Mệnh đề 1.3.8. Giả sử A là một đại số von Neumann hoạt động trong không gian Hilbert H. Nếu dãy (xi) trong A hội tụ mạnh tới x0 thì với mọi ε > 0 , tồn tại dãy (pi) ⊂ P rojA sao cho pi → 1 mạnh và
||(xi −x0)pi|| < ε với i = 1,2, ...
Định lý 1.3.9. (Định lý Egoroff không giao hoán) Giả sử A là một đại số von Neumann với trạng thái chuẩn đúng φ ; xn là dãy trong A hội tụ đến x theo topo toán tử mạnh . Khi đó với mọi phép chiếu p ∈ A và mọi ε > 0, tồn tại phép chiếu q ≤ p trong A và dãy con (xnk) của (xn) sao cho φ(p−q) < ε và ||(xnk −x)q|| → 0 khi k → ∞.
Bổ đề 1.3.10. Giả sử {xn} là một dãy toán tử dương từ A và {εn} là một dãy số dương . Nếu
∞
X
n=1
ε−n1φ(xn) < 1/2
thì tồn tại phép chiếu p ∈ A sao cho
φ(p) ≥1−2 ∞ X n=1 ε−n1φ(xn) và ||pxnp|| ≤2εn với mọi n = 1,2, .... Định lý 1.3.11. Định lý Rademacher-Menchoft. Giả sử ξ1, ξ2, .... là dãy các biến ngẫu nhiên trực giao và c1, c1, .... là dãy số thực thỏa mãn
∞ X k=1 c2k(lgk)2 < ∞ Khi đó chuỗi ∞ X k=1 ckξk hội tụ với xác suất 1.
Các kí hiệu sử dụng trong đề tài : A kí hiệu 1 đại số von Neumann hoạt động trong một không gian Hilbert phức H ; A0 là hoán tập của A;φ là một trạng thái trên A ; A+ là nón các toán tử dương trong A ; P rojA là tập hợp tất cả các phép chiếu trực giao trong A .Với p ∈ P rojA luôn luôn p⊥ = 1 −p. Toán tử đơn vị trong A là 1, đối với tập con Borel Z của đường thẳng thực và toán tử tự liên hợp x , kí hiệu eZ(x) là phép chiếu phổ của xtương ứng với Z. Vớix ∈ A thì|x|2 = x∗x.
˜
A là tập các toán tử đóng ,τ− đo được , xác định trù mật. A là tập các toán tử đóng , xác định trù mật và kết hợp với A