Vectơ riêng dương của một lớp toán tử phi tuyến tính (K,µo) - Lõm chính quy

LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Phó giáo sư - Tiến sĩ - GVCC Nguyễn Phụ Hy, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng các quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin trân trọng cảm ơn ban giám hiệu trường THPT Hàm Long - Bắc Ninh, Tổ Toán - Tin và các đồng nghiệp đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn. Hà Nội, tháng 12 năm 2011 Tác giả Dương Thị Quế LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS -Tiến sĩ - GVCC Nguyễn Phụ Hy. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2011 Tác giả Dương Thị Quế Mục lục Mở đầu v 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Không gian định chuẩn thực . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Một số không gian định chuẩn thực . . . . . . . . 4 1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự . . . . . . . . . 13 1.2.1 Nón trong không gian định chuẩn thực . . . . . . 13 1.2.2 Quan hệ thứ tự trong không gian E . . . . . . . . 14 1.2.3 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự . . . . . 21 1.2.4 Không gian E u 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2.5 Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự . 25 2 Toán tử (K, u 0 ) - lõm chính quy 39 2.1 Toán tử (K, u 0 ) - lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.2 Một số tính chất đơn giản về toán tử (K, u 0 ) - lõm 40 2.1.3 Ví dụ về toán tử (K, u 0 ) - lõm . . . . . . . . . . 46 2.2 Toán tử (K u 0 ) - lõm chính quy . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.2 Một số tính chất đơn giản về toán tử (K, u 0 ) - lõm chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 iii iv 2.2.3 Ví dụ về toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy . . . . . 58 3 Sự tồn tại vectơ riêng của toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy 60 3.1 Một số định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2 Một số định lí về sự tồn tại vectơ riêng của toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Kết luận 71 Tài liệu tham khảo 72 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Nhiều vấn đề của toán học, vật lí, kỹ thuật dẫn đến việc xét phương trình: Ax −λx = 0 (1) trong đó A là một toán tử tác động trong một không gian hàm nào đó, x là phần tử phải tìm. Phần tử x = θ thoả mãn (1) gọi là vectơ riêng của toán tử A, λ là giá trị riêng tương ứng với vectơ riêng x. Người đặt nền móng cho việc nghiên cứu điểm bất động của toán tử A là nhà toán học người Balan Stefan Banach với nguyên lí nổi tiếng: nguyên lí ánh xạ co (công bố năm 1922). Tiếp đến có nhiều nhà toán học có các công trình nghiên cứu về điểm bất động của toán tử trong các không gian hàm. Nhà toán học Nga nổi tiếng M.A.Kraxnôxelxki đã nghiên cứu lớp toán tử phi tuyến - Toán tử lõm (1956). Sau đó giáo sư tiến sĩ khoa học I.A.Bakhtin mở rộng các kết quả cho lớp toán tử phi tuyến (K, u 0 ) - lõm (1984). Các lớp toán tử trên có chung tính chất u 0 - đo được. Tính chất u 0 – đo được trong định nghĩa toán tử lõm khiến cho việc ứng dụng các kết quả gặp khó khăn. Tuy nhiên tồn tại những lớp toán tử phi tuyến không yêu cầu có tính chất u 0 – đo được, nhưng cũng có những tính chất như toán tử lõm. Một trong những lớp toán tử như thế là lớp toán tử lõm chính quy. v vi Năm 1987, trong bài báo đăng trên tạp chí Toán học, tập XV, số 1, 27 - 32, PGS - TS Nguyễn Phụ Hy đã xây dựng khái niệm toán tử lõm chính quy và sự mở rộng các định lí quan trọng về điểm bất động và vectơ riêng đối với toán tử lõm cho toán tử lõm chính quy. Với mong muốn mở rộng các kết quả tương ứng đối với toán tử lõm chính quy cho lớp toán tử phi tuyến (K, u 0 ) – lõm chính quy, tôi đã chọn đề tài: “Vectơ riêng dương của một lớp toán tử phi tuyến (K, u 0 ) - lõm chính quy”. 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn “Vectơ riêng dương của lớp toán tử phi tuyến (K, u 0 ) - lõm chính quy” nhằm đưa ra được một số tính chất về toán tử (K, u 0 ) - lõm chính quy và sự tồn tại vectơ riêng dương của lớp toán tử đó. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích đã nêu ở trên, những nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là: + Nghiên cứu một số tính chất về toán tử (K, u 0 ) - lõm chính quy. + Nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của toán tử (K, u 0 ) - lõm chính quy . + Nghiên cứu sự tồn tại vectơ riêng dương của toán tử (K, u 0 ) - lõm chính quy . 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu +) Đối tượng nghiên cứu: Toán tử (K, u 0 ) - lõm chính quy. +) Phạm vi nghiên cứu: - Tính chất điểm bất động của toán tử (K, u 0 ) - lõm chính quy. vii - Sự tồn tại điểm bất động của toán tử (K, u 0 ) - lõm chính quy. - Sự tồn tại vectơ riêng dương của toán tử (K, u 0 ) - lõm chính quy. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu và áp dụng các kết quả nghiên cứu vào một số không gian hàm cụ thể. 6. Dự kiến đóng góp mới - Xây dựng khái niệm toán tử (K, u 0 )– lõm chính quy và ví dụ. - Trình bày một cách hệ thống các tính chất của toán tử (K, u 0 ) – lõm chính quy. - Một số điều kiện tồn tại vectơ riêng dương của toán tử (K, u 0 ) – lõm chính quy. Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian định chuẩn thực 1.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.1.1. Cho không gian tuyến tính thực E. Một chuẩn trên E là một ánh xạ từ không gian E vào tập số thực R, kí hiệu .(đọc là chuẩn), thỏa mãn các điều kiện sau: i,∀x ∈ E, x ≥ 0, x = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là phần tử không trong không gian E); ii,∀x ∈ E, ∀α ∈ R, αx = |α|x; iii,∀x, y ∈ E, x + y ≤ x + y (bất đẳng thức tam giác). Định nghĩa 1.1.2. Không gian tuyến tính thực E cùng với một chuẩn trên nó gọi là một không gian định chuẩn thực, kí hiệu (E, .) hay E. Định nghĩa 1.1.3. Cho không gian định chuẩn E. Dãy điểm {x n } ∞ n=1 ⊂ E gọi là hội tụ đến x ∈ E nếu lim n→∞ x n − x = 0, hay ∀ε > 0, ∃n 0 ∈ N ∗ sao cho ∀n ≥ n 0 , x n − x < ε. Dựa vào các định nghĩa trên ta dễ dàng chứng minh được một số tính chất sau: 1 2 Mệnh đề 1.1.1. Trong không gian định chuẩn thực E, nếu dãy điểm {x n } ∞ n=1 hội tụ đến x thì dãy chuẩn {x n }hội tụ tới x, nói khác đi x là một hàm liên tục của biến x. Chứng minh. Theo bất đẳng thức tam giác ta có: x = x −y + y ≤ x −y+ y, ∀x, y ∈ E, hay x −y ≤ x −y. Đổi vai trò của x, y ta lại có y −x ≤ x −y. Do đó ta có |x −y| ≤ x −y, ∀x, y ∈ E Suy ra |x n  −x| ≤ x n − x (n = 1, 2, . . .) . Vì vậy, nếu {x n } hội tụ tới x thì lim n→∞ x n − x = 0, dẫn đến |x n  −x| → 0 khi n → ∞ hay x n  → x khi n → ∞. Mệnh đề được chứng minh. Mệnh đề 1.1.2. Trong không gian định chuẩn thực E, nếu dãy điểm {x n } ∞ n=1 hội tụ thì dãy chuẩn {x n } bị chặn. Chứng minh. Giả sử x n → x, n → ∞ trong không gian E, theo mệnh đề 1.1.1 ta có x n  → x khi n → ∞ , do đó tồn tại n 0 sao cho ∀n ≥ n 0 , x n  ≤ x + 1 Đặt K là số lớn nhất trong các số x 1 , x 2 , , x n , x + 1. Khi đó ∀n, x n  ≤ K hay {x n } bị chặn. 3 Mệnh đề 1.1.3. Trong không gian định chuẩn thực E, nếu dãy điểm {x n } ∞ n=1 hội tụ tới x, dãy điểm {y n } ∞ n=1 hội tụ tới y và trong R dãy số {α n } hội tụ tới α thì: x n + y n → x + y, n → ∞, α n .x n → αx, n → ∞. Nói khác đi hai phép toán x + y và αx là liên tục (x, y ∈ E, α ∈ R). Chứng minh. Do x n → x, n → ∞; y n → y, n → ∞ trong không gian E, nên ta có x n − x → 0, n → ∞ và y n − y → 0, n → ∞. Ta lại có (x n + y n ) −(x + y) ≤ x n − x + y n − y do đó (x n + y n ) −(x + y) → 0, n → ∞ hay x n + y n → x + y, n → ∞, trong không gian E; đồng thời α n .x n − α.x = α n x n − α n x + α n x −αx ≤ α n (x n − x) + (α n − α) x ≤ |α n |. x n − x + |α n − α|. x. Vì α n → α, n → ∞ nên |α n − α| → 0, n → ∞ và dãy {|α n |} bị chặn; còn x n → x, n → ∞ trong không gian E nên x n − x → 0, n → ∞. Do đó |α n |. x n − x + |α n − α|. x → 0 khi n → ∞ hay α n .x n − α.x → 0, n → ∞ hay α n x n → αx, n → ∞ trong không gian E. Định nghĩa 1.1.4. Cho không gian định chuẩn E. Dãy điểm {x n } ∞ n=1 ⊂ E gọi là dãy cơ bản trong E nếu lim n,m→∞ x n − x m  = 0 hay ∀ε > 0, ∃n 0 ∈ N ∗ sao cho ∀n, m ≥ n 0 ta có x n − x m  < ε. Định nghĩa 1.1.5. Không gian định chuẩn E gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong E đều hội tụ. [...]... sao cho −tu0 ≤ x ≤ tu0 Tập hợp tất cả các phần tử u0 - đo được trong E kí hiệu là Eu0 Định lí 1.2.8 Cho E là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K, u0 ∈ K\ {θ} Khi đó Eu0 là một không gian tuyến tính Chứng minh Ta có E là không gian tuyến tính thực và Eu0 ⊂ E, do vậy để chứng minh định lí 1.2.7 ta chỉ cần chứng minh Eu0 là không gian con của E *) Ta thấy, θ ∈ Eu0 vì với mọi t > 0 ta... hiệu K ∗ = K\ {θ} Mỗi x ∈ K ∗ gọi là một phần tử dương, ta cũng viết x < y nếu y − x ∈ K ∗ Giả sử u0 ∈ K ∗ , tập hợp tất cả các phần tử x ∈ K ∗ thông ước với u0 được kí hiệu là K (u0 ) Định lí 1.2.4 Cho E là không gian định chuẩn thực, A ⊂ E là một tập lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng và không chứa phần tử không Đặt K (A) = {x ∈ E : x = ty, t ≥ 0, y ∈ A} Khi đó K (A) là một nón trong không gian E Chứng minh... phần tử thuộc K\ {θ} cùng thông ước với phần tử thứ ba thuộc K\ {θ} thì thông ước với nhau 15 Thật vậy, giả sử hai phần tử x, y ∈ K\ {θ} cùng thông ước với phần tử z ∈ K\ {θ} Khi đó, tồn tại các số dương α, β sao cho αz ≤ x ≤ βz αz ≤ y ≤ βz Ta có α α βz ≥ y, β β β β x ≤ βz = αz ≤ y α α β α Vì vậy tồn tại các số dương α1 = , β1 = sao cho α1 y ≤ x ≤ β1 y hay β α x thông ước với y x ≥ αz = Cho K là một. ..4 1.1.2 Một số không gian định chuẩn thực 1.1.2.1.Không gian Rn (n ∈ N∗ ) Dễ kiểm tra Rn = {x = (x1 , x2 , , xn ) : xi ∈ R, i = 1, 2, , n} (n ∈ N∗ ) với hai phép toán thông thường x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , , xn + yn ) , αx = (αx1 , αx2 , , αxn ) , trong đó α ∈ R, x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn , y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn , là một không gian tuyến tính thực với phần tử không là θ = (0, 0,... hai phép toán thông thường xác định bởi: (x + y) (s) = x (s) + y (s) , s ∈ [a; b] , (αx) (s) = α.x (s) , s ∈ [a; b] , trong đó x = x (s) ∈ C[a;b] , y = y (s) ∈ C[a;b] , α ∈ R là một không gian tuyến tính thực Với mỗi x = x (s) ∈ C[a;b] đặt x = max |x (s)| (1.4) a≤s≤b Khi đó C[a;b] là một không gian định chuẩn thực với chuẩn (1.4) Thật vậy, ta chứng minh công thức (1.4) thỏa mãn các điều kiện của chuẩn:... ) ⊂ K hay x ∈ K Do K là một nón nên −x ∈ K ⇒ −x ∈ Ku0 / / Vậy Ku0 là một nón trong không gian định chuẩn thực E Định lí 1.2.6 Cho K là một nón trong không gian định chuẩn thực E, u0 ∈ K\ {θ} Khi đó K (u0 ) là một nón trong E Chứng minh Trước hết ta thấy K (u0 ) là tập đóng khác rỗng Thật vậy *) Hiển nhiên K (u0 ) là tập đóng Ta chứng minh K (u0 ) khác rỗng Chọn một dãy số dương αn , αn → 0, n → ∞... cùng với 2 phép toán thông thường: (x + y) (s) = x (s) + y (s) , s ∈ [a; b] , (αx) (s) = α.x (s) , s ∈ [a; b] trong đó x = x (s) ∈ L[a;b] , y = y (s) ∈ L[a;b] , α ∈ R là một không gian tuyến tính thực Nếu ta đồng nhất 2 hàm x, y ∈ L[a;b] khi x = y hầu khắp nơi thì ta thu được 1 không gian vectơ mà ta vẫn kí hiệu là L[a;b] Với mỗi x = x (s) ∈ L[a;b] đặt b |x (s)| ds x = a Khi đó L[a;b] là một không gian... θ = (0, 0, , 0) Ta có Rn là không gian định chuẩn thực với chuẩn của phần tử x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn xác định bởi n x2 i x = (1.1) i=1 Thật vậy, ta kiểm tra các điều kiện của chuẩn: n n *) ∀x ∈ R thì i=1 n x =0⇔ x2 i n hoàn toàn xác định và i=1 x2 ≥ 0 nên x ≥ 0 i x2 = 0 ⇔ xi = 0, ∀i = 1, 2, , n ⇔ x = θ (Kí hiệu phần i i=1 tử không của không gian Rn ) n n *) ∀x ∈ R , ∀α ∈ R, αx = 2 (αxi ) = i=1 n... x ≤ y nên y − x ∈ K Do K là một nón nên ∀t ∈ R, t ≥ 0 ta có t (y − x) ∈ K Suy ra ty − tx ∈ K hay tx ≤ ty iii) Ta có βx − αx = (β − α) x, và β − α ≥ 0, x ∈ K nên (β − α) x ∈ K Suy ra βx − αx ∈ K hay αx ≤ βx 1.2.4 Không gian Eu0 Định nghĩa 1.2.5 Giả sử E là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K, u0 ∈ K\ {θ} Phần tử x ∈ E gọi là u0 - đo được nếu 22 tồn tại số dương t sao cho −tu0 ≤ x ≤ tu0... là một không gian định chuẩn thực, K là một nón trong không gian E ta xây dựng một quan hệ ≤ trong E như sau: ∀x, y ∈ E, x ≤ y nếu y − x ∈ K Khi đó quan hệ ≤ là một quan hệ thứ tự trong E và ta gọi là quan hệ thứ tự theo nón K Thật vậy, *) ∀x ∈ E, x − x = θ ∈ K nên x ≤ x *) ∀x, y ∈ E, x ≤ y và y ≤ x thì y − x ∈ K và x − y ∈ K Do y − x = − (x − y) nên nếu x − y = θ thì mâu thuẫn với điều kiện d) của . của một lớp toán tử phi tuyến (K, u 0 ) - lõm chính quy . 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn Vectơ riêng dương của lớp toán tử phi tuyến (K, u 0 ) - lõm chính quy nhằm đưa ra được một số tính. cho toán tử lõm chính quy. Với mong muốn mở rộng các kết quả tương ứng đối với toán tử lõm chính quy cho lớp toán tử phi tuyến (K, u 0 ) – lõm chính quy, tôi đã chọn đề tài: Vectơ riêng dương của. cứu một số tính chất về toán tử (K, u 0 ) - lõm chính quy. + Nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của toán tử (K, u 0 ) - lõm chính quy . + Nghiên cứu sự tồn tại vectơ riêng dương của toán tử (K,