Luật mạnh số lớn đốivới tổng trọng số các biế n ngẫu nhiên

1 MỤC LỤC Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm kết 1.2 Một số bất đẳng thức 1.3 Một số kết luật số lớn Luật mạnh số lớn tổng trọng số biến ngẫu nhiên 2.1 Luật mạnh số lớn tổng trọng số biến ngẫu nhiên 9 2.2 Luật mạnh số lớn Marcinkiewicz - Zygmund cho dãy trọng số độc lập p Kết luận 27 Tài liệu tham khảo 28 MỞ ĐẦU Luật mạnh số lớn đóng vai trò quan trọng lý thuyết xác suất Luật số lớn James Bernoulli công bố năm 1713 Về sau kết Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov mở rộng Tuy nhiên phải đến năm 1909 luật mạnh số lớn E.Borel phát Kết Kolmogorov hoàn thiện vào năm 1926 Trên sở đọc hiểu tìm hiểu tài liệu tham khảo, nghiên cứu đề tài " Luật mạnh số lớn tổng trọng số biến ngẫu nhiên" Khóa luận chia làm chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số định nghĩa tính chất để làm công cụ nghiên cứu chương sau Các kiến thức trình bày chủ yếu trích dẫn từ [2] [3] Chương gồm tiết Tiết 1.1, trình bày khái niệm không gian xác suất, biến ngẫu nhiên tính độc lập Tiết 1.2, trình bày số bất đẳng thức để làm công cụ nghiên cứu tiết sau Luật số lớn trình bày tiết 1.3 Sau trình bày khái niệm luật số lớn, trình bày số luật số lớn cổ điển tiếng Chương 2: Luật mạnh số lớn tổng trọng số biến ngẫu nhiên Đây nội dung khóa luận, bao gồm tiết Tiết 2.1 thiết lập luật mạnh số lớn tổng trọng số biến ngẫu nhiên độc lập, bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X Kết tiết mở rộng Định lý 2.1 [4] Trong tiết trình bày lại chi tiết Định lý 2.2 [4] Tiết 2.2 trình bày lại chi tiết Định lý 3.1, Bổ đề 3.2, Định lý 3.3, Định lý 3.4, Mệnh đề 3.6 [5] Khóa luận thực trường Đại học Vinh hướng dẫn TS Lê Văn Thành Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy nhiệt tình hướng dẫn dành cho tác giả suốt trình hoàn thành khóa luận Nhân dịp này, tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán , thầy cô giáo khoa Toán trường Đại học Vinh, gia đình bạn bè tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập hoàn thành khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng song khả thân hạn chế nên khóa luận chắn hẳn nhiều thiếu sót Kính mong góp ý quý thầy cô toàn thể bạn sinh viên Vinh, tháng năm 2010 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm kết 1.1.1 Định nghĩa Cho Ω tập khác rỗng Một họ F tập Ω gọi σ - đại số thỏa mãn ba điều kiện i) Ω ∈ F , ii)Nếu A ∈ F Ω \ A ∈ F , iii) Nếu An ∈ F , n ≥ ∞ i=1 An ∈ F 1.1.2 Định nghĩa Cho Ω tập khác rỗng F σ - đại số tập Ω Hàm tập P xác định F gọi độ đo xác suất thõa mãn ba điều kiện i) P (A) ≥ ∀A ∈ F , ii)P (Ω) = 1, iii) Nếu {An, n ≥ 1} dãy tập đôi rời thuộc F ∞ P( ∞ An ) = i=1 P (An ) i=1 1.1.3 Định nghĩa Cho Ω tập khác rỗng F σ - đại số tập Ω P độ đo xác suất F Khi ba (Ω, F , P ) gọi không gian xác suất tổng quát Nếu với A ∈ F thỏa mãn P (A) = mà ta có B ∈ F , ∀B ⊂ A F gọi σ - đại số đầy đủ P gọi độ đo xác suất đầy đủ Khi đó, không gian (Ω, F , P ) gọi không gian xác suất đầy đủ 1.1.4 Định nghĩa Ký hiệu R tập hợp tất số thực B(R) σ đại số nhỏ chứa khoảng mở dạng (a, b), (a, b ∈ R) Khi B(R) gọi σ - đại số Borel R Mỗi phần tử B(R) gọi tập Borel 1.1.5 Định nghĩa Hàm thực X : Ω → R gọi hàm F - đo biến ngẫu nhiên {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B} = X −1 (B) ∈ F , ∀B ∈ B(R) 1.1.6 Định nghĩa Hàm số FX (x) = P {ω ∈ Ω : X(ω) < x} , x ∈ R gọi hàm phân phối biến ngẫu nhiên X 1.1.7 Định nghĩa Nếu X đại lượng ngẫu nhiên họ σ(X) = X −1(B) : B ∈ B gọi σ - đại số sinh X 1.1.8 Định nghĩa Cho dãy biến ngẫu nhiên X1 , X2, có hàm phân phối tương ứng FX1 , FX2 , Các biến ngẫu nhiên gọi phân phối FX1 (x) = FX2 (x) = ∀x ∈ R 1.1.9 Định nghĩa Giả sử (Ω, F , P ) không gian xác suất i) Họ hữu hạn {Fi , i ∈ I} σ - đại số F gọi độc lập P( Ai ) = i∈I P (Ai ), ∀Ai ∈ Fi , i ∈ I i∈I ii) Họ vô hạn σ - đại số F gọi độc lập họ độc lập iii) Họ biến ngẫu nhiên {Xi, i ∈ I} gọi độc lập họ σ đại số sinh chúng độc lập iv) Họ biến cố {Ai, i ∈ I} ⊂ F gọi độc lập biến ngẫu nhiên {IAi , i ∈ I} độc lập 1.1.10 Định nghĩa Giả sử X : (Ω, F , P ) → (R, B) đại lượng ngẫu nhiên Khi tích phân Lebesgue X theo độ đo P ( tồn ) gọi kỳ vọng X ký hiệu EX Vậy EX = XdP Ω 1.1.11 Định nghĩa Với p > 0, ký hiệu Lp = Lp (Ω, F , P ) tập hợp biến ngẫu nhiên xác định (Ω, F , P ) cho E |X|p < ∞ 1.1.12 Định nghĩa Dãy biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} gọi bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X tồn số D < ∞ cho P [|Xn | > t] ≤ DP [|DX| > t], ∀t ≥ 0, n ≥ Nhận xét Nếu dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} phân phối bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X1 1.2 Một số bất đẳng thức 1.2.1 Bất đẳng thức Holder Giả sử p, q > cho p + q = giả sử X ∈ Lp , Y ∈ Lq Khi E |XY | ≤ ||X| |p ||X| |q , ||X| |p = (E |X|p ) p 1.2.2 Bất đẳng thức Markov Giả sử X biến ngẫu nhiên Khi đó, với ε > p > 0, ta có P {|X >| ε} ≤ E |X|p p ε 1.2.3 Bất đẳng thức Bernstein Giả sử X1 , X2 , ,Xn biến ngẫu nhiên độc lập với EXi = 0, |Xi | ≤ M , ≤ i ≤ n, ε > Khi n Xi ≥ ε P −ε2 ( ≤ exp i=1 n EXi + i=1 Mε −1 ) 1.2.4 Bổ đề Kronecker Giả sử {bn, n ≥ 1} dãy hội tụ thỏa mãn < bn ↑ ∞ chuỗi số ∞ i=1 xn hội tụ Khi lim n→∞ bn n bk xk = i=1 1.2.5 Bất đẳng thức Liapunov Đối với biến ngẫu nhiên X ∈ Lt < s < t, ta có ||X| |s ≤ ||X| |t 1.3 Một số kết luật số lớn 1.3.1 Định nghĩa i)Cho dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} Ta nói dãy {Xn , n ≥ 1} hội tụ theo xác suất biến ngẫu nhiên X với ε > bất kỳ, ta có lim P {|Xn − X| > ε} = n→∞ Khi ta ký hiệu P Xn − →X (n → ∞) ii) Cho dãy biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} Ta nói dãy {Xn , n ≥ 1} hội tụ hầu chắn biến ngẫu nhiên X P lim Xn = X n→∞ = Khi ta ký hiệu h.c.c Xn −−→ X (n → ∞) 1.3.2 Định lý Dãy {Xn , n ≥ 1} hội tụ hầu chắn biến ngẫu nhiên X với ε > 0, ta có lim P n→∞ sup |Xm − X| > ε = m≥n 1.3.3 Bổ đề Borel - Cantelli Giả sử {An , n ≥ 1} dãy biến cố Khi a) Nếu b) Nếu ∞ n=1 P (An ) < ∞ P (lim supn An ) = 0, ∞ n=1 P (An ) = ∞ biến cố An độc lập, ∞ lim supn An = ∞ n=1 k=n Ak P (lim supn An ) = 1, 1.3.4 Định lý Marcinkiewicz - Zygmund Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối < p < Khi n i=1 Xi n p − nc → (h.c.c) E |X1 |p < ∞, c = EX1 ≤ p < c số tùy ý < p < CHƯƠNG LUẬT MẠNH SỐ LỚN ĐỐI VỚI TỔNG TRỌNG SỐ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN Trong chương ta ký hiệu C số, số không thiết giống lần xuất Ký hiệu log logarit số e 2.1 Luật mạnh số lớn tổng trọng số biến ngẫu nhiên Định lý 2.1 [4] thiết lập luật mạnh số lớn dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối, khả tích cấp p, p ≥ với kỳ vọng Trong tiết mở rộng Định lý 2.1 [4] cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X , khả tích cấp p, p ≥ Kết tiết Định lý 2.1.1 2.1.1 Định lý Giả sử p ≥ {Xi, i ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập, bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X với E |X|p < ∞ Giả sử {ani, n ≥ 1, n} mảng số thực thỏa mãn i sup n≥1,1≤i≤n - Nếu p > n i=1 ani |ani | < ∞ = o(n p log−1 n), lim n→∞ n p n ani Xi = i=1 h.c.c 10 - Nếu ≤ p ≤ n p i=1 |ani | lim n→∞ = O(nµ ), < µ < 1, n ani Xi = np h.c.c i=1 Chứng minh Với ε > 0, chọn số nguyên dương N đặt Xni = Xi I(|ani Xi | ≤ n p log−1 n), 1 ε Yni = Xi I(n p log−1 n < |ani Xi | ≤ n p ), N ε Zni = Xi I(|ani Xi | > n p ) N p > Trường hợp 1: Đầu tiên ta chứng minh lim n→∞ n p n (2.1) ani Xi = h.c.c i=1 Ta thấy E( n ≤ 1 p ani Xni ) i=1 n i=1 n 1 E[|ani Xi | I(|ani Xi | > n p log−1 n)]p(n p log−1 n)1−p np E[|ani Xi | I(|ani Xi | > n p log−1 n)] np ≤ n i=1 p−1 n ni=1 a2ni ≤C n p−2 log n ≤C → 1− p n Do để chứng minh log lim n→∞ 1 n n p i=1 ani Xi = h.c.c ta chứng minh ∞ n n=1 (ani Xni − Eani Xni ) > n p ε P i=1 < ∞ (2.2) 14 γ(α−1) Nếu < α < 2, bn = n α (log n) γ + α(1+γ) EX = 0, lim sup |Tn| =0 bn (2.10) h.c.c Ngược lại, (2.9) với < α ≤ cho tất dãy trọng số thỏa mãn Aα = lim sup Aα , n < ∞, E(h |X|γ ) < ∞, < h < h, (2.10) với < α < 2, E(h |X|η ) < ∞, Chứng minh Trường hợp 1: 1 γ(α − 1) = + η γ α(1 + γ) h > 0, < α ≤ Ta có max |ani | ≤ n α Aα,n , 1≤i≤n |ani | ≤ n α Aα,n Sử dụng Bổ đề Borel - Cantelli bất đẳng thức Markov, t > ta có −1 −1 P (log n) γ |Xn | > th γ = P {h |Xn |γ > t” log n} = P exp{h |Xn |γ } > nt Eexp {h |Xn |γ } → ≤ nt Suy −1 −1 lim sup log γ n max {|Xi | , , |Xn |} ≤ h γ h.c.c Từ ta có lim sup −1 −1 |Tn | ≤ lim sup Aα,n log γ n max |xi | ≤ Aα h γ 1≤n bn 15 Giả sử (2.9) cho nhiều cách chọn trọng số thỏa mãn Aα = lim sup Aα , n < ∞ Lấy ani = 0, với i < n ann = n α Aα ta có h γ1 lim sup ( ) |Xn | ≤ h.c.c log n n Điều có nghĩa là, với ε > h |Xn |γ P (exp 1+ε ≥ n) = Vậy ta có Eexp(h |X|γ ) < ∞, Trường hợp 2: h = h (1 + ε) < α < Chúng ta chứng minh (2.10) với 1 bn = n α (log n)1+ γ − λ , λ xác định 1 1, ta đặt Xic = Xi I[|Xi | ≥ t(h−1 log n) γ ], Xi = Xi I[(log n)δ1 ≤ |Xi | < t(h−1 log n) γ ], X”i = Xi I[|Xi | < (log n)δ1 ] = Xi − Xic − Xi , α+γ 1 1 = + − = < [αγ(γ + 1)] α γ λ λγ γ Tương ứng ta có cách đặt trọng số sau δ1 = −1 ani = ani I[|ani | ≥ n α log α n], 1 −1 a”ni = ani I[n α log−δ2 n ≤ |ani | ≤ n α log α n], a”ni = ani I[|ani | < n α log−δ2 n], 16 Tn bn δ2 > = b−1 n λ ani Xic + a”ni Xi” + (ani + a”ni )Xi + ani X”i + a”ni Xi∗ , Xi∗ = Xi − Xic Để chứng minh Định lý ta cần sử dụng bổ đề sau: 2.1.4 Bổ đề b−1 n ani Xic → h.c.c Chứng minh Điều kiện Aα < ∞ rõ max |ani | ≤ n α Aα,n 1≤i≤n N (ω) i=1 |Xi |, −1 Vế trái bị chặn (log n) γ h.c.c n b−1 n ani Xic i=1 N (ω) −1 α ≤ n (log n) −1− γ1 + λ1 max |ani | |Xi | i=1 N (ω) ≤ Aα,n (log n) −1 λ (log n) −1 γ Xi i=1 N (ω) ≤ (log n) −1 γ Xi (1 < λ < 2), i=1 N (ω) tập hợp hữu hạn biến cố thõa mãn |Xi | > t(h−1 log i) γ Bổ đề chứng minh 2.1.5 Bổ đề lim sup b−1 n ani Xi” ≤ Aαα h.c.c Chứng minh Từ cách định nghĩa ani, Xi δ1 = b−1 n ani Xi” ≤ b−1 n + γ − λ ta có |ani |α n α −1 logδ1 +1− α n ≤ Aαα,n Bổ đề chứng minh 2.1.6 Bổ đề b−1 n α (ani + a”ni )Xi → h.c.c 17 Chứng minh Đặt Mn = # i ≤ n, (ani + a”ni )Xi = Theo bất đẳng thức Holder, ta có Mn α |ani | ≤ ( |ani | ) α 1− α1 Mn i=1 Từ ta có b−1 n (ani + a”ni )Xi ≤ b−1 n |ani | Xi 1 ≤ th γ log n γ log n−1+ λ − γ n α −1 1− α1 −1 ≤ th γ Aα,n Mn −1 |ani | log n−1+ λ Để hoàn thành chứng minh bổ đề cần 1− α1 ∀ε > 0, P (Mn ≥ ε(log n)1− λ ) = (∗) Ta nhận xét # i ≤ n, ani + a”ni = = # i ≤ n, |ani | > n α (log n)−δ2 ≤ Aαα,n (log n)αδ2 Kết hợp với Eexp(h |X|γ ) < ∞ với h, γ > 0, C > ta có 1− α1 P Mn ≥ ε(log n)1− λ γ = P Mn ≥ ε(log n) γ+1 γ ε(log n) γ+1 ≤ E |Mn | γ γ (ε(log n) γ+1 )ε(log n) γ+1 γ ≤ Cexp(−ε(log n) γ+1 h(log n)γδ1 − αδ2 log log n ) ≤ Cexp( γ −1 εh(log n)1+ α(γ+1) ) Vậy (*) đúng, Bổ đề chứng minh 2.1.7 Bổ đề b−1 n ” ≤3 a”ni Xni h.c.c b−1 n a”ni Xi∗ → h.c.c 18 Chứng minh Trước tiên a”ni EXi∗ → a”ni EXi → b−1 n b−1 n Từ EX = 0, Eexp(h |X|γ ) < ∞ với h, γ > sử dụng bất đẳng thức Markov ta có EXi” = EXi − EXic − EXi = EXic + EXi = EXI[|X| > (log n)δ1 ] ≤ (log n)δ1 exp(−h(log n)γδ1 ) Mặt khác # i ≤ n, a”ni = ≤ # i ≤ n, ani + a”ni = ≤ Aαα,n (log n)αδ2 = O(log n)αδ2 , Nên ta có b−1 n a”ni EXi” 1 ≤ O((log n)δ1 +αδ2 −1+ λ − γ )exp(−h(log n)γδ1 ) → Tương tự ta có −1 |EXi∗ | = EXI[|X| > th γ (log n) γ −1 ≤ th γ (log n) γ exp(−tγ log n) Điều kéo theo b−1 n a”ni EXi∗ → 0, t > Nhận xét 1 −1+ λ − γ − α +δ1 ” ” = b−1 n ani Xi ≤ (log n) , log n 19 V ar(b−1 n a”ni E(X 2) a”ni Xi” ) ≤ b−2 n 2 ≤ Aαα,n δ (log n)−2− γ + λ − 2−α α ≤ Aαα,n δ (log n)−1−2δ1 = o( ), log n δ = EX12 Áp dụng bất đẳng thức Bernstein biến ngẫu nhiên với t > 3, ta có P b−1 n a”ni (Xi” − EXi” ) ≥ t ≤ 2e−t log n → Từ suy lim sup b−1 n a”ni (Xi” − EXi” ) ≤ h.c.c Mặt khác ta có nhận xét với c > 1, δ2 > λ −1 ∗ ” −1+ λ −δ2 γ b−1 = o(log−c n) n ani Xi ≤ th (log n) Hơn ta có V ar(bn−1 a”ni Xi∗ ) ≤ b−2 n ≤ b−2 n a”ni δ2 |ani |α (n α log−δ2 n)2−α δ 2 2 ≤ Aαα,n (log n)−2− γ + λ −(2−α)δ δ = o(log−c n), với δ2 > −1 − , α δ1 = 1 + − γ α λ 2 + − (2 − α)δ2 = (2 − α)( − δ2) − 2δ1 < γ λ α Từ hai nhận xét áp dụng bất đẳng thức Bernstein với ε > ta có P b−1 n ani ” (Xi∗ − EXi∗ ) ≥ ε ≤ 2e−ε logc n 20 a”ni (Xi∗ − EXi∗ ) → h.c.c Kết thúc chứng minh Điều kéo theo b−1 n Bổ đề 2.1.7 Kết hợp Bổ đề 2.1.1 - 2.1.7 ta có kết lim sup b−1 n ani Xi ≤ Aαα + h.c.c Bây ta chứng minh điều kiện đủ (2.10) Định lý 2.1.3 Đặt a˜ni = ηani ˜ i = ωXi Ta dễ dàng chứng minh X lim sup b−1 n ˜ i ≤ A˜α + = ωη α Aα + a ˜ni X α α Điều tương đương với lim sup b−1 n ani Xi = η α−1 Aαα + ω Cho η → ω → ∞ ta có điều phải chứng minh Điều kiện cần trường hợp chứng minh tương tự trường hợp sau Giả sử (2.10) cho dãy trọng số thỏa mãn Aα = lim sup Aα , n < ∞ 1 Lấy ani = với i < n ann = n α h η , h η lim sup ( |X|) = h.c.c log n Điều có nghĩa ∀ε > 0, η P (eh|X| ≥ n) = Bằng Bổ đề Borel - Cantelli ta có điều phải chứng minh Kết thúc chứng minh (2.10) Định lý 2.1.3 chứng minh xong 2.2 Luật mạnh số lớn Marcinkiewicz - Zygmund cho dãy trọng số độc lập phân phối Trong tiết trình bày chi tiết bổ đề định lý [5] Định lý 2.2.1 Định lý 2.1 [5], Định lý 2.2.3 Định lý 21 3.3 [5], Định lý 2.2.4 Định lý 3.4 [5],Bổ đề 2.2.2 Bổ đề 3.2 [5], Mệnh đề 2.2.5 Mệnh dề 3.6 [5] 2.2.1 Định lý Cho {Xn } dãy biến ngẫu nhiên độc lập, E |Xn |p < ∞ p n=1 E(|Xn | ) ∞ với < p ≤ E(Xn) = 0, ∀n Nếu ∞ n=1 Xn < ∞ chuỗi hội tụ hầu chắn 2.2.2 Bổ đề Giả sử Cn dãy số thực không âm với c1 + c2 + + cn sup = c∗ < ∞ n Khi ∞ cn c∗ p ≤ , ∀p > m = 1, 2, np p − mp−1 n=m+1 Chứng minh Chúng ta dễ dàng chứng minh p − < k p (k + 1)p k p+1 Từ với p > ta có ∞ ∞ ∞ n=m+1 cn cn = np n=m ∞ = k=n ∞ ( k=n 1 − ) k p (k + 1)p ≤ k=m ∞ k 1 ( p− cn ≤ ) k (k + 1)p n=m p k k p+1 k ∞ k cn ≤ c∗ n=1 k=m k=m p k k p+1 n=m p kp Do ∞ n=m+1 cn ≤ c∗ p n ∞ k=m+1 p ≤ pc∗ p k ∞ m dt c∗ p = p − mp−1 Kết thúc chứng minh 2.2.3 Định lý Cho q > cho {ak } thỏa mãn |a1 |q + + |an |q = A < ∞ sup n n cn 22 Khi dãy độc lập {Xn } thỏa mãn E(Xn) = 0, sup E(|Xn |r ) < ∞, < r < ∞, ∀α ∈ ( n chuỗi ∞ k=1 ∀n , 1] {r, q, 2} ak Xk hội tụ hầu chắn, kα nα n ak Xk → h.c.c k=1 Chứng minh Không tính tổng quát ta giả sử r ≤ 2, r ≤ q α> r Đặt cn = |an |r Theo Bổ đề 2.2.2 ta có ∞ n=1 Do ∞ n=1 |an |r < ∞ nαr an Xn r E( ) ≤ sup E(|Xk |r ) α n k ∞ n=1 |an |r < ∞ nαr Do < r ≤ E(Xn) = 0, ∀n, áp dụng Định lý 2.2.1 ta hội tụ ak Xk hầu chắn chuỗi ∞ k=1 kα Áp dụng Bổ đề Kronecker ta có nα n ak Xk → h.c.c k=1 Định lý chứng minh 2.2.4 Định lý Cho q > cho dãy {ak } thỏa mãn |a1 |q + + |an |q sup = A < ∞ n n Khi dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối {Xn } thỏa mãn E(|X1 |) < ∞ E(X1) = n n ak Xk → k=1 h.c.c 23 Chứng minh Với q > 2, ( n n |ak | ) ≤ ( n k=1 n |ak |q ) q k=1 Do ta giả thiết q ≤ Đặt Wn = Xn χ{|Xn |≤n} Khi |E(Wn)| = |E(Xn) − E(Wn)| ≤ E(|X1 | χ{|X1 |>n}) → Mặt khác ∞ ∞ P (Xn = Wn) = n=1 ∞ P (|Xn | > n) = n=1 P (|X1 | > n) < ∞, n=1 nên P (Xn = Wn) = Do cần phải chứng minh n n ak Wk → h.c.c k=1 Đặt Vn = Wn − E(Wn) Khi {Vn } dãy biến ngẫu nhiên với E(Vn) = Giả thiết kéo theo |a1 |q + + |an |q sup =A 0, tồn no cho ∀n > no |EWk | < ε Kết hợp với giả thiết |E(Wk )| ≤ E(|X1 |) ta có n = n ≤ n n ak Vk − n i=1 n n ak Wk i=1 ak E(Wk ) k=1 no k=1 ak E(Wk ) + n n ak E(Wk ) k=no +1 1 no E(|X1 |)A q + εA q n Vậy ta cần ≤ n n ak Vk → h.c.c i=1 Bổ đề Kronecker đủ để ∞ i=1 an Vn n h.c.c Bằng Định lý 2.2.1 đủ để ∞ n=1 |an |q E(|Vn |q ) hội tụ nq Ta có Vn = Wn − E(Wn) suy ||Vn | |q ≤ ||Wn | |q + ||E(Wn)| | = ||Wn| |q + |E(Wn)| ≤ ||Wn| |q Nên ta cần chứng minh ∞ n=1 Đặt B = Aq (q−1) |an |q E(|Wn|q ) < ∞ nq Sử dụng Bổ đề 2.2.2 cho q ( với ck = |ak |q ) đạt ∞ n=1 |an |q E(|Wn|q ) = nq ∞ n=1 |an |q nq ∞ P {|Wn |q > αq }dαq 25 ∞ = n=1 ∞ ≤ i=1 ∞ = |an |q nq ∞ qαq−1P {|Wn| > α} dα |an |q q−1 qα E(|X1 |) nq |an |q nq n=1 ∞ = n qαq−1 P {|X1| > α} dα ∞ qα q−1 P {|X1 | > α} n=[α]+1 ∞ ≤q n=1 |an |q + nq ∞ |an |q dα nq qαq−1 P {|X1 | > α} B dα [α]q−1 q ≤ q(|a1 | + B) + 2qBE(|X1 |) 2.2.5 Mệnh đề Tồn dãy {ak } không âm thõa mãn sup n a1 + + an =A δ} = P {|X1 | > δ} > Điều kéo theo X2j không hội tụ theo xác suất tới Mâu thuẫn với (**) Vậy mệnh đề chứng minh 27 KẾT LUẬN Kết đạt Khóa luận nghiên cứu luật mạnh số lớn tổng trọng số biến ngẫu nhiên thu kết sau: (i) Đọc hiểu báo [4], [5], [6], [7] làm rõ chứng minh mà tác giả trình bày vắn tắt, chẳng hạn: Định lý 2.1.2, 2.1.3, bổ đề liên quan (ii) Kết đạt Định lý 2.1.1 mở rộng Định lý 2.1 [4] Hướng phát triển khóa luận Trong trình nghiên cứu hoàn thành khóa luận nhận thấy có câu hỏi đặt ra, là: Có thể hạn chế giả thiết Định lý mà thu đánh hay không? Chúng nghiên cứu vấn đề thời gian tới 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đinh Văn Gắng, Lý thuyết xác suất thống kê, NXB Giáo dục, 2008 [2] Nguyễn Văn Quảng, Giáo trình xác suất, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2007 [3] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Việt Yên, Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục, 2006 [4] Z.D Bai, Philip E Cheng, Marcinkiewicz strong laws for linear statistics, Statistics & Probability Letters 46, 105-112 (2000) [5] John Baxter, Roger Jones, Michael Lin, and James Olsen, SLLN for Weighted Independent Identically Distributed Random Variables, Journal of Theoretical Probability, Vol 17, No 1, January (2004) [6] Zhidong Bai, Philip E Cheng and Cun-Hui Zhang, An Extension of The Hardy - Littlewood Strong Law, Statistica Sinica 7, 923-928 (1997) [7] Rolf Thrum, A Remark on Almost Sure Convergence of Weighted Sums, Probab Th Rel Fields 75, 425-430 (1987) [...]... là số số i thỏa m n |ani Xi| > n p log−1 n và từ cách định nghĩa Yni, ta có n 1 |ani Yni | > n p ε P i=1 1 1 P (|ani1 Xi1 | > n p log−1 n, , |aniN XiN | > n p log−1 n) ≤ 1≤i1 < n p log−1 n) )N ≤( i=1 n ≤ (C i=1 n ≤ (C i=1 |ani |2 E |Xi |p logp n) N n |ani |2 logp n) N n 12 ≤ C( logp n n 1− p2 )N Do đó n 1 p |ani Yni | > n ε P ≤ C( logp n n i=1 1− p2 )N (2.5) Ch n N đủ l n, từ... dụng Bất đẳng thức Bernstein đối với các bi n ngẫu nhi n 1 1 (ani Xni − Eani Xni ), 1 ≤ i ≤ n np ta có P n 1 n 1 p (ani Xni − Eani Xni ) ≥ ε i=1 ≤ exp −ε2 1 ( 2 n p2 n ani 2Xni 2 + 2 log−1 n )−1 i=1 ≤ Cexp(−2 log n) = C n2 Từ đó suy ra n 1 n (ani Xni − Eani Xni ) ≥ ε 1 p ≤ exp(−2 log n) = i=1 C n2 (2.3) Điều n y kéo theo (2.2) Bây giờ ta chứng minh 1 n 1 p n (2.4) ani Yni → 0 h.c.c i=1 1 Gọi N là số. .. ở những chỗ xuất hi n Trường hợp 2 Chứng minh tương tự 2.1.2 Định lý Cho Tn = n i=1 ani Xi là một tổng trọng của những bi n ngẫu nhi n Xi độc lập cùng ph n phối Đặt 1 p = 1 α + 1 β với 1 < α, β < ∞ và 1 < p < 2 Giả sử E |X|β < ∞, Aα = lim sup Aα ,n < ∞, với Aαα ,n = n 1 n α i=1 |ani | và EX = 0 Khi đó Tn h.c.c 1 → 0 np 13 Ngược lại, n u Tn 1 np h.c.c với mảng hệ số thỏa m n →0 Aα = lim sup Aα ,n < ∞... n) < ∞, n= 1 n n P (Xn = Wn) = 0 Do đó chúng ta chỉ c n phải chứng minh 1 n n ak Wk → 0 h.c.c k=1 Đặt Vn = Wn − E(Wn) Khi đó {Vn } là dãy các bi n ngẫu nhi n với E(Vn) = 0 Giả thiết kéo theo |a1 |q + + |an |q sup =A 0, t n tại no sao cho n > no thì |EWk | < ε Kết hợp với giả thiết |E(Wk )| ≤ E(|X1 |) ta có 1 n = 1 n 1 ≤ n n 1 ak... Aα , n < ∞ 1 1 Lấy ani = 0 với i < n và ann = n α h η , thì 1 h η lim sup ( |X|) = 0 h.c.c log n Điều n y có nghĩa là ∀ε > 0, η P (eh|X| ≥ n) = 0 Bằng Bổ đề Borel - Cantelli ta có điều phải chứng minh Kết thúc chứng minh (2.10) Định lý 2.1.3 được chứng minh xong 2.2 Luật mạnh số l n Marcinkiewicz - Zygmund cho dãy trọng số độc lập cùng ph n phối Trong tiết n y chúng tôi trình bày chi tiết h n các bổ... tụ tới cùng một giới h n với 1 n n k=1 ak Xk 26 Do đó n1 an Xn → 0 hầu chắc ch n Điều n y kéo theo X2j → 0 hầu chắc ch n (∗∗) Mặt khác ta lại có P {|X2j | > δ} = P {|X1 | > δ} > 0 Điều n y kéo theo X2j không hội tụ theo xác suất tới 0 Mâu thu n với (**) Vậy mệnh đề được chứng minh 27 KẾT LU N Kết quả đạt được Khóa lu n nghi n cứu về luật mạnh số l n đối với tổng trọng số các bi n ngẫu nhi n và đã... i=1 Ch n ani = 1 ta có EX = 0 Vậy điều ki n c n cũng được chứng minh Định lý 2.1.3 sau đây trình bày kết quả mở rộng trong trường hợp β l n tùy ý của Định lý 2.1.2, với giả thiết h, γ > 0, Eexp(h |X|γ ) < ∞ 2.1.3 Định lý Cho Tn = n i=1 ani Xi , n ≥ 1 là một tổng trọng của những bi n ngẫu nhi n Xi độc lập cùng ph n phối Giả sử Aα = lim sup Aα ,n < ∞ đúng với α ∈ (0, 2) và Eexp(h |X|γ ) < ∞ đúng với h,... với Aαα ,n = n 1 n α i=1 |ani | , thì E |X|β < ∞ và EX = 0 Chứng minh Điều ki n đủ có thể suy ra ngay vì đây là hệ quả của Định 1 lý 2.1.1 Điều ki n c n Ch n an1 = = an ,n 1 = 0 và ann = n α ta được −1 n β Xn → 0 h.c.c Điều n y kéo theo E |X|β < ∞ Từ β > 1, EX t n tại, h n nữa E((Tn − ETn)) = 0 áp dụng điều ki n đủ của Định lý 2.1.2 ta có −1 n p (Tn − ETn) → 0 h.c.c, và có n −1 p n ETn = n −1 p ani EX... Vk − n i=1 n n ak Wk i=1 ak E(Wk ) k=1 no k=1 1 ak E(Wk ) + n n ak E(Wk ) k=no +1 1 1 no E(|X1 |)A q + εA q n Vậy ta chỉ c n chỉ ra rằng ≤ 1 n n ak Vk → 0 h.c.c i=1 và bằng Bổ đề Kronecker đủ để chỉ ra rằng ∞ i=1 an Vn n h.c.c Bằng Định lý 2.2.1 đủ để chỉ ra rằng ∞ n= 1 |an |q E(|Vn |q ) hội tụ nq Ta có Vn = Wn − E(Wn) suy ra ||Vn | |q ≤ ||Wn | |q + ||E(Wn)| | = ||Wn| |q + |E(Wn)| ≤ 2 ||Wn| |q N n ta... |an |q sup = A < ∞ n n Khi đó mọi dãy bi n ngẫu nhi n độc lập cùng ph n phối {Xn } thỏa m n E(|X1 |) < ∞ và E(X1) = 0 thì 1 n n ak Xk → 0 k=1 h.c.c 23 Chứng minh Với q > 2, 1 ( n n 1 |ak | ) ≤ ( n 2 k=1 n 1 2 1 |ak |q ) q k=1 Do vậy ta giả thiết q ≤ 2 Đặt Wn = Xn χ{|Xn | n} Khi đó |E(Wn)| = |E(Xn) − E(Wn)| ≤ E(|X1 | χ{|X1 | >n} ) → 0 Mặt khác ∞ ∞ P (Xn = Wn) = n= 1 ∞ P (|Xn | > n) = n= 1 P (|X1 | > n)