MỤC LỤC
Lời bình Khái niệm về toán tử đo được được đưa ra bởi I.E.Segal [17] và tạo thành cơ sở cho việc nghiên cứu lý thuyết tích phân không giao hoỏn , tức là lý thuyết00 tớch phõn00. Lý thuyết này đóng vai trò chính trong việc xây dựng các không gian Lp kết hợp với các đại số von Neumann nửa hữu hạn là không gian cụ thể của các toán tử đóng xác định trù mật .Trong [18] , E.Nelson đã đưa ra một hướng tiếp cận mới đòi hỏi ít kiến thức về kĩ thuật đại số von Neumann − cho lý thuyết này , dựa trên khái niệm về tính đo được theo một vết (bắt nguồn từ khái niệm hội tụ theo độ đo được giới thiệu bởi W.F.Stinespring trong [16] ).Toán tử đo được bất kì cũng đo dược theo nghĩa Segal ( trong khi điều ngược lại nói chung không đúng ). Lý thuyết xác suất không giao hoán là nền tảng toán học của cơ học lượng tử, nó có thể coi là mở rộng tự nhiên của lý thuyết xác suất cổ điển.
Trong cơ học cổ điển, với mỗi hệ hạt điểm vật lý có một đa tạp khả vi U tương ứng .Các trạng thái của hệ được biểu diễn bởi các điểm của U, và các lượng vật lý (các quan sát được ) sẽ được mô tả bởi các hàm (đo được) trên đa tạp U. Với hệ có số bậc tự do hữu hạn , các trạng thái hỗn hợp được cho bởi các toán tử lớp vết dương ( toán tử trù mật ) .Các quan sát được sẽ được biểu diễn bởi các toán tử tự liên hợp hoạt động trên H. (Định lý Egoroff không giao hoán) Giả sử A là một đại số von Neumann với trạng thái chuẩn đúng φ ; xn là dãy trong A hội tụ đến x theo topo toán tử mạnh.
Toán tử đơn vị trong A là 1, đối với tập con Borel Z của đường thẳng thực và toán tử tự liên hợp x , kí hiệu eZ(x) là phép chiếu phổ của xtương ứng với Z. Nhưng khi xét một số lớn những biến cố ngẫu nhiên hay đại lượng ngẫu nhiên , ta có thể thu được kết luận nào đó mà trên thực tế có thể xem là chắc chắn. Trong lý thuyết xác suất người ta gọi những định lý khẳng định dãy nào đó những đại lượng ngẫu nhiên hội tụ theo xác suất về hằng số là những định lý luật số lớn.
Những định lý luật số lớn cổ điển ( luật số lớn đối với hội tụ theo xác suất ) như định lý Bernoulli và định lý Chebyshev , Khinchin..và luật số lớn đối với hội tụ hầu chắc chắn như định lý Kolmogorov. Luật yếu số lớn còn được gọi là định lý Khinchin Xét n biến ngẫu nhiên X1, X2, .., Xn độc lập , cùng phân phối với phương sai hữu hạn và kỳ vọng E(X). Trong chương này chúng ta sẽ đề cập đến một số kết quả được coi là mở rộng của định lý cổ điển cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập ( hay không tương quan ).
Nhưng điều cần nhấn mạnh ở đây là tính độc lập liên quan đến trạng thái φ là một điều kiện rất hạn chế ,đặc biệt khi φ không phải là vết.Khái niệm độc lập trong xác suất không giao không đóng vai trò quá quan trọng như trong xác suất cổ điển. Rất may là đối với trạng thái vết (tracial state) thì các kĩ thuật vẫn tương tự như trường hợp cổ điển.Vì vậy ta thu được rất nhiều kết quả đúng cho cả trường hợp giao hoán và không giao hoán theo cách làm không khác nhiều cách làm cổ điển. Các định lý như vậy có liên hệ với lý thuyết tương quan trong các quá trình ngẫu nhiên lượng tử ( xem [14] ) và cho ta một số thông tin về biến thiên tiệm cận của dãy quan sát được không tương quan.
Nếu trạng thái φ là vết thì ta sẽ thiết lập được một số định lý cho dãy toán tử đo được. Các thuật ngữ và một số kết quả liên quan đến toán tử đo được có thể xem thêm tài liệu trong phần phụ lục.
Trước hết ta lưu ý rằng nếu φ là vết thì hội tụ hầu đầy đủ kéo theo hội tụ hầu đều. Giả sử A là đại số von Neumann với trạng thái chuẩn tắc đúng φ , và (xn) là dãy bị chặn trong A.
Để chứng minh định lý này ta sẽ bắt đầu với kết quả như sau. Việc chứng minh dựa trên ý tưởng của Plancherel [ 7] và được trình bày trong lý thuyết về chuỗi trực giao ( xem [8] ). Các phân tử của phân hoạch đầu tiên có độ dài 2m−1 ,cácphân tử của phân hoạch thứ r có độ dài 2m−r.
Dĩ nhiên nếu φ là một vết thì định lý này là hệ quả tầm thường của định lý 2.3.1. Nếuφ là trạng thái chuẩn tắc đúng tổng quát , chứng minh có thể thu được bằng cách xem xét kỹ chứng minh của định lý 2.3.1. Rừ ràng định lý 2.3.1 cú thể được coi là sự mở rộng của luật mạnh số lớn nói trên cho trường hợp không giao hoán.
Với một vài điều kiện mạnh hơn trong định lý 2.3.1 ta sẽ thu được sự hội tụ tốt hơn của dãy trung bình.
Ta sẽ chứng minh kết quả tổng quát của định lý Glivenko-Cantelli về phân phối thực nghiệm.
Như là hệ quả của định lý trên, ta nhận được dạng suy rộng sau đây của định lý Kolmogorov. Chú ý rằng từ kết quả vừa nêu ta có thể suy ra mở rộng sau đây của luật mạnh số lớn Kolmogorov. Ta bỏ qua chứng minh của định lý này vì trong phần sau ta sẽ nêu ra kết quả tổng quát hơn.
Bây giờ ta sẽ chứng minh luật mạnh số lớn mà không cần giả thiết về tính hữu hạn của các mô men thường của ξn. Hai định lý sau đây chỉnh sửa một số kết quả của W.Feller ( đối với biến ngẫu nhiên thực). Trong trường hợp ξn không phân phối đối xứng ta cần hạn chế thêm điều kiện đối với {xk}.
Bây giờ ta sẽ chứng minh kết quả cho trường hợp không giao hoán của luật số lớn Marcinkiewicz. Bất đẳng thức thứ nhất cùng với định lý 2.6.2 cho ta sự hội tụ hầu đều. Bây giờ ta sẽ chứng minh kết quả tương tự của Marcin Kiewicz theo Luczak [9].
Ta sẽ kết thúc phần này với một số luật yếu số lớn trong đại số von Neumann. Cho {ξn} là dãy các toán tử tự liên hợp đo được , cùng phân phối , độc lập liên tiếp từ A˜. Sử dụng kỹ thuật tương tự ta có thể chứng minh kết quả sau của luật yếu số lớn.