Vectơ riêng dương của một lớp toán tử phi tuyến tính (K,µo) - Lõm chính quy

LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn nhiệt tình Phó giáo sư - Tiến sĩ - GVCC Nguyễn Phụ Hy, người thầy hướng dẫn truyền cho tác giả kinh nghiệm quý báu học tập nghiên cứu khoa học Thầy động viên khích lệ để tác giả vươn lên học tập vượt qua khó khăn chuyên môn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán tổ Giải tích quý thầy cô tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình Cao học hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin trân trọng cảm ơn ban giám hiệu trường THPT Hàm Long - Bắc Ninh, Tổ Toán - Tin đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập hoàn thành tốt luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2011 Tác giả Dương Thị Quế LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn trực tiếp PGS -Tiến sĩ - GVCC Nguyễn Phụ Hy Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 12 năm 2011 Tác giả Dương Thị Quế Mục lục Mở đầu v Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Không gian định chuẩn thực 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Một số không gian định chuẩn thực Không gian Banach thực nửa thứ tự 13 1.2.1 Nón không gian định chuẩn thực 13 1.2.2 Quan hệ thứ tự không gian E 14 1.2.3 Không gian Banach thực nửa thứ tự 21 1.2.4 1.2.5 Không gian Eu0 21 Một số không gian Banach thực nửa thứ tự 25 Toán tử (K, u0 ) - lõm quy 2.1 2.2 Toán tử (K, u0 ) - lõm 39 39 2.1.1 Các định nghĩa 2.1.2 Một số tính chất đơn giản toán tử (K, u0 ) - lõm 40 2.1.3 Ví dụ toán tử (K, u0 ) - lõm 46 Toán tử (K u0 ) - lõm quy 52 2.2.1 Định nghĩa 2.2.2 Một số tính chất đơn giản toán tử (K, u0 ) lõm quy iii 39 52 53 iv 2.2.3 Ví dụ toán tử (K, u0 )− lõm quy 58 Sự tồn vectơ riêng toán tử (K, u0 )− lõm quy 60 3.1 Một số định nghĩa 3.2 Một số định lí tồn vectơ riêng toán tử (K, u0 )− lõm quy 60 61 Kết luận 71 Tài liệu tham khảo 72 Mở đầu Lí chọn đề tài Nhiều vấn đề toán học, vật lí, kỹ thuật dẫn đến việc xét phương trình: Ax − λx = (1) A toán tử tác động không gian hàm đó, x phần tử phải tìm Phần tử x = θ thoả mãn (1) gọi vectơ riêng toán tử A, λ giá trị riêng tương ứng với vectơ riêng x Người đặt móng cho việc nghiên cứu điểm bất động toán tử A nhà toán học người Balan Stefan Banach với nguyên lí tiếng: nguyên lí ánh xạ co (công bố năm 1922) Tiếp đến có nhiều nhà toán học có công trình nghiên cứu điểm bất động toán tử không gian hàm Nhà toán học Nga tiếng M.A.Kraxnôxelxki nghiên cứu lớp toán tử phi tuyến - Toán tử lõm (1956) Sau giáo sư tiến sĩ khoa học I.A.Bakhtin mở rộng kết cho lớp toán tử phi tuyến (K, u0 ) - lõm (1984) Các lớp toán tử có chung tính chất u0 - đo Tính chất u0 – đo định nghĩa toán tử lõm khiến cho việc ứng dụng kết gặp khó khăn Tuy nhiên tồn lớp toán tử phi tuyến không yêu cầu có tính chất u0 – đo được, có tính chất toán tử lõm Một lớp toán tử lớp toán tử lõm quy v vi Năm 1987, báo đăng tạp chí Toán học, tập XV, số 1, 27 - 32, PGS - TS Nguyễn Phụ Hy xây dựng khái niệm toán tử lõm quy mở rộng định lí quan trọng điểm bất động vectơ riêng toán tử lõm cho toán tử lõm quy Với mong muốn mở rộng kết tương ứng toán tử lõm quy cho lớp toán tử phi tuyến (K, u0 ) – lõm quy, chọn đề tài: “Vectơ riêng dương lớp toán tử phi tuyến (K, u0 ) - lõm quy” Mục đích nghiên cứu Luận văn “Vectơ riêng dương lớp toán tử phi tuyến (K, u0 ) - lõm quy” nhằm đưa số tính chất toán tử (K, u0 ) - lõm quy tồn vectơ riêng dương lớp toán tử Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nêu trên, nhiệm vụ nghiên cứu luận văn là: + Nghiên cứu số tính chất toán tử (K, u0 ) - lõm quy + Nghiên cứu tồn điểm bất động toán tử (K, u0 ) - lõm quy + Nghiên cứu tồn vectơ riêng dương toán tử (K, u0 ) lõm quy Đối tượng phạm vi nghiên cứu +) Đối tượng nghiên cứu: Toán tử (K, u0 ) - lõm quy +) Phạm vi nghiên cứu: - Tính chất điểm bất động toán tử (K, u0 ) - lõm quy vii - Sự tồn điểm bất động toán tử (K, u0 ) - lõm quy - Sự tồn vectơ riêng dương toán tử (K, u0 ) - lõm quy Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu áp dụng kết nghiên cứu vào số không gian hàm cụ thể Dự kiến đóng góp - Xây dựng khái niệm toán tử (K, u0 )– lõm quy ví dụ - Trình bày cách hệ thống tính chất toán tử (K, u0 ) – lõm quy - Một số điều kiện tồn vectơ riêng dương toán tử (K, u0 ) – lõm quy Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Không gian định chuẩn thực Các định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian tuyến tính thực E Một chuẩn E ánh xạ từ không gian E vào tập số thực R, kí hiệu (đọc chuẩn), thỏa mãn điều kiện sau: i,∀x ∈ E, x ≥ 0, x = x = θ (θ phần tử không không gian E); ii,∀x ∈ E, ∀α ∈ R, αx = |α| x ; iii,∀x, y ∈ E, x + y ≤ x + y (bất đẳng thức tam giác) Định nghĩa 1.1.2 Không gian tuyến tính thực E với chuẩn gọi không gian định chuẩn thực, kí hiệu (E, ) hay E Định nghĩa 1.1.3 Cho không gian định chuẩn E Dãy điểm {xn }∞ n=1 ⊂ E gọi hội tụ đến x ∈ E lim xn − x n→∞ = 0, hay ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ cho ∀n ≥ n0 , xn − x < ε Dựa vào định nghĩa ta dễ dàng chứng minh số tính chất sau: Mệnh đề 1.1.1 Trong không gian định chuẩn thực E, dãy điểm {xn }∞ n=1 hội tụ đến x dãy chuẩn { xn }hội tụ tới x , nói khác x hàm liên tục biến x Chứng minh Theo bất đẳng thức tam giác ta có: x = x − y + y ≤ x − y + y , ∀x, y ∈ E, hay x − y ≤ x−y Đổi vai trò x, y ta lại có y − x ≤ x−y Do ta có | x − y | ≤ x − y , ∀x, y ∈ E Suy | xn − x | ≤ xn − x (n = 1, 2, ) Vì vậy, {xn } hội tụ tới x lim xn − x n→∞ | xn − x | → n → ∞ hay xn = 0, dẫn đến → x n → ∞ Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.1.2 Trong không gian định chuẩn thực E, dãy điểm {xn }∞ n=1 hội tụ dãy chuẩn { xn } bị chặn Chứng minh Giả sử xn → x, n → ∞ không gian E, theo mệnh đề 1.1.1 ta có xn → x n → ∞ , tồn n0 cho ∀n ≥ n0 , xn ≤ x + Đặt K số lớn số x1 , x2 , , xn , x + Khi ∀n, xn ≤ K hay { xn } bị chặn Mệnh đề 1.1.3 Trong không gian định chuẩn thực E, dãy điểm ∞ {xn }∞ n=1 hội tụ tới x, dãy điểm {yn }n=1 hội tụ tới y R dãy số {αn } hội tụ tới α thì: xn + yn → x + y, n → ∞, αn xn → αx, n → ∞ Nói khác hai phép toán x + y αx liên tục (x, y ∈ E, α ∈ R) Chứng minh Do xn → x, n → ∞; yn → y, n → ∞ không gian E, nên ta có xn − x → 0, n → ∞ yn − y → 0, n → ∞ Ta lại có (xn + yn ) − (x + y) ≤ xn − x + yn − y (xn + yn ) − (x + y) → 0, n → ∞ hay xn + yn → x + y, n → ∞, không gian E; đồng thời αn xn − α.x = αn xn − αn x + αn x − αx ≤ αn (xn − x) + (αn − α) x ≤ |αn | xn − x + |αn − α| x Vì αn → α, n → ∞ nên |αn − α| → 0, n → ∞ dãy {|αn |} bị chặn; xn → x, n → ∞ không gian E nên xn − x → 0, n → ∞ Do |αn | xn − x + |αn − α| x → n → ∞ hay αn xn − α.x → 0, n → ∞ hay αn xn → αx, n → ∞ không gian E Định nghĩa 1.1.4 Cho không gian định chuẩn E Dãy điểm {xn }∞ n=1 ⊂ E gọi dãy E lim n,m→∞ xn − xm = hay ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ cho ∀n, m ≥ n0 ta có xn − xm < ε Định nghĩa 1.1.5 Không gian định chuẩn E gọi không gian Banach dãy E hội tụ 59 *Chứng minh ∀x ∈ K\ {θ} , ∀t ∈ (0; 1) có Atx > tAx Thật vậy, x ∈ K\ {θ} ⇒ x > θ Do Atx (s) = (tx)r (s) = tr xr (s) mà x (s) > 0, s ∈ [0; 1] , Atx (s) = (tx)r (s) = tr xr (s) mà x (s) = 0, s ∈ [0; 1] , Vì t ∈ (0; 1) r ∈ (0; 1) nên tr > t Suy Atx (s) = (tx)r (s) = tr xr (s) > txr (s) = tAx (s) mà x (s) > 0, s ∈ [0; 1] , Atx (s) = (tx)r (s) = tr xr (s) = txr (s) = tAx (s) mà x (s) = 0, s ∈ [0; 1] Vì Atx > tAx, ∀x ∈ K\ {θ} *Chứng minh ∀x, y ∈ K (u0 ) , ∀t ∈ (0; 1) cho x − ty > θ, ∃δ = δ (x, y, t) > có Ax − tAy ≥ δu0 Thật vây, x, y ∈ K (u0 ) nên ∃α > 0; β > cho αu0 ≤ x ≤ βu0 ∃λ > 0; γ > cho λu0 ≤ y ≤ γu0 Vì u0 = u (s) = 1, s ∈ [0; 1] nên α ≤ x ≤ β, λ ≤ y ≤ γ Ta có Ax − tAy = xr − ty r Do x − ty > nên x > ty ⇒ Ax ≥ Aty hay xr ≥ tr y r ⇒ Ax − tAy = xr − ty r ≥ tr y r − ty r = (tr − t) y r Do y ≥ λ nên (tr − t) y r ≥ (tr − t) λr = (tr − t) λr u0 Lại t ∈ (0; 1) r ∈ (0; 1) nên tr > t ⇒ (tr − t) > ⇒ (tr − t) λr > Đặt δ = (tr − t) λr > ta được: Ax − tAy ≥ δu0 Vậy A toán tử K, u0 - lõm quy Chương Sự tồn vectơ riêng toán tử (K, u0)− lõm quy 3.1 Một số định nghĩa Định nghĩa 3.1.1 Giả sử E không gian Banach thực nửa thứ tự nhờ nón K ⊂ E Toán tử A : E −→ E gọi toán tử d− cực trị i, Toán tử A dương đơn điệu nón K; ii, Với dãy (xn ) ⊂ K mà x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn ≤ ; ∃α > 0, ∀n ∈ N∗ : xn ≤ α với dãy (yn ) ⊂ K mà y1 ≥ y2 ≥ ≥ yn ≤ ; ∃α > 0, ∀n ∈ N∗ : yn ≤ α có sup (Axn ) ∈ K inf (Ayn ) ∈ K Định nghĩa 3.1.2 Cho không gian Banach thực E nửa thứ tự nhờ nón K ⊂ E.Toán tử A : E −→ E Toán tử tuyến tính bị chặn Q : E −→ E gọi đạo hàm tiệm cận toán tử A theo nón K cho lim x∈K, x →∞ Ax = Qx + W (x) , ∀x ∈ K, W (x) = x 60 61 Định nghĩa 3.1.3 Cho không gian Banach thực E nửa thứ tự nhờ nón K ∈ E, toán tử A : E −→ E, u0 ∈ K\ {θ} Toán tử tuyến tính P : E −→ E gọi u0 đạo hàm Frêsê toán tử − A điểm θ theo nón K, Ax − Aθ − P x lim x x∈K, x →0 3.2 u0 = Một số định lí tồn vectơ riêng toán tử (K, u0)− lõm quy Định lí 3.2.1 Cho không gian Banach thực E nửa thứ tự nhờ nón K ⊂ E.Toán tử A : E −→ E Toán tử tuyến tính bị chặn Q : E −→ E đạo hàm tiệm cận toán tử A theo nón K Khi Qx ≤ Ax, ∀x ∈ K Chứng minh x = θ ta có Qx = Qθ = θ, Ax = Aθ ≥ θ nên Qθ ≤ Aθ Định lí với x = θ Với x ∈ K\ {θ} nghĩa x > θ, ∀n ∈ N∗ ta có Ax − Qx = x x A nx − Qx n ∈ (0; 1] Mà A toán tử (K, u0 )− lõm quy nên n nx Ax − Qx = A − Qx ≥ Anx − Qx x x n x n 1 = (Anx − nQx) x n Anx − Qnx = nx W (nx) = nx Do n ∈ N∗ ta có Do Ax − Qx W (nx) ≥ x nx (3.1) 62 Cho n → ∞ (3.1) theo định nghĩa đạo hàm tiệm cận toán tử A, ta Ax − Qx ≥0 x ⇒ Ax − Qx ≥ ⇒ Qx ≤ Ax Vậy Qx ≤ Ax, ∀x ∈ K Định lí 3.2.2 Toán tử tuyến tính bị chặn Q : E −→ E đạo hàm tiệm cận toán tử A theo nón K Khi ∀R > toán tử Q1 = R−1 Q đạo hàm tiệm cận toán tử A1 = R−1 A theo nón K có bán kính phổ r (Q1 ) = R−1 r (Q) Chứng minh ∀x ∈ K\ {θ} ta có lim x →∞ R−1 Ax − R−1 Qx A1 x − Q1 x = lim x x x →∞ Ax − Qx = lim R x x →∞ Ax − Qx = lim R x →∞ x W (x) = lim = R x →∞ x Vậy Q1 đạo hàm tiệm cận toán tử A1 theo nón K 63 Mặt khác, theo định nghĩa bán kính phổ r (Q1 ) = lim n Qn1 = lim n (R−1 Q)n = lim n n→∞ n→∞ n→∞ Q Rn n lim n Q n R n→∞ = r (Q) = R−1 r (Q) R = Vậy r (Q1 ) = R−1 r (Q) Định lí 3.2.3 Giả sử u0 ∈ K\ (θ) toán tử (K, u0 )− lõm quy A thỏa mãn điều kiện sau : 1, Toán tử A d− cực trị; 2, Toán tử A bị chặn theo chuẩn bị chặn u0 nón K; 3, Toán tử tuyến tính Q đạo hàm tiệm cận toán tử A theo nón K có vectơ riêng xq ∈ K (u0 ) ứng với giá trị riêng λq > bán kính phổ r (Q) toán tử Q Khi toán tử A có vectơ riêng K (u0 ) Để chứng minh định lý 3.1.3 ta cần bổ đề sau: Bổ đề 3.2.1 Giả sử A toán tử (K, u0 )− lõm quy Nếu với x0 ∈ K (u0 ) dãy xn = Axn−1 , (n = 1, 2, ) tăng tồn x¯ = sup (xn ) ∈ K (u0 ) A¯ x = x¯ Chứng minh Vì x¯ = sup xn nên x¯ ≥ xn Mà A toán tử đơn điệu nên Axn ≤ A¯ x Mặt khác {xn } dãy tăng nên xn ≤ xn+1 = Axn Do xn ≤ A¯ x, n = 1, 2, Cho n → ∞ ta x¯ ≤ A¯ x (3.2) 64 Với n = 1, 2, ta xét ánh xạ hn : R → E t → xn − t¯ x Khi ánh xạ hn liên tục phép cộng vectơ phép nhân vectơ với số không gian định chuẩn E liên tục Xét tập I = {t ∈ R : xn − t¯ x ≥ θ} = {t ∈ R : xn − t¯ x ∈ K} = h−1 n (K) Do K tập đóng E ánh xạ hn liên tục nên h−1 n (K) tập đóng R Suy I tập đóng R Với t ∈ I ta có t ≤ Thật vậy, giả sử t > , t = 1+a, a > Khi ta có xn − t¯ x = xn − (1 + a) x¯ = xn − x¯ − a¯ x ≥ θ, suy xn − x¯ − a¯ x ∈ K Mà x¯ ≥ xn nên x¯ − xn ≥ θ hay x¯ − xn ∈ K Do K nón nên ta có xn − x¯ − a¯ x + x¯ − xn = −a¯ x ∈ K ( vô lí) Vậy t ≤ 1, hay I bị chặn R Do tồn tn = max {t ∈ R : xn − t¯ x ≥ θ}, tn ≤ Hơn nữa, tn > xn , x¯ ∈ K (u0 ) nên tồn α, β > cho αu0 ≤ xn ≤ βu0 αu0 ≤ x¯ ≤ βu0 suy xn ≥ αu0 = α α α α βu0 ≥ ¯ x hay xn − ¯ x ≥ θ Do tn ≥ > β β β β Vậy < tn ≤ Mặt khác dãy số {tn } tăng xn−1 − tn−1 x¯ ≥ θ xn−1 ≥ tn−1 x¯ Axn−1 ≥ Atn−1 x¯ ≥ tn−1 A¯ x xn ≥ tn−1 x¯ xn − tn−1 x¯ ≥ θ 65 suy tn ≥ tn−1 Do tồn lim tn = t ∈ (0; 1] n→∞ Giả sử t ∈ (0; 1) Nhờ tính chất ii) toán tử A ta có At¯ x > tA¯ x ≥ t¯ x ⇒ At¯ x − t¯ x>θ Nhờ tính chất iii) toán tử A ta có ∃δ > : A (At¯ x) − tA¯ x ≥ δu0 hay A2 t¯ x − tA¯ x ≥ δu0 Vì x¯ ∈ K (u0 ) nên tồn β1 > cho x¯ ≤ β1 u0 , suy u0 ≥ Chọn γ = γt δ ta có u0 ≥ x¯ β1 t δ ¯ x β1 A2 t¯ x ≥ tA¯ x + δu0 ≥ t¯ x + γt¯ x = t (1 + γ) x¯ Do xn+2 = A2 xn ≥ A2 tn x¯ = A2 ≥ tn t¯ x t ≥ tn A t¯ x t tn t (1 + γ) x¯ = (1 + γ) tn x¯ t Suy tn+2 ≥ (1 + γ) tn , (n = 1, 2, ) Đặc biệt t2k+1 ≥ (1 + γ) t2k−1 ≥ · · · ≥ (1 + γ)k t1 > 0, (k = 1, 2, ) Suy lim t2k+1 = +∞, mâu thuẫn với điều giả sử t < Vì lim tn = n→∞ k→∞ Mặt khác nhờ tính chất ii) sau nhờ tính chất i) toán tử A ta có tn A¯ x < Atn x¯ ≤ Axn = xn+1 ≤ x¯ Cho n → ∞ ta A¯ x ≤ x¯ (3.3) Từ (3.2) (3.3) suy A¯ x = x¯ Chứng minh định lí 3.1.3 Theo tính chất ii)của toán tử (K, u0 )− lõm quy, với ∀t ∈ (0; 1), 66 xq ∈ K (u0 ) ta có Axq = A t xq t xq t > tA Theo định lí 3.1.1 xq t A ≥Q xq t Theo 3) định lý ta có λq vectơ riêng ứng với giá trị riêng λq > 0, nên xq t Q = λq x q t Do Axq > tA xq t ≥ tQ xq t = tλq xq = λq xq t (3.4) Do xq ∈ K (u0 ), bất đẳng thức (3.4) điều kiện 2,∃α > 0v∀t0 ∈ (0; 1) ta có 1 Axq ≤ u0 λq λq 1 Do ∃β1 = > : αu0 ≤ Axq ≤ β1 u0 ⇒ Axq ∈ K (u0 ) λq λq λq Và t0 Axq − t0 xq > θ λq αu0 ≤ xq < Theo tính chất iii) toán tử (K, u0 )− lõm quy, t0 t0 Axq ∈ K (u0 ), xq ∈ K (u0 ), t0 ∈ (0; 1) cho Axq − t0 xq > θ λq λq ⇒ ∃δ > : A t0 Axq λq − t0 Axq ≥ δu0 t0 Axq λq Ta thấy x0 ∈ K (u0 ) nên ∃α > 0, β > cho αu0 ≤ x0 ≤ βu0 δ δ ⇒ Ax0 − x0 > u0 ≥ x0 λq λq λq β Đặt x0 = 67 ⇒ x0 < Ax0 , λq (1 + η) (3.5) δ > Theo định lí 3.1.2, toán tử Q2 = Q λq β λq (1 + η) đạo hàm tiệm cận toán tử A2 = A với bán kính phổ λq (1 + η) < 1+η Theo định lí 2.2.1, Toán tử A2 có tính chất toán tử A theo (3.5) η = ta có x0 < A2 x0 (3.6) Ta thành lập dãy xn = A2 xn−1 (n = 1, 2, ) Theo bất đẳng thức (3.6) dãy {xn } tăng Thật vậy, Với n = x1 = A2 x0 > x0 (Đúng) Giả sử với n = k tức xk > xk−1 Ta chứng minh với n = k + Ta có: xk+1 = A2 xk > A2 xk−1 = xk Do {xn } tăng Và nhờ điều kiện 2) định lí dãy (xn ) bị chặn theo chuẩn bị chặn u0 λq (1 + η) Từ tính chất d− cực trị A2 , ∃¯ x = sup (xn ) ∈ K (u0 ) Theo bổ đề 3.1.1, A2 x¯ = x¯ hay A¯ x = λq (1 + η) x¯ Vậy ∃λ = λq (1 + η) để A¯ x = λ¯ x Định lí 3.2.4 Giả sử toán tử (K, u0 )− lõm quy thỏa mãn điều kiện sau: 1, Toán tử A d− cực trị,bị chặn theo chuẩn bị chặn u0 nón K; 2, Toán tử tuyến tính dương P u0 − đạo hàm Frêsê toán tử A điểm θ theo nón K có vectơ riêng xp ∈ K (u0 ) tương ứng với giá trị riêng λp > 0; 68 3, ∃λ ∈ (0, λp ) ∃R > cho Ax ≤ λ x , ∀x ∈ K mà x > R Khi đó, toán tử A có vectơ riêng K (u0 ) Để chứng minh định lí 3.1.4 ta cần bổ đề sau: Bổ đề 3.2.2 Ax ≤ P x, ∀x ∈ K Chứng minh Hiển nhiên bổ đề với x = θ Aθ = θ, P θ = θ Giả sử x ∈ K\ {θ} Theo định nghĩa u0 lim+ t→0 P tx − Atx tx lim+ P tx − Atx t − đạo hàm Frêsê u0 = Do t→0 = 0, u0 nghĩa ∀ε > 0, ∃t0 ∈ (0; 1) , ∀t ∈ (0, t0 ] : P tx − Atx t < ε, u0 hay theo định nghĩa u0 − chuẩn, − εu0 ≤ P tx − Atx ≤ εu0 , ∀t ∈ (0; t0 ] t Suy Atx ≥ −εu0 t Atx tAx ⇔ P x ≥ −εu0 + > −εu0 + = −εu0 + Ax t t Nhờ tính chất tùy ý ε > ta P x ≥ Ax Px − Vậy Ax ≤ P x, ∀x ∈ K Bổ đề 3.2.3 P toán tử đơn điệu nón K (3.7) 69 Chứng minh Giả sử x ∈ K, y ∈ K, x ≤ y, ∀t > ta có P ty − P tx t P ty − Aty Aty − Atx P tx − Atx = + − t t t Py − Px = Do A toán tử (K, u0 )− lõm quy nên A toán tử dương đơn điệu nón K Nên có ∀x ∈ K, y ∈ K, x ≤ y, ∀t > ⇒ tx, ty ∈ K : tx ≤ ty ⇒ Atx ≤ Aty, hay Aty − Atx ≥ θ ⇒ Aty − Atx ≥ θ t Do P ty − Aty P tx − Atx − t t Nhờ bất đẳng thức (3.7) ta nhận đẳng thức P y ≥ P x Py − Px ≥ Chứng minh định lí 3.1.4 Do xp ∈ K (u0 ) nên ∃α > 0, β > cho αu0 ≤ xp ≤ βu0 Từ (3.7), (3.8) hệ thức At0 xp − P t0 xp ≥ − (λp − λ) αu0 ≥ − (λp − λ) xp t0 Trong coi ε = (λp − λ) α > chọn t0 tương ứng Do At0 xp At0 xp − P t0 xp = + P xp t0 t0 ≥ − (λp − λ) xp + λp xp = λxp (3.8) 70 Đặt A3 = λ−1 A, x0 = t0 xp , ta có A3 x0 = λ−1 Ax0 = λ−1 At0 xp ≥ λ−1 λxp t0 = xp t0 = x0 Theo định lí 2.2.1, toán tử A3 có tính chất toán tử A nên dãy xn = A3 xn−1 , n = 1, 2, dãy tăng Thật Theo bất đẳng thức (3.6) dãy {xn } tăng Thật vậy, Với n = x1 = A3 x0 ≥ x0 (Đúng) Giả sử với n = k tức xk ≥ xk−1 Ta chứng minh với n = k + Ta có: xk+1 = A3 xk ≥ A3 xk−1 = xk Do {xn } tăng Theo (3.8) điều kiện 1) định lí ta có t0 αu0 ≤ t0 xp = x0 ≤ x1 ≤ ≤ xn ≤ ≤ u0 Kí hiệu M = λ−1 sup Ax , R0 = R + x0 + M x∈K Từ từ điều kiện định lí λ−1 Ax ≤ M < R0 , ∀x ∈ K mà x ≤ R, λ−1 Ax ≤ M0 , ∀x ∈ K mà R < x ≤ R0 Suy xn ≤ R0 (n = 1, 2, ) Do A toán tử d− cực trị nên ∃¯ x = sup (Axn ) ∈ K (u0 ) Thật Axn = λA3 xn = λxn+1 , n = 1, 2, , t0 αu0 ≤ xn+1 ≤ u0 , n = 1, 2, nên ta có: λt0 αu0 ≤ Axn = λxn+1 ≤ λu0 , n = 1, 2, Do Axn ∈ K (u0 ) , n = 1, 2, ⇒ x¯ = sup (Axn ) ∈ K (u0 ) Theo bổ đề 3.1.1, A3 x¯ = x¯ x = x¯ ⇒ A¯ x = λ¯ x Hay λ−1 A¯ Kết luận Qua trình nghiên cứu đạt kết sau: • Hệ thống hóa kiến thức không gian định chuẩn thực Rn , C[a;b] , L[a;b] ; nón K không gian định chuẩn thực E quan hệ thứ tự không gian định chuẩn thực E theo nón K; không gian Banach thực nửa thứ tự; không gian Eu0 ; xét nón K, K (u0 ) , Eu0 ba không gian Rn , C[a;b] , L[a;b] • Đưa khái niệm toán tử (K, u0 ) - lõm, trình bày hệ thống tính chất toán tử (K, u0 ) - lõm lấy ví dụ • Xây dựng khái niệm toán tử (K, u0 ) - lõm quy, trình bày hệ thống tính chất toán tử (K, u0 ) - lõm quy lấy ví dụ • Từ khái niệm tính chất toán tử (K, u0 ) - lõm quy đưa số điều kiện tồn véctơ riêng dương toán tử (K, u0 ) - lõm quy Với lực hạn chế thời gian có hạn, chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong quý thầy cô bạn học góp ý để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! 71 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Minh Chương (chủ biên), Hà Tiến Ngoạn, Nguyễn Minh Trí, Lê Quang Trung (2002), Phương trình đạo hàm riêng, NXB Giáo dục, Hà Nội [2] Nguyễn Mạnh Hùng (2006), Phương trình đạo hàm riêng, Phần 2, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội [3] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [4] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [5] P Boggiatto, Bui Kien Cuong, G De Donno and A Oliaro (2009), "Generalized Spectrograms and τ -Wigner Transforms", Proceeding of Vaxio University, Sweden [6] P Boggiatto, G De Donno and A Oliaro (2008), "Time-Frequency representation of Wigner type and pseudo-differential operators", Preprint, Dipartimento di Matematica di Torino, Italy 72 73 [7] P Boggiatto, G De Donno and A Oliaro (2007), "Uncertainty principle, positivity and Lp -boundedness for generalized spectrograms", Preprint, Dipartimento di Matematica di Torino, Italy [8] L Cohen (1995), Time-Frequency Alalysis, Preprint hall PTR, New Jansen, USA [9] H G Feichtinger and T Strohmer (editors) (1988), Gabor Alalysis and Algorithms: Theory and Applications, Birkh¨auser Boston, USA [10] G B Folland (1989), Harmonic Alalysis in Phase Space, Princeton University Press, Princeton, NJ, USA [11] Karlheinz Gr¨ochenig (2001), Foundation of Time-Frequency Alalysis, Birkh¨auser Boston, USA