Xấp xỉ nghiệm của bài toán không điểm chung tách trong không gian banach

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ◆●❯❨➍◆ ◗❯❆◆● ❑❍❯➊ ❳❻P ❳➓ ◆●❍■➏▼ ❈Õ❆ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❑❍➷◆● ✣■➎▼ ❈❍❯◆● ❚⑩❈❍ ❚❘❖◆● ❑❍➷◆● ●■❆◆ ❇❆◆❆❈❍ ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣ ▼➣ sè✿ ✽ ì ì rữỡ ▼✐♥❤ ❚✉②➯♥ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✕ ✷✵✶✽ ✐✐ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ ✤➳♥ rữỡ ữớ t t ữợ ❣✐ó♣ ✤ï tỉ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❚æ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❇❛♥ ●✐→♠ ❤✐➺✉✱ ❝→❝ t❤➛② ❣✐→♦✱ ❝ỉ ❣✐→♦ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✕ ❚✐♥ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝✕✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ ❣✐ó♣ ✤ï tỉ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t↕✐ ❚r÷í♥❣✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❙ð ●✐→♦ ❞ư❝ ✈➔ ✣➔♦ t↕♦ t➾♥❤ ❍➔ ●✐❛♥❣✱ ❇❛♥ ●✐→♠ ✤è❝ ❚r✉♥❣ t➙♠ tữớ ữợ t ụ ữ t t ỗ q t ✈➔ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧đ✐ ❝❤♦ tỉ✐ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤ó♥❣ ❦➳ ❤♦↕❝❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ✐✐✐ ▼ư❝ ỡ ởt số ỵ ✈✐➳t t➢t ✐✈ ▼ð ✤➛✉ ✶ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ✸ ✶✳✶✳ ▼ët sè ✈➜♥ ✤➲ ✈➲ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ✶✳✷✳ ⑩♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✶✳✸✳ P❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♠➯tr✐❝ ✈➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ tê♥❣ q✉→t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✶✳✸✳✶✳ P❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♠➯tr✐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✶✳✸✳✷✳ P❤➨♣ ❝❤✐➳✉ tê♥❣ q✉→t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻ ❚♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾ ✶✳✹✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ❳➜♣ ①➾ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ t→❝❤ ✷✳✶✳ ✷✳✷✳ ✷✷ ❳➜♣ ①➾ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ t→❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷ ✷✳✶✳✶✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤✐➳✉ ❝♦ ❤➭♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷ ✷✳✶✳✷✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧❛✐ ❝❤✐➳✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✶ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ✷✳✷✳✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❝ü❝ t✐➸✉ t→❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✶ ✷✳✷✳✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ t→❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸ ❑➳t ❧✉➟♥ ✸✺ ❚➔✐ t ởt số ỵ ✈✐➳t t➢t E ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E∗ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛ R t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ sè t❤ü❝ R+ t➟♣ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❦❤æ♥❣ ➙♠ ∩ ♣❤➨♣ ❣✐❛♦ inf M ữợ ú t ủ số M sup M ❝➟♥ tr➯♥ ✤ó♥❣ ❝õ❛ t➟♣ ❤đ♣ sè M max M sè ❧ỵ♥ ♥❤➜t tr♦♥❣ t➟♣ ❤đ♣ sè M sè ♥❤ä ♥❤➜t tr♦♥❣ t➟♣ ❤ñ♣ sè ❛r❣♠✐♥x∈X F (x) t➟♣ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ ❤➔♠ ∅ t➟♣ ré♥❣ ∀x ✈ỵ✐ ♠å✐ D(A) ♠✐➲♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❝õ❛ t♦→♥ tû R(A) ♠✐➲♥ ↔♥❤ ❝õ❛ t♦→♥ tû A−1 t♦→♥ tû ♥❣÷đ❝ ❝õ❛ t tỷ I t tỷ ỗ t Lp () ổ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ t➼❝❤ ❜➟❝ lp ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❞➣② sè ❦❤↔ tê♥❣ ❜➟❝ E M X A A {xn } lim inf xn ợ ữợ sè {xn } xn −→ x0 ❞➣② {xn } ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✈➲ xn ❞➣② {xn } ❤ë✐ tö ②➳✉ ✈➲ x0 tr➯♥ A n→∞ n→∞ F x ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ tr➯♥ ❝õ❛ ❞➣② sè lim sup xn M x0 x0 p tr➯♥ p Ω ✈ JE →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ tr➯♥ jE →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ỡ tr tr E () ổ ỗ ổ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ρE (τ ) ♠ỉ ✤✉♥ trì♥ ❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ F ix(T ) ❤♦➦❝ F (T ) t➟♣ t f ữợ ỗ M õ t ủ PC ♣❤➨♣ ♠➯tr✐❝ ❧➯♥ ΠC ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ tê♥❣ q✉→t ❧➯♥ iC t ỗ f M C C C E T E E E ✶ ▼ð ✤➛✉ ❈❤♦ H1 ✈➔ C H2 ✱ ✈➔ Q ❧➔ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ỗ õ rộ ổ rt t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ❈❤♦ T ∗ : H2 −→ H1 T : H1 −→ H2 ❧➔ t♦→♥ tû ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝õ❛ ❧➔ ♠ët t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ ✈➔ T✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ t→❝❤ ✭❙❋P✮ ❝â ❞↕♥❣ ♥❤÷ s❛✉✿ ❚➻♠ ♠ët ♣❤➛♥ tû x∗ ∈ S = C ∩ T −1 (Q) = ∅ ✭❙❋P✮ ▼æ ❤➻♥❤ ❜➔✐ t♦→♥ P t ữủ ợ t ự ❜ð✐ ❨✳ ❈❡♥s♦r ✈➔ ❚✳ ❊❧❢✈✐♥❣ ❬✹❪ ❝❤♦ ♠æ ❤➻♥❤ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ♥❣÷đ❝✳ ❇➔✐ t♦→♥ ♥➔② ✤â♥❣ ✈❛✐ trá q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣ ❦❤ỉ✐ ♣❤ư❝ ❤➻♥❤ ↔♥❤ tr♦♥❣ ❨ ❤å❝✱ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❝÷í♥❣ ✤ë ①↕ trà tr♦♥❣ ✤✐➲✉ trà ❜➺♥❤ ✉♥❣ t❤÷✱ ❦❤ỉ✐ ♣❤ư❝ t➼♥ ❤✐➺✉ ✭①❡♠ ❬✷❪✱ ❬✸❪✮ ❤❛② ❝â t❤➸ →♣ ❞ö♥❣ ❝❤♦ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tr t ỵ tt trỏ ỡ sỷ C ởt t ỗ ✤â♥❣ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt H1 ✳ ❚❛ ❜✐➳t r➡♥❣ t➟♣ ✤✐➸♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ ❤➔♠ ❝❤➾ iC (x) =   0, ♥➳✉  ∞, ❧➔ ❛r❣ minH1 iC (x) ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ iC ✤↕✐✮✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ A = I − PC ✳ = C✳ x ∈ C, ♥➳✉ x∈ /C ❉♦ ✤â✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ✭❘♦❝❦❛❢❡❧❧❛r ❬✶✶❪ ✤➣ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ C C = (∂iC )−1 (0)✱ ∂iC ợ iC ữợ ởt t tỷ ỡ ❝ü❝ ❝ơ♥❣ ❧➔ t➟♣ ❦❤ỉ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ A ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ❉♦ ✤â✱ t❛ ❝â t❤➸ ①❡♠ ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ t→❝❤ ✭❙❋P✮ ❧➔ tr÷í♥❣ ❤đ♣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ t→❝❤✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❦❤ỉ♥❣ ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ t→❝❤ ✤÷đ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ ð ❞↕♥❣ s❛✉✿ ❈❤♦ ✈➔ B : H2 −→ 2H2 ❧➔ ❝→❝ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ü❝ ✤↕✐ ✈➔ ❝❤♦ A : H1 −→ 2H1 T : H1 −→ H2 ❧➔ ♠ët t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥✳ ❚➻♠ ♠ët ♣❤➛♥ tû x∗ ∈ S = A−1 (0) ∩ T −1 B −1 (0) = ∅ ✭❙❈◆PP✮ ❈❤♦ ✤➳♥ ♥❛② ❇➔✐ t♦→♥ ✭❙❈◆PP✮ ✤➣ ✈➔ ✤❛♥❣ ❧➔ ❝❤õ ✤➲ t❤✉ ❤ót ♥❤✐➲✉ ♥❣÷í✐ t tr ữợ q t ự ▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔ ✷ tr➻♥❤ ❜➔② ❧↕✐ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❚❛❦❛❤❛s❤✐ tr♦♥❣ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✶✹❪ ✈➔ ❬✶✺❪ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤✐➳✉ ❝♦ ❤➭♣ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤✐➳✉ ❧❛✐ ❣❤➨♣ ❝❤♦ ❇➔✐ t♦→♥ ✭❙❈◆PP✮ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ ❝❤✐❛ ❧➔♠ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣ ❝❤➼♥❤✿ ❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ♠ët sè ✈➜♥ ✤➲ ✈➲ ❝➜✉ tró❝ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝õ❛ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ữ ổ ỗ ổ ❇❛♥❛❝❤ trì♥ ✤➲✉✱ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝❀ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♠➯tr✐❝ ✈➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ tê♥❣ q✉→t❀ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ t♦→♥ tû ❣✐↔✐ ♠➯tr✐❝ ✈➔ t♦→♥ tû ❣✐↔✐ tê♥❣ q✉→t✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❳➜♣ ①➾ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤ỉ♥❣ ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ t→❝❤ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❧✉➟♥ ✈➠♥ t➟♣ tr✉♥❣ tr➻♥❤ ❜➔② ❧↕✐ ♠ët ❝→❝❤ ❝❤✐ t✐➳t ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❚❛❦❛❤❛s❤✐ ❬✶✹❪✱ ❬✶✺❪ ✈➲ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤✐➳✉ ❝♦ ❤➭♣ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤✐➳✉ ❧❛✐ ❣❤➨♣ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ t→❝❤ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝ơ♥❣ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ❤❛✐ ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤✐➳✉ ỵ t ỹ t✐➸✉ t→❝❤ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ t→❝❤✳ ✸ ❈❤÷ì♥❣ tự ữỡ ỗ ♠ö❝✳ ▼ö❝ ✶✳✶ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ✈➜♥ ✤➲ ✈➲ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤↔♥ ổ ỗ trỡ ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ✈➲ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝✳ ▼ư❝ ✶✳✸ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➲ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♠➯tr✐❝ ✈➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ tê♥❣ q✉→t ❝ò♥❣ ✈ỵ✐ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣✳ ▼ư❝ ✶✳✹ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➲ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ t♦→♥ tû ❣✐↔✐ tê♥❣ q✉→t ✈➔ t♦→♥ tû ❣✐↔✐ ♠➯tr✐❝✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷đ❝ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tr♦♥❣ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✶✱ ✺✱ ✻✱ ✽✱ ✾✱ ✶✵❪✳ ✶✳✶✳ ▼ët sè ✈➜♥ ✤➲ ✈➲ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❈❤♦ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈➔ E∗ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛ ♥â✳ ✣➸ ❝❤♦ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ✈➔ t❤✉➟♥ t✐➺♥ ❤ì♥✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ t❤è♥❣ ♥❤➜t sû ❞ư♥❣ ❦➼ ❤✐➺✉ ❝❤✉➞♥ tr➯♥ E ✈➔ E ∗❀ ❙ü ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✈➔ ②➳✉ ❝õ❛ ❞➣② ❧➛♥ ❧÷đt ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ xn → x ✈➔ xn x {xn } ✈➲ ♣❤➛♥ tû x ✤➸ ❝❤➾ tr♦♥❣ E tr♦♥❣ t♦➔♥ ❜ë ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❚r♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ t❤÷í♥❣ ①✉②➯♥ sû ❞ư♥❣ t➼♥❤ t ữợ ổ ✤➲ ✶✳✶✳ ✭①❡♠ ❬✶❪ tr❛♥❣ ✹✶✮ ❈❤♦ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿ ✐✮ ✐✐✮ E ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤↔♥ ①↕✳ ▼å✐ ❞➣② ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ E ✱ ✤➲✉ ❝â ♠ët tử ữợ t❛ ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ t➟♣ ✤â♥❣ ✈➔ t➟♣ ✤â♥❣ ②➳✉ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✳ ✹ ▼➺♥❤ C t ỗ õ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ X ✱ t❤➻ C ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ ②➳✉✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❝❤♦ xn ♥❣➦t x ✈➔ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➡♥❣ ự sỷ tỗ t x / C x ữ C tự tỗ t ỵ t t ỗ tỗ t >0 {xn } C x∗ ∈ X ∗ s❛♦ t→❝❤ s❛♦ ❝❤♦ y, x∗ ≤ x, x∗ − ε, ✈ỵ✐ ♠å✐ y ∈ C✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ t❛ ❝â xn , x∗ ≤ x, x∗ − ε, ✈ỵ✐ ♠å✐ n ≥ 1✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ✈➻ ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥✱ ❝❤♦ n → ∞✱ xn x✱ ♥➯♥ xn , x∗ → x, x∗ ✳ ❉♦ ✤â✱ tr♦♥❣ ❜➜t t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ x, x∗ ≤ x, x∗ , ổ ỵ õ ❣✐↔ sû ❧➔ s❛✐✱ ❤❛② C ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ ②➳✉✳ ữủ ự ú ỵ C ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ ②➳✉✱ t❤➻ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥ C ❧➔ t➟♣ õ ữợ t ởt sỹ tỗ t ỹ t ởt ỗ tữớ ỷ tử ữợ tr ổ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸✳ ❈❤♦ C ❧➔ t ỗ õ rộ ổ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕ E ✈➔ f : C −→ (−∞, ] ởt ỗ tữớ ỷ tử ữợ tr C s f (xn ) xn õ tỗ t x0 ∈ dom(f ) s❛♦ ❝❤♦ f (x0 ) = inf{f (x) : x ∈ C} ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❝❤♦ f (xn ) → m {xnk } ✈ỵ✐ ✣➦t ❝õ❛ {xn } m = inf{f (x) : x ∈ C}✳ ❦❤✐ n → ∞✳ s❛♦ ❝❤♦ ◆➳✉ {xn } xnk → ∞✳ õ tỗ t {xn } C s ổ t tỗ t ởt ❣✐↔ t❤✐➳t✱ f (xnk ) → ∞✱ ♠➙✉ t❤✉➝♥ m = ∞✳ ❉♦ ✤â✱ {xn } ❜à ❝❤➦♥✳ ❚❤❡♦ ▼➺♥❤ tỗ t ❝♦♥ {xnj } {xn } ❝õ❛ s❛♦ ❝❤♦ x nj x0 ∈ C ✳ ❱➻ f ❧➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ ữợ tr tổổ t õ m f (x0 ) ≤ lim inf f (xnj ) = lim f (xn ) = m n→∞ j→∞ ❉♦ ✤â✱ m = f (x0 )✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ tr♦♥❣ ♠ư❝ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ♠ët sè ✈➜♥ ✤➲ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ❝➜✉ tró❝ ❤➻♥❤ ❤å❝ ổ ữ t ỗ t trỡ ổ ỗ ổ trỡ ổ E ữủ ỗ t ợ ♠å✐ x, y ∈ E, x = y ♠➔ x = 1, ú ỵ y = t õ x+y < ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶ ❝á♥ ❝â t❤➸ t ữợ tữỡ ữỡ E ữủ ỗ t ợ x, y SE t❤ä❛ ♠➣♥ x+y = 1✱ s✉② r❛ x = y ❤♦➦❝ ✈ỵ✐ ♠å✐ x, y ∈ SE ✈➔ x = y t❛ ❝â tx+(1−t)y < ✈ỵ✐ ♠å✐ t ∈ (0, 1)✱ tr♦♥❣ ✤â s❛✉✿ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ SE = {x ∈ E : ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✹✳ ❈❤♦ E x = 1} ởt ổ ỗ t ❑❤✐ ✤â✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ f ∈ E ∗ \ {0}✱ tỗ t t tỷ x E s ❝❤♦ x = ✈➔ x, f = f ✳ ự sỷ tỗ t x, y E t❤ä❛ ♠➣♥ x = y =1 ✈➔ x=y s❛♦ ❝❤♦ x, f = y, f = f ❑❤✐ ✤â✱ ợ t (0, 1) tứ t ỗ t E✱ t❛ ❝â f = t x, f + (1 − t) y, f = tx + (1 − t)y, f ≤ tx + (1 − t)y f < f r t tỗ t t ♣❤➛♥ tû x, f = f ✳ x ∈ E s❛♦ ❝❤♦ x = ✈➔ ✷✸ ✤à♥❤ ❜ð✐ x1 ∈ E ✱ C1 = A−1 ✈➔    zn = xn − λn jE−1 T ∗ jF (T xn − Qµn T xn ),    Cn+1 = {z ∈ Cn : zn − z, jE (xn − zn ) ≥ 0},     xn+1 = PC x1 , n ≥ 1, n+1 tr♦♥❣ ✤â {λn }, {µn } ⊂ (0, ∞) t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ < a ≤ λn T ≤ b < 1, < c ≤ µn , ∀n ≥ 1, ✈ỵ✐ a, b, c ∈ R✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❞➣② {xn } ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✈➲ ♣❤➛♥ tû z0 ∈ A−1 ∩ T −1 (B −1 0)✱ ð ✤â z0 = PA−1 0∩T −1 (B −1 0) x1 ✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❝❤➾ r❛ ♥❤✐➯♥ ❉➵ t❤➜② Cn t ỗ õ ợ A1 ∩ T −1 (B −1 0) ⊂ Cn ✈ỵ✐ ♠å✐ A−1 ∩ T −1 (B −1 0) ⊂ A−1 = C1 ✳ n n ≥ 1✳ ❜➡♥❣ q✉② ♥↕♣ t♦→♥ ❤å❝✳ ❍✐➸♥ ●✐↔ sû A−1 ∩ T −1 (B −1 0) ⊂ Ck ✈ỵ✐ k ≥ ❱ỵ✐ ♠å✐ z ∈ A−1 ∩ T −1 (B −1 0)✱ t❤➻ z ∈ T −1 (B −1 0) ✈➔ ❞♦ ✤â t❛ ❝â zk − z, jE (xk − zk ) = zk − xk + xk − z, jE (xk − zk ) = −λk jE−1 T ∗ jF (T xk − Qµk T xk ) + xk − z, jE (λk jE−1 T ∗ jF (T xk − Qµk T xk )) = −λk jE−1 T ∗ jF (T xk − Qµk T xk ) + xk − z, λk T ∗ jF (T xk − Qµk T xk ) = −λ2k T ∗ jF (T xk − Qµk T xk ) + xk − z, λk T ∗ jF (T xk − Qµk T xk ) = −λ2k T ∗ jF (T xk − Qµk T xk ) + λk T xk − T z, jF (T xk − Qµk T xk ) = −λ2k T ∗ jF (T xk − Qµk T xk ) + λk T xk − Qµk T xk + Qµk T xk − T z, jF (T xk − Qµk T xk ) = −λ2k T ∗ jF (T xk − Qµk T xk ) + λk T xk − Qµk T xk 2 + λk Qµk T xk − T z, jF (T xk − Qµk T xk ) ✷✹ ≥ −λ2k T 2 jF (T xk − Qµk T xk ) = λk (1 − λk T ) T xk − Qµk T xk ≥ ❙✉② r❛ z ∈ Ck+1 T −1 (B −1 0) ⊂ Ck ❱➻ A−1 ∩ T −1 (B −1 0) T −1 (B −1 0) t ữủ ợ s + λk T xk − Qµk T xk k≥1 A−1 ∩ T −1 (B −1 0) ⊂ Ck+1 ✳ ✈➔ ❞♦ ✤â ❞➣② {xn } ❱➟② ❤♦➔♥ t♦➔♥ z1 A1 t ỗ õ rộ tỗ t z1 = PA1 0∩T −1 (B −1 0) ✳ ❚ø A−1 ∩ xn = PCn x1 ✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ x1 − xn ≤ x1 − y ✈ỵ✐ ♠å✐ y ∈ Cn ✳ ❉♦ ✤â✱ tø z1 ∈ A−1 ∩ T −1 (B −1 0) ⊂ Cn t❛ s✉② r❛ x1 − xn ≤ x1 − z1 ✣➦t C = ∩∞ n=1 Cn ✳ limn→∞ Cn ✱ xn = PCn x1 ❑❤✐ ✤â ✭✷✳✷✮ C0 ⊃ A−1 ∩ T −1 (B −1 0) = ∅✳ ❚ø C0 =▼✲ ✈➔ ❇ê ✤➲ ✷✳✶✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ xn → z0 = PC0 x1 ❱➻ ❈❤♦ z0 ∈ C0 ⊂ Cn+1 n → ∞✱ t❛ ✤÷đ❝ ✈➔ zn = PCn+1 xn ✱ ♥➯♥ xn − zn ≤ xn − z0 ✈ỵ✐ ♠å✐ n ≥ 1✳ xn − zn → 0✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ t❛ ❜✐➳t r➡♥❣ xn − zn = jE (xn − zn ) = λn T ∗ jF (T xn − Qµn T xn ) ❉♦ ✤â✱ tø ❣✐↔ t❤✐➳t < a ≤ λn T ≤b > tữỡ ự T : E −→ F ❧➔ ♠ët t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ s❛♦ ❝❤♦ T = ✈➔ A−1 ∩ T −1 (B −1 0) = ∅✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈ỵ✐ λ, µ, r > ✈➔ z ∈ E t❤➻ ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿ ✷✻ ❛✮ z = Jλ jE−1 (jE z − rT ∗ (jF T z − jF Qµ T z))❀ ❜✮ z ∈ A−1 ∩ T −1 (B −1 0) ❚ø ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ❛✮ tr♦♥❣ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶✱ ❚❛❦❛❤❛s❤✐ ❬✶✺❪ ✤➣ ✤➲ ①✉➜t ự ỵ ữợ t ổ t tr ổ ỵ ✷✳✷✳ ❈❤♦ E ✈➔ F ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ỗ trỡ jE jF ❝→❝ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ tr➯♥ E ✈➔ F t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ❈❤♦ A : E −→ ∗ ∗ 2E ✈➔ B : F −→ 2F ❧➔ ❝→❝ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ü❝ ✤↕✐ s❛♦ ❝❤♦ A−1 ∩ B −1 = ∅✳ ❈❤♦ Jλ ✈➔ Qµ ❧➔ ❝→❝ t♦→♥ tû ❣✐↔✐ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ A ✈➔ B ợ > > tữỡ ự ❈❤♦ T : E −→ F ❧➔ ♠ët t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ s❛♦ ❝❤♦ T = ✈➔ A−1 ∩ T −1 (B −1 0) = ∅✳ ❈❤♦ {xn } ❧➔ ❞➣② ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐    zn = jE−1 (jE xn − rn T ∗ (jF T xn − jF Qµn T xn )),        yn = Jλn yn ,      Cn = {z ∈ E : xn − z, jE xn − jE zn ≥ rn φF (T xn , Qµ T xn )}, n   Dn = {z ∈ E : yn − z, jE zn − jE yn ≥ 0},        Qn = {z ∈ E : xn − z, jE x1 − jE xn ≥ 0},      xn+1 = ΠC ∩D ∩Q x1 , n ≥ 1, n n n tr♦♥❣ ✤â {λn }, {µn } ⊂ (0, ∞) ✈➔ a, b ∈ R t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ < a ≤ rn ≤ , < b ≤ λn , µn , ∀n ≥ T ❑❤✐ ✤â✱ ❞➣② {xn } ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✈➲ ♣❤➛♥ tû z0 ∈ A−1 ∩ T −1 (B −1 0)✱ ð ✤â z0 = ΠA−1 0∩T −1 (B −1 0) x1 ✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❉➵ t❤➜② Cn ∩ Dn ∩ Qn ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ t❛ ❝❤➾ r❛ A−1 ∩ T −1 (B −1 0)✳ ❚ø ❧➔ t ỗ õ ợ A1 T −1 (B −1 0) ⊂ Cn ∩ Dn ∩ Qn ✳ z ∈ T −1 (B −1 0) ✈➔ t➼♥❤ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝õ❛ xn − z,jE xn − jE zn = xn − z, rn T ∗ (jF T xn − jF Qµn T xn ) B✱ n ≥ 1✳ ▲➜② ❜➜t ❦ý t❛ ❝â z ∈ ✷✼ = 2rn T xn − T z, jF T xn − jF Qµn T xn = 2rn T xn − Qµn T xn + Qµn T xn − T z, jF T xn − jF Qµn T xn = 2rn T xn − Qµn T xn , jF T xn − jF Qµn T xn + 2rn Qµn T xn − T z, jF T xn − jF Qµn T xn ≥ 2rn T xn − Qµn T xn , jF T xn − jF Qµn T xn = rn (φF (T xn , Qµn T xn ) + φF (Qµn T xn , T xn )) ≥ rn φF (T xn , Qµn T xn ) ❙✉② r❛ z ∈ Cn ✈➔ ❞♦ ✤â ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ tø ✭✷✳✹✮ A−1 ∩ T −1 (B −1 0) ⊂ Cn z ∈ A−1 0✱ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ Jλn ✈ỵ✐ ♠å✐ n ≥ 1✳ ✈➔ t➼♥❤ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝õ❛ A✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ yn − z, jE zn − jE yn = Jλn zn − z, jE zn − jE Jλn zn ≥ ❙✉② r❛ z ∈ Dn ❤❛② A−1 ∩ T −1 (B −1 0) ⊂ Dn ❇➙② ❣✐í✱ t❛ ❝❤➾ r❛ ❤å❝✳ ❉➵ t❤➜② k ≥ 1✳ A−1 ∩ T −1 (B −1 0) ⊂ Qn A−1 ∩ T −1 (B −1 0) ⊂ Q1 = E ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ n ≥ 1✳ ✈ỵ✐ ♠å✐ ●✐↔ sû A−1 ∩ T −1 (B −1 0) ⊂ Ck ∩ Dk ∩ Qk ✳ ✭✷✳✺✮ n≥1 ❜➡♥❣ q✉② ♥↕♣ t♦→♥ A−1 ∩ T −1 (B −1 0) ⊂ Qk ❚ø ✈ỵ✐ xk+1 = ΠCk ∩Dk ∩Qk x1 ✱ t❛ ❝â xk+1 − z, jE x1 − jE xk+1 ≥ 0, ∀z ∈ Ck ∩ Dk ∩ Qk ❱➻ A−1 ∩ T −1 (B −1 0) ⊂ Ck ∩ Dk ∩ Qk ✱ ♥➯♥ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ xk+1 − z, jE x1 − jE xk+1 ≥ 0, ∀z ∈ A−1 ∩ T −1 (B −1 0) ❙✉② r❛ A−1 ∩ T −1 (B −1 0) ⊂ Qk+1 ✳ ◆❤÷ ✈➟② t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ A−1 ∩ T −1 (B −1 0) ⊂ Cn ∩ Dn ∩ Qn ✈ỵ✐ ♠å✐ ❱➻ n≥1 ✈➔ ❞♦ ✤â ❞➣② A−1 ∩ T −1 (B −1 0) {xn } ❤♦➔♥ t♦➔♥ ①→❝ ✤à♥❤✳ ❧➔ t➟♣ ỗ õ rộ E tỗ t↕✐ z0 ∈ A−1 0∩T −1 (B −1 0) s❛♦ ❝❤♦ z0 = ΠA−1 0∩T −1 (B −1 0) x1 ✳ ❚ø xn+1 = ΠCn ∩Dn ∩Qn x1 ✱ s✉② r❛ φE (xn+1 , x1 ) ≤ φE (y, x1 ), ∀y ∈ Cn ∩ Dn ∩ Qn ✷✽ ❱➻ z0 ∈ A−1 ∩ T −1 (B −1 0) ⊂ Cn ∩ Dn ∩ Qn ✱ ♥➯♥ φE (xn+1 , x1 ) ≤ φE (z0 , x1 ) ❉♦ ✤â✱ ❞➣② {xn } ❚❛ ❝❤➾ r❛ ✭✷✳✻✮ ❜à ❝❤➦♥✳ φE (xn+1 , xn ) → 0✳ ❚ø xn+1 = ΠCn ∩Dn ∩Qn x1 ✱ s✉② r❛ xn+1 ∈ Qn ✈➔ ❞♦ ✤â t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ xn − xn+1 , jE x1 − jE xn ≥ ❙✉② r❛ x1 − xn+1 , jE x1 − jE xn ≥ x1 − xn , jE x1 − jE xn ✈➔ ❞♦ ✤â φE (x1 , xn ) + φE (xn+1 , x1 ) − φE (xn+1 , xn ) ≥ φE (x1 , xn ) + φE (xn , x1 ) ❱➻ ✈➟②✱ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ φE (xn+1 , x1 ) ≥ φE (xn+1 , xn ) + φE (xn , x1 ) ❙✉② r❛ ❞➣② ❝õ❛ {φE (xn , x1 )} {φE (xn , x1 )}✳ ổ õ tỗ t ợ ỳ ứ t ữủ lim φE (xn+1 , xn ) = ✭✷✳✽✮ lim xn+1 − xn = ✭✷✳✾✮ n→∞ ❚ø ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✹✱ s✉② r❛ n→∞ ❚❛ ❝❤➾ r❛ limn→∞ T xn − Qµn T xn = 0✳ ❚ø xn+1 ∈ Cn ✱ t❛ ❝â xn − xn+1 , jE xn − jE zn ≥ rn φF (T xn , Qµn T xn ) ❱ỵ✐ z ∈ T −1 (B −1 0)✱ t❛ ❝â ( T z − Qµn T xn − )2 ≤ φF (T z, Qµn T xn ) ≤ φF (T z, T xn ) ≤ ( T z + T xn )2 ≤ T ( z + xn )2 ✭✷✳✶✵✮ ✷✾ ❚ø ✤â✱ t❛ ❝â Qµn T xn − ≤ T (2 z + xn ) õ t ữủ jF Qàn T xn = Qµn T xn ≤ T (2 z + xn ) ❉♦ ✈➟②✱ tø ❣✐↔ t❤✐➳t t❛ ❝â jE xn − jE zn = rn T ∗ (jF T xn − jF Qµn T xn ) ≤ T ( jF T xn + jF Qµn T xn ) T ≤ T ( T x n + Qµ n T x n ) T ≤ T 2( xn + z ) T = 2( xn + z ) ❙✉② r❛ ❞➣② {jE xn − jE zn } ❜à ❝❤➦♥✳ ❉♦ ✤â✱ tø rn ≥ a > 0✱ ✭✷✳✾✮ ✈➔ ✭✷✳✶✵✮✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ lim φF (T xn , Qµn T xn ) = n→∞ ❚ø ▼➺♥❤ ✤➲ ✭✶✳✶✹✮✱ s✉② r❛ lim T xn − Qµn T xn = ✭✷✳✶✶✮ n→∞ ❱➻ F ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ trì♥ ✤➲✉ ♥➯♥ tø ✭✷✳✶✶✮✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ lim jF T xn − jF Qµn T xn = n→∞ jE xn − jE zn = rn T ∗ (jF T xn − jF Qµn T xn ) ❚ø ✱ {rn } ✭✷✳✶✷✮ ❜à ❝❤➦♥ ✈➔ ✭✷✳✶✷✮✱ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ lim jE xn − jE zn = n→∞ ❱➻ E∗ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ trì♥ ✤➲✉✱ ♥➯♥ tø ✭✷✳✶✸✮✱ t❛ ❝â lim xn − zn = n→∞ ❚ø ✭✷✳✶✸✮ xn+1 ∈ Dn ✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ yn − xn+1 , jE zn − jE yn ≥ ✭✷✳✶✹✮ ✸✵ ✈➔ ❞♦ ✤â yn − zn + zn − xn + xn − xn+1 , jE zn − jE yn ≥ ❙✉② r❛ zn − xn + xn − xn+1 , jE zn − jE yn ≥ zn − yn , jE zn − jE yn ✈➔ ❞♦ ✤â zn − xn + xn − xn+1 , jE zn − jE yn ≥ φE (zn , yn ) + φE (yn , zn ) {jE zn − jE yn }✱ ❚ø t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ ✭✷✳✾✮ ✈➔ ✭✷✳✶✹✮✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ lim φE (zn , yn ) = n→∞ ❚ø ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✹ ✈➔ yn = Jλn zn t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ lim zn − Jλn zn = ✭✷✳✶✺✮ n→∞ ❱➻ {xn } tỗ t ởt {xni } ❝õ❛ {xn } ❤ë✐ tö ②➳✉ ✈➲ w✳ ❚ø ✭✷✳✶✹✮✱ s✉② r❛ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ Jλn ✱ zni w ✈➔ ❞♦ ✤â tø ✭✷✳✶✺✮ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ Jλni zni w✳ ❚ø ✤à♥❤ t❛ ❝â jE zn − jE Jλn zn ∈ AJλn zn , ∀n ≥ λn ❚ø t➼♥❤ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝õ❛ A✱ s✉② r❛ ≤ s − Jλni zni , t∗ − ✈ỵ✐ ♠å✐ (s, t∗ ) ∈ A✳ ❚ø ✭✷✳✶✺✮ ✈➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ (s, t∗ ) ∈ A✳ ❱➻ ❱➻ T Qµni T xni A jE zni − jE Jλni zni λ ni < b ≤ λni ✱ ❧➔ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ü❝ ✤↕✐✱ ♥➯♥ ❧➔ t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥✱ ♥➯♥ T w t ữủ ứ Qàn ✱ T x ni ≤ s − w, t∗ − w ∈ A−1 0✳ T w✳ ❚ø ✭✷✳✶✶✮✱ s✉② r❛ t❛ ❝â jF T xn − jF Qµn T xn ∈ BQµn T xn , ∀n ≥ µn ❚ø t➼♥❤ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝õ❛ B✱ s✉② r❛ ≤ u − Qµni T xni , v ∗ − jF T xni − jF Qµni T xni µ ni ✸✶ ✈ỵ✐ ♠å✐ (u, v ∗ ) ∈ B ✳ ✈ỵ✐ ♠å✐ (u, v ∗ ) ∈ B ✳ w ∈ T −1 (B −1 0)✳ ❚ø ❚ø ✭✷✳✶✷✮ ✈➔ ❱➻ B < b ≥ µ ni ✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❧➔ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ü❝ ✤↕✐✱ ♥➯♥ ❉♦ ✤â✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ z0 = ΠA−1 0∩T −1 (B −1 0) ✈➔ u − T w, v ∗ − T w ∈ B −1 ❤❛② w ∈ A−1 ∩ T −1 (B −1 0)✳ w ∈ A−1 ∩ T −1 (B −1 0)✱ t❛ ❝â φE (z0 , x1 ) ≤ φE (w, x1 ) = w − w, jE x1 + x1 ≤ lim inf ( xni i→∞ − xni , jE x1 + x1 ) = lim inf φE (xni , x1 ) i→∞ ≤ lim sup φE (xni , x1 ) = φE (z0 , x1 ) i→∞ ❚ø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ ΠA−1 0∩T −1 (B −1 0) ✱ s✉② r❛ w = z0 ✈➔ lim φE (xni , x1 ) = φE (w, x1 ) = φE (z0 , x1 ) i→∞ ❉♦ ✤â✱ limi→∞ xni xni → z0 ✳ = z0 ✳ ❚ø t➼♥❤ ❝❤➜t ❑❛❞❡❝✲❑❧❡❡ ❝õ❛ ❚ø t➼♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ z0 ✱ s✉② r❛ E✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ xn → z0 ỵ ữủ ự ❇➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❝ü❝ t✐➸✉ t→❝❤ ❈❤♦ f : E (, ] ởt ỗ tữớ ỷ tử ữợ t r t tỷ ữợ ♣❤➙♥ ∂f ❧➔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ü❝ ✤↕✐ ❬✶✶❪✳ ●✐↔ sû ỗ õ rộ E tữỡ ự ợ C C ởt t ữủ ✤à♥❤ ❜ð✐   0, x ∈ C, iC (x) =  ∞, x ∈ / C, ✈ỵ✐ ♠å✐ x E t õ ữợ iC iC ởt ỗ tữớ ỷ tử ữợ õ ởt t tỷ ỡ ❝ü❝ ✤↕✐✳ ❱➻ ✈➟② t❛ ❝â t❤➸ ①→❝ ✤à♥❤ t♦→♥ tû ❣✐↔✐ tê♥❣ q✉→t Jλ ❝õ❛ ∂iC ❜ð✐ Jλ x = (jE + λ∂iC )−1 jE x ✸✷ ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ E✳ ❱ỵ✐ ♠å✐ x∈E ✈➔ u ∈ C✱ t❛ ❝â u = Jλ x ⇐⇒ jE x ∈ jE u + λ∂iC u ⇐⇒ (jE x − jE u) ∈ ∂iC u λ ⇐⇒ iC y ≥ y − u, (jE x − jE u) + iC u, ∀y ∈ E λ ⇐⇒ ≥ y − u, (jE x − jE u) , ∀y ∈ E λ ⇐⇒ y − u, jE x − jE u ≤ 0, ∀y ∈ E ⇐⇒ u = ΠC x ✭✷✳✶✻✮ ❇➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❝ü❝ t✐➸✉ t→❝❤ ✤÷đ❝ t ữ s ỗ trì♥ ✤➲✉✳ ❈❤♦ t➢❝ tr➯♥ E ✈➔ F t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ❈❤♦ jE ✈➔ jF f : E −→ (−∞, ∞] T = 0✳ ❚➻♠ ♠ët ♣❤➛♥ tû ●✐↔ sû ✈➔ F ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❧➔ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ỗ tữớ ỷ tử ữợ ❈❤♦ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ s❛♦ ❝❤♦ E ✈➔ g : F −→ (−∞, ∞] T : E −→ F ❧➔ ❧➔ ♠ët t♦→♥ tû (∂f )−1 ∩ T −1 (∂(g)−1 0) = ∅✳ x∗ ∈ S = (∂f )−1 ∩ T −1 (∂(g)−1 0) ✭✷✳✶✼✮ ❚ø ✣à♥❤ ỵ t õ t q ữợ ỵ ✷✳✸✳ ❱ỵ✐ ❜➜t ❦ý x1 ∈ E ✱ ❝❤♦ {xn} ❧➔ ❞➣② ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐  1   t = ❛r❣ miny∈F {g(y) + y − y, jF T xn },  n  2µn µn       zn = jE−1 (jE xn − rn T ∗ (jF T xn − jF tn )),     1   yn = ❛r❣ minx∈E {f (x) + x 2− x, jE zn },    2λn λn Cn = {z ∈ E : xn − z, jE xn − jE zn ≥ rn φF (T xn , Qµn T xn )},       Dn = {z ∈ E : yn − z, jE zn − jE yn ≥ 0},         Qn = {z ∈ E : xn − z, jE x1 − jE xn ≥ 0},    xn+1 = ΠC ∩D ∩Q x1 , n ≥ 1, n n n tr♦♥❣ ✤â {λn }, {µn } ⊂ (0, ∞) ✈➔ a, b ∈ R t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ < a ≤ rn ≤ , < b ≤ λn , µn , ∀n ≥ T ❑❤✐ ✤â✱ ❞➣② {xn } ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✈➲ ♣❤➛♥ tû z0 ∈ (∂f )−1 ∩ T −1 (∂(g)−1 0)✱ ð ✤â z0 = Π(∂f )−1 0∩T −1 (∂(g)−1 0) x1 ✳ ✸✸ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❜✐➳t r➡♥❣ tn = ❛r❣ min{g(y) + y∈F y 2µn − y, jF T xn } àn tữỡ ữỡ ợ (g)tn + ❚ø ✤â✱ t❛ ❝â 1 jF tn − jF T xn µn µn jF T xn ∈ jF tn + µn (∂g)tn ✈➔ ❞♦ ✤â tn = Qµn T xn ✳ ❚÷ì♥❣ tü✱ t❛ ❝ơ♥❣ ❝â x 2λn yn = ❛r❣ min{f (x) + x∈E t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈ỵ✐ − x, jE zn } λn yn = Jn zn ỵ t ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✷✳✷✳✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ t→❝❤ ❇➔✐ t♦→♥ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ t→❝❤ ✤÷đ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ ữ s ỗ trỡ ❈❤♦ tr➯♥ E ✈➔ E jF F ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❧➔ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❧➔ ❝→❝ t ỗ õ rộ F t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ❈❤♦ T : E −→ F ❧➔ ♠ët t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ s❛♦ ❝❤♦ T = 0✳ t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ❈❤♦ ●✐↔ sû C ✈➔ ✈➔ D ✈➔ F jE E ✈➔ C ∩ T −1 (D) = ∅✳ ❚➻♠ ♠ët ♣❤➛♥ tû ❉➵ t❤➜② ❛r❣ minx∈E iC (x) = C✳ x∗ ∈ S = C ∩ T (D) õ tứ ỵ t õ t q ữợ t t ỵ ợ t ý x1 ∈ E ✱ ❝❤♦ {xn} ❧➔ ❞➣② ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐    zn = jE−1 (jE xn − rn T ∗ (jF T xn − jF ΠD T xn )),        yn = ΠC zn ,      Cn = {z ∈ E : xn − z, jE xn − jE zn ≥ rn φF (T xn , Qµ T xn )}, n   Dn = {z ∈ E : yn − z, jE zn − jE yn ≥ 0},        Qn = {z ∈ E : xn − z, jE x1 − jE xn ≥ 0},     xn+1 = ΠC ∩D ∩Q x1 , n ≥ 1, n n n ✭✷✳✶✽✮ ✸✹ tr♦♥❣ ✤â < a ≤ rn ≤ , ∀n ≥ T ❑❤✐ ✤â✱ ❞➣② {xn } ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✈➲ ♣❤➛♥ tû z0 ∈ C∩T −1 (D)✱ ð ✤â z0 = ΠC∩T −1 (D) x1 ✳ ✸✺ ❑➳t ❧✉➟♥ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ❧↕✐ ♠ët ❝→❝❤ ❦❤→ ❝❤✐ t✐➳t ✈➔ ❤➺ t❤è♥❣ ✈➲ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ s❛✉✿ • ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕✱ ổ ỗ ổ trỡ ✈➔ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝❀ • P❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♠➯tr✐❝ ✈➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ tê♥❣ q✉→t ❝ò♥❣ ✈ỵ✐ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣❀ • ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❚❛❦❛❤❛s❤✐ tr♦♥❣ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✶✹✱ ✶✺❪ ✈➲ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤✐➳✉ ❝♦ ❤➭♣ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤✐➳✉ ❧❛✐ ❣❤➨♣ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ t→❝❤ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝ơ♥❣ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ❤❛✐ ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ỵ t ✤✐➸♠ ❝ü❝ t✐➸✉ t→❝❤ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ t→❝❤✳ ✸✻ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✶❪ ❆❣❛r✇❛❧ ❘✳ P✳✱ ❖✬❘❡❣❛♥ ❉✳✱ ❙❛❤✉ ❉✳ ❘✳ ✭✷✵✵✾✮✱ ▲✐♣s❝❤✐t③✐❛♥✲t②♣❡ ▼❛♣♣✐♥❣s ✇✐t❤ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ❬✷❪ ❈✳ ❇②r♥❡✱ ♣r♦❜❧❡♠✱ ❙♣r✐♥❣❡r✳ ■t❡r❛t✐✈❡ ♦❜❧✐q✉❡ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ♦♥t♦ ❝♦♥✈❡① s❡ts ❛♥❞ t❤❡ s♣❧✐t ❢❡❛s✐❜✐❧✐t② ■♥✈❡rs❡ Pr♦❜❧❡♠s✱ ❬✸❪ ❈✳ ❇②r♥❡✱ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ❚❤❡♦r② ❢♦r ✶✽ ✭✷✮✱ ♣♣✳ ✹✹✶✲✹✺✸ ✭✷✵✵✷✮✳ ❆ ✉♥✐❢✐❡❞ tr❡❛t♠❡♥t ♦❢ s♦♠❡ ✐t❡r❛t✐✈❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ✐♥ s✐❣♥❛❧ ♣r♦❝❡ss✲ ✐♥❣ ❛♥❞ ✐♠❛❣❡ r❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥✱ ❬✹❪ ❨✳ ❈❡♥s♦r ❛♥❞ ❚✳ ❊❧❢✈✐♥❣✱ ■♥✈❡rs❡ Pr♦❜❧❡♠s✱ ✱ ♣♣✳ ✶✵✸✲✶✷✵ ✭✷✵✵✹✮✳ ❆ ♠✉❧t✐ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✉s✐♥❣ ❇r❡❣♠❛♥ ♣r♦✲ ❥❡❝t✐♦♥s ✐♥ ❛ ♣r♦❞✉❝t s♣❛❝❡✱ ◆✉♠❡r✳ ❆❧❣♦r✐t❤♠s✱ ❬✺❪ ❉✐❡st❡❧ ❏✳ ✭✶✾✼✵✮✱ ✶✽ ✽ ✭✷✲✹✮✱ ♣♣✳ ✷✷✶✲✷✸✾✱ ✭✶✾✾✹✮✳ ●❡♦♠❡tr② ♦❢ ❇❛♥❛❝❤ ❙♣❛❝❡s✲❙❡❧❡❝t❡❞ ❚♦♣✐❝s✱ ❙♣r✐♥❣❡r✲ ❱❡r❧❛❣✳ ❬✻❪ ●♦❡❜❡❧ ❑✳✱ ❑✐r❦ ❲✳❆✳ ✭✶✾✾✵✮✱ ❚♦♣✐❝ ✐♥ ▼❡tr✐❝ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ❚❤❡♦r②✱ ❈❛♠✲ ❜r✐❞❣❡ ❯♥✐✈❡rs✐t② Pr❡ss✳ ❬✼❪ ❍♦❥♦ ▼✳✱ ❚❛❦❛❤❛s❤✐ ❲ ✭✷✵✶✻✮✱ ✏❆ str♦♥❣ ❝♦♥✈❡❣❡♥❝❡ t❤❡♦r❡♠ ❜② s❤r✐♥❦✲ ✐♥❣ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞ ❢♦r t❤❡ s♣❧✐t ❝♦♠♠♦♥ ♥✉❧❧ ♣♦✐♥t ♣r♦❜❧❡♠ ✐♥ ❇❛♥❛❝❤ s♣❛❝❡s✑✱ ◆✉♠❡r✳ ❋✉♥❝t✳ ❆♥❛❧✳ ❖♣t✐♠✳✱ ✸✼✱ ♣♣✳ ✺✹✶✕✺✺✸✳ ❬✽❪ ❑❛♠✐♠✉r❛ ❙✳✱ ❚❛❦❛❤❛s❤✐ ❲✳ ✭✷✵✵✸✮✱ ✏❙tr♦♥❣ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ ♣r♦①✐♠❛❧✲t②♣❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✐♥ ❇❛♥❛❝❤ s♣❛❝❡✑✱ ❙■❆▼ ❏✳ ❖♣t✐♠✳✱ ✶✸✭✸✮✱ ♣♣✳ ✾✸✽✕✾✹✺ ❬✾❪ ▼♦s❝♦ ❯✳ ✭✶✾✻✾✮✱ ✏ ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ ❝♦♥✈❡① s❡ts ❛♥❞ ♦❢ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s✑✱ ❆❞✈✳ ▼❛t❤✳✱ ✸✱ ♣♣✳ ✺✶✵✕✺✽✺✳ ❬✶✵❪ ▲✐♥❞❡♥str❛✉ss ❏✳✱ ❚③❛❢r✐r✐ ▲✳ ✭✶✾✼✾✮✱ ❙♣❛❝❡s✱ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❇❛♥❛❝❤ ❙♣❛❝❡s ■■✿ ❋✉♥❝t✐♦♥ ❊r❣❡❜♥✐ss❡ ▼❛t❤✳ ●r❡♥③❣❡❜✐❡t❡ ❇❞✳ ✾✼✱ ❙♣r✐♥❣❡r✲❱❡r❧❛❣✳ ❬✶✶❪ ❘♦❝❦❛❢❡❧❧❛r ❘✳ ❚✳ ✭✶✾✼✵✮✱ ✏❖♥ t❤❡ ♠❛①✐♠❛❧ ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ♦❢ s✉❜❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ♠❛♣♣✐♥❣s✑✱ P❛❝✐❢✐❝ ❏✳ ▼❛t❤✳✱ ❱♦❧✳ ✸✸ ✭✶✮✱ ♣♣✳ ✷✵✾✕✷✶✻✳ ✸✼ ❬✶✷❪ ❘♦❝❦❛❢❡❧❧❛r ❘✳ ❚✳ ✭✶✾✼✵✮✱ ✏❖♥ t❤❡ ♠❛①✐♠❛❧✐t② ♦❢ s✉♠s ♦❢ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ♠♦♥♦t♦♥❡ ♦♣❡r❛t♦rs✑✱ ❚r❛♥s✳ ❆♠❡r✳ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✳✱ ✶✹✾✱ ♣♣✳ ✼✺✕✽✽✳ ❬✶✸❪ ❨✳ ❙❤❡❤✉✱ ❉✳ ❋✳ ❆❣❜❡❜❛❦✉ ✭✷✵✶✼✮✱ ✏❖♥ s♣❧✐t ✐♥❝❧✉s✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ❛♥❞ ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥t ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲✈❛❧✉❡❞ ♠❛♣♣✐♥❣s✑✱ ❈♦♠♣✳ ❆♣♣❧✳ ▼❛t❤✳✱ ❉❖■ ✶✵✳✶✵✵✼✴s✹✵✸✶✹✲✵✶✼✲✵✹✷✻✲✵✳ ❬✶✹❪ ❚❛❦❛❤❛s❤✐ ❙✳✱ ❚❛❦❛❤❛s❤✐ ❲✳ ✭✷✵✶✻✮✱ ✏❚❤❡ s♣❧✐t ❝♦♠♠♦♥ ♥✉❧❧ ♣♦✐♥t ♣r♦❜❧❡♠ ❛♥❞ t❤❡ s❤r✐♥❦✐♥❣ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞ ✐♥ ❇❛♥❛❝❤ s♣❛❝❡s✑✱ ❖♣t✐♠✳✱ ✻✺✭✷✮✱ ♣♣✳ ✷✽✶✲✷✽✼✳ ❬✶✺❪ ❚❛❦❛❤❛s❤✐ ❲✳ ✭✷✵✶✼✮✱ ✏❚❤❡ s♣❧✐t ❝♦♠♠♦♥ ♥✉❧❧ ♣♦✐♥t ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ r❡s♦❧✈❡♥ts ✐♥ t✇♦ ❜❛♥❛❝❤ s♣❛❝❡s✑✱ ◆✉♠❡r✳ ❆❧❣♦r✳✱ ✼✺✭✹✮✱ ♣♣✳ ✶✵✻✺✕✶✵✼✽✳ ❬✶✻❪ ❚s✉❦❛❞❛ ▼✳ ✭✶✾✽✹✮✱ ✏❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ ❜❡st ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s ✐♥ ❛ s♠♦♦t❤ ❇❛✲ ♥❛❝❤ s♣❛❝❡✑✱ ❏✳ ❆♣♣r♦①✳ ❚❤❡♦r②✱ ✹✵✱ ♣♣✳ ✸✵✶✕✸✵✾ ✳