Luật mạnh số lớn chung teicher trong không gian banach

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM LUẬT MẠNH SỐ LỚN CHUNG-TEICHER TRONG KHƠNG GIAN BANACH Ths DIỆP HỒNG ÂN AN GIANG, THÁNG 11 NĂM 2016 TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM LUẬT MẠNH SỐ LỚN CHUNG-TEICHER TRONG KHƠNG GIAN BANACH Ths DIỆP HỒNG ÂN AN GIANG, THÁNG 11 NĂM 2016 CHẤP NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG Đề tài nghiên cứu khoa học: "Luật mạnh số lớn Chung – Teicher không gian Banach", tác giả Diệp Hồng Ân, cơng tác khoa Sư phạm, Trường Đại học An Giang thực Tác giả báo cáo kết nghiên cứu Hội đồng khoa học Đào tạo Trường Đại học An Giang thông qua ngày Thư ký (ký tên) Phản biện (ký tên) Phản biện (ký tên) Chủ tịch Hội đồng (ký tên) i LỜI CẢM ƠN Lời tơi xin kính gửi đến tiến sĩ Phan Văn Long Em, lời cảm ơn sâu sắc ý kiến quý báu tiến sĩ dành cho q trình hồn thiện đề tài Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám Hiệu, Phòng Quản lí Khoa học Hợp tác Quốc tế, Phịng Hành - Tổng hợp Phịng Kế hoạch tài vụ Trường Đại học An Giang tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành đề tài Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô Bộ mơn Tốn, Khoa Sư Phạm, Trường Đại học An Giang giúp đỡ, trao đổi, thảo luận, đóng góp ý kiến tạo điều kiện thuận cho suốt trình thực đề tài Long Xuyên, ngày 25 tháng 11 năm 2016 Người thực ii TÓM TẮT KẾT QUẢ Đề tài phân tích điều kiện Chung - Teicher để dãy biến ngẫu nhiên độc lập  X n  , n  giá trị không gian Banach khả li tuân theo luật mạnh số lớn dạng tổng quát Các điều kiện Chung – Teicher điều kiện đưa từ kết hợp điều kiện Chung (năm 1947) Teicher (1967) Cho  hàm dương, chẵn liên tục   x x   x  Xn ,n 1 Và x2 an  , bn  số cho (i)  (ii) bn ai2   X i  i 2  (iii)  (iv)  n   i 1  i 1    X i -giá trị độc lập, a 2j   X i j 1  aj    ;  0;     ; ai4   X i b    i i 1 i ai2   X i i 1 biến ngẫu nhiên  bn   Các điều kiện Chung – Teicher là:  b  a  i cho x tăng,    Soo Hak Sung (1994) chứng minh với điều kiện xác suất iii Sn  hầu chắn bn Sn  theo bn ABSTRACT This research analyses Chung – Teicher‘s conditions of sequence independent, separable Banach space valued random variables  Xn ,n 1 that satisfy strong law of large numbers These conditions were given by Chung (1947) and Teicher (1967): Let  be a positive, even and continuous function on increases,   x and x   x  X n  , n  is Let x2 such that as x sequence of independent, - valued random variables; an  , bn  are sequences of constants such that  bn   Chung – Teicher’s conditions are: (i)  (ii) bn ai2   X i   b  a  i 2  (iii)  (iv)   i n  i 1  i 1 a 2j   X i j 1 i ai2   X i    i 1 i 1 X i  0;     ; ai4   X i b    i  aj    ;    Soo Hak Sung (1994) proved that with these conditions and probability then iv Sn  a.s bn Sn  in bn MỤC LỤC CHẤP NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG i LỜI CẢM ƠN ii TÓM TẮT KẾT QUẢ iii ABSTRACT iv Mục lục v PHẦN 1: GIỚI THIỆU I TÍNH CẦN THIẾT CỦA ĐỀ TÀI II TỔNG QUAN TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU THUỘC LĨNH VỰC CỦA ĐỀ TÀI Ở TRONG VÀ NGOÀI NƯỚC II.2.1 Trong nước: II.2.1 Ngoài nước: III MỤC TIÊU ĐỀ TÀI IV NỘI DUNG NGHIÊN CỨU V ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI V.5.1 Đóng góp mặt khoa học: VI.5.2 Đóng góp cơng tác đào tạo: PHẦN 2: NỘI DUNG CHÍNH LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Sự hội tụ biến ngẫu nhiên giá trị thực Sự hội tụ theo xác suất Sự hội tụ hầu chắn Sự hội tụ theo trung bình Luật mạnh số lớn 1.2 Các kết bổ trợ Bổ đề Borel – Cantelli Bất đẳng thức Kolmogorov Định lí Kolmogorov Bổ đề Skorokhod Bất đẳng thức Martingale Bất đẳng thức Doob 10 Định lí hội tụ Lp 10 Liên hệ hội tụ theo xác suất hầu chắn 11 Định lí Kolmogorov - Khinchin 12 Bổ đề Kronecker 13 1.3 Biến ngẫu nhiên giá trị không gian Banach 13 Biến ngẫu nhiên giá trị không gian Banach 13 Sự hội tụ biến ngẫu nhiên -giá trị 13 Không gian Rademacher: 14 Các kết không gian Banach 14 Bất đẳng thức Kahane 15 Mở rộng bất đẳng thức Kolmogorov 15 Mở rộng Định lí ba chuỗi số Kolmogorov 16 Bất đẳng thức Yurinskii 17 LMSL Kolmogorov tổng quát 17 LMSL Kolmogorov trường hợp phân phối 18 v CHƯƠNG 2: LUẬT MẠNH SỐ LỚN CHUNG – TEICHER TRONG KHÔNG GIAN BANACH 19 2.1 Luật mạnh số lớn Chung 19 2.2 Luật mạnh số lớn Teicher 21 2.3 Luật mạnh số lớn Chung – Teicher 22 2.4 Các hệ 27 2.5 Các ví dụ: 31 CHƯƠNG 3: KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ HƯỚNG NGHIÊN CỨU 35 3.1 kết đạt 35 3.2 hướng nghiên cứu 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO: 37 vi PHẦN 1: GIỚI THIỆU I TÍNH CẦN THIẾT CỦA ĐỀ TÀI Luật số lớn (LSL) đóng vai trị quan trọng lý thuyết xác suất thống kê tốn, đồng thời có nhiều ứng dụng khoa học đời sống Theo Kolmogorov “Giá trị chấp nhận lý thuyết xác suất định lý giới hạn, kết chủ yếu quan trọng luật số lớn” Các kết nghiên cứu luật số lớn ngày mở rộng phong phú Sự mở rộng Luật mạnh số lớn (LMSL) theo hai hướng tổng có trọng số lên khơng gian tổng quát Luật mạnh số lớn Chung – Teicher dãy biến ngẫu nhiên không gian Banach kết mở rộng LMSL theo hướng Để hiểu rõ vấn đề đòi hỏi trình độ định đồng thời khái niệm liên quan cần viết rõ ràng Hơn nữa, vấn đề thường học viên cao học nghiên cứu sinh chuyên ngành xác suất thống kê chọn nghiên cứu Để đáp ứng yêu cầu làm phong phú thêm kết hiều biết LMSL đồng thời làm tài liệu tham khảo cho sinh viên năm cuối học viên cao học sau chọn nghiên cứu đề tài II TỔNG QUAN TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU THUỘC LĨNH VỰC CỦA ĐỀ TÀI Ở TRONG VÀ NGOÀI NƯỚC Năm 1930, Kolmogorov chứng minh định lý tiếng gọi “Luật mạnh số lớn Kolmogorov”: Cho Xn , n dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân | X1 | phối có n n k Xk X1 hầu chắn (h.c.c) Kể từ đến nhà tốn học khơng ngừng nghiên cứu mở rộng định lý Có thể điểm tên tuổi lớn có nhiều đóng góp cho lĩnh vực như: K L Chung, Zygmund, A Beck, S Chow, R Taylor, Hoffmann – Jorgensen, … Sự mở rộng theo hai hướng sau đây: Hướng thứ nhất: Mở rộng theo tổng có trọng số, tức nghiên cứu LMSL n Xi X n , n có dạng dãy biến ngẫu nhiên có giá trị i thực Đi theo hướng có K L Chung nghiên cứu cho đời LMSL mang tên ông năm 1947 Hu Taylor phát triển LMSL Chung mảng biến ngẫu nhiên độc lập trọng số hóa dãy số thực dương tăng Jardas mở rộng LMSL Chung tới dãy biến ngẫu nhiên độc lập trọng số hóa dãy số thực khác không Hướng thứ hai: Mở rộng theo tổng trọng số đồng thời mở rộng lên dãy biến ngẫu nhiên có giá trị khơng gian Banach Theo hướng có Beck (1963) xét LMSL Kolmogorov không gian Banach lồi Sau Pisier (1965) loại khơng gian Rademacher loại p ( p ) Có thể điểm số báo, luận văn, luận án nước sau: II.2.1 Trong nước: LMSL biến ngẫu nhiên giá trị không gian Banach đề tài rộng, học viên cao học nghiên cứu sinh nước chọn nghiên cứu Các hướng nghiên cứu LMSL mở rộng lên không gian tổng quát thay đổi điều kiện giả thiết tổng có trọng số Năm 2006, tác giả Lê Văn Hiền có nghiên cứu đề tài: “Luật số lớn khơng gian Banach có tính chất hình học”, luận văn thạc sĩ LMSL Chung – Teicher khơng gian Banach tác giả trình bày luận văn thạc sĩ “Luật mạnh số lớn khơng gian Banach” (Diệp Hồng Ân, 2010) Trong tác giả tổng hợp kết báo theo yêu cầu luận văn thạc sĩ Về đề tài Luật số lớn năm 2013, tác giả Lê Văn Dũng có trình bày luận án tiến sĩ: “Một số dạng Luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach p-khả trơn” Gần đây, tác giả Dương Xuân Giáp bảo vệ thành công luận án tiến sĩ mang tên: “Các định Ergodic Luật số lớn mảng biến ngẫu nhiên đa trị” II.2.1 Ngoài nước: Năm 1947, K L Chung trình bày chứng minh LMSL Chung Năm 1968, H Teicher trình bày chứng minh LMSL Teicher Năm 1983, D Szynal A Kuczmaszewska lưu ý số dạng điều kiện LMSL Chung – Teicher lên không gian Hilbert Năm 1989, B C Choi S H Sung mở rộng LMSL Teicher lên không gian Banach tổng quát Năm 1994, Soo Hak Sung, mở rộng kết Chung Teicher lên không gian Banach III MỤC TIÊU ĐỀ TÀI Đề tài nghiên cứu kết mở rộng LMSL Chung – Teicher lên dãy biến ngẫu nhiên giá trị không gian Banach Sn 0 bn (2.5) Với số nguyên dương k ta định nghĩa mk  inf n / bn  2k  Đầu tiên S m k bmk  h.c.c (2.6) Do đó, từ (2.5) ta cần Sm k  Sm k bmk  h.c.c (2.7) Xét đồng thức đơn giản sau:  S mk Sm k   2 mk mk i 1  mk     Ymk ,i    Ym2k ,i  2 Ymk ,iYmk , j i 1 i  j 1  i 1  Để đơn giản kí hiệu ta đặt mk i 1 mk i  j 1 i 1 U mk   Ymk ,iYmk , j vaø Vmk   Ym2k ,i ; Để chứng minh (2.7) ta cần rằng: U mk bm2k  h.c.c (2.8)  h.c.c (2.9) Vmk bm2 k Để chứng minh (2.8) cần theo Bổ đề Borel - Cantelli rằng, với     n 1 Vì  i 1 Y Y j 1 mk ,i mk , j    Um   k     ;  bm   k  ,  i  mk vaø Ymk ,i ,  i  mk  dãy martingale hiệu với mk cố định, ta có   k 1, mk  mk 1 24  Um    2k     bm   k 1 bm k  k  U  mk   i 2  1  2  k 1 bmk  2  k 1 bmk   mk i2  k 1, mk  mk 1 i 2 mk   i 2 mk k 1 bmk  C mk     k 1 bmk  C  i 2     X i    mk   i 1    Ymk ,i  Ymk , j  j 1   mk  2  k 1 bmk  X i i 2 X i i 1   X i  i 1    Ymk , j   j 1   i 1    Ymk , j   j 1  X i  X i  X i   Y  i 1  X j j 1 2 i 1 j 1 2 k / mk i bmk  ký hiệu tổng lấy tất số k cho mk  mk 1 Từ định 1 C 4 bi k / mk i bmk  Do từ (i) (2.4), ta có   k 1, mk  mk 1 mk  Um   k     C  bm  i 2  k   C  i 2  ai2   X i X i   b  a  i i 1 X j i 1  j 1 bm4k a 2j   X i j 1 i  aj     Do (2.8) chứng minh Bây giờ, chứng minh (2.9), đặt Y mk ,i  Fi 1 ,1  i  mk ta thu được: Z m2k ,i  Ym4k ,i   Ym4k ,i  Do từ (iv) (2.4) ta có 25 mk , j nghĩa mk suy rằng: Zmk ,i  Ym2k ,i       X i  X j j 1   X i  Ym2k ,i Fi 1 X i    Cai2 X i       k 1, mk  mk 1  mk      Z i 1 mk ,i mk b  1  2  k 1 bmk   C  ai2 b k 1 mk Z  mk ,i  Z   mk mk ,i i 1 X i k 1    C ai2   b k 1 k mk i mk X i bm4k ai4  X i   k 1 bmk      C Áp dụng bổ đề Borel - Cantelli ta  mk i 1 mk ,i Y Y   i k1 m mk ,i Fi 1  bm2k  h.c.c Để kết thúc chứng minh (2.9) cần chứng minh  mk i 1 Y mk ,i Fi 1  bm2k  h.c.c Từ (ii) (2.4) ta được:  mk i 1  Ym2k ,i Fi 1 bm2k   mk i 1  X i  mk b X i   C  X i mk i 1 i 1 b X i i  Fi 1  bm2k 2 mk  X   mk C bm2k  mk ai2   X i i 1     0 Do (2.6) chứng minh Bằng cách quan sát với mk  n  mk 1 Sm k Sn  Sm k Sn   max mk  n  mk 1 bn bmk bmk Ta đạt Sn  h.c.c ta bn max mk  n  mk 1 Với mk  n  mk 1 , từ (2.3) ta có 26 Sn  Sm k bmk 0 (2.10) Sm k 1 1  Sn  bmk Sm k 1 1 bmk  Sm 1 Sn S  k 1  n  bmk bmk 1 1 bn theo xác suất k   Do tồn k0 cho max mk  n  mk 1  Sm 1  Sn   k 1    với k  k0  bmk 2   Từ bất đẳng thức Skorokhod (Bổ đề 1.2), ta có   k  k0   Sn  Sm k  max    mk nmk 1 bmk         Smk 1 1  Sm k  bmk        k  k0  max  Sm k 1 1  Sn  bmk  mk  n  mk 1          Sm k 1 1  S m k  bmk    k  k0  (2.11) Bằng phương pháp tương tự chứng minh (2.6), ta suy ra: Sm k 1 1 bmk  h.c.c Từ kết này, (2.6) (2.11), ta có   k  k0   Sn  Sm k  max   mk nmk 1  bmk   Áp dụng Bổ đề Borel - Cantelli (2.10) chứng minh Do định lí chứng minh hồn tồn Chú ý LMSL Teicher cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị khơng gian Banach suy từ Định lí 2.3 cách đặt   x   x bn  n 2.4 CÁC HỆ QUẢ Định lí 2.4 (Choi and Sung, 1988) Cho  X n , n  0 dãy biến ngẫu nhiên độc lập -giá trị bn  dãy số cho  bn   Giả sử rằng:  X    b     n 1 n Khi Sn / bn  theo xác suất Sn / bn  h.c.c 27 (2.12) Chứng minh Cho an  bn Điều kiện (i) (iv) Định lí 2.3 dễ dàng thỏa mãn Giả thiết   x kéo theo  hàm không giảm  x đẳng thức Markov ta có    n 1  X i     n 1  [0,+) Do từ (2.12) bất    X i         i 1   Xi      bn  Do điều kiện (iii) Định lí 2.3 thỏa mãn Từ (2.12) Bổ đề Kronecker ta có bn2   bi2   X i i 1   bi   0 h.c.c Do điều kiện (ii) Định lí 2.3 thỏa mãn Và điều khẳng định suy từ Định lí 2.3 Các mở rộng LMSL Chung – Teicher theo hướng mở rộng điều kiện cần nhờ hàm  dương, chẵn thỏa điều kiện (2.1) Các kết tiếp sau theo hướng mở rộng hàm  thành dãy hàm Borel dương n , n  1 thỏa mãn tính chất sau: un n  u  u n u  v  Cn n   Dn n v n  v  v (2.13) Đối vối Cn , Dn  đó,  n  1,  n  p với n số p có nghĩa định lí Định lí 2.5 (Jyy-I Hong, 2003) Cho không gian Banach Rademacher dạng p (  p  ) khả li thực, cho X n , n  1 phần tử ngẫu nhiên X n  Nếu dãy an , n  1 số dương với trị độc lập với  A n 1  Xn a n 1 -giá n n  Xn n an     A n 1   max  ,C n , Dn  , C n  hội tụ h.c.c n Chứng minh Đặt Yn  X n  X n  an  Z n  X n  X n  an  với n , Trước hết, 28 hàm tiêu  X n Yn        an an  n 1   n 1   Zn  an n 1  n 1 Zn an n X  n n 1 X Zn an n  an   n  Z n    n  Z n       An n  an   n  an   n1  n 1 Cn  Kế tiếp, X n  Yn  Z n EX n  nên  an      Yn   Zn         miễn tồn giới n 1  an   an    n 1 hạn Đối với N  , N N Z  n   n 1 an n 1 N Zn  an n 1 Zn an n N   An n 1 n  X n n  an     N Z  Do   n  tồn với N  Bây giờ, hội tụ chuỗi n 1  an    An n 1 n  X n n  an   , ta biết       Zn    , N  1 dãy Cauchy không gian   an   N  n 1  Z  Banach, nên   n  giới hạn dãy tồn Do chuỗi n 1  an  hội tụ   n 1  Yn     an  Cuối cùng,   n 1 Y  Yn   n an  an  p   C p n 1   p C  Dn n 1 Yn an p  Yn an  C p n 1 n  n  Yn  n  X n  p C  An n  an  n  an  n 1    Theo Bổ đề 1.10, hội tụ ba chuỗi kéo theo hội tụ hầu chắn  Xn a n 1 Định lí chứng minh n Tiếp theo mở rộng LMSL Chung không gian Lp , ta nói phần tử ngẫu nhiên X thuộc vào Lp , kí hiệu X  Lp , Định lí 2.6 Cho X p  khơng gian Banach Rademacher dạng p (  p  ) khả li thực, cho  X n , n  1 phần tử ngẫu nhiên -giá trị độc lập với X n  Lp , p  Khi dãy an , n  1 số dương với 29 Xn  n  X n  1    An  max  , Cn , Dn  n  an   Cn   A n n 1  Chuỗi Xn a n 1 hội tụ h.c.c n Chứng minh Đặt Yn  X n  X n  an  Z n  X n  X n  an  với n , đặt Yn  Y  Z  Yn Z   n  , Z n  n   n  an an  an   an  Yn  0, Z n  với n Khi Với     nmax  j m     j Zi  Zi          max  i 1  i 1   n j m j  Bổ đề 2.6     m   i n  Vì A n n 1 m Z  i n m   i n Zi m    i n Zi j  i 1  Z      i  Z  Zi   i   m Z i  i n i  X i  i  an  m A  i n i n  X n    nên ta có n  an   lim lim  max n  m  n j m   j Zi  Zi        i  n  i n   j    lim lim  max n  m  n j m  Theo Bổ đề Borel-cantelli, ta có phần j Zi a i n i   j Z    i       i n     Zn  Zn     hội tụ tới n 1 an  n 1 an     Zn  Zn  h.c.c., nên     hội tụ h.c.c n 1 an  n 1 an   Với n  , đặt Yn* đối xứng hóa Yn , nghĩa Yn*  Yn  Yn Yn Yn độc lập phân phối Với   30   nmax   j  m  j Yi  Yi          i  n  i n   j    max n j m      p K p  Yi     p  i n   j m Y i n C  p r  K  iYi p p * r  K     p C   m  i n p r      Khi lim lim  max n  m n j m   Nên Yn a n 1 n K p K p K  C   K  p r  Yi 2.5 CÁC VÍ DỤ: m l p r  C   K  p r  l p 1  *  C   K  p r l p 1 m p  m Yi  m C r K   r l p 1  Ai p      Yi i n p i n  r p  m  K   i n        iYi * p  p r p r    p r p p m C r K   r l p  p    Yi i n Y  Yi   i   i n p r p r K p m p p  iYi * i n p p p i n  Yi  i     j Yi  Yi          i  n  i n    j  Y     n  hội tụ h.c.c Vì  n 1 an  h.c.c 31 p p r r  (Theo Bổ đề 1.8)  p r  C  r  K  r   p r * r i n  (Theo Bổ đề 1.9) i n p  m   in  C   K  l  p K p (Theo Bổ đề 1.7) i K C   iYi  p  i n p Yi p * m K m X n  với n , ta có  X n 1 n hội tụ Sn 0 bn Dưới giả thiết Định lí 2.4, Choi Sung chứng minh Sn S  h.c.c n  L1 bn bn theo xác suất Nhưng ta suy từ Định lí 2.3 Sn S  h.c.c kéo theo n  L1 bn bn (xem ví dụ đây) Ví dụ 1: Cho  X n  biến ngẫu nhiên độc lập với  2 n lg n với xác suaát n  lg n   Xn    với xác suất   lg n n  lg n   lg x  max 1, log x , logx kí hiệu logarit số 10 x Khi n Cho   x   x , an  1vaø bn  n Bằng cách tính tốn đơn giản điều log n kiện (i), (ii), (iii) (iv) Định lí 2.3 thỏa mãn Bây ta Xn Sn / bn  h.c.c Xác định X i  X i X i 1 , X i  X i X i 1 , Sn   i 1 X i n Sn   i 1 X i , n    n 1  X n  1  C  n 1 n  lg n   Bởi Bổ đề Borel – Cantelli, ta có S n / n  h.c.c S n / n  suy từ tính tốn sau: Sn  n  n i 1 n   1    n i 1 lg i  i  lg i 2  X i n n  n i 1 lg i 0 log n Do Sn / bn  theo xác suất Do theo Định lí 2.3 Sn / bn  h.c.c Nhưng Sn / bn không hội tụ tới L1 , Sn  i 1 X i  n n n n i  n i 1 lg i n  log n Định lí ba chuỗi số cổ điển Kolmogorov biến ngẫu nhiên thực khẳng định điều kiện cần đủ để chuỗi  X n 1 32 n hội tụ chuỗi (i)-(iii) hội tụ Trong không gian Banach Rademacher dạng p (  p  ) khả li thực, hội tụ ba chuỗi (i)-(iii) điều kiện đủ chuỗi  X n 1 n hội tụ Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung không không gian Banach Chẳng hạn xét ví dụ sau:    2 = l   x   x1 , x2 ,  : xi  , x   xi    Cho  X n , n  1 i 1   -giá trị độc lập cho Ví dụ Cho phần tử    X n  en    n  n   X n  nen   với n n en kí hiệu phần tử sở l có vị trí n vị trí khác 0, với n  Khi  X n 1 n  X   x1 , x2 , x3 ,   l n   h.c.c X k  k i.o  k   Nhưng ta cố định   đặt  X n   , neáu X n     ; Yn     neáu X n     0, Khi ta có   X n 1        n  Ví dụ cho thấy hội tụ chuỗi X n 1 n không suy hội tụ ba chuỗi Kolmogorov Ví dụ 3: Cho B  ( không gian Rademacher loại 2) đặt  X n , n  1 dãy biến ngẫu nhiên độc lập cho   2n  2n   Xn     Xn    , với n  n n   Chọn an  2n.n2/ ,   t   t 3/ , n  , Dãy n , n  1 thỏa mãn với  n  Cn  Dn ,  n  Khi đó,   n 1 33 n  X n     n  an  n 1 n  kéo theo X n 1 n hội tụ h.c.c Ví dụ Cho  tra Xn a n=1  X n Ví dụ 3, an  2n với n Dễ dàng kiểm không hội tụ h.c.c Cho dãy hàm n , n  1 thỏa mãn (2.1) Ta có n n n  X n   2n   2n  2n   Cn  n   D   n n n  2n  n n n 2 2  n n  Cn  n   Cn  n   Cn   n n n   n  An  Do đó,  An n 1 n  X n n  2n  n  X n  n  2n  n  2n  n  2n   n D  n D   n  2n  n  X n  n n n  X n n  X n  D n n n n  , với n n  cách chọn n 1 n , n  1,  n  2, Cn , Dn  Ví dụ cho thấy hội tụ Định lí 2.5 khơng xảy 34 CHƯƠNG 3: KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ HƯỚNG NGHIÊN CỨU 3.1 KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Đề tài trình bày khái niệu hội tụ biến ngẫu nhiên theo xác suất, theo trung bình bậc p hội tụ hầu chắn Các bổ đề hỗ trợ nêu sử dụng nhiều chứng minh kết đề tài như: Bổ đề BorelCentelli, Bổ đề Kronecker, bất đẳng thức Kolmogorov Khinchin, Bổ đề Skorokhod, Bất đẳng thức Doob định lí hội tụ Lp Đề tài trình bày sơ lược biến ngẫu nhiên giá trị không gian Banach, không gian Rademacher, Một số bất đẳng thức quan trọng bất đẳng thức Kahane, bất đẳng thức Yurinskii, mở rộng bất đẳng thức Kolmogorov định lí ba chuỗi số tiếng Kolmogorov Đề tài nêu kết LMSL Kolmogorov trường hợp tổng quát trường hợp phân phối Đề tài trình bày kết đạt LMSL Chung – Teicher dãy biến ngẫu nhiên giá trị khơng gian Banach Kết đề tài Định lí 2.3 hệ Từ điều kiện Định lí 2.3, tác giả trình bày cách S S chứng minh n  h.c.c., n  theo xác suất Các hệ Định lí 2.3 bn bn nêu cho thấy khía cạnh thu hẹp định lí mở rộng định lí theo hướng từ hàm  thành dãy hàm n  với tính chất hàm  điều kiện bớt chặt chẽ Các ví dụ trình cuối Chương 2, minh họa cho số vấn đề S việc mở rộng định lí ba chuỗi số Kolmogorov, phản ví vụ cho trường hợp n bn hội tụ đến theo xác suất không hội tụ theo trung bình bậc p đến Các Ví dụ 3, minh họa cho thỏa mãn LMSL Chung – Teicher biến ngẫu nhiên giá trị không gian Banach theo hướng mở rộng 3.2 HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO Vấn đề mở rộng LMSL vấn đề khó nhiều nhà tốn học quan tâm Trong khuôn khổ đề tài, tác giả trình bày lại kết có Cố gắng mức độ lý giải, xếp chứng minh cho thật hợp lí Hướng tiếp theo, tác giả hi vọng nghiên cứu sâu sắc điệu kiện luật mạnh số lớn Chung – Teicher theo hướng mở rộng lên dãy hàm theo hướng biến ngẫu nhiên giá trị vector Mặc dù có cố gắng, báo cáo đề tài có sai sót Tác giả mong có đóng góp chân thành bạn đồng nghiệp nhà nghiên cứu để tác 35 giả hoàn thiện báo cáo đề tài Đồng thời, góp ý có ích cho nghiên cứu tác giả Một lần nữa, tác giả xin chân thành cảm ơn hội đồng khoa học Trường, bạn đồng nghiệp thầy cô trường tạo điều kiện cho tơi hồn thành đề tài 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO: A De Acosta (1981) Inequalities for B-valued random vectors with applications to the strong law of large numbers Ann Probab 157—161 B C Choi and S H Sung (1988) On Chung’s strong law of large numbers in general Banach spaces, Bull, Austral Math Soc 37, 93-100 B C Choi and S H Sung (1989) On Teicher’s strong law of large numbers in general Banach spaces, Probability and Mathematical Statistics 10 Diệp Hoàng Ân (11/2010) Luật mạnh số lớn không gian Banach Luận văn thạc sĩ Dương Xuân Giáp (2016) Các định Ergodic Luật số lớn mảng biến ngẫu nhiên đa trị Luận án tiến sĩ H Teicher (1968) Some new conditions for strong law, Proc Nat Acad.Sci 59, 705-707 Han-Ying Liang and Chun Su (2000) Strong laws for weighted sums of random elements, Statistica Sinica 10, 1011-1019 Jamison, B., Orey, S and Pruitt, W (1965) Convergence of weighted averages of independent random variables Z Wahr Verb Gebiete 4, 40-44 Jyy-I Hong (2003) On strong law of large numbers for sums of random elements in Banach space Southeast Asian Bulletin of Mathematics (2003) 34: 257–264 J Hoffmann – Jorgensen and G Pisier (1976) The Law of large numbers the central limit theorem in Banach spaces The Annals of Probability, Vol 4, No 4, 587 – 599 K.L Chung (1989) Note on some strong laws of large numbers in general Banach spaces Probability and Mathematical 10, 137-142 K.L Chung (2001) A course in probability theory, (3ed., AP, 2001)(T)(432s) Lê Văn Dũng (2013) Một số dạng Luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach p-khả trơn Luận án tiến sĩ Lê Văn Hiền (2006) Luật số lớn khơng gian Banach có tính chất hình học Luận văn thạc sĩ 37 L Breiman (1968) Probability Addison-Wesley, Reading, Massachusetts Michel Ledoux and Michel Talagrand (2014) Probability in Banach Spaces Springer Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2009) Lý thuyết xác suất, NXB Giáo duc 2009 N.V.Hung, D.Q Luu (1989) Relations between laws of large numbers and asymptotic martingales in Banach spaces Annales Scientifiques de Université Clermont-Ferrand Série Probabilités et applications, vol.8, (1989), 105118 Soo Hak Sung (1994) Chung-Teicher type strong law of large numbers in Banach space J Korean Math Soc 31, No 2, pp 279–288 V.V Yurinskii (1974) Exponential bounds for large deviations Theor Prob Appl 19 154-155 38 ...  0 (1.14) 1.3 BIẾN NGẪU NHIÊN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH Biến ngẫu nhiên giá trị không gian Banach Cho  , A ,  không gian xác suất không gian Banach khả li Một biến ngẫu nhiên (hoặc... rộng LMSL Teicher lên không gian Banach tổng quát Năm 1994, Soo Hak Sung, mở rộng kết Chung Teicher lên không gian Banach III MỤC TIÊU ĐỀ TÀI Đề tài nghiên cứu kết mở rộng LMSL Chung – Teicher. .. giá trị không gian Banach 13 Biến ngẫu nhiên giá trị không gian Banach 13 Sự hội tụ biến ngẫu nhiên -giá trị 13 Không gian Rademacher: 14 Các kết không gian Banach