Điểm bất động của toán tử lõm chính quy đều

3 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS GVCC Nguyễn Phụ Hy người thầy đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn chỉnh đề tài. Tôi xin chân thành cảm ơn các GS, TS giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, các bạn học viên cao học Toán Giải tích K13 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài. Tôi xin chân thành cảm ơn trường THPT Mê Linh đã tạo điều kiện về thời gian cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và bảo vệ đề tài. Hà Nội, tháng 5 năm 2011 Tác giả. 4 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc . Hà Nội, tháng 5 năm 2011 Tác giả 5 MỤC LỤC Mở đầu Trang Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị 8 1.1 Một số kiến thức về không gian định chuẩn thực 8 1.1.1 Các định nghĩa 8 1.1.2 Một số không gian định chuẩn thực 9 1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 18 1.2.1 Một số định nghĩa và tính chất 18 1.2.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 25 1.2.3 Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 26 1.3 Không gian 0 u E 34 1.3.1 Định nghĩa không gian 0 u E 34 1.3.2 Một số tính chất về không gian 0 u E 34 1.3.3 Một số ví dụ về không gian 0 u E 37 Chương 2: Toán tử 0 u - lõm và toán tử lõm chính quy đều 40 2.1 Toán tử 0 u -lõm 40 2.1.1 Các định nghĩa 40 2.1.2. Một số tính chất đơn giản về toán tử o u − lõm 41 2.1.3. Ví dụ về toán tử o u − lõm 44 2.2 – Toán tử lõm chính quy đều 46 2.2.1 Các định nghĩa 46 2.2.2 Một số tính chất đơn giản về toán tử lõm chính quy đều 47 2.2.3 Ví dụ về toán tử lõm chính quy đều 49 Chương 3: Sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm chính quy đều 51 6 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán tử lõm là lớp các toán tử quan trọng trong giải tích hàm phi tuyến. Nhiều nhà khoa học trên thế giới đã nghiên cứu về lớp toán tử này. Mở đầu là năm 1956 nhà toán học người Nga M.A. Craxnoxenki đã nghiên cứu về lớp toán tử này. Ông đã đưa ra các kết quả quan trọng về toán tử lõm trong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự. Sau đó giáo sư tiến sĩ khoa học I. A. Baxtin đã mở rộng các kết quả đó cho lớp toán tử 0 u - lõm (1958) và 0 u -lõm đều trong luận án tiến sĩ khoa học của mình (1959, 1963). Tuy nhiên khi ứng dụng các kết quả đạt được về lớp toán tử lõm và 0 u -lõm đều thì điều kiện 0 u - đo được lại trở nên phức tạp trong một số trường hợp. Hơn nữa, có những lớp toán tử phi tuyến tuy không thoả mãn điều kiện 0 u - đo được nhưng lại có các tính chất phổ dụng như toán tử lõm – đó là toán tử lõm chính quy. Ở nước ta vào những năm 1980, PGS.TS Nguyễn Phụ Hy đã nghiên cứu và đạt được một số kết quả cho lớp toán tử lõm chính quy, trong đó không yêu cầu lớp toán tử này có tính chất 0 u - đo được. Với mong muốn tìm hiểu sâu về toán tử lõm chính quy đều, cùng với sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS GVCC Nguyễn Phụ Hy tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “Điểm bất động của toán tử lõm chính quy đều” Luận văn chỉ tập trung nghiên cứu một số tính chất của toán tử lõm chính quy đều và sự tồn tại điểm bất động của lớp toán tử này. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu một số tính chất về toán tử lõm chính quy đều và điểm bất động của loại toán tử này. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 7 - Nghiên cứu, hệ thống hóa các tính chất đã có về điểm bất động của toán tử o u − lõm. - Trên cơ sở những tính chất về điểm bất động của toán tử o u − lõm, nghiên cứu một số tính chất về điểm bất động và sự tồn tại điểm bất động của lớp toán tử lõm chính quy đều. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Toán tử lõm chính quy đều, điểm bất động của toán tử lõm chính quy đều. - Sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm chính quy đều. 5. Phương pháp nghiên cứu - Đọc sách, nghiên cứu lý luận và tài liệu tham khảo. - Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 6. Dự kiến đóng góp mới Trình bày một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về điểm bất động của toán tử lõm chính quy đều và một số ví dụ áp dụng. 8 CHƯƠNG I : MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 – Một số kiến thức về không gian định chuẩn thực. 1.1.1 – Các định nghĩa. Định nghĩa 1.1.1.1: Cho không gian tuyến tính thực E. Một chuẩn trên E là một ánh xạ từ E vào R , kí hiệu là • ,thỏa mãn các tiên đề sau : i. , 0, 0x E x x x θ ∀ ∈ ≥ = ⇔ = ( Phần tử θ trong E); ii. , , . x E R x x α α α ∀ ∈ ∀ ∈ = ; iii. , : x y E x y x y ∀ ∈ + ≤ + . Không gian tuyến tính thực E cùng 1 chuẩn trên nó được gọi là không gian định chuẩn thực, kí hiệu ( ) , E • hay E. Số x được gọi là chuẩn của x . Định nghĩa 1.1.1.2 : Cho không gian định chuẩn E. Dãy điểm ( ) 1 n n x E ∞ = ⊂ gọi là hội tụ tới x E ∈ nếu lim 0 n x x x →∞ − = . Kí hiệu lim n x x x →∞ = hay ( ) n x x n → → ∞ . Ta có một số tính chất sau : 1) Nếu ( ) ( ) n x x n → → ∞ thì dãy chuẩn ( ) n x x n → → ∞ hay nói cách khác hàm • là hàm giá trị thực liên tục theo biến x . 2) Nếu dãy điểm ( ) n x hội tụ trong không gian định chuẩn E thì dãy chuẩn tương ứng ( ) n x bị chặn. 3) Nếu lim ,lim n n x y x x y y →∞ →∞ = = trong không gian E và dãy số ( ) n α hội tụ tới α thì : ( ) lim n n n x y x y →∞ + = + ; ( ) lim n n n x x α α →∞ = . 9 Định nghĩa 1.1.1.3 : Cho không gian định chuẩn E. Dãy điểm ( ) 1n n x E ∞ = ⊂ gọi là dãy cơ bản trong E nếu : , lim 0 n m n m x x →∞ − = . Hay ( ) ( ) * 0 0 n N ε ∀ > ∃ ∈ sao cho ( ) 0 , m n n ∀ ≥ ta có n m x x ε − > . Định nghĩa 1.1.1.4 : Không gian định chuẩn E gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong E đều hội tụ về một phần tử thuộc E. 1.1.2 – Một số không gian định chuẩn. 1.1.2.1 – Không gian 0 c Xét không gian tuyến tính : ( ) ( ) { 0 , , 1,2,3, n n c x x x R n= = ∈ = , ( ) n x hội tụ về 0}. Với 2 phép cộng và nhân thông thường, tức với ( ) ( ) 0 , n n x x y y c = = ∈ và α ∈ ℝ thì ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 , , , , x y x y x y x x x α α α + = + + = 1) 0 c là một không gian định chuẩn với chuẩn của phần tử ( ) 1 n n x x ∞ = = cho 1 max n n x x ≤ ≤∞ = . (1.1) Thật vậy, vì ( ) 1 n n x x ∞ = = hội tụ về 0 và n x n ∈ ∀ ℝ nên vế phải của (1.1) tồn tại. Ta đi kiểm tra ba tiên đề về chuẩn đối với (1.1). i. ( ) 0 n x x c ∀ = ∈ ta đều có : 1 max 0 n x x ≤ ≤∞ = ≥ , Hơn nữa 1 0 max 0 0 1,2,3, n n n x x x n ≤ ≤∞ = ⇔ = ⇔ = ∀ = ( ) 0,0,0, ,0, x x θ ⇔ = ⇔ = ( θ là vecto không trong không gian 0 c ). ii. 0 , x c R α ∀ ∈ ∀ ∈ , ta có : 1 1 max max . . n n n n x x x x α α α α ≤ ≤∞ ≤ ≤∞ = = = 10 iii. ( ) ( ) 0 , : , n n x y c x x y y ∀ ∈ = = , ta có : ( ) 1 1 1 1 ax max max max . n n n n n n n n x y M x y x y x y x y ≤ ≤∞ ≤ ≤∞ ≤ ≤∞ ≤ ≤∞ + = + = + = + = + Vậy công thức (1.1) xác định một chuẩn trên 0 c . 2) Sự hội tụ trong không gian 0 c tương ứng với sự hội tụ đều của dãy số thực. Giả sử dãy ( ) ( ) 1 s s x ∞ = hội tụ tới ( ) n x x = trong không gian 0 c . Theo định nghĩa có: ( ) lim 0 s s x x →∞ − = , nghĩa là: ( ) ( ) ( ) ( ) * 0 0 0 : s s N s s x x ε ε ∀ > ∃ ∈ ≥ − < ( ) ( ) 0 1 max s n n n x x s s ε ≤ ≤∞ ⇒ − < ∀ ≥ ( ) s n n x x ε ⇒ − < 0 , 1,2, s s n∀ ≥ ∀ = Chứng tỏ dãy ( ) ( ) s n x hội tụ đều tới n x khi s → ∞ * n N ∀ ∈ . Ngược lại, giả sử có dãy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 , , , s s s s y c y y y∈ = hội tụ đều tới ( ) 1 2 , , y y y= . Theo sự hội tụ đều của dãy số ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) * 0 0 0 : s n n s N s s y y ε ε ∀ > ∀ ∈ ∀ ≥ − < * n∀ ∈ ℕ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 * . s n n s s s n n n n n n y y y y y y y ε ε ⇒ ∀ ∈ − < ⇒ ≤ + − < + ℕ Do ( ) 0 lim 0 s n n y →∞ = và 0 ε > nhỏ tuỳ ý nên lim 0 n n y →∞ = , nghĩa là 0 y c ∈ . Suy ra ( ) 0 1 max , s n n n y y s s ε ≤ ≤∞ − < ∀ ≥ ( ) s y y ε ⇒ − < , 0 s s ∀ ≥ ( ) s y ⇒ hội tụ về y trong không gian 0 c . 3) 0 c là không gian Banach. Giả sử ( ) { } ( ) ( ) { } 1 2 1 1 , , s s s s s x x x ∞ ∞ = = = là một dãy cơ bản tùy ý trong 0 c . 11 Theo định nghĩa dãy cơ bản thì : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * 0 0 0 , , : s p s N s p s x x ε ε ∀ > ∃ ∈ ∀ ≥ − < , hay ( ) ( ) ( ) 1 max s p n n n x x ε ≤ ≤∞ − < ( ) ( ) s p n n x x ε ⇒ − < * 0 , , s p s n N ∀ ≥ ∀ ∈ . ( ) 1.2 Chứng tỏ rằng với mỗi n cố định, dãy ( ) { } s n x là dãy số thực cơ bản nên có giới hạn : ( ) lim s n n s x x →∞ = ( ) 1,2,3, n = Đặt ( ) 1 2 , , x x x= . Do (1.2) không phụ thuộc vào n cho p → ∞ trong (1.2) ta có : ( ) s n n x x ε − < , * 0 , s s n N ∀ ≥ ∀ ∈ ( ) 1.3 Từ (1.3) ta có ( ) s n n max x x ε − < * 0 , s s n N ∀ ≥ ∀ ∈ Do dãy ( ) ( ) s n x hội tụ về 0 với mỗi s cố định suy ra 1 n n max x ε ≤ ≤∞ < lim 0 n n x →∞ ⇒ = . Do đó dãy ( ) { } ( ) ( ) { } 1 2 1 1 , , s s s s s x x x ∞ ∞ = = = hội tụ tới ( ) 1 2 0 , , x x x c = ∈ . Vậy 0 c là không gian Banach. 1.1.2.2 – Không gian [ ] , M a b . Xét không gian các hàm số xác định và bị chặn trên [ ] , a b : [ ] . M a b = { ( ) ( ) : x x t x t = xác định và bị chặn trên [ ] , a b } với 2 phép toán thông thường. ( ) ( ) ( ) ( ) x y t x t y t + = + , [ ] , t a b ∈ ( ) ( ) ( ) x t x t α α = , [ ] , , R t a b α ∈ ∈ Với ( ) ( ) [ ] , , , x x t y y t M a b R α = = ∈ ∈ . 12 1) [ ] , M a b là không gian đinh chuẩn với chuẩn của phần tử ( ) x x t = cho bởi : ( ) sup a t b x x t ≤ ≤ = . (1.4) Vì ( ) x t bị chặn trên [ ] , a b nên tồn tại ( ) sup a t b x t ≤ ≤ . Do đó vế phải của (1.4) xác định. Ta đi kiểm tra ba tiên đề về chuẩn đối với (1.4). i. ( ) [ ] , x x t M a b ∀ = ∈ , ta có : ( ) sup a t b x x t ≤ ≤ = mà ( ) ( ) ( ) 0 sup 0 0 a t b x t x t x t ≤ ≤ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ . Hơn nữa ( ) ( ) [ ] 0 sup 0 0 , a t b x x t x t t a b ≤ ≤ = ⇔ = ⇔ = ∀ ∈ 0 x ⇒ = . ii. ( ) [ ] , , x x t M a b R α ∀ = ∈ ∀ ∈ ta có : ( ) ( ) sup .sup a t b a t b x x t x t x α α α α ≤ ≤ ≤ ≤ = = = . iii. ( ) ( ) [ ] , , x x t y y t M a b ∀ = = ∈ , ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sup sup sup sup a t b a t b a t b a t b x y y x t x t y t x t y t x y ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ + = + = + ≤ + = + . Vậy [ ] , M a b là không gian định chuẩn. 2) Sự hội tụ trong không gian [ ] , M a b tương ứng với sự hội tụ đều của dãy hàm bị chặn trên [ ] , a b . Thật vậy, giả sử dãy hàm ( ) { } [ ] 1 , n n x t M a b ∞ = ⊂ hội tụ tới ( ) x t trong không gian [ ] , M a b . Ta có : lim 0 n n x x →∞ − = hay ( ) ( ) ( ) * 0 0 0 : n n N n n x x ε ε ∀ > ∃ ∈ ∀ ≥ − < ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 0 0 sup , , , , n n a t b x t x t n n x t x t n n t a b ε ε ≤ ≤ ⇒ − < ∀ ≥ ⇒ − < ∀ ≥ ∀ ∈ ( ) n x t ⇒ hội tụ đều đến ( ) x t trên [ ] , a b . [...]... hội tụ đều đến x ( t ) trên đoạn [ a, b ] cùng với dãy đạo ( hàm xn k) ( t ) hội tụ đều đến đạo hàm x ( k ) ( t ) trên đoạn [ a, b] , ( k = 1, 2, , m ) Ngược lại, giả sử dãy hàm { xn ( t )} ⊂ Dm [ a, b] hội tụ đều đến hàm x ( t ) cùng ( với dãy đạo hàm xn k) ( t ) hội tụ đều đến đạo hàm x ( k ) ( t ) trên đoạn [ a, b ] , ( k = 1, 2, , m ) Hiển nhiên, x ( t ) ∈ Dm [ a, b] Theo định nghĩa hội tụ đều. .. tương đương sự hội tụ đều của dãy hàm trên [a, b] nên xn ( t ) hội tụ đều đến x ( t ) trên [a, b] khi n → ∞ Mặt khác vì xn ∈ F ⇒ 2 ≤ xn ( t ) ≤ 3∀n ≥ 1; ∀t ∈ [ a, b] ⇒ 2 ≤ x ( t ) ≤ 3 ⇒ x ∈ F Vậy F đóng Chứng minh θ ∉ F ∀x ∈ F thì 2 ≤ x ( t ) ≤ 3, ∀t ∈ [ a, b ] ⇒ 2 ≤ x ( t ) ≤ 3 ∀t ∈ [ a, b ] ⇒ 2 ≤ sup x ( t ) ≤ 3 và x ( t ) ≠ 0, ∀t ∈ [ a, b] t∈[ a ,b] 31 Vậy F không chứa phần tử không và bị chặn... ., y ( m) ( t ) } a ≤ ≤b = x + y Vậy công thức (1.6) xác định một chuẩn trên Dm [ a, b] 2 Sự hội tụ trong Dm [ a, b] đối với chuẩn (1.6) tương đương với sự hội tụ đều của dãy hàm khả vi liên tục cấp m trên [ a, b] cùng với dãy đạo hàm của nó Thật vậy, giả sử dãy hàm { xn }n =1 hội tụ đến hàm x = x ( t ) trong không ∞ gian Dm [ a, b] Ta có: lim xn − x = 0 n →∞ 16 ( ⇒ ( ∀ε > 0 ) ∃n0 ∈ N * { ) ( ∀n...13 Ngược lại, giả sử dãy hàm { xn }n =1 ⊂ M [ a, b ] hội tụ đều về x ∞ Theo định nghĩa sự hội tụ đều của dãy hàm: ( ∀ε > 0 ) ( ∃n0 ∈ N * ) ( ∀n ≥ n0 ) ( ∀t ∈ [ a, b]) : xn ( t ) − x ( t ) < ε ⇒ ∀t ∈ [ a, b ] , x ( t ) ≤ xn0 ( t ) − x ( t ) < xn0 ( t ) + ε Do hàm xn0 ( t ) xác định... được hàm số x ( t ) xác định trên đoạn [ a, b] Do bất đẳng thức đầu tiên trong (1.7) không phụ thuộc t, cho p → ∞ ta được: xn ( t ) − x p ( t ) ≤ ε , ∀n ≥ n0 , nghĩa là dãy ( xn ( t ) )n =1 hội tụ đều tới hàm x ( t ) trên [ a, b] , nên x ( t ) xác định và ∞ liên tục trên [ a, b] Lập luận hoàn toàn tương tự, dãy đạo hàm cấp một ( x 'n ( t ) ) hội tụ đều đến hàm ϕ ( t ) trên [ a, b] Theo một định lí... nếu tồn tại số dương N sao cho ∀x, y ∈ K ; x ≤ y ta đều có x ≤ N y Định nghĩa 1.2.1.3 : Cho K là một nón trong không gian định chuẩn E Kí hiệu K * = K \ {θ } và với mỗi x ∈ K gọi là một phần tử dương * Ta viết x < y nếu y − x ∈ K * Với x, y ∈ K , nói x, y thông ước với nhau nếu ∃α , β dương sao cho : αy≤ x≤βy Giả sử u0 ∈ K * Tập hợp tất cả các phần tử x ∈ K thông ước với u0 được kí hiệu là K ( u0 )... là không gian định chuẩn với chuẩn của phần tử x = x ( t ) xác định bởi : { x = max x ( t ) , x' ( t ) , x'' ( t ) , x''' ( t ) , x( a ≤t ≤b m) (t ) } (1.6) Do hàm x ( t ) xác định và khả vi liên tục đến cấp m trên đoạn [ a, b] nên các hàm số x ( t ) , x ' ( t ) , , x( m ) ( t ) liên tục trên [ a, b] , do đó mỗi hàm có giá trị lớn nhất trên [ a, b] Vậy vế phải của (1.6) tồn tại Ta chứng minh các... −tα > 0 Như vậy trong cả hai trường hợp đều tồn tại số dương t1 = α t (α > 0 ) hoặc t1 = −α t (α > 0 ) sao cho −t1u0 ≤ α x ≤ t1u0 Lại có α x ∈ E (do E là không gian tuyến tính) Vậy α x ∈ Eu hay Eu là không gian 0 0 con của E ⇒ Eu là không gian tuyến tính □ 0 Định lý 1.2.3.2: Giả sử E là không gian Banach nửa sắp thứ tự theo nón K, u0 ∈ K * Khi đó Eu gồm các phần tử u0 - đo được là một không gian định... n N h  ) N  sup cn ≤ h ( q + r ) ,  n≥n ⇒ 0 inf d ≥ 1 ( q − r )  n≥ n0 n Nh  Do đó tồn tại : { } Dãy con đơn điệu tăng cnk ∞ k =1 { } Dãy con đơn điệu tăng d nk hội tụ tới phần tử c ∞ k =1 hội tụ tới phần tử d Từ (1.10) ⇒ cnk u0 ≤ xnk ≤ d nk u0 Cho k → ∞ ta được cu0 ≤ x ≤ du0 (do K đóng), hay x ∈ K ( u0 ) ii ∀x, y ∈ K u0 Ta chứng minh x + y ∈ K u0 Nếu x = y = θ hoặc x = θ hoặc y = θ , ta... = ( x1( s ) , x2( s ) , , xn( s ) , ) là dãy hội tụ và lim x ( s ) = x , s →∞ ∞ s =1 x = ( x1 , x2 , , xn , ) trong không gian c0 Cần chứng minh x ∈ K Vì sự hội tụ trong không gian c0 là sự hội tụ đều của dãy số thực nên khi ấy ( lim xns ) = xn , ∀n = 1, 2, s →∞ 27 ( Với mỗi n thì xns ) ≥ 0, ∀s nên xn ≥ 0, ∀n ⇒ x ∈ K Vậy K đóng ii  x = ( x1 , x2 , ) ∈ K x ≥ 0 Nếu  thì  n ∀n = 1, 2   y = ( . tượng và phạm vi nghiên cứu - Toán tử lõm chính quy đều, điểm bất động của toán tử lõm chính quy đều. - Sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm chính quy đều. 5. Phương pháp nghiên cứu -. tài: Điểm bất động của toán tử lõm chính quy đều Luận văn chỉ tập trung nghiên cứu một số tính chất của toán tử lõm chính quy đều và sự tồn tại điểm bất động của lớp toán tử này. . về điểm bất động của toán tử o u − lõm, nghiên cứu một số tính chất về điểm bất động và sự tồn tại điểm bất động của lớp toán tử lõm chính quy đều. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Toán