Luật mạnh số lớn trong không gian banach

LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, người thầy hướng dẫn khoa học tơi, người tận tình bảo tơi trình làm luận văn từ việc chọn tên đề tài, lập đề cương nghiên cứu, đến việc tìm tài liệu tham khảo mà phần lớn tài liệu dùng cho nghiên cứu thầy cung cấp, thầy bỏ nhiều công sức trao đổi, sửa lỗi, giúp tơi hồn thiện luận văn Tơi gởi lời cảm ơn Tiến sĩ Trần Quang Vinh người gửi cho tơi tài liệu hữu ích cho tơi nhiều lời khuyên xác đáng Thầy Vinh người trực tiếp dạy môn Xác suất sở, Giải tích ngẫu nhiên Tích phân Itơ làm sở cho nghiên cứu đề tài Tôi xin cảm ơn sâu sắc đến thầy giảng viên Đại học sư phạm Hà Nội tận tình dìu dắt tơi xun suốt hành trình học cao học xin cảm ơn thầy Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ có nhiều góp ý hữu ích cho luận văn Cũng xin cảm ơn bạn đồng nghiệp, bạn học viên K18 động viên giúp đỡ nhiều q trình in đóng luận văn MỞ ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Một số kết ñối với biến ngẫu nhiên giá trị thực: 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 Biến ngẫu nhiên Radon giá trị không gian Banach: .11 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 Định nghĩa 11 Định nghĩa 11 Mệnh ñề 12 Mệnh ñề 13 Định nghĩa 13 Định lí 14 Bổ ñề 15 Định nghĩa 15 Định nghĩa 16 Định nghĩa 16 Biến ngẫu nhiên ñối xứng bất ñẳng thức Lévy: 16 3.1 3.2 3.3 3.4 Bổ ñề Borel – Cantelli Định lí (Bất đẳng thức Kolmogorov) Bổ ñề Định lí (Kolmogorov - Khinchin) Bổ ñề Kronecker Định lí (LMSL Kolmogorov: trường hợp tổng quát) Định lí (LMSL Kolmogorov: trường hợp phân phối) Bổ ñề Định lí (LMSL Marcinkiewicz – Zygmund) 10 Định nghĩa 16 Định nghĩa 17 Mệnh ñề 17 Định lí 18 Không gian Banach Rademacher bổ ñề hỗ trợ: 22 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 Định nghĩa 22 Định lí 22 Bổ ñề 22 Bổ ñề 23 Bổ ñề 23 Bổ ñề (b.ñ.t Kahane) 24 Bổ ñề 24 Bổ ñề 25 Bổ ñề 28 Chương 2: CÁC DẠNG LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG KHÔNG GIAN BANACH 29 LMSL Kolmogorov: 30 1.1 1.2 Định nghĩa 30 Định lí 30 LMSL dạng Chung – Teicher 30 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Định lí 31 Định lí 33 Định lí 33 Hệ 40 Định lí 43 Định lí 44 2.7 2.8 LMSL dạng Marcinkiewicz – Zygmund: 52 3.1 3.2 Định lí 46 Định lí 50 Định lí 52 Định lí 53 LMSL tổng trọng số: 54 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 Định lí 54 Định lí 57 Định lí 58 Định lí 59 Định lí 60 KẾT LUẬN 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO: 63 MỞ ĐẦU Năm 1930, Kolmogorov ñã ñưa chứng minh định lý tiếng hữu ích lý thuyết xác suất thống kê ñược gọi “Luật mạnh số lớn Kolmogorov”: Định lí: Cho ( X n , n ≥ 1) dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập phân phối với X < ∞ n ∑ X k → X1 hầu chắn (h.c.c.) n k =1 Sau đó, nhà tốn học khơng ngừng mở rộng tổng qt hóa định lý với giả thiết yếu Năm 1947, K L Chung ñã chứng minh ñược gọi “LMSL dạng Chung”: Định lí: Cho { X n , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập < an ր ∞ , ϕ hàm số dương, chẵn liên tục cho ϕ (t ) t ϕ ( Xn ) ∞ ց t ր ∑ ϕ (a ) (0.1) n =1 0, δ < tồn n0 cho  S n − Sm > ε  < δ , n > m ≥ n0 Sử dụng Định lí Kolmogorov ta có  sup S − S > 2ε  ≤   n m  m≤n≤ M  1−δ (S M − Sm > ε ) ≤ (S M − S m > ε ) < δ , m ≥ n0 Cho M → +∞ ta có  sup S − S > 2ε  = lim  sup S − S > 2ε  ≤ δ , m ≥ n     n m n m  m≤n≤ M  M →+∞  m≤n≤ M  Từ lim m→+∞  sup S − S > 2ε  ≤ δ   n m  m< n  Vì δ > bé tùy ý nên vế trái bất ñẳng thức Như dãy ( S n ) dãy h.c.c nên hội tụ h.c.c □ 1.4 Định lí (Kolmogorov - Khinchin) Giả sử ( X n ) dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập, X n = Khi đó: ∞ a) Nếu ∑ X n2 < ∞ (1.3) chuỗi ∑X n hội tụ h.c.c.; n =1 b) Nếu với xác suất dãy ( X n ) bị chặn ñều, tức tồn số c > cho  X n < c  = 1, ∀n chuỗi ∑X n hội tụ h.c.c., ∞ ∑ X n2 < ∞ n =1 1.5 Bổ ñề Kronecker Giả sử < bn ↑ ∞ chuỗi số ∑x n hội tụ Lúc n→∞ n ∑ bk xk → bn k =1 1.6 Định lí (LMSL Kolmogorov: trường hợp tổng quát) Giả sử ( Xn ) dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập với moment bậc hai hữu hạn, ( bn ) dãy số cho < bn ↑ ∞ Khi đó, ∞ ∑ n =1 Xn ε  = m→∞  ani    n=m  i =1 ani  ∞  kn Y  Y   lim  ∪ ∑ ni −  ni  > ε  = m→∞  ani    n=m  i =1 ani  kn Yni  Yni Khi ∑ −  ∑  i =1 ani  i =1 ani  kn  kn Z ni  Z ni −  ∑  hội tụ tới h.c.c Vì ∑ i =1 ani  i =1 ani  kn X ni = với n , với i nên ta có kn X ni ∑a i =1 hội tụ h.c.c kn → ∞ □ ni 51 LMSL d ng Marcinkiewicz – Zygmund: Chúng ta ñã biết ñối với biến ngẫu nhiên ñộc lập phân phối ( Xn ) giá trị thực với kì vọng E X < ∞ (1 ≤ p ≤ ) , S n n1 p → p h.c.c (Định lí 1.9, Chương 1) Và nữa, Sn n1 p → Lp (theo Pyke and Root (tài liệu tham khảo [6] [2])).Vấn đề mở rộng khơng gian Banach khả li thực Andrzej Korzeniowski báo [2] Ở đây, tác giả đặc trưng hóa khơng gian xét Nó có liên quan đến tính p -trơn tính p - ổ định, dạng p -Radermacher biểu diễn hữu hạn l p mà trình bày chi tiết tài liệu tham khảo [3] [4] báo [2] Trong phần nêu kết [2] phần tài liệu trích dẫn [2] Ta giữ kí hiệu Sn = X + X + + X n , ñây ( X n ) dãy vector ngẫu nhiên ñộc lập phân phối có kì vọng cho ( Xn > t) ≤ C (X > t ) ñối với biến ngẫu nhiên X ∈ Lp Ta Sn n1 p → Lp , cho sup thỏa mãn ∑ n akq − p = o ( n q p Xn p -ổn ñịnh q -trơn, ( X n ) dãy martingale 3.1 Định lí Cho ≤ p < q ≤ hiệu p < ∞ ) Khi đó, S n X n I{ X n >an } → ñối với dãy ( an ) n1 p → Lp Chúng ta ý p < q cần thiết X n = ε nen , ñây en (ε n = 1) = (ε n = −1) = -không gian = l p p = q lấy dãy sở tiêu chuẩn ε n người ta thu ñược 52 Sn p = n độc lập với Vì phần chứng minh có thay đổi khơng đáng kể đường thẳng thực nên ta bỏ qua Một định lí tương tự với giả thiết mạnh cách nhẹ nhàng chẳng hạn với q = ñược chứng minh Rao [9] Hơn Định lí 3.1 ñối với vector ngẫu nhiên ñộc lập có kỳ vọng với giá trị không gian dạng q - Rademacher Xét dãy ( X n ) vector ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng thỏa mãn điều kiện “đi bị chặn” sau : ( Xn > t) ≤ C (X > t ) , t ≥ 0, n ∈ ℕ ñây X là biến ngẫu nhiên Lp (xem [10]) Lưu ý với an = ( n / log n ) 1/ p ( X n ) ∈ TP áp dụng Định lí 3.1 trùng với điều kiện u cầu 3.2 Định lí Cho ≤ p ≤ khẳng ñịnh sau tương ñương: i) l p biểu diễn hữu hạn ii) ; p - ổn ñịnh; iii) Sn / n1/ p → Lp ñối với ( X n ) ∈ Tp ; iv) Sn / n1/ p → theo xác suất ñối với ( X n ) ∈ Tp ; v) Sn / n1/ p → h.c.c ñối với ( X n ) ∈ Tp Chứng minh (i) ⇔ (ii) theo Maurey Pisier [11] (ii) ⇒ (iii) hệ Định lí 3.1 tính p ổn ñịnh suy dạng q -Rademacher với p < q (iii) 53 ⇒ (iv) hiển nhiên (iv) ⇒ (v) thay ñổi nhẹ nhàng Định lí 3.1 thuộc A de Acosta [12], chẳng hạn dãy ( X n ) biến ngẫu nhiên ñộc lập phân phối có kỳ vọng ñược thay ( X n ) ∈ Tp (v)⇒ (i) suy từ hệ 2.4 [11] □ LMSL tổng trọng số: Để bước vào nghiên cứu LMSL ñối với tổng trọng số ta giả thiết ≠ v ới i≥0 < A1 ≤ A2 ≤ → ∞ Viết ui = / Ai ñặt ([ n,1],[ n,2], ,[ n, n]) hoán vị (1, 2, , n ) cho u[n ,1] ≥ ≥ u[ n,n] , [ n, i ] < [ n, j ] i < j ui = u j Đặt I[.] hàm tiêu xác ñịnh Vn , j = An−1 ∑ I    ui ≥ u[n , j ]  với ≤ j ≤ n vaø Vn = max Vn, j 1≤ j ≤ n Đặt N ( x ) số số i cho Ai / ≤ x h ( x ) > làm hàm biến ñổi chậm x → ∞ ; C kí hiệu số dương hữu hạn thay đổi trường hợp khác nhau; { X n } ≺ X có nghĩa sup n P ( X n > t ) ≤ CP ( X > t ) , ñây t > X biến ngẫu nhiên giá trị thực 4.1 Định lí Cho dạng p với < p ≤ h ( x ) ↑ x → ∞ Giả sử N ( n ) = O ( nh ( n ) ) (2.15) Vn = O (1) , n ≥ (2.16) 54 Với dãy { X n , n ≥ 1} phần tử ngẫu nhiên -giá trị ñộc lập phân phối, n X = limsup An−1 ∑ > n →∞ (2.17) i =1 X h ( X ) < ∞ , −1 n A n ∑a X i i → (2.18) i =1 Chứng minh Đặt Yi = X i I  X i ≤ Ai /  , Z i = X i − Yi , U n = ∑ i=1 aiYi ,Vn = ∑ i =1 Z i Khi n  n  −1 n A n ∑a X i i = An−1U n + An−1Vn (2.19) i =1 Từ (2.15) ñược: Ai / → ∞ i → ∞ , (2.15) X h ( X ) < ∞ suy ra: ∞ ∑ ( X i > Ai / ) < ∞ ∑ Ai−1 Z i < ∞ h.c.c suy i =1 Từ Bổ ñề Borel – Cantelli, ∞ i =1 An−1Vn → (2.20) (2.21) Tiếp theo, chứng minh: An−1 U n → n → ∞ Lưu ý rằng: 55 (2.22) An−1 U n ≤ An−1 n n ∑ X i + An−1 ∑a i =1 i =1 X i I  X i > Ai /  =: I n + II n (2.23) i  Khi lim n→∞ An−1 ∑ i =1 = ta ñược I n → từ n limsup n→∞ An−1 ∑ i =1 > 0, n  X < ∞ Lưu ý X n = Do để chứng minh (2.23) ta cần     chứng minh II n → Đặt En, j =  , ,∞   , En,n =   u[n , j ] u[n , j +1]   u[ n,n]      −1 n II n = A n ∑ a[ i =1 −1 n =A n =A n ,i ∑ j =1 −1    X 1I  X  j =i ∈En , j  j X 1I  X  n ∑  X1 > u[ n ,i ]  n j =1 = X 1I  n ∑ a[ ] ∑ i =1 −1 n n ,i ] X 1I  X  ∈En , j  ∑ a[ i =1 n ,i ]  h−1 n  V ≤  ∑ + ∑  Vn, j n, j ∈En , j    j =1 j =h  X1 I  X  ∈En , j  =: III n + IIII n ñây h số nguyên cố ñịnh với ≤ h ≤ n Đặt u * = max i≥1 { ui } , ý Vn , j = An−1 ∑ j i =1 a[ n,i] ≤ ju * Amax1≤i ≤ n [ n,i] / An Vì / Ai → i → ∞ , nên tồn số nguyên dương H (phụ thuộc vào h không phụ thuộc vào n cho max1≤i≤h [ n, i ] ≤ H III n ≤ C ∑ j =1 Vn , j ≤ Cu * AH h −1 ( ∑ j ) / A ≤ Cu A h / A → n → ∞ h −1 j =1 * n 56 H n Dễ dàng thấy từ (2.16) IIII n ≤ C X1 I  X  >1/ u[ n , h ]   Vì ui → 0, ∀ε > 0, u[n ,h] < ε cách cho h ñủ lớn n ≥ h Hơn nữa, thu ñược IIII n < ε X < ∞ Điều chứng minh (2.22) Vậy ñể chứng minh An−1U n → h.c.c, nhờ nhận xét định lí 2.1 cần rằng: J1 = ∑ k =1 Ak− p ak ∞ p p Xk I  X k ≤ Ak / ak  < ∞   Thật vậy, từ (2.15) ∞ J1 ≤ C ∑ ∑ j− p j =1 j −1≤ Ak / ak ≤ j p X I  X1 ≤ j   ∞ j = C ∑  N ( j ) − N ( j − 1)  j − p ∑ j =1 ≤C n =1  p X I n−1≤ X1 ≤n   X h ( X ) < ∞.□ Nhận xét Phần đảo lại định lí phát biểu sau: Nếu (2.15) (2.16) khơng xảy tồn dãy biến ngẫu nhiên giá trị thực ñộc lập phân phối { X i } mà X h ( X ) < ∞ (2.17) thỏa mãn (2.18) khơng đúng.( xem[4]) Và phần chứng minh [20] [22] 4.2 Định lí Cho < t < dạng p với < p ≤ Giả sử N ( n ) = O ( nt h ( n ) ) , n ≥ Với dãy { X n } phần tử ngẫu nhiên ñộc lập (2.17) thỏa mãn (2.24) -giá trị với { X n } ≺ X X h ( X ) < ∞ , (2.18) t Chứng minh 57 Lấy Yi , Z i ,U n , Vn định lí 4.1 Từ Định lí 4.1 ta cần U n → n → ∞ An−1 (2.25) X h ( X ) < ∞ ta ñược: t Từ (2.24) ∞ ∑A −1 i X i I  X i > Ai /  < ∞  i =1 X h ( X ) < ∞ suy Từ tính chất h ( x ) , lim n→∞ An−1 ∑ i =1 = 0, n An−1 ∑ i =1 (2.26)  t X → n → ∞ n (2.27) Lưu ý limsup n→∞ An−1 ∑ i =1 > 0, X n = Do từ (2.23) với (2.26) n (2.27) suy (2.25) □ Nhận xét Tương tự Định lí 4.1, phần đảo Định lí trình bày [4]: Nếu (2.24) khơng đúng, tồn dãy biến ngẫu nhiên giá trị thực ñộc lập phân phối { X i } mà X h ( X ) < ∞ (2.17) (2.18) khơng Và phần chứng minh [20] [22] 4.3 Định lí Giả sử ≤ t < h ( x ) ↑ ∞ x → ∞ t = Cho { X n } -giá trị với { X n } ≺ X Nếu (2.24) thỏa dãy phần tử ngẫu nhiên mãn X h ( X ) < ∞ , ñó (2.18) thỏa mãn t Chứng minh Từ giả thiết ta ñược: ∞ ∑ ( i =1 X i > Ai / ) < ∞ vaø ∞ ∑ i =1 58 X i I  X i ≤ Ai /   Ai  (2.29) Điều (2.28) kéo theo X1 h ( X1 ) < ∞ t Hơn (2.30) dạng p (1 ≤ t < p ≤ ) , N ( n ) = O ( nt h ( n ) ) , Vn = O (1) t = Khi từ Định lí 4.1 (2.16), ta đạt từ (2.30) n An−1 ∑ ( X i − X i ) → h.c.c n → ∞ i =1 59 (2.31) Từ giả thiết (2.18) (2.31)ta ñược: −1 n A n ∑a X i → h.c.c n → ∞ i (2.32) i =1 Nếu limsup n→∞ An−1 ∑ i =1 = a > , tồn dãy số nguyên dương {nk } n cho nk ↑ k → ∞ −1 nk lim A k →∞ nk ∑a i =a>0 (2.33) i =1 Hiển nhiên, (2.32) (2.33) kéo theo: X = □ {X i} 4.5 Định lí Cho dãy biến ngẫu nhiên giá trị thực với { X i } ≺ X Giả sử với t ≥ (2.24) ñược thỏa mãn Nếu (2.17) ñúng X h ( X ) < ∞ khơng cần thay đổi phân phối { X n } ta xác t ñịnh lại { X n } không gian xác suất giàu hơn, với dãy biến ( (X I D ngẫu nhiên chuẩn ñộc lập {Yn , n ≥ 1} với Yn = N 0, n  X1 ≤ An / an    )) cho n ∑ a X − ∑ a Y = o ( A ) h.c.c i i i i i =1 n (2.34) i =1 Chứng minh Lưu ý n n ∑ a X = ∑ a  X I i i =1 i i  X i ≤ Ai /    i i =1 n − X i I  X i ≤ Ai /     n + ∑ X i I  X i ≤ Ai /  + ∑ X i I  X i > Ai /   i =1  i =1 =: I n( ) + I n( ) + I n( ) 60   (2.35) Từ chứng minh Định lí 4.2 ta biết h.c.c An−1I n( ) → vaø An−1I n( )  → n → ∞ (2.36) Như chứng minh J1 < ∞ cho p > t ta ñược: p ∞ ∑ i =1 Do dãy { Ai }  X i I  X i ≤ Ai /  − X i I  X i ≤ Ai /       