w(t ); ( λ0 > λ1 > > λn ) i =1 (2.4) (2.5) (trong (2.5) , ∏ hiểu hợp ánh xạ) cn (λ , λ ') w(t ) = inf c(λ1 , λ2 , , λn ) w(t ); (λ ' < λ ) (2.6) (2.6) inf lấy tập tất n + số (λ0 , λ1 , , λn ) thoả điều kiện λ = λ0 > λ1 > > λn = λ ' Cuối ta định nghóa với cặp λ ' < λ tập hợp { } T (λ , λ ') = T ′ ∈ [ 0, T ]: lim n cn (λ , λ ')1(t ) < 1, ∀t ∈ [ 0, T ′] n →∞ 1( t ) ≡ Định lý t Nếu số T ′ ∈ T (λ , λ ') vaø haøm h0 (t ) = u1 + ∫ f (τ , u0 ,0) dτ bị chặn Eλ toán (4.2)-(4.3) có nghiệm u : [ 0, T ′] → Eλ ' Chứng minh Ta xét ánh xạ F : Cλ = C ([ 0, T ′] , Eλ ) → Cλ ' = C ([ 0, T ′] , Eλ ' ) định t τ ( Fv)(t ) = u1 + ∫ f ⎡τ , u0 + ∫ v(ξ )dξ , v(τ ) ⎤ dτ 0 ⎣⎢ ⎦⎥ Ta nhận thấy rằng, v điểm bất động F hàm t u (t ) = u0 + ∫ v (τ )dτ nghiệm (4.2) – (4.3) Thật vậy, v điểm bất động F ( τ ) v (t ) = ( Fv ) (t ) = u1 + ∫ f τ , u0 + ∫ v (ξ )dξ , v (τ ) dτ t t Từ u (t ) = u0 + ∫ v (τ )dτ , ta coù: u '(t ) = v (t ), u (0) = u0 Neân u '(t ) = u1 + ∫ f (τ , u (τ ), v (τ ) ) dτ t Do đó, ta có u "(t ) = f ( t , u (t ), v (t ) ) = f ( t , u (t ), u′(t ) ) vaø u (0) = u0 , u '(0) = u1 Khẳng định chứng minh Tiếp theo, ta chứng minh ( Fv1 ) (t ) − ( Fv2 ) (t ) λ ' ≤ c(λ , λ ') ( v1 (t ) − v2 (t ) λ ) ; ( v1 , v2 ∈ Cλ ) (2.7) Từ định nghóa ánh xạ F điều kiện (2.1) ta coù Fv1 (t ) − Fv2 (t ) λ ' ≤ t ( τ ) ( τ ≤ ∫ f τ , u0 + ∫ v1 (ξ )dξ , v1 (τ ) − f τ , u0 + ∫ v2 (ξ )dξ , v2 (τ ) 0 ) dτ λ' τ t ≤ ∫ ⎡ a (λ , λ ') ∫ v1 (ξ ) − v2 (ξ ) λ dξ + b(λ , λ ') v1 (τ ) − v2 (τ ) λ ⎤ dτ ⎥⎦ 0⎢ ⎣ Theo công thức tích phân phần ∫ t τ a (λ , λ ') ∫ v1 (ξ ) − v2 (ξ ) λ dξ dτ t τ t = ⎡τ a (λ , λ ') ∫ v1 (ξ ) − v2 (ξ ) λ dξ ⎤ − ∫ τ a (λ , λ ′) v1 (τ ) − v2 (τ ) λ dτ ⎢⎣ ⎥⎦ 0 t = ∫ a(λ , λ ')(t − τ ) v1 (τ ) − v2 (τ ) λ dτ Suy ra, Fv1 (t ) − Fv2 (t ) λ ' ≤ t t 0 ≤ ∫ a (λ , λ ')(t − τ ) v1 (τ ) − v2 (τ ) λ dτ + ∫ b(λ , λ ') v1 (τ ) − v2 (τ ) λ dτ Như vậy, ta có (2.7) Với số λ = λ0 > λ1 > λ2 > > λn = λ ' , ta áp dụng (2.7) có ( F n v1 (t ) − F n v2 (t ) ≤ c(λn−1 , λn ) F n−1v1 (t ) − F n−1v2 (t ) λ' λn −1 ) ≤ ( ≤ c(λn−1 , λn )c(λn−2 , λn−1 ) c(λ0 , λ1 ) v1 (t ) − v2 (t ) λ ) Suy ra, với v1 , v2 ∈ Cλ : F nv1 (t ) − F nv2 (t ) ≤ c(λn−1 , λn )c(λn−2 , λn−1 ) c(λ0 , λ1 ) v1 (t ) − v2 (t ) λ λ' Mà với i = 1,2, , n , ta coù ( ) c(λi −1 , λi ) (v1 − v2 )(t ) λ = ∫ [ a(λi −1 , λi )(t − τ ) + b(λi −1 , λi ) ] (v1 − v2 )(τ ) λ dτ t ∫ [ a (λ t ≤ v1 − v2 C λ i −1 , λi )(t − τ ) + b(λi −1 , λi ) ].1dτ tức ta có c(λi −1 , λi ) (v1 − v2 )(t ) λ ≤ v1 − v2 C c(λi −1 , λi )1(t ), ∀i = 1,2, , n λ Neân F nv1 (t ) − F nv2 (t ) ≤ ( c(λn−1 , λn )c(λn−2 , λn−1 ) c(λ0 , λ1 ) )1(t ) v1 − v2 C λ' λ Do đó, ta có F n v1 − F n v2 Cλ ' ≤ cn (λ , λ ')1(T ') v1 − v2 C (2.8) λ Neáu ta xây dựng dãy lặp v0 (t ) = 0, vn+1 (t ) = Fvn (t ), (n = 0,1, ) (2.8) có đánh giá vn+1 − C = F n v1 − F n v0 λ' Cλ ' ≤ cn (λ , λ ')1(t ) v1 − v0 C λ (2.9) t Do v1 (t ) − v0 (t ) = u1 + ∫ f (τ , u0 ,0)dτ =h0 (t ) hàm thuộc Cλ nên từ (2.9) định nghóa tập T (λ , λ ') , dãy điểm bất động F {vn } hội tụ Cλ ' tới hàm v 2.2 Phương trình cấp hai với điều kiện Lipschitz với hàm a(λ , λ '), b(λ , λ ') trường hợp đặc biệt Sử dụng định lý tổng quát ta cách đánh giá tập T ( λ , λ ') trường hợp riêng quan trọng Với Jw(t ) = ∫ w(τ )dτ , ta coù: J w(t ) = ∫ Jw(τ )dτ = ∫ 0 t t t ( ∫ w(ξ )dξ ) dτ τ p dụng công thức tích phân phần, ta có ∫ ( ∫ w(ξ )dξ ) dτ = t ∫ w(τ )dτ − ∫ τ w(τ )dτ =∫ (t − τ ).w(τ )dτ t τ t t t 0 0 Do đó, t J w(t ) = ∫ (t − τ ) w(τ )dτ Kết hợp (2.4), ta t c(λ , λ ') = a (λ , λ ') J + b(λ , λ ') J , với Jw(t ) = ∫ w(τ )dτ Goïi D ⊆ {1,2, , n} , ta thực phép nhân phân phối vế với vế n đẳng thức c(λ0 , λ1 ) w(t ) = a(λ0 , λ1 ) J + b(λ0 , λ1 ) J c(λ1 , λ2 ) w(t ) = a(λ1 , λ2 ) J + b(λ1 , λ2 ) J c(λn−1 , λn ) w(t ) = a (λn−1 , λn ) J + b(λn−1 , λn ) J ta đẳng thức có vế phải tổng mà số hạng có dạng ∏ a (λ j∈D j −1 , λ j ) J 2l ∏ b(λ j −1 , λ j ) J n−l , l số phần tử D, với j∉D +(n-l)=k k=n,n+1,…,2n Ta thấy số phần tử D l=k-n 2l 10 Gọi M k tập tập D ⊂ {1, 2, , n} định nghóa ( 2.5), ta coùù 2n c(λ0 , λ1 , , λn ) = ∑ d k (λ0 , λ1 , , λn ) J k k =n d k (λ0 , λ1 , , λn ) = Vì J k 1(t ) = ∑ ∏ a (λ D∈M k j∈D j −1 , λ j )∏ b(λ j −1 , λ j ) j∉D tk , nên ta có k! 2n tk c ( λ0 , λ1 , , λn )1( t ) = ∑ d k ( λ0 , λ1 , , λn ) k! k =n (2.10) Giả sử hàm a (λ , λ '), b(λ , λ ') thõa mãn điều kiện sau Điều kiện (λ ) Tồn hàm an (λ , λ '), bn (λ , λ '), (n = 1,2 ) cho với cặp λ' λ1 > > λn = λ ' cho a(λ j −1 , λ j ) = an (λ , λ '), b(λ j −1 , λ j ) = bn (λ , λ ') ( j = 1, , n) Do d k tổng gồm số hạng (trong trường hợp này) nhau; tổng số số hạng tổng số tập D A = {1, 2, , n} , tức Cnk −n Nên với điều kiện (λ ) vậy, ta coù d k ( λ0 , λ1 , , λn ) = Cnk −n ank −n (λ , λ ')bn2 n−k (λ , λ '), (2.11) Ta xét trường hợp a (λ , λ ') = a.(λ − λ ') −2 , b(λ , λ ') = b.(λ − λ ') −1 ( a > 0, b > laø số), mở rộng tự nhiên điều kiện dạng Lipshitz cho phương trình cấp Khi điều kiện (λ ) thỏa với 26 (4.4) v(0) = u0 ; v′(0) = u1 có nghiệm nhaát v := Fu : ⎡⎣ 0, Tβ ) → Eβ với β ∈ (a, b) Ký hiệu d = Me ; choïn ε > 0, δ > cho λ + ε < b, δ < Tλ +ε định nghóa F C ( I , Eλ ) sau ⎧⎪nghiệm toán (4.3) − (4.4), neáu t ∈ [ 0,δ ]; Fu(t ) = ⎨ ⎪⎩ Fu(δ ), neáu t ∈ (δ , T ] p dụng điều kiện (3.3) với ký hiệu (3.5) định lý 3.1, ta có Với t ∈ ⎡⎣0, δ ⎦⎤ ⎡ ⎤ (b − λ ) b−λ Fu (t ) − u (t ) λ ≤ ⎢c + sup h ( s, u ( s ) ) b ; s ∈ [ 0, t ] ⎥ 2d ⎣ ⎦ 2(b − λ − td ) { } ⎡ b −λ −ε (b − λ ) ⎤ ≤ ⎢c + c0 ⎥ 2d ⎣ ⎦ 2(b − λ − ε − td ) Do k (t ) = b −λ −ε laø haøm tăng theo t, nên ta suy 2(b − λ − ε − td ) Fu (t ) − u (t ) λ ≤ C1.C2 với t ∈ ⎡⎣0,δ ⎤⎦ , (b − λ ) b −λ −ε C1 = , C2 = c + 2(b − λ − ε − δ d ) 2d Với t ∈ (δ ,T ⎤⎦ , ta có Fu (t ) − u (t ) λ ≤ Fu (δ ) − u (δ ) λ + u (δ ) − u (t ) λ Neân ⎛ ⎞ (b − λ ) ⎞⎛ b −λ −ε Fu (t ) − u (t ) λ ≤ ⎜ c + c0 ⎟⎜ + 2c ⎟ 2d ⎝ ⎠ ⎝ 2(b − λ − ε − δ d ) ⎠ Như Fu (t ) − u (t ) λ ≤ C1C2 + 2c , với t ∈ ⎡⎣0, T ⎤⎦ (4.5) 27 Nếu Fu, Fv nghiệm (4.1) vơi điều kiện (4.2) toán w′′ = A(t ) w + h ( t , u (t ) ) − h ( t , v(t ) ) ; w(0) = w′(0) = có nghiệm Fu − Fv p dụng lại ký hiệu (3.5) kết hợp điều kiện (3.3) định lý 3.1, ta có ⎡ ( b − λ )2 ⎤ b−λ − sup , ( ) , ( ) Fu (t ) − Fv(t ) λ ≤ ⎢ h s u s h s v s ( ) ( )b ⎥ s∈[ 0, t ] ⎥⎦ ( b − λ − td ) ⎣⎢ 2d ⎡ ( b − λ )2 ⎤ b−λ ≤⎢ − sup , ( ) , ( ) h s u s h s v s ⎥ ( ) ( ) b s∈[ 0, t ] ⎣⎢ 2d ⎦⎥ ( b − λ − δ d ) { } { } Do Fu (t ) − Fv(t ) λ ≤ { C1 b − λ ) sup h ( s, u ( s ) ) − h ( s, v( s ) ) b ( 2d s∈[ 0, t ] Ký hiệu X λ = C ( I , Eλ ) với chuaån u λ } (4.6) = sup u (t ) λ t∈I Ta chứng minh ánh xạ F liên tục từ X λ vào X λ Xét ánh xạ H : X λ → X b , Hu (t ) = h(t , u (t )) Từ (4.6) , ta suy Fu − Fv λ ≤ c H u − H v (4.7) b Do ta cần chứng minh H liên tục Cố định u ∈ X λ Cho soá ε > , phản chứng ta chứng minh ∃δ > : ∀v ∈ X λ , v − u λ < δ ⇒ h ( t , v(t ) ) − h ( t , u (t ) ) b < ε , ∀t ∈ I (4.8) Nếu (4.8) không đúng, ta tìm dãy {vn } ⊂ X λ dãy {tn } ⊂ I cho 28 − u λ < , h ( tn , (tn ) ) − h ( tn , u (tn ) ) b ≥ ε n (4.9) Không tính tổng quát ta coi tn → t0 ∈ I Khi , ta có : (tn ) − u (t0 ) ≤ (tn ) − u (tn ) + u (tn ) − u (t0 ) ≤ + u (tn ) − u (t0 ) n Kết hợp với tính liên tục u , ta suy lim u (tn ) = u (t0 ) (4.10) lim (tn ) = u (t0 ) Hàm h : I × Eλ → Eb liên tục ( t0 , u (t0 ) ) , nên ta có lim h ( tn , (tn ) ) − h ( tn , u (tn ) ) b = h ( t0 , u (t0 ) ) − h ( t0 , u (t0 ) ) b = n →∞ Điều mâu thuẩn với (4.9) Như F liên tục Mặt khác , ( Fu )′′ = A(t ) Fu + h ( t , u (t ) ) ( Fu )(0) = u0 ;( Fu )′(0) = u1 Nên với t , t ' ∈ I = ⎡⎣0, T ⎤⎦ , ta coù ∫ ( ∫ ( Fu )′′(τ ) dτ ) ds = ∫ ( ∫ A(τ )( Fu ) dτ ) ds + ∫ ( ∫ h(τ , u (τ )) dτ ) ds ∫ ( Fu )′(s)ds − u t − t ' = ∫ ( ∫ A(τ )( Fu )dτ ) ds + ∫ ( ∫ h(τ , u (τ ))dτ ).ds t s t s t s t' t' t' ⇒ t t' t s t s t' t' Lần lượt áp dụng giả thiết 2i) 1) mệnh đề, ta Fu (t ) − Fu (t ′) λ ≤ ∫ ≤ t t' (∫ s ) t A(τ ) Fu λ dτ ds + ∫ c0 s ds + u1 t − t ' ( t' ) t t M s Fu β dτ ds + ∫ c0 s ds + u1 t − t ' ∫t ' ∫0 t' (β − λ ) Ta thấy, (4.5) với λ ∈ [ a, b ) nên với β = λ + ε < b , ta coù 29 Fu (t ) − Fu (t ′) λ ≤ ≤ ≤ M ε ∫ (∫ t t' M ε t ⎡ u (t ) b + C1C2 + 2c ⎤⎦ dτ ds + ∫ c0 s ds + u1 t − t ' t' ⎣ C C + 3c ].sds + ∫ c0 s ds + u1 t − t ' ∫t '[ t' M ε ) s t t ∫ t '[C1C2 + 3c ].T ds + ∫ t ' c0T ds + u1 t − t ' t t ≤ C3 t − t ' C3 = MT ε2 ( 3c + C1C2 ) + c0T + u1 Do đó, với t , t ' ∈ I = ⎡⎣0, T ⎤⎦ , C3 = MT ( 3c + C1C2 ) + c0T + u1 , ta coù ε2 Fu (t ) − Fu (t ′) λ ≤ C3 t − t ′ (4.11) Ta gọi K tập hợp hàm u thuộc C ( I , Eλ ) thoả: u (t ) − u (t ') λ ≤ C3 t − t ' với t , t ' ∈ I = ⎣⎡0, T ⎦⎤ K lồi, đóng bị chặn Hơn nữa, F liên tục từ K vào K Ta chứng minh F ( K ) compact tương ñoái X = C ([ 0, Tλ ] , Eλ ) Với ε > cho trước, u ∈ K , ta chọn δ1 = Nếu với t, t ' ∈ I thoaû ε c3 t − t ' < δ1 từ (4.11), ta có Fu (t ) − Fu (t ′) λ ≤ ε Điều chứng tỏ { Fu, u ∈ K } liên tục đồng bậc Ta cần chứng minh ∀t ∈ I : { Hu (t ), u ∈ K } compact tương đối Eλ , kết hợp (4.7) để suy ∀t ∈ I : { Fu(t ), u ∈ K } compact tương đối Ta có K ⊂ X λ tập bị chặn 30 Khi đó, K ' = {u (t ) : t ∈ [ 0, T ] , u ∈ K } ⊂ Eλ tập bị chặn Và đó, áp dụng giả thiết 2.ii) ta có {h(t , v) : v ∈ K '} tập compact tương đối Maø { Hu (t ) : u ∈ K } = {h ( t , u (t ) ) : u ∈ K } ⊂ {h(t , v) : v ∈ K '} Neân { Hu (t ) : u ∈ K } tập compact tương đối Eλ p dụng định lý Schauder, ta thấy F có điểm bất động K Điểm bấe động nghiệm [ 0, δ ] với giá trị Eλ 31 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG Nhiều toán bề mặt sóng nước, phương trình truyền nhiệt, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng với toán tử giả phân v.v… đưa đến việc nghiên cứu toán Cauchy thang không gian Banach Trong chương này, ta xét đến ứng dụng cho phương trình Kirchhoff Bài toán ứng dụng xét thang không gian hàm lớp Gevrey 5.1 Thang không gian hàm lớp Gevrey Giả sử Ω ⊂ n tập mở, ta ký hiệu A (Ω) lớp hàm thực thoả: ∃K > 0, ∃c > : Dα u ≤ K α! c α , với α ∈ n (5.1) ta giả sử v = sup { v( x) : x ∈Ω} với α = (α1 ,α , ,α n ) ∈ n ta định nghóa α ! = α1 !α ! α n !, α = α1 + α + + α n Với λ > bất kỳ, ta ký hiệu Eλ không gian hàm u ∈ C ∞ (Ω) λα thoả u λ := ∑ D u 0} Bổ đề Thang không gian Banach ( Eλ , λ ) , λ ∈ [ a, b ] có tính chất sau 1) Nếu u , v ∈ Eλ u.v ∈ Eλ ta có u.v ≤ u v , 2) Tồn số M > phụ thuộc vào a, b cho với a ≤ λ < β ≤ b , ta coù Δu λ ≤ M u , u ∈ Eβ , ( β − λ )2 β Δ toán tử Laplace Chứng minh 1) Ta có Dα (uv) = ∑ cαδ Dδ u.Dα −δ v , δ ≤α định nghóa δ = (δ1 , δ , , δ n ) ≤ α = (α1 ,α , ,α n ) neáu δ i ≤ α i , với i = 1, n α − δ = (α1 − δ1 ,α − δ , ,α n − δ n ) Do đó, λα λδ λ α −δ δ α −δ ≤∑ ∑ D u D v ∑ D uv α (α − δ )! α ! α δ ≤α δ! α (5.2) Bằng quy tắc nhân hai chuỗi, vế phải (5.2) u v u.v ≤ u v 2) Với đa chæ α + = (α1 + 2,α , ,α n ) , ta có số α = (α1 ,α , ,α n ) , ta ñaët 33 ⎛ ∂ 2u ⎞ λ α β α +2 ⎛ λ ⎞ α +2 D ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ≤ D u x ! ( 2)! α α ∂ + ⎝β ⎠ ⎝ ⎠ α +2 α (α1 + 1)(α1 + 2) λ2 (5.3) Xét biến thiên f (t ) = t a t với a 0, K > cho Dxα f (t , x, u ) ≤ K (t , x, u ) ∈ ΩT × n α! c α với 5.2.1 Bổ đề Giả sử giả thiết ( H ) , ( H ) thoả mãn Khi đó, toán tử Bu (t ) = f ⎛⎜ t , x, ∫ ∇ xu dx ⎞⎟ hoàn toàn liên tục từ C1 ([ 0,T ] , Ea ) vaøo ⎝ ⎠ P C ([ 0, T ] , Eb ) với < a < b < c { } Hơn nữa, sup Bu (t ) b : u ∈ C1 ([ 0, T ] , Ea ) , t ∈ [ 0, T ] < ∞ Trong đó, C1 ([ 0,T ] , Ea ) vaø C ([ 0,T ] , Eb ) ta xét chuẩn thông thường u a = sup { u (t ) a + u′(t ) a : t ∈ [ 0, T ]} , u a = sup { u (t ) b : t ∈ [ 0, T ]} Chứng minh Đặt I = [ 0, T ] , trước hết ta chứng minh toán tử F : C ( I , Ea ) → C ( I , ), Fu (t ) = ∫ ∇ xu (t , x) dx P hoàn toàn liên tục Giả sử V ⊂ C1 ( I , Ea ) tập bị chặn u a ≤ r với u ∈V Do ∂ u (t , x) ≤ u (t ,.) a , nên ta có a ∂xi 35 2 ⎛ ∂u (t , x) ⎞ ⎛ ∂v(t , x) ⎞ 2r ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ≤ u (t ,.) − v(t ,.) a với moïi u, v ∈V a ⎝ ∂xi ⎠ ⎝ ∂xi ⎠ Và đó, Fu (t ) − Fv(t ) ≤ 2nr.mesP u−v a2 a với t ∈ I u, v ∈V Điều chứng tỏ toán tử F liên tục Tương tự, theo định lý giá trị trung bình, ta có 2 ⎛ ∂u (t , x) ⎞ ⎛ ∂u ( s, x) ⎞ 2r − ≤ t − s với u ∈V t , s ∈ I ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ x ∂ x a i i ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Vì thế, 2nr mesP Fu (t ) − Fu ( s) ≤ t − s với u ∈V t , s ∈ I a2 Từ đó, áp dụng định lý Ascoli-Arzèla, ta có tập F(V) compact tương đối C ( I , ) Cuối ta chứng minh tính liên tục bị chặn toán tử G :C(I, ) → C ( I , Eb ) , Gu (t ) = f ( t , x, u (t ) ) Suy từ giả thiết ( H ) raèng α α ⎛b⎞ Gu (t ) b = ∑ D f ( t , x, u (t ) ≤ K ∑ ⎜ ⎟ với α α ⎝c⎠ α! α b t∈I u ∈ C ( I , ) , sup { Gu b : u ∈ C ( I , )} < ∞ Giả sử dãy hội tụ C ( I , ) hàm u vaø um (t ) ≤ r , u (t ) ≤ r với t ∈ I m ∈ Với ε > cho trước, trước hết ta chọn n0 đủ lớn thoả 36 ∑ α ≥ n0 +1 α α ε ⎛b⎞ D f ( t , x, um (t ) ) − D f ( t , x, u (t ) ) ≤ 2K ∑ ⎜ ⎟ < α ≥ n0 +1 ⎝ c ⎠ α! α b α Theo giả thiết ( H1 ) hàm tử u Dα f (.,., u ), α ≤ n0 từ + vào C ( Ω ) T liên tục [0, r ] Do đó, với m đủ lớn ta có ∑ D f ( t , x, um (t ) ) − D f ( t , x, u (t ) ) α α α ≤ n0 b α α! < ε , với t ∈ I Vì vậy, lim sup Gum (t ) − Gu (t ) b = Điều chứng tỏ G liên tục, m →∞ B = G0 F hoàn toàn liên tục Bổ đề chứng minh 5.2.2 Định nghóa Ta viết u ∈ C ( I , A (Ω) ) neáu u ∈ C ( I , Eλ ) với λ > tuỳ ý 5.2.3 Định lý Giả sử giả thiết ( H1 ) , ( H ) thoả mãn u0 , u1 ∈ A (Ω) Khi đó, tồn T ' ≤ T cho toán Cauchy cho phương trình Kirchhoff mở rộng (5.4)-(5.5) có nghiệm u ∈ C ( [ 0, T '] , A (Ω) ) Chứng minh Xeùt thang ( Eλ , λ ) , λ ∈ ( a, b) , Eλ định nghóa mục 3.1 b < c chọn cho u0 , u1 ∈ Eb Bài toán Cauchy (5.4)-(5.5) có dạng (3.11)-(3.12) với toán tử B định nghóa bổ đề A(u, v) = u.Δv Do bổ đề 1,2 thoả giả thiết định lý 3.2 nên toán (5.4)-(5.5) có nghiêïm 5.2.4 Nhận xét 37 b−λ ⎫ ⎧ Từ đánh giá Tλ = ⎨T , ⎬ cho tồn nghiệm định lý ⎩ MLe ⎭ 2, ta có kết luận sau 1) Nếu hàm f đủ nhỏ (tức số K giả thiết (H nhỏ) Tλ = T số L nhỏ Do đó, phương trình Kirchhoff (5.4)- (5.5) có nghiệm tổng quát 2) Nếu f (t , x, u ) = ε g (t , x, u ) g thoả ( H ) với (t , x, u ) ∈ + ×Ω× + L = o (ε ) Do đó, với tồn T ' định lý 3, ta thu ⎛ ⎞2 đánh giá T ' ≥ m ⎜ ⎟ ⎝ε ⎠ 38 KẾT LUẬN Nhu cầu khoa học ngày cao, đòi hỏi người nghiên cứu Toán học nói chung Phương trình Vi phân nói riêng, không ngừng tìm tòi kết để kịp thời đưa vào ứng dụng nhằm đáp ứng nhu cầu Qua đó, người ta khai thác hay, đa dạng Phương trình Vi phân Chúng thiết nghó, luận văn nhỏ chưa phải bảng tóm tắt hoàn hảo để độc giả thấy hết hay đa dạng nói Song, phần đa dạng riêng cho toán Cauchy cấp hai thang không gian Banach Nó giúp thân cảm nhận hiệu phương pháp nghiên cứu dùng cho lớp Phương trình Vi phân, điều kiện khác toán khảo sát tồn đánh giá nghiệm Chắc đa dạng toán Cauchy cấp hai không dừng lại Mệnh đề chương 4, có khả thay đổi giả thiết cách chứng gọn định lý 3.1 thay { } t c = sup u (t ) b : t ∈ [ 0, T ] c = ∫ u (τ ) b dτ Hy vọng thân có đủ điều kiện khách quan lẫn chủ quan, ý nghỉ triển khai tìm đến vài kết khác cho toán Cauchy cấp hai Bước đầu làm quen công việc nghiên cứu thời gian có hạn, kiến thức thân cón nhiều bất cập, nội dung luận văn không tránh khỏi sai sót Rất mong quý thầy cô, đồng nghiệp bảo lượng thứ 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] E.A Barkova, P.P Zabreiko Bài toán Cauchy cho phương trình vi phân cấp cao với toán tử bị yếu (tiếng Nga) Diff uravnhenhia T.27 (1991), N0 3, 472-478 [2] L Nirenberg Bài giảng Giải tích hàm phi tuyến Bản dịch Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, 1986 Tiếng Anh [3] E.A Barkova, P.P Zabreiko Cauchy problem for high order differential equations with aggravating operators, Diff Eq 27 (1991), 472-478 (in Russian) [4] K Deimling Ordinary Differential Equations in Banach Spaces Lecture notes in Math., 596, Springer-Verlag, 1977 [5] K Deimling Nonlinear Functional Analysis Springer-Verlag, 1985 [6] D Gourdin, M Mechab Probleøme de Cauchy global pour des eùquations de Kirchhoff, C.R Acad Sci Paris, t.326, Seùrie (1998), 941-944 [7] D Gourdin, M Mechab Problème de Goursat de non linéaire dans les espaces de Gevrey pour les eùquations de Kirchhoff geùneùraliseùes J Math Pures Appl 75 (1996), 596-593 40 [8] L Nirenberg An abstract form of the nonlinear Cauchy-Kowalevski theorem J Diff Geom., 6(1992), 561-576 [9] T Nishida A note on Nirenberg’s theorem as an abstract form of nonlinear Cauchy-Kowalevski theorem in Scale of Banach Spaces Journ Diff Geo 1997, Vol 12, 629-633 [10] L.V Ovsjannikov A singular operator in Scale of Banach Spaces, Soviet Math Dolk (1965) 1025-1028 [11] L.V Ovsjannikov Cauchy problem in Scale of Banach Spaces and it’s application to the shallow water theorem justification, Lect Notes in Math., 503 Springer (1976), 416-437 ... đó, Barkova Zabreik tìm kết tương tự cho toán Cauchy cấp hai thoả điều kiện Lipschitz Ở luận văn đặc biệt quan tâm đến toán Cauchy cấp hai thang không gian Banach dạng u′′ = f (t , u ) u (0) = u0... COMPACT Khó khăn chủ yếu việc nghiên cứu toán Cauchy chỗ toán tử xét từ không gian Eλ không vào nó, mà vào không gian rộng Eβ ( β < λ ) họ không gian Banach Để khắc phục khó khăn này, ta áp dụng... không gian Banach với điều kiện đầu (bài toán Cauchy) Có nhiều lớp phương trình vi phân khảo sát, lớp phương trình lại có phương pháp nghiên cứu riêng Bài toán Cauchy thang không gian Banach có