Luật mạnh số lớn trong đại số von Neumann

Luật mạnh số lớn trong đại số von Neumann.

Mục lụcLời mở đầu 11 Kiến thức chuẩn bị 41.1 Đại số von Neumann và vết . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.1 Đại số Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Phép tính liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Đại số von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4 Phiếm hàm tuyến tính dương và biểu diễn . . . . 61.2 Toán tử đo được theo một vết . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 Các tính chất cơ bản của phổ . . . . . . . . . . . 71.2.2 Khái niệm về toán tử không bị chặn . . . . . . . 91.2.3 Mở đầu về phép chiếu . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.4 Lý thuyết về toán tử τ− đo được . . . . . . . . . 121.3 Không gian Lptheo một vết . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.1 Hội tụ hầu đều trong đại số von Neumann . . . . 241.3.2 Các kiểu hội tụhầu chắc chắntrong đại số vonNeumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.3.3 Dạng không giao hoán của định lý Egoroff . . . . 281.3.4 Khái niệm về luật số lớn . . . . . . . . . . . . . . 292 Luật mạnh số lớn trong đại số von Neumann 312.1 Tính độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2 Hội tụ hầu đầy đủ trong đại số von Neumann . . . . . . 322.3 Định lý giới hạn mạnh cho dãy trực giao . . . . . . . . . 342.4 Mở rộng không giao hoán của định lý Glivenko-Cantelli . 412.5 Bất đẳng thức Kolmogorov đối với vết và một số hệ quả 442.6 Luật mạnh số lớn đối với vết . . . . . . . . . . . . . . . . 47i MỤC LỤC 12.7 Tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn . . . . . . . . . . . 622.8 Chú ý và chú thích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Kết luận 70Tài liệu tham khảo 72 Lời nói đầuCác tài liệu khoa học hiện tại đưa ra nhiều bằng chứng rằng cácphương pháp đại số vốn đã cách mạng hóa toán học thuần thúy thì naylại đang gây ảnh hưởng tương tự đối với khoa học vật lý. Tiếp cận đạisố đối với cơ học thống kê và lý thuyết trường lượng tử là một ví dụcho định hướng mới này.Gần đây nhiều tác giả đã mở rộng các định lý hội tụ điểm cơ bảntrong lý thuyết xác suất và lý thuyết ergodic sang (ngữ cảnh) đại sốvon Neumann.Họ đã cung cấp một số công cụ mới cho vật lý toán vàđồng thời tạo ra nhiều kĩ thuật hấp dẫn cho lý thuyết đại số toán tử.Mục đích chính của đề tài là trình bày bản chất của một số ý tưởngvà kết quả từ lĩnh vực nói trên,chuyển các kết quả cổ điển đã biết tronglý thuyết xác suất đến các phiên bản không giao hoán của chúng, đưavào các ứng dụng trong lý thuyết trường lượng tử.Đại số von Neumann là một sự tổng quát hóa không giao hoán rấttự nhiên của đại số L∞và những cấu trúc tốt của nó đem lại khả năngthu được các phiên bảnhầu chắc chắncủa các định lý giới hạn.Trong đại số von Neumann, ta có thể đưa ra khái niệm hội tụhầuđềutương đương với khái niệm hội tụ hầu chắc chắn trong đại sốL∞.Kiểu hội tụ này sẽ là nền tảng cho toàn bộ đề tài.Nội dung của đề tài gồm hai chương :Chương 1 Trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho việc nghiêncứu chương 2 bao gồm các kiến thức nền tảng về giải tích và xácsuất.Một số tính chất của hội tụhầu đềutrong đại số von Neumann.Chương 2 Nội dung chính của đề tài:Luật mạnh số lớn trongđại số von NeumannTrình bày các kết quả của Batty ,cùng một số kết quả khác. Nếu nhưtrong xác suất cổ điển các dạng hội tụ theo xác suất ,hội tụ hầu chắcchắn và hội tụ trung bình của dãy biến nhiên đóng vai trò then chốt2 Lời nói đầu 3trong Luật số lớn thì ở đây chúng ta được tiếp cận với 1 kiểu hội tụhoàn toàn mớihội tụ hầu đều.Các định lý được chứng minh đối vớitrạng thái , đối với vết. Vì một trạng thái thì không cộng tính dưới trêndàn các phép chiếu nên các qui tắc và các kĩ thuật đối với trạng tháikhông vết khác nhiều và khó khăn hơn nhiều so với các qui tắc đối vớivết. Đáng chú ý ở đây là các lập luận cần dùng đối với vết thường rấtgiống trường hợp cổ điển. Nhưng trong một số thường hợp thì chúng tacần hướng tiệm cận mới .Hầu hết các kết quả được trình bày trong đề tài là kết quả mới.Một số nội dung của đề tài là một trong số các bài giảng tại ĐạiHọc Tenessee ở Knoxville và tại Trung Tâm Quá Trình Ngẫu Nhiên(Centerfor Stochastic Processes) tại đại học North Carolina ở ChapelHill (bởi R.Jajte)Nội dung của đề tài vẫn đang là hướng quan tâm của nhiều nhàtoán học và vật lý học trong các lĩnh vực đại số toán tử và các ứngdụng của chúng như Lance 1976-1978 ; Goldstein 1981; Watanabe 1979;Yeadon 1975-1980; Kiinrinerre 1978; .Trong quá trình tìm hiểu , nghiên cứu nội dung các công trình củangười khác chúng tôi đã hệ thống , giới thiệu nhằm phác họa triển vọngứng dụng các kết quả nghiên cứu của mình trong tương lai.Tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướngdẫn khoa học của mình là PGS. TS. Phan Viết Thư, người đã đưa rađề tài và hướng dẫn tận tình trong suốt quá trình nghiên cứu bản luậnnày. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoaToán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốcgia Hà Nội, và các thầy cô giáo ở Viện Toán học -Viện KHCNVN đãtận tình giảng dạy ,tạo điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian Tác giảhọc tập và nghiên cứu.Hà Nội, năm 2009Học viênVũ Thị Hương Chương 1Kiến thức chuẩn bịTrong chương này, trình bày một số kiến thức cho việc nghiên cứu ởchương 2. Các khái niệm ,định nghĩa đưa ra để hiểu rõ các từ khóa củađề tài. Một vài khái niệm được trình bày theo nghĩa cổ điển ( và theonghĩa mở rộng ). Nội dung bao gồm hai phần chính: Phần 1: Nghiên cứuvề tính đo được theo một vết τ trên một đại số von Neumann (sự trìnhbày được chỉnh sửa từ tài liệu của E.Nelson [ 6 ] ). Phần 2: Trình bàylý thuyết về không gian Lpkết hợp với đại số von Neumann . Cụ thể làxây dựng không gian Lptheo một vết , cốt yếu của việc xây dựng cáckhông gian Lplà lý thuyết toán tử đo được theo một vết trên đại số vonNeumann ( lý thuyết này được phát triển bởi Haagerup ); Các khái niệmvề hội tụ điểm .Tất cả các kiến thức trong chương này đều đã có, khôngthuộc phần sáng tạo của đề tài. Các khái niệm ,thuật ngữ , kết quả đượcdùng đều có thể tra cứu trong các tài liệu tham khảo kèm theo.1.1 Đại số von Neumann và vết1.1.1 Đại số BanachKí hiệu C là trường số phức và xét các không gian tuyến tính trên trườngphức.Định nghĩa 1.1.1. Giả sử A là không gian tuyến tính (phức) và trong4 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5A có phép nhân:A × A −→ A(x, y) −→ xythỏa mãn các tính chất sau :1. x(yz) = (xy)z;2. (x + y)z = xz + yz; x(y + z) = xy + xz;3. α(xy) = (αx)y = x(αy), ∀x, y, z ∈ A, α ∈ CKhi đó , A được gọi là một đại số phức. Hơn nữa , nếu A là mộtkhông gian Banach (với chuẩn ||.||) thỏa mãn các tính chất sau :4. ||xy|| ≤ ||x||.||y||; (x ∈ A, y ∈ B)5. A chứa phần tử đơn vị e sao cho xe = ex = x (x ∈ A);6. ||e|| = 1;thì A được gọi là một đại số Banach.Nếu phép nhân giao hoán thì gọi là đại số (đại số Banach) giaohoán .1.1.2 Phép tính liên hợpĐịnh nghĩa 1.1.2. Giả sử A là một đại số phức , ánh xạ x ∈ A → x∗gọi là phép liên hợp nếu thỏa mãn các điều kiện sau :(i) (x + y)∗= x∗+ y∗(ii) (λx)∗=¯λx∗(iii) (xy)∗= y∗x∗(iv) (x∗)∗= xĐại số phức A đóng đối với phép liên hợp gọi là ∗− đại số . Nếu Alà đại số Banach đóng đối với phép liên hợp thì gọi là một ∗− đại sốBanach .Nếu A là một ∗− đại số Banach thỏa mãn điều kiện ||x|| = ||x∗|| thì Agọi là đại số Banach liên hợp. Nếu ∗− đại số Banach thỏa mãn điềukiện ||xx∗|| = ||x||2, ∀x ∈ A thì gọi là một C∗− đại số CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6Phần tử x ∈ A (A là ∗− đại số ) gọi là chuẩn tắc nếu xx∗= x∗x.Gọi là Hermit nếu x∗= x, unitar nếu x∗x = xx∗= e, (e là đơn vị củaA). Nếu A là C∗− đại số thì ||x|| = ||x∗||, ∀x ∈ A. Vậy mọi C∗− đại sốđều là đại số Banach liên hợp.1.1.3 Đại số von NeumannĐịnh nghĩa 1.1.3. Giả sử H là không gian Hilbert, B(H) là đại số cáctoán tử bị chặn. A ∈ B(H) là một đại số con.Đại số A ∈ B(H) gọi là đại số von Neumann nếu:(i) A là kín đối với phép lấy liên hợp;(ii) I ∈ A(iii) A đóng đối với topo hội tụ yếu, tức làAnw−→ A nếu :< Anx, y >→< Ax, y > với mọi x, y ∈ HNhư vậy đại số von Neumann là một C∗− đại số.1.1.4 Phiếm hàm tuyến tính dương và biểu diễnĐịnh nghĩa 1.1.4. (*) Giả sử A là đại số von Neumann. Phiếm hàmtuyến tính :Φ : A −→ Cgọi là dương nếu:Φ(xx∗) ≥ 0, ∀x ∈ A(*) Φ gọi là phiếm hàm dương chính xác (đúng) nếu:Φ(xx∗) ≥ 0và từ Φ(xx∗) = 0 suy ra x = 0Đặc biệt : ||Φ|| = Φ(I)(*) Nếu Φ(I) = 1 thì Φ gọi là trạng tháiĐịnh nghĩa 1.1.5. Kí hiệu : A+= {x ∈ A : x ≥ 0} . Ánh xạ τ : A+→[0, ∞] thỏa mãn tính chất :(i) τ(x + y) = τ(x) + τ(y), x, y ∈ A+ CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7(ii) τ(λx) = λτ(x), λ ≥ 0; x ∈ A+(quy ước 0.∞ = 0)(iii) Nếu U là unitar thì : τ(UxU−1) = τ(x), ∀x ∈ A+Khi đó τ gọi là vết của đại số A .Nếu :τ(x) < ∞, ∀x ∈ A+thì τ gọi là vết hữu hạn.Nếu :τ(x) = sup{τ (y)|y ≤ x; τ(y) < ∞}thì τ gọi là vết nửa hữu hạn .Nếu : τ(x) = 0, x ≥ 0 mà suy ra x = 0 thì τ gọi là vết chính xác (hayvết đúng)Vết τ gọi là chuẩn tắc (Normal) nếu:τ(T ) = supατ(Tα)trong đó Tαlà dãy các toán tử tăng tới T.Đại số von Neumann gọi là hữu hạn (hay nửa hữu hạn) nếu với mọix ∈ A, x = 0 tồn tại vết chuẩn tắc hữu hạn sao cho τ(x) = 0. Trên đạisố von Neumann nửa hữu hạn luôn tồn tại một vết chuẩn tắc , chínhxác nửa hữu hạn.1.2 Toán tử đo được theo một vếtPhần này ta sẽ định nghĩa khái niệm về tính đo được theo một vết τtrên một đại số von Neumann A và chỉ ra rằng tập˜A các toán tử τ đođược là một ∗− đại số topo đầy đủ.Giả sử A là một đại số von Neumann nửa hữu hạn hoạt động trênkhông gian Hilber H và τ là trạng thái nửa hữu hạn chuẩn đúng trên A.1.2.1 Các tính chất cơ bản của phổĐịnh nghĩa 1.2.1. Giả sử A là đại số Banach . G = G(A)− là tập hợptất cả các phần tử khả nghịch của đại số A . Khi đó G lập thành một CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8nhóm . Phổ σ(x) của x ∈ A là tập hợp tất cả các số phức λ sao choλe− x không có khả nghịch . C/σ(x)− được gọi là tập hợp chính quy củaphần tử x.C/σ(x) = {λ : (λe − x)−1∃}Sốρ(x) = sup{|λ| : λ ∈ σ(x)}được gọi là bán kính phổ của phần tử x.Ta luôn chứng minh được rằng σ(x) = ∅, ∀x ∈ A.Định nghĩa 1.2.2. Giả sử a là toán tử tuyến tính với miền xác địnhD(a) . Kí hiệuD(a∗) = {g : ∃ ! g∗, < g|af >=< g∗|f > ∀f ∈ D(a)}với giả thiếtD(a) = H. Khi đó D(a∗) là không gian con và toán tửa∗g = g∗, g ∈ D(a∗), g∗là phần tử duy nhất để< g|af >=< g∗|f >là một toán tử tuyến tính. a∗gọi là liên hợp của toán tử a.Nếu a ⊂ a∗thì a gọi là toán tử đối xứng . Nếu a = a∗thì a gọi làtự liên hợp.Khi a là toán tử đóng và D(a) = H thì khi đó D(a∗) = H và a∗∗= a.Chú ý. Đại số con A của đại số B(H) gọi là chuẩn tắc nếu nó giaohoán và nếu T ∈ A thì T∗∈ A.Định nghĩa 1.2.3. Toán tử P được gọi là toán tử chiếu nếu D(P ) =H; P∗= P = P2Như vậy , toán tử chiếu P là bị chặn và có sự tương ứng một - mộtgiữa các toán tử chiếu và các không gian con đóng trong không gianHilbert.Định nghĩa 1.2.4. Xét H là không gian Hilbert . (Ω, Σ) là một khônggian đo, Σ là σ− trường. P là tập hợp các toán tử chiếu trong khônggian Hilbert H. Ánh xạ E : Σ → P được gọi là một khai triển đơn vịtrên (Ω, Σ) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn :1. E(∅) = 0, E(Ω) = I CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 92. E(AB) = E(A)E(B)3. E(A ∪ B) = E(A) + E(B) nếu AB = ∅4. ∀x, y ∈ H hàm tập hợp Ex,yxác định bởi công thứcEx,y(A) =< E(A)x, y >là một độ đo phức trên ΩĐịnh lý 1.2.5. (Về biểu diễn Phổ) Nếu T ∈ B(H) và T là toán tửchuẩn tắc thì tồn tại đúng một khai triển đơn vị trên các tập con Borelcủa phổ σ(T ) của toán tử T sao choT =σ(T )λdE(λ)Nếu T là tự liên hợp thì σ(T ) ⊂ R. Khi đóT =baλdEλNếu T là toán tử unitar T T∗= T∗T = I . Khi đó σ(T ) nằm trong vòngtròn đơn vị . Khi đóT =2π0eiφdE(φ)1.2.2 Khái niệm về toán tử không bị chặnVới các toán tử (tuyến tính) a, b trên H ta có thể định nghĩa tổng a + bvà tích ab là các toán tử trên H với miền xác định :D(a + b) = D(a) ∩ D(b)D(ab) = {ξ ∈ D(b)bξ ∈ D(a)}Các phép toán này có tính chất kết hợp, vì thế a+b+c và abc là các toántử được định nghĩa tốt. Hơn nữa ,với mọi a, b, c ta có : (a + b)c = ac + bcvà c(a + b) ⊇ ca + cb [...]... với mỗi n , đại số W ∗ (xn) độc lập với W ∗(x1, x2, , xn−1) Định nghĩa 2.1.3 Họ {Bλ , λ ∈ Λ} của các đại số von Neumann con ˜ của A ( hay trong A nếu φ là vết ) gọi là độc lập yếu nếu Bλ độc lập với W ∗{Bµ ; µ ∈ Λ − {λ}} 2.2 Hội tụ hầu đầy đủ trong đại số von Neumann Từ đây ta sẽ sử dụng một số kiểu hội tụ trong A Ta công nhận định nghĩa sau: CHƯƠNG 2 LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 33 Định... (ω) = E(X) = 1 30 Chương 2 Luật mạnh số lớn trong đại số von Neumann Trong chương này chúng ta sẽ đề cập đến một số kết quả được coi là mở rộng của định lý cổ điển cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập ( hay không tương quan ) Dĩ nhiên ta sẽ cần khái niệm tổng quát tương ứng về tính độc lập trong đại số von Neumann Việc thiết lập lại định nghĩa cổ điển không khó Nhưng điều cần nhấn mạnh ở đây là tính độc lập... định dãy nào đó những đại lượng ngẫu nhiên hội tụ theo xác suất về hằng số là những định lý luật số lớn Những định lý luật số lớn cổ điển ( luật số lớn đối với hội tụ theo xác suất ) như định lý Bernoulli và định lý Chebyshev , Khinchin và luật số lớn đối với hội tụ hầu chắc chắn như định lý Kolmogorov Định nghĩa 1.3.12 Luật yếu số lớn còn được gọi là định lý Khinchin Xét n biến ngẫu nhiên X1 , X2, ,... Định lý 2.2.2 Giả sử A là đại số von Neumann với trạng thái chuẩn tắc đúng φ , và (xn ) là dãy bị chặn trong A Nếu xn → x hầu đầy đủ thì xn → x hầu đều Chứng minh Giả sử ||xn || ≤ 1 và x = 0 Cho trước ε > 0 Ta sẽ tìm dãy (qn) các phép chiếu trong A sao cho : ⊥ φ(qn ) < ∞ n CHƯƠNG 2 LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 34 và ||xnqn || < ε với n = 1, 2, Cố định dãy số dương (εn ) thỏa mãn: εn... hệ với trạng thái ( toán học ) trên một đại số toán tử A thích hợp Trong hầu hết trường hợp ta có thể lấy A là đại số toán tử von Neumann hoạt động trên một không gian phức CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 25 (khả ly) Đại số tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn trên H là một đại số von Neumann Trường hợp cổ điển dẫn ta đến đại số von Neumann giao hoán L∞ (U, Bu, µ) các hàm đo được bị chặn trên một không... φ[(x − y)∗(x − y)]1/2 Định lý 1.3.3 Giả sử A là một đại số von Neumann với trạng thái chuẩn đúng φ Với dãy bị chặn các toán tử (xn) từ A sự hội tụ hầu đều kéo theo sự hội tụ mạnh (σ− mạnh) của (xn) 1.3.2 Các kiểu hội tụ hầu chắc chắn trong đại số von Neumann Khái niệm hội tụ hầu đều là sự tổng quát của khái niệm hội tụ hầu chắc chắn cho đại số von Neumann Ta có thể xét các phiên bản không giao hoán... điển được coi là sườn của đại số von Neumann (giao hoán) Đối với một không gian xác suất (Ω, F, µ) , gọi L∞ (Ω, F, µ) là đại số (các lớp tương đương ) tất cả các hàm nhận giá trị phức, bị chặn cốt yếu và F − đo được trên Ω Nó có thể coi là một đại số von Neumann giao hoán hoạt động trong L2(Ω, F, µ) nếu ta đồng nhất hàm g ∈ L∞ với toán tử nhân ag : f → f g, với f ∈ L2 Đại số A = L∞ (Ω, F, µ) có trạng... dụng nhiều hơn, và sẽ được nghiên cứu trong chương này Các định lý như vậy có liên hệ với lý thuyết tương quan trong các quá trình ngẫu nhiên lượng tử ( xem [14] ) và cho ta một số thông tin về biến thiên tiệm cận của dãy quan sát được không tương quan 31 CHƯƠNG 2 LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 32 Nếu trạng thái φ là vết thì ta sẽ thiết lập được một số định lý cho ˜ ˜ dãy toán tử đo được... Chính xác hơn, ta sẽ xét dãy (xn) ⊂ A ,với A là *- đại số tô pô các toán tử đo được theo nghĩa Segal-Nelson Các thuật ngữ và một số kết quả liên quan đến toán tử đo được có thể xem thêm tài liệu trong phần phụ lục 2.1 Tính độc lập Cho A là một đại số von Neumann với trạng thái chuẩn tắc đúng φ ( faithful normal state φ ) Kí hiệu A1 , A2 là các đại số von Neumann con của A Theo Batty [11] ta có 2 phiên... chính trong việc xây dựng các không gian Lp kết hợp với các đại số von Neumann nửa hữu hạn là không gian cụ thể của các toán tử đóng xác định trù mật Trong [18] , E.Nelson đã đưa ra một hướng tiếp cận mới đòi hỏi ít kiến thức về kĩ thuật đại số von Neumann − cho lý thuyết này , dựa trên khái niệm về tính đo được theo một vết (bắt nguồn từ khái niệm hội tụ theo độ đo được giới thiệu bởi W.F.Stinespring trong . đều trong đại số von Neumann. Chương 2 Nội dung chính của đề tài: Luật mạnh số lớn trong ại số von Neumann Trình bày các kết quả của Batty ,cùng một số kết quả. Egoroff . . . . 281.3.4 Khái niệm về luật số lớn . . . . . . . . . . . . . . 292 Luật mạnh số lớn trong đại số von Neumann 312.1 Tính độc lập . . . . .