Giải tích trong không gian banach có thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Thu Thủy GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN BANACH CĨ THỨ TỰ Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 Xin chân thành cảm ơn PGS TS Nguyễn Bích Huy tận tình giúp đỡ em suốt trình thực luận văn Q thầy khoa nhiệt tình giảng dạy em suốt trình học tập trường tạo điều kiện cho em hoàn thành luận văn Tp HCM, tháng 10 năm 2009 Học viên Nguyễn Thị Thu Thủy MỞ ĐẦU Quan hệ thứ tự nguyên lý tập có thứ tự sử dụng nhiều lĩnh vực toán học lý thuyết tập hợp, logic học, Đại số, Giải tích, … Chẳng hạn, lĩnh vực Giải tích, bổ đề Zorn dạng tương đương sử dụng để chứng minh kết phức tạp định lí Tychonoff, định lí HahnBanach, số định lí điểm bất động,…Trong ứng dụng nêu thứ tự xét tập hợp cấu trúc vectơ cấu trúc tơpơ Việc nghiên cứu thứ tự khơng gian có cấu trúc vectơ cấu trúc tôpô đưa đến việc xây dựng lý thuyết khơng gian Banach có thứ tự ánh xạ tác động chúng Lý thuyết khởi đầu từ năm 1940 cơng trình M.Krein, A.Rutman, M.Krasnoselskii,… tiếp tục phát triển gần Nó tìm ứng dụng sâu sắc lĩnh vực Giải tích phi tuyến, Phương trình vi phân, Lý thuyết điều khiển tối ưu, Toán kinh tế,… Trong luận văn giới thiệu khái niệm kết ban đầu khơng gian Banach có thứ tự, số lớp ánh xạ đặc biệt tác động khơng gian Banach có thứ tự tính chất c chúng, tồn điểm bất động ánh xạ khơng gian Banach có thứ tự Chúng ta thấy nhiều kết mối liên hệ thứ tự hội tụ tập số thực  số tính chất hàm tăng, hàm lồi  cho không gian Banach có thứ tự ánh xạ đơn điệu tăng, ánh xạ lồi Vì khả thời gian hạn chế nên luận văn chắn thiếu sai sót, mong nhận góp ý q thầy bạn học viên Chương 1: KHÔNG GIAN BANACH VỚI THỨ TỰ SINH BỞI NÓN Khi ta muốn đưa thứ tự vào tập hợp có cấu trúc vectơ cấu trúc tơpơ thứ tự cần phải tương thích với cấu trúc có tập hợp Nhà tốn học Nga M.Krien dùng khái niệm mặt nón để định nghĩa thứ tự không gian định chuẩn Các định nghĩa tỏ thích hợp để xây dựng Giải tích khơng gian Banach có thứ tự 1.1 Nón thứ tự sinh nón Định nghĩa 1.1.1: Cho X khơng gian Banach trường số thực  K tập X Khi K gọi nón thoả mãn điều kiện sau: i) K đóng, khác rỗng, khác {θ } , ii) Nếu a, b ∈  , a, b ≥ 0, x, y ∈ K ax + by ∈ K, iii) Nếu x ∈ K − x ∈ K x = θ Ví dụ: Cho X=  n , K= {( x , x ,, x ) : x ≥ 0, i ∈1.n} K nón  n i n Định nghĩa 1.1.2: Cho X khơng gian Banach với nón K Thứ tự sinh K định nghĩa sau: x, y ∈ K, x ≤ y ⇔ y − x ∈ K Nếu nón K có intK ≠ ∅ ta định nghĩa x  y y − x ∈ int K Ở ví dụ trên, thứ tự  n sinh nón K định nghĩa sau: x (= x1 , x2 ,, xn ), y ( y1 , y2 ,, yn ), x ≤ y ⇔ yi − xi ≥ 0, i ∈1.n Mệnh đề 1.1.3: Giả sử " ≤ " thứ tự X sinh nón K Khi : i) Nếu x ≤ y λ x ≤ λ y, ∀λ ≥ x + z ≤ y + z , ∀z ∈ X , ii) Nếu xn ≤ yn (n ∈  * ) lim xn = x, lim yn = y x ≤ y, iii) Nếu { xn } dãy tăng hội tụ x xn ≤ x, n ∈  * n →∞ n →∞ Chứng minh: i) Ta có : ( y + z ) − ( x + z ) = y − x ∈ K nên x + z ≤ y + z , λ y − λ x= λ ( y − x) ∈ K nên λ x ≤ λ y ii) Do yn − xn ∈ K (n ∈  * ), lim ( yn − xn ) = y − x, K đóng nên n→∞ y − x ∈ K hay x ≤ y iii) Giả sử { xn } dãy tăng Khi xn ≤ xn+ m (m, n ∈  * ) Cho m → ∞ ta xn ≤ x ( n ∈  * ) 1.2 Nón chuẩn Định nghĩa 1.2.1: Nón K gọi nón chuẩn tồn số N>0 cho với x, y ∈ K, x ≤ y ta có x ≤ N y Ví dụ 1: { } i) Nón K = f ∈ C[0,1] , f ≥ nón chuẩn C[0,1] ii) Nón hàm khơng âm, có đạo hàm liên tục khơng nón chuẩn C[10,1] Chứng minh: i) Lấy f , g ∈ K thoả điều kiện f ≤ g Ta có với t ∈ [ 0,1] ≤ f (t ) ≤ g (t ) Suy sup f (t ) ≤ sup g (t ) hay f ≤ g t∈[ 0,1] t∈[ 0,1] Vậy K nón chuẩn với số N=1 ii) Xét dãy f n (t ) = t n hàm f (t ) = Ta có fn ≤ f , n ∈  *, fn = max f n (t ) + max f n' (t ) = + n, f = 0≤t ≤1 0≤t ≤1 Do khơng tồn số N cho bất đẳng thức f n ≤ N f với n ∈  * Mệnh đề 1.2.2 : Cho K nón chuẩn X Khi a) Nếu u , v ∈ X, u ≤ v tập u , v = { x ∈ X : u ≤ x ≤ v} tập đóng bị chặn b) Nếu xn ≤ yn ≤ zn ( n ∈  * ) lim = xn lim = zn x lim yn = x n→∞ n→∞ n→∞ { } c) Nếu { xn } dãy đơn điệu tăng có dãy xnk hội tụ x { xn } hội tụ x Chứng minh: Giả sử K nón chuẩn X với số N a) Xét dãy { xn } tùy ý tập u , v lim xn = x n→∞ Do u ≤ xn ≤ v (n ∈  * ) nên theo mệnh đề 1.1.3 ta có u ≤ x ≤ v hay x ∈ u , v Vậy u , v tập đóng Với x ∈ u , v u ≤ x ≤ v , θ ≤ x − u ≤ v − u Vì K nón chuẩn nên x − u ≤ N v − u Vậy x ≤ N v − u + u , ∀x ∈ u , v hay u , v tập bị chặn b) Ta có θ ≤ yn − xn ≤ zn − xn (n ∈  * ) Do K nón chuẩn nên yn − xn ≤ N zn − xn Vì lim( zn − xn ) = θ nên ta suy lim( yn − xn ) = θ n→∞ n→∞ Do lim= yn lim [ ( yn − xn ) + x= x n] n→∞ n→∞ c) Cố định n ∈  * , ta có xn ≤ xnk k đủ lớn Cho k → ∞ ta xn ≤ x Cho ε > , ta chọn k0 saocho x − xnk < xnk ≤ xn ≤ x nên θ ≤ x − xn ≤ x − xnk Suy x − xn ≤ N x − xnk < ε Vậy lim xn = x n→∞ Mệnh đề 1.2.3: ε N Khi với n ≥ nk0 Trong khơng gian Banach X với nón chuẩn K, tồn chuẩn * tương đương với chuẩn ban đầu cho ∀x, y ∈ K, θ ≤ x ≤ y ⇒ x * ≤ y * Chứng minh: Đặt A =  B (θ ,1) + K    B (θ ,1) − K  • Ta chứng minh B(θ ,1) ⊂ A ⊂ B(θ , r ) với r > đủ lớn Vì θ ∈ K,θ ∈ −K nên ta có B (θ ,1) ⊂ B (θ ,1) + K B (θ ,1) ⊂ B (θ ,1) − K Do B (θ ,1) ⊂ A Giả sử A ⊂ B(θ , r ) với r > đủ lớn khơng Khi ta tìm dãy { xn } A cho xn ≥ n, ∀n ∈  * Do định nghĩa tập A ta tìm yn , zn ∈ B(θ ,1), un , ∈ K cho xn = yn + un = zn − Ta có un + = zn − yn nên un + ≤ Do K nón chuẩn nên un ≤ N un + ≤ 2N, (với N số định nghĩa nón chuẩn) Do n ≤ xn = yn + un ≤ yn + un ≤ + 2N, ∀n ∈  * Ta gặp mâu thuẫn Vậy tồn r > cho A ⊂ B (θ , r ) x   • Xét phiếm hàm Minkovski tập A : x * = inf λ > : ∈ A , ta λ   chứng minh *  Thật vậy, lấy x ∈ X tùy ý, x ≠ θ Ta có x x ∈ A ∈ B (θ ,1) nên x x x * ≤ x Bất đẳng thức hiển nhiên cho x = θ Cho ε > , ta tìm λ > cho Ta có x λ x λ ∈ B (θ , r ) hay x < rλ < ( ε + x Do ε > tùy ý, ta có x ≤ r x * Vậy *  ∈ A λ < ε + x * * ) r y x     • Giả sử θ ≤ x ≤ y Ta có λ > : ∈ A ⊂ λ > : ∈ A λ λ     Thật lấy λ0 > tùy ý cho x Ta có λ0 Mặt khác, Do =θ + y λ0 x λ0 y λ0 (1) ∈ A, ∈ B (θ ,1) + K ∈ A nên có u ∈ B (θ ,1) , v ∈ K cho y λ0 = u − v  y y  y x x u v− −  = −  −  =− λ0 λ0  λ0 λ0   λ0 λ0  x  y−x =u −  v +  ∈ B (θ ,1) − K λ   Vậy x λ0 ∈ A Từ (1) ta có x * ≤ y * Định nghĩa 1.2.4: Cho X không gian Banach, K ⊂ X nón Khi K *= {x ∈ X * * : x* ( x) ≥ 0, ∀x ∈ K} gọi nón liên hợp K Mệnh đề 1.2.5: Cho X không gian Banach, K ⊂ X nón K * nón liên hợp Khi x ∈ K ⇔ f ( x) ≥ 0, ∀f ∈ K* Chứng minh: Dễ thấy điều kiện cần thoả Ta chứng minh điều kiện đủ Giả sử f ( x0 ) ≥ ( ∀f ∈ K* ) x0 ∉ K Áp dụng định lí tách tập lồi cho { x0 } , K ta tìm f ∈ X* cho f ( x0 ) < f ( x), ∀x ∈ K (2) Ta chứng minh f ∈ K * f ( x0 ) < gặp mâu thuẫn Thật vậy, xét x ∈ K Ta có với t > f ( x0 ) < f (tx) Suy f ( x0 ) < f ( x) t Cho t → ∞ ta f ( x) ≥ Do x ∈ K tùy ý nên f ∈ K * Thay x = θ (2) ta f ( x0 ) < f (θ ) = Vậy x0 ∈ K Mệnh đề 1.2.6: Cho K nón chuẩn { xn } dãy tăng, hội tụ yếu x Khi { xn } hội tụ x Chứng minh: • Trước tiên ta chứng minh xn ≤ x (n ∈  * ) Theo mệnh đề 1.2.5 ta cần chứng minh f ( xn ) ≤ f ( x ) , ∀f ∈ K* (n ∈  * ) Lấy f ∈ K * tùy ý Do { xn } dãy tăng nên xn ≤ xm , ∀m ≥ n (3) Do f ( xn ) ≤ f ( xm ) ∀m ≥ n Vì { xn } dãy hội tụ yếu x nên lim f ( xn ) = f ( x ) n→∞ Ở (3) cố định n, cho m → ∞ ta f ( xn ) ≤ f ( x ) Vậy xn ≤ x (n ∈  * ) • Cho ε > , dãy { xn } hội tụ yếu x nên theo định lí Mazur ∃y ∈ Co ({ xn }) : y − x < ε N , với N số định nghĩa nón chuẩn k k i =1 i =1 Vì y ∈ Co ({ xn }) nên y = ∑ λi xni , với ∑ λ=i 1, λi > 0, ∀i ∈1 k , n1 < n2 <  < nk k Suy y ≤ ∑ λi xnk = xnk i =1 Với n ≥ nk ta có y ≤ x n k ≤ xn ≤ x ⇒ θ ≤ x − x n ≤ x − y ⇒ x − xn ≤ N x − y < ε Như ta chứng minh ∀ε > 0, ∃n0 > 0, ∀n ≥ n0 ⇒ x − xn < ε , hay dãy { xn } hội tụ x 1.3 Nón sinh Định nghĩa 1.3.1: Nón K gọi nón sinh ∀x ∈ X, ∃u , v ∈ K : x = u − v Nói cách khác X= K − K Ví dụ 2: i) Trong khơng gian C[0,1] , nón hàm khơng âm nón sinh Chứng minh: { } Đặt K = f ∈ C[0,1] : f ≥ Lấy f ∈ C[0,1] tuỳ ý Đặt g (t ) = max { f (t ),0} , h(t ) = − { f (t ),0} ta có g , h ∈ K f= g − h Vậy K nón sinh ii) Trong khơng gian  , nón số thực khơng âm khơng nón sinh  Mệnh đề 1.3.2: Cho K nón sinh Khi tồn số M > cho ∀x ∈ X, ∃u , v ∈ K : x = u − v, u , v ≤ M x Chứng minh: Đặt K= K ∩ B (θ ,1) ∞ ∞ ∞ Ta có X = K − K =  nK1 − nK1 =  n ( K1 − K1 ) n 1= n = n = Do X không gian Banach nên theo định lí Baire tồn n0 ∈  * , x0 ∈ n0 ( K1 − K1 ) , r > cho B ( x0 , r ) ⊂ n0 ( K1 − K1 ) Ta có x0 ∈ n0 ( K1 − K1 ) nên − x0 ∈ n0 ( K1 − K1 ) Từ ta B (θ , r ) ⊂ n0 ( K1 − K1 ) + n0 ( K1 − K1 ) ⊂ 2n0 ( K1 − K1 ) Lấy x ∈ X \ {θ } tùy ý thì= y rx ∈ B (θ , r ) y ∈ 2n0 ( K1 − K1 ) x Từ ta suy ∀ε > 0, ∃w ∈ 2n0 ( K1 − K1 ) : y − w < ε Với ε = r r ta tìm được= w1 2n0u1 − 2n0v1 , với u1 , v1 ∈ K1 cho y − w1 < 2 Khi ( y − w1 ) ∈ B (θ , r ) ⊂ 2n0 ( K1 − K1 ) Chương 3: ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ TRONG KHƠNG GIAN BANACH CĨ THỨ TỰ Trong chương nghiên cứu bậc tơpơ tốn tử dương compắc, điểm bất động ánh xạ dương, compắc không compắc 3.1 Bậc tơtpơ tốn tử dương, compắc Bổ đề 3.1.1: Cho khơng gian Banach X, tập đóng M ⊂ X ánh xạ compắc A : M → X Khi tồn A(= x) A( x) ∀x ∈ M ,  ánh xạ compắc A : X → X cho: A( X ) ⊂ co ( A( M ) ) Định nghĩa 3.1.2: Cho X không gian Banach với nón K Giả sử G ⊂ X tập mở, bị chặn, A : K ∩ ∂G → X ánh xạ compắc cho Ax ≠ x ∀x ∈ K ∩ ∂G Gọi A : X → X ánh xạ compắc cho  A= ( x) A( x) ∀x ∈ K ∩ ∂G,   A( X ) ⊂ K (28) Khi x − A( x) ≠ θ ∀x ∈ ∂G Vì trái lại ∃x ∈ ∂G : x = A( x) = ⇒ x A( x), x ∈ K ∩ ∂G (do A( x) ∈ K ) ⇒x= A( x) (mâu thuẫn) Nên bậc tôpô deg( A, G,θ ) xác định Ta định nghĩa iK ( A, G ) = deg( A, G,θ ) gọi iK ( A, G ) bậc tơpơ theo nón K ánh xạ A tập mở G Bây ta kiểm tra định nghĩa có lí : Giả sử A mở rộng khác A thoả (28) Xét ánh xạ F ( x,= t ) t A( x) + (1 − t ) A( x) Ta có : F ( x, t ) ≠ x ∀( x, t ) ∈ ∂G × [ 0,1] deg( A, G,θ )  ⇒ deg( A, G,θ ) =   = F ( x,0 ) A= ( x), F ( x,1) A( x)  Tính chất 3.1.3: Giả sử A0 , A1 compắc đồng luân dương K ∩ ∂G theo định nghĩa: tồn ánh xạ compắc F : ( K ∩ ∂G ) × [ 0,1] → K cho F ( x, t ) ≠ x, = F ( x,0) A= ( x), F ( x,1) A1 ( x) Khi iK ( A0 , G ) = iK ( A1 , G ) Giả sử G, G1 , G2 tập mở bị chặn, G1 ∩ G2 = 1,2) ∅ , Gi ⊂ G (i = ( ) A : K ∩ G → K compắc thoả mãn A( x) ≠ x ∀x ∈ K ∩ G \ (G1 ∪ G1 ) Khi i= ( A, G ) iK ( A, G1 ) + iK ( A, G2 ) K Nếu A : K ∩ G → K compắc iK ( A, G ) ≠ A có điểm bất động K ∩ G Bổ đề 3.1.4:  neáu x = θ Giả sử G tập mở, bị chặn, chứa ∅ A( x) ≡ x0 ∈ K Khi iK ( A, G ) =  G neá u x ∈  Chứng minh: • Nếu x0 = θ = iK (0, G ) deg(0, = G,0) • Nếu x0 ∉ G A khơng có điểm bất động G Suy iK ( A, G ) = Định lí 3.1.5: Cho A : K ∩ G → K ánh xạ compắc 1) Nếu Ax ≠ λ x ∀x ∈ K ∩ ∂G, ∀λ ≥ iK ( A, G ) = 2) Nếu tồn phần tử x0 ∈ K \ {θ } cho x − Ax ≠ λ x0 ∀x ∈ K ∩ ∂G, ∀λ ≥ iK ( A, G ) = Chứng minh : 1) Xét F= ( x, t ) tA( x), t ∈ [ 0,1] , x ∈ K ∩ ∂G Ta có F (= x,1) A( x), F (= x,0 ) A0 ( x) ≡ θ Cho F ( x, t ) = x ⇒ tA( x) = x ⇒ A( x) = x (mâu thuẫn với Ax ≠ λ x ∀λ ≥ ) t ⇒ A đồng luân dương với A0 ( x) ≡ θ ⇒ iK ( A, G ) = 2) Xét F ( x, t ) = (1 − t ) A( x) + tλ x0 Ta có F ( x,0 =) A( x), F ( x= ,1) λ= x0 A0 ( x) (ánh xạ hằng) Ta chứng minh F ( x, t ) ≠ x A đồng luân dương với A0 ( x) = λ x0 (khi λ đủ lớn để λ x0 ∉ G ) Khi i= ( A, G ) iK= ( A0 , G ) K Ta cần chứng minh ∃λ0 : x ≠ (1 − t ) A( x) + tλ x0 ∀x ∈ K ∩ ∂G, ∀t ∈ [ 0,1] , ∀λ ≥ λ0 Giả sử trái lại ∀λ= n, ∃xn ∈ K ∩ ∂G, ∃tn ∈ [ 0,1] , ∃λn ≥ n cho (1 − tn ) A( xn ) + tn λn x0 xn = (29) ⇔ xn − (1 − tn ) A( xn ) = tn λn x0 (30) Vế trái (30) bị chặn ( tn ∈ [ 0,1] , xn ∈ ∂G , A compắc nên {tn λn } bị chặn), coi n →∞ → λ ≥ coi { A( xn )}n dãy hội tụ (do A compắc) tn λn  n →∞ n →∞ Do λn → ∞ tn λn  →0 → λ hữu hạn nên tn  Vế phải (29) hội tụ nên xn hội tụ x ∈ K ∩ ∂G Từ suy x −= Ax λ x0 , x ∈ K ∩ ∂G, λ ≥ Mâu thuẫn với x − Ax ≠ λ x0 ∀x ∈ K ∩ ∂G, ∀λ ≥ Hệ 3.1.6: Giả sử B : X → X ánh xạ tuyến tính compắc, dương khơng có vectơ riêng K với giá trị riêng Khi : 1) iK ( B, G ) = B khơng có vectơ riêng K với giá trị riêng λ > 2) iK ( B, G ) = B có vectơ riêng K với giá trị riêng λ > Chứng minh: 1) Suy từ 1) định lí 3.1.5 2) Giả sử Bx0 = λ x0 , x0 ∈ K \ {θ } , λ > Ta có x −= Bx tx0 , x ∈ K ∩ ∂G Với v= x + t t t     x0  − B  v − x0  = tx x0  v − λ −1  λ −1  λ −1   ⇔v− t tλ x0 x0 − Bv + = tx λ −1 λ −1 ⇔v= Bv ⇒ v∉K ⇒t < Vậy điều kiện 2) định lí 3.1.5 nghĩa iK ( B, G ) = Định lí 3.1.7: 1) Giả sử A : K r → K compắc , A(θ ) = θ , A có đạo hàm theo nón K θ Aθ' Aθ' khơng có K vectơ riêng với giá trị riêng Khi iK ( A, B(θ , ρ )) = iK ( Aθ' , B(θ , ρ )) với ρ > đủ nhỏ Giả sử A : K \ K r → K compắc, A có đạo hàm theo nón K ∞ A∞' A∞' khơng có K vectơ riêng với giá trị riêng Khi iK ( A, B(θ , ρ )) = iK ( A∞' , B(θ , ρ )) với ρ > đủ lớn Chứng minh: Ta chứng minh A, Aθ' đồng luân dương ∂B(θ , ρ ) ρ đủ nhỏ, nghĩa chứng minh H (= x, t ) tA( x) + (1 − t ) Aθ' ( x) ≠ x ∀x ∈ K ∩ ∂B (θ , ρ ), ∀t ∈ [ 0,1] ⇔ x − tA( x) − (1 − t ) Aθ' ( x) > ∀x ∈ K ∩ ∂B (θ , ρ ), ∀t ∈ [ 0,1] Ta có • x − tA( x) − (1 − t ) Aθ' ( x) = x − Aθ' ( x) − t  A( x) − Aθ' ( x)  ⇒ x − tA( x) − (1 − t ) Aθ' ( x) ≥ x − Aθ' ( x) − A( x) − Aθ' ( x) • A : K r → K compắc Aθ' đạo hàm theo nón K θ nên Aθ' ánh xạ compắc K Mà x ≠ Aθ' ( x) ∀x ∈ K \ {θ } nên ∃a > : x − Aθ' ( x) ≥ a x ∀x ∈ K Giả sử trái lại ∃xn ∈ K : xn − Aθ' ( xn ) < xn n Suy yn − Aθ' ( yn ) < , yn = 1, yn ∈ K n Coi { Aθ' ( yn )} hội tụ { yn } hội tụ y, ta có y = Aθ' ( y ) Điều mâu thuẫn với giả thiết Aθ' khơng có K vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ = • Ta có lim x∈K , x →θ A( x) − Aθ' ( x) x =0 ⇒ ∃ρ > 0, ∀x ∈ K : x ≤ ρ ⇒ A( x) − Aθ' ( x) x < a Suy x − tA( x) − (1 − t ) Aθ' ( x) ≥ x − Aθ' ( x) − A( x) − Aθ' ( x) ≥ a x >0 Tương tự ta chứng minh A Aθ' đồng luân dương ∂B(θ , ρ ) ρ đủ lớn Ta có x − tA( x) − (1 − t ) A∞' ( x) ≥ x − A∞' ( x) − A( x) − A∞' ( x) Do x ≠ A∞' ( x) ∀x ∈ K \ {θ } Aθ' compắc K nên ∃a > : x − A∞' ( x) ≥ a x ∀x ∈ K Mặt khác lim x∈K , x →∞ A( x) − A∞' ( x) x ∃ρ đủ lớn , ∀x ∈ K, x ≥ ρ ⇒ = nên A( x) − A∞' ( x) Do x − tA( x) − (1 − t ) A∞' ( x) ≥ x < a a x > Định lí chứng minh đầy đủ 3.2 Điểm bất động ánh xạ dương, compắc Ta kí hiệu Br = { x ∈ X : x < r} , r > Sr = r} {x ∈ X : x = K r =K ∩ Br Định lí 3.2.1: Giả sử A : K r → K compắc tồn r1 , r2 ∈ (0, r ), r1 ≠ r2 cho: 1) Ax ≠ λ x ∀x ∈ K ∩ S r , ∀λ ≥ 2) Tồn x0 ∈ K \ {θ } thoả x − Ax ≠ λ x0 ∀x ∈ K ∩ S r , ∀λ ≥ Khi A có điểm bất động dương x thoả {r1 , r2 } ≤ x ≤ max {r1 , r2 } Chứng minh: Giả sử r1 < r2 , ta có= iK ( A, Br ) 1,= iK ( A, Br ) Nếu x ≠ Ax ∀x ∈ K, r1 < x < r2 iK ( A, Br ) = iK ( A, Br ) (mâu thuẫn) Vậy ∃x ∈ Br \ Br : x =Ax Hệ 3.2.2: Kết luận định lí 3.2.1 thay điều kiện 1), 2) bởi: 1) Ax ≥ x ∀x ∈ K ∩ S r , 2) Ax ≤ x ∀x ∈ K ∩ S r Định lí 3.2.3: Giả sử A : K r → K compắc tồn r1 , r2 ∈ ( 0, r ) , r1 ≠ r2 cho: 1) Ax ≠ λ x ∀x ∈ K ∩ Sr , ∀λ ≥ 1 2) Ax ≠ λ x ∀x ∈ K ∩ Sr , ∀λ ≤ (31) 3) inf { A( x) : x ∈ K ∩ S r } > (32) Khi A có điểm bất động dương thoả {r1 , r2 } ≤ x ≤ max {r1 , r2 } Chứng minh: Xét H ( x, s ) = (1 − s ) A( x) + stA( x) = (1 − s + ts ) A( x), s ∈ [ 0,1] , t ≥ Ta có H ( x, s ) = x ⇔ (1 − s + ts ) A( x) = x ⇔ A( x) = x − s + ts Điều mâu thuẫn với (31) ≤ 1 − s + ts Do A tA đồng luân dương K ∩ S r , nên iK = ( A, Br ) iK (tA, Br ) ∀t > 2 Ta chứng minh tồn t0 cho ∀t ≥ t0 , ∀x ∈ K ∩ S r , ∀λ ≥ ⇒ x − tAx ≠ λ x0 ( x0 ∈ K \ {θ } cố định) (33) Giả sử trái lại ∃tn → ∞, ∃xn ∈ K ∩ S r , ∃λn ≥ : xn − tn Axn =λn x Do { xn } dãy bị chặn, A compắc, inf A( xn ) = a > Suy a ≤ A( xn ) → y (do A( xn ) → y ) xn λ Mặt khác:= A( xn ) + n x0 tn tn ⇒ A( xn ) ≤ xn tn Cho n → ∞ ta y ≤ θ (mâu thuẫn) Vậy (33) hay iK (tA, Br ) = 0, ∀t ≥ t0 Do iK ( A, Br ) = Định lí 3.2.4: Giả sử A : K → K ánh xạ compắc, A(θ ) = θ , A khả vi theo nón θ , ∞ và: 1) Aθ' , A∞' khơng có K vectơ riêng với giá trị riêng 2) Aθ' khơng có, A∞' có K vectơ riêng với giá trị riêng lớn Khi A có điểm bất động K \ {θ } Chứng minh: Ta có i= ( A, Br ) iK= ( Aθ' , Br ) r đủ nhỏ K = iK ( A, BR ) iK= ( A∞' , BR ) R đủ lớn ( ) ⇒ ∃x ∈ K ∩ BR \ Br : x = Ax Ví dụ: Một số tốn lan truyền bệnh dịch dẫn đến việc tìm nghiệm dương, có chu kì ω phương trình x(t ) = t ∫ f [ s, x( s)] ds (34) t −τ với giả thuyết: 1) f :  × [ 0, ∞ ) → [ 0, ∞ ) liên tục, có chu kì ω theo biến thứ nhất, f (t ,0) ≡ 0; lim x →∞ t ∈ [ 0, ω ] 2) Tồn hàm ϕ :  → [ 0, ∞ ) có chu kì ω , số ρ > cho ω f (t , x) ≥ ϕ (t ) ∀x ∈ [ 0, ρ ]; ∫ ϕ (t )dt > x Mệnh đề 3.2.5: Tồn số τ cho ∀τ > τ phương trình (34) có nghiệm dương, chu kì ω Chứng minh: Ta áp dụng định lí 3.2.1 Kí hiệu: X khơng gian hàm liên tục, có chu kì ω , x = max x(t ) 0≤t ≤ω K nón hàm x(t ) ≥ Ax(t ) = t ∫ f [ s, x( s)] ds t −τ Đặt α (τ ) = inf t∈ 0,ω [ t ] ∫ ϕ ( s)ds , ta có: t −τ τ ω (do α (τ ) ≥   ∫ ϕ ( s )ds ) ω  lim α (τ ) = ∞ τ →∞ Gọi τ số mà α (τ ) > ∀τ ≥ τ I Chọn u (t ) ≡ ; coi x ≠ A( x) ∀x ∈ S ρ+ , ta có: (x = ⇒ x(t ) ≥ Ax + λu , x ∈ S ρ+ , λ > ) ⇒ x(t ) ≥ λ t ∫ t −τ t f [ s, x ( s ) ] x( s )d s≥ ∫ ϕ ( s )d s.min x(t ) ≥ α (τ ).min x(t ) 0≤t ≤ω 0≤t ≤ω x( s ) t −τ vơ lí α (τ ) > II ∀τ ≥ τ đặt: c(τ ) số thoả f (t , x) ≤ ∀x ≥ c(τ ), ∀t ∈ [ 0, ω ] x τ M = (τ ) max { f (t , x) : t ∈ [ 0, ω ] , x ∈ [ 0, c(τ ) ]} f (t , x) = x Chọn r > τ M (τ ) , coi x ≠ Ax ∀x ∈ S r+ , ta có: = ( Ax λ x, x ∈ Sr+ ) ⇒ λ x(t ) ≤ t  x( s ) ∫τ max  τ t−  , M (τ ) ds ≤ max { x ,τ M (τ )} = x  ⇒ λ < 3.3 Điểm bất động ánh xạ khơng compắc Ngun lí Entropy Brezis – Browder 3.3.1 Giả sử: i) X tập thứ tự cho dãy đơn điệu tăng X có cận ii) S : X → [ −∞; +∞ ) hàm đơn điệu tăng (nghĩa u ≤ v ⇒ S (u ) ≤ S (v) ) bị chặn Khi tồn phần tử u0 ∈ X có tính chất ∀u ∈ X, u ≥ u0 ⇒ S (u ) =S (u0 ) Chứng minh: Lấy tuỳ ý u1 ∈ X xây dựng phần tử: u1 ≤ u2 ≤  sau Giả sử có un , ta đặt sup S (u ) Mn = {u ∈ X : u ≥ un }, β n = u∈M n Nếu β n = S (un ) un phần tử cần tìm Nếu β n > S (un ) ta tìm un +1 un +1 ∈ M n  thoả:  S u S u β β ( ) ( ) > − − ( ) n n n  n +1 Nếu trình vơ hạn ta có dãy tăng {un } thoả S (u n +1 ) − S (un ) > β n ∀n ∈  * Gọi u0 cận {un } Với u ≥ u0 , ta có u ∈ M n ∀n ∈  * (do u ≥ un ) ⇒ S (u ) ≤ β n ≤ S (un +1 ) − S (un ) ⇒ S (u ) ≤ lim S (un ) →∞ n ⇒ S (u ) ≤ S (u0 ) hay S (u ) = S (u0 ) Định lí 3.3.2: Giả sử X khơng gian Banach thứ tự nón K, M ⊂ X tập đóng F : M → X ánh xạ tăng, thoả mãn i) F ( M ) ⊂ M , ∃x0 ∈ M : x0 ≤ F ( x0 ) ii) F biến dãy tăng thuộc M thành dãy hội tụ Khi F có điểm bất động M Chứng minh: Đặt M =∈ { x M : x ≤ F ( x)} , ta có M ≠ ∅ = g ( x) sup { F ( y ) − F ( z ) : z , y ∈ M , y ≥ z ≥ x} Ta áp dụng nguyên lí Entropy cho tập M hàm (-g) Xét dãy tuỳ ý { xn } ⊂ M ,{ xn } tăng Theo ii) { F ( xn )} dãy hội tụ M nên ∃x ∈ M , x =lim F ( xn ) Do xn ≤ F ( xn ) nên xn ≤ x ∀n ∈  * n →∞ Suy x cận { xn } ( M ,≤ ) Với x1 ≤ x2 {( y, z ) ∈ M × M : y ≥ z ≥ x2 } ⊂ {( y, z ) ∈ M × M : y ≥ z ≥ x1}     A B ⇒ sup F ( y ) − F ( z ) ≤ sup F ( y ) − F ( z ) ( y , z )∈ A ( y , z )∈B ⇒ g ( x2 ) ≤ g ( x1 ) ⇒ − g ( x2 ) ≥ − g ( x1 ) ⇒ −g hàm đơn điệu tăng Theo nguyên lí Entropy ∃a ∈ M : ∀x ∈ M , x ≥ a ⇒ g ( x) =g (a ) Ta chứng minh g (a ) = Giả sử trái lại g (a ) > c > ⇒ ∃y1 , y2 ∈ M : y2 ≥ y1 ≥ a, F ( y2 ) − F ( y1 ) > c Mà g (= y2 ) g (a ) > c ⇒ ∃y3 , y4 ∈ M : y4 ≥ y3 ≥ y2 , F ( y4 ) − F ( y3 ) > c Kết ta có dãy tăng { yn } ⊂ M , F ( y2 n ) − F ( y2 n −1 ) > c Điều mâu thuẫn với { F ( yn )} hội tụ Vậy g (a ) = Suy ∀y ≥ z ≥ a, y, z ∈ M F= ( y ) F= ( z ) F (a) Do a ∈ M nên F (a ) ≥ a ⇒ F ( F (a )) = F (a) ⇒ F (a ) điểm bất động Hệ 3.3.3: Giả sử F : u , v → X ánh xạ tăng, thoả mãn: i) u ≤ Fu , Fv ≤ v ii) F ( u , v ) tập compắc tương đối, K nón chuẩn Khi F có điểm bất động u , v Chứng minh: Dễ thấy ánh xạ F thoả điều kiện i) định lí 3.3.2 ∀{ xn } ⊂ u , v ,{ xn } dãy tăng, ta có { F ( xn )} có dãy hội tụ (do F ( u , v ) tập compắc tương đối ) Suy { F ( xn )} hội tụ (do { F ( xn )} tăng K nón chuẩn) Theo định lí 3.3.2, F có điểm bất động u , v Hệ 3.3.4: Giả sử F : u , v → X ánh xạ tăng, thoả mãn: i) u ≤ Fu , Fv ≤ v ii) K nón qui Khi F có điểm bất động u , v Chứng minh: Dễ thấy ánh xạ F thoả điều kiện i) định lí 3.3.2 ∀{ xn } ⊂ u , v ,{ xn } dãy tăng, ta có { F ( xn )} dãy tăng bị chặn Do K nón qui nên { F ( xn )} hội tụ Theo định lí 3.3.2, F có điểm bất động u , v Ví dụ: Xét tốn tìm nghiệm tuần hồn chu kì 2π phương trình x '+ a= (t ) x f [t , x(t ), x(t − h) ] , đó: • a (t ) liên tục, có chu kì 2π , 2π ∫ a(t )dt > • f (t , x, y ) bị chặn  , đo theo t, có chu kì 2π theo t, tăng (35) theo biến x y Mệnh đề 3.3.5: Phương trình (35) có nghiệm chu kì 2π Chứng minh: Bước 1: Đưa (35) phương trình tích phân g (t )  x '+ a (t ) x = • Cơng thức tìm nghiệm phương trình  ,t ∈   x(t0 ) = x0 t = x(t ) e  t ∫ a ( s ) ds  x0 + ∫ e g (u )d  t  u ∫ − a ( s ) ds t0 t0  u   (36) Xét t0 = ta muốn tìm nghiệm thoả x(0) = x(2π ) Ta có ∫ a ( s ) ds  2π = x0 x= (2π ) e − u 2π  x0 + ∫ e   −1 ∫ a ( s ) ds  g (u )d u    ∫ a ( s ) ds  2π ∫ a ( s ) ds ⇔= − 1 ∫ e g (u )d u x0 e     2π u 0 Khi (36) trở thành −1  ∫ a ( s ) ds  2π ∫ a ( s ) ds t − a ( s ) ds ∫ e − 1 ∫ e g (u )d u+ ∫ e g (u )d u x(t ) =   0   2π u t t u  x (t − h), neáu h ≤ t ≤ 2π , • Xét ánh xạ S : C0,2π  → C0,2π  , Sx (t ) =       x (t + 2π − h), ≤ t ≤ h  x có chu kì 2π  x có chu kì 2π Ta có  ⇔ f t, x (t ), Sx (t )  x thoaû (34)  x '+ a(t ) x = Xét ánh xạ F : C0,2π  → C0,2π  định     −1  ∫ a ( s ) ds  2π ∫ a ( s ) ds t − a ( s ) ds ∫ e − 1 ∫ e f [u , x(u ), S xu ( ) ]d u+ ∫ e f [u, x(u ), S xu ( ) ]d u Nếu x điểm Fx(t ) =   0   2π u t t u bất động F thì= ta có x (0) x= (2π ), x+' (0) x−' (2π ) nên từ x ta xây dựng nghiệm chu kì 2π (35) Bước 2: Chứng minh F có điểm bất động Ta áp dụng hệ 3.3.3 Ta có i) F ánh xạ tăng Do hàm f bị chặn nên với b > đủ lớn hàm x0 (t ) ≡ b thoả − x0 ≤ F (− x0 ); F ( x0 ) ≤ x0 ii) Do f bị chặn nên ta có ∃M > : ( Fx)' (t ) ≤ M F ( − x0 , x0 ∀x ∈ − x0 , x0 , ∀t ∈ [ 0,2π ] áp dụng định lí Azela- Ascoli ta có ) tập compắc tương đối Nón hàm khơng âm C[0,2π ] nón chuẩn KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Trong luận văn chúng tơi trình bày số kết khơng gian Banach có thứ tự, nghiên cứu số tính chất lớp ánh xạ đơn điệu tăng điểm bất động Luận văn coi tài liệu nhập mơn ”Lý thuyết phương trình khơng gian Banach có thứ tự”, lĩnh vực chưa trình bày cách có hệ thống tài liệu tiếng Việt Trong luận văn chưa có điều kiện để trình bày ứng dụng lý thuyết vào việc giải phương trình vi phân tích phân Qua q trình làm luận văn em thấy kiến thức học phần giải tích Giải tích cổ điển, Tơpơ, Độ đo- Tích phân, Giải tích hàm sử dụng ”Lý thuyết phương trình khơng gian Banach có thứ tự” Em hy vọng học tập nghiên cứu thêm đề tài TÀI LIỆU THAM KHẢO K.Deimling (1985), Nonlinear Functional Analysis, SpringerVerlag M.A Krasnoselskii, P.P.Zabreiko (1985) Geometrical methods of Nonlinear Analysis, Springer- Verlag E.Zeidler (1985), Nonlinear Funtional Analysis and its Applications, T.1, Springer- Verlag ... tế,… Trong luận văn giới thiệu khái niệm kết ban đầu khơng gian Banach có thứ tự, số lớp ánh xạ đặc biệt tác động khơng gian Banach có thứ tự tính chất c chúng, tồn điểm bất động ánh xạ khơng gian. .. bất động ánh xạ khơng gian Banach có thứ tự Chúng ta thấy nhiều kết mối liên hệ thứ tự hội tụ tập số thực  số tính chất hàm tăng, hàm lồi  cho không gian Banach có thứ tự ánh xạ đơn điệu tăng,... Các định nghĩa tỏ thích hợp để xây dựng Giải tích khơng gian Banach có thứ tự 1.1 Nón thứ tự sinh nón Định nghĩa 1.1.1: Cho X không gian Banach trường số thực  K tập X Khi K gọi nón thoả mãn