Véctơ riêng dương của một lớp toán tử phi tuyến Compact

 1 BỘGIÁODỤCVÀĐÀOTẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2    TRƯƠNG THỊ THÌN    VÉCTƠ RIÊNG DƯƠNG CỦA MỘT LỚP TOÁN TỬ PHI TUYẾN COMPACT Chuyên ngành : To¸n Gi¶i tÝch Mã số : 604601 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀNỘI,2010 2 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Nhà toán học Nga nổi tiếng M.A.Kraxnôxelxki đã nghiên cứu lớp toán tử phi tuyến: Toán tử lõm 1956 . Sau đó giáo s tiến sĩ khoa học I.A.Bakhtin mở rộng các kết quả cho lớp toán tử phi tuyến 0 u lõm. Năm 1987 PGS - TS Nguyễn Phụ Hy phát triển các kết quả của các nhà toán học kể trên cho lớp toán tử phi tuyến mới: Toán tử lõm chính quy, trong đó không yêu cầu toán tử có tính chất 0 u đo đợc. Trong bài báo viết cho tạp chí toán học năm 1987, PGS - TS Nguyễn Phụ Hy đã nghiên cứu về các bài toán: 0 Ax tx Trong đó: A là toán tử của không gian định chuẩn ,X x l phần tử phải tìm, t là tham số thực hay phức. Nh chúng ta đã biết một trong các vấn đề cơ bản đối với bài toán 1 là nghiên cứu về phổ, của toán tử A nói chung nghiên cứu về véctơ riêng của toán tử A nói riêng và điều kiện tồn tại véctơ riêng của toán tử A . Khi A là toán tử tuyến tính đã có rất nhiều công trình nghiên cứu của nhiều nhà khoa học về vectơ riêng của A . Tuy nhiên cha có nhiều công trình nghiên cứu cho lý thuyết toán tử, điều kiện tồn tại của véctơ riêng của A khi A là toán tử phi tuyến. Trong bài báo viết có tạp chí toán học số 2 năm 1987 của PGS - TS Nguyễn Phụ Hy tác giả đã trình bày về những kết quả của véctơ dơng và điều kiện tồn tại của véctơ dơng trên lớp các toán tử lõm chính quy. 3 Từ bài báo đó có thể mở rộng hớng nghiên cứu xem xét về lý thuyết véctơ dơng cho một lớp khác đó là lớp các toán tử phi tuyến compact. Vấn đề đặt ra là trên lớp các toán tử phi tuyến compact thì véctơ dơng có những tính chất gì và điều kiện về sự tồn tại của toán tử compact. Đề tài "Vectơ riêng dơng của một lớp toán tử phi tuyến compact" nhằm mục đích tìm hiểu về tính chất, đặc trng, điều kiện tồn tại của véctơ dơng trên lớp các toán tử phi tuyến compact. Đề tài đợc hoàn thành sẽ là một câu trả lời cụ thể cho câu hỏi vừa nêu ra ở trên. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài luận văn mở rộng một số kết quả của các lớp toán tử 0 u lõm cho một lớp toán tử mới: Toán tử lõm chính quy compact, trong đó không yêu cầu toán tử có tính chất 0 u đo đợc. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung nghiên cứu một số tính chất về véctơ riêng dơng và sự tồn tại về vectơ dơng của toán tử lõm chính quy compact. 4. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu trên lớp các toán tử lõm chính quy, các toán tử phi tuyến compact. 5. Phơng pháp nghiên cứu Sử dụng phơng pháp nghiên cứu giải tích hiện đại, lý thuyết toán tử và các bất biến. 6. Giả thuyết khoa học (hay các đóng góp mới) Nếu giải quyết đợc vấn đề đã nêu ra trong mục lý do chọn đề tài thì đây có thể sẽ là đóng góp mới về lý thuyết toán tử dựa trên cơ sở các bất biến. 4 Nội dung Chơng 1 kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm về không gian định chuẩn thực 1.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.1. Ta gọi là không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) mọi không gian tuyến tính X trên trờng số P (trờng số thực hoặc phức) cùng với một ánh xạ từ X vào tập hợp số thực R , ký hiệu là và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây: 1) 0, 0x X x x x (ký hiệu phần tử không là ); 2) P ;x X x x 3) , .x y X x y x y Các hệ tiên đề 1) 2) 3) trên đợc gọi là hệ tiên đề về chuẩn, số x gọi là chuẩn của véctơ x . Định nghĩa 1.2. Dãy điểm n x của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới x thuộc ,X nếu lim 0, n n x x ký hiệu lim n n x x hay ( ) n x x n . Định nghĩa 1.3. Trong không gian định chuẩn X dãy điểm n x gọi là dãy cơ bản, nếu , lim 0. n m m n x x 5 Định nghĩa 1.4. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ (trong không gian X ). Định nghĩa 1.5. Không gian Banach X trên trờng P R gọi là không gian Banach thực. 1.1.2 Một số không gian Banach thực Ví dụ 1.1. Không gian tuyến tính thực n R với mỗi 1 , , n n x x x R ta đặt 2 2 1 . n x x x 1.1 1) Dễ dàng kiểm tra công thức 1.1 xác định một chuẩn trên . n R 2) n R cùng với chuẩn 1.1 là không gian Banach. Thật vậy: Giả sử 1 k n k x R là dãy cơ bản bất kỳ trong n R ta có 0, 0 :N * 1 , : . n k s i i i k s x xN 1.2 , 1, . k s i x x i n 1.3 Hệ thức 1.2 chứng tỏ 1 k i k x là dãy Cauchy trong R với mỗi 1, .i n 0 0 : lim với 1, . k i i i k x x x i n R 1.4 Đặt 0 0 0 1 2 , , , . n x x x x Từ 1.4 và 1.2 suy ra 2 0 1 . n k i i i x x Do đó lim k k x x trong . n Rn Vậy, n Rn cùng với chuẩn 1.1 là không gian Banach. Ví dụ 1.2. Trong không gian tuyến tính thực [ , ]a b C với mỗi x x t ta đặt , max . t a b x x t 1.5 6 1) Dễ dàng kiểm tra đợc công thức 1.5 là một chuẩn trên [ , ] . a b C 2) [ , ]a b C cùng với chuẩn 1.5 là không gian Banach. Thật vậy: Giả sử 1 n k x t là dãy cơ bản bất kỳ trong [ , ]a b C ta có 0 0 : N , , : max . n m t a b m n N x t x t , , . n m x t x t t a b m n N 1.6 Hệ thức 1.6 chứng tỏ 1 n k x t là dãy cơ bản với mỗi t cố định tùy ý thuộc , .a b Nên với mỗi ,t a b tồn tại lim . n n x t x t Ta nhận đợc hàm số x t xác định trên , .a b Vì hệ thức 1.6 không phụ thuộc ,t a b , cho m ta đợc , . n x t x t n N t a b 1.7 Hệ thức 1.7 chứng tỏ n x t hội tụ đều tới x t trên ,a b , nên x t liên tục trên ,a b . Suy ra , max . n t a b x t x t Vậy, [ , ]a b C là một không gian Banach thực với chuẩn 1.5 . Ví dụ 1.3. Cho không gian tuyến tính thực 0 c gồm tất cả dãy số thực hội tụ về 0 , với mỗi dãy 1 n n x x thuộc 0 c ta đặt n 1 sup . n x x 1.8 Dễ dàng kiểm tra công thức 1.8 cho một chuẩn trên 0 c . Ta chứng minh không gian 0 c là không gian Banach. 7 Thật vậy, giả sử 1 k k n k x x là dãy cơ bản bất kỳ trong 0 c , theo định nghĩa dãy cơ bản, * 0 0 1 0 , : sup . 2 k p k p n n n k k p k x x x x N Suy ra * 0 0 0 , : 1,2,3, . 2 k p n n k k p k x x n N 1.9 Theo tiêu chuẩn hội tụ Cauchy cho dãy số thực, với mỗi 1, 2, 3, n thì dãy 1 k n k x hội tụ tới n x R . Vì hệ thức 1.9 không phụ thuộc ,n chuyển qua giới hạn p trong 1.9 ta có * 0 0 0 : 1,2,3, . 1.10 2 k n n k k k x x n N Đặt , n x x ta chứng minh dãy 0 . n x x c c Thật vậy, nhờ hệ thức 1.10 với 1 0 k k ta có 1 1 1 1, 2, 3, 2 k k k n n n n n x x x x x n và 1 lim 0, 0 k n n x nhỏ tùy ý, nên 0 lim 0 hay . n n n x x x c c Từ 1.10 ta có 1 sup , 2 k n n n x x tức là 1 k k x x k trong không gian 0 .c Vậy không gian 0 c là không gian Banach thực. 1.2 Một số định lí về giá trị riêng của toán tử tuyến tính compact trong không gian định chuẩn thực 8 1.2.1. Các định nghĩa Định nghĩa 1.6. Cho hai không gian tuyến tính thực X và .Y ánh xạ A từ không gian X và không gian Y gọi là tuyến tính, nếu ánh xạ A thỏa mãn các điều kiện sau: 1 2 1 2 1 2 , , ( ) . A x x Ax Ax x x X A x Ax x X R Nhận xét. Ta thờng gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi Y P thì toán tử tuyến tính A thờng gọi là phiếm hàm tuyến tính. Định nghĩa 1.7. Cho hai không gian định chuẩn thực X và .Y Toán tử tuyến tính A từ không gian X và không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số 0C sao cho : x X Ax C x . Định nghĩa 1.8. Cho toán tử tuyến tính bị chặn A từ không gian định chuẩn thực X vào không gian định chuẩn thực .Y Ta gọi chuẩn của toán tử A , ký hiệu A , là số inf 0 : .C Ax C x x X Định lí 1.1. Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn thực X vào không gian định chuẩn thực .Y Ba mệnh đề sau tơng đơng: 1) Toán tử A liên tục; 2) Toán tử A liên tục tại phần tử 0 x nào đó thuộc ;X 3) Toán tử A bị chặn. Chứng minh. 1) 2) Giả sử toán tử A liên tục. Theo định nghĩa, toán tử A liên tục tại mỗi điểm x thuộc ,X do đó toán tử A liên tục tại điểm 0 x thuộc .X 2) 3) Giả sử toán tử A liên tục tại điểm 0 x thuộc ,X nhng toán tử A 9 không bị chặn. Khi đó * : n n n n x X Ax n x N . Hiển nhiên n x , đặt n n n x y n x thì 1 0 n y n n , nghĩa là n y khi n suy ra 0 0n y x x n . Theo giả thiết, ta có 0 0 0 0 n n A y x Ax n Ay n . Nhng 1 1 n n n n x Ay A Ax n x n x . Điều này mâu thuẫn với chứng minh trên. Vì vậy toán tử A liên tục tại điểm 0 x thuộc X thì bị chặn. 3) 1) Giả sử toán tử A bị chặn. Theo định nghĩa, tồn tại 0C sao cho .Ax C x x X 1.11 Lấy một điểm bất kỳ x thuộc X và dãy điểm tùy ý n x trong X hội tụ tới .x Nhờ hệ thức 1.11 ta có 0 . n n n Ax Ax A x x C x x n Do đó A liên tục tại x . Vậy A liên tục. Định nghĩa 1.9. Phần tử 0x gọi là véctơ riêng của toán tử tuyến tính bị chặn A tác dụng trong không gian thực X nếu tồn tại R sao cho .Ax x Khi đó gọi là giá trị riêng tơng ứng với véctơ riêng x của .A Định nghĩa 1.10. Số R gọi là giá trị chính quy của toán tử A nếu tồn tại toán tử ngợc R của toán tử A I là toán tử bị chặn trên toàn không gian ,X trong đó I là toán tử đồng nhất của toán tử .A Số gọi là giá trị phổ của A nếu không là giá trị chính quy . Định nghĩa 1.11. Tập hợp tất cả các giá trị phổ của toán tử A gọi là phổ của toán tử A . Nhận xét. Phổ của toán tử A chứa tất cả các giá trị riêng của toán tử A . 10 1.2.2 Các định lí về giá trị riêng của toán tử tuyến tính Compact Định lí 1.2. Nếu A là toán tử compact tác dụng trong không gian Banach thực ,X thì mỗi số 0 toán tử A chỉ có hữu hạn véctơ riêng độc lập tuyến tính tơng ứng với giá trị riêng mà . Chứng minh. Giả sử toán tử compact A có một dãy vô hạn n x các véctơ riêng độc lập tuyến tính ứng với dãy giá trị riêng n mà n với mọi 1, 2, 3, n . Ta ký hiệu n X là không gian con đóng sinh bởi các véctơ 1 2 3 , , , , n x x x x 1, 2, 3, n . Do đó, với mỗi số tự nhiên 1, 2, 3, n tồn tại phần tử n n y X , 1 n y sao cho 1 1 1 , inf . 2 n n n n x X d y X y x Khi đó dãy n n y bị chặn, nhng dãy n n y A không chứa dãy con nào hội tụ. thật vậy, giả sử 1 n n k k k y a x thì 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n k k k k k k n n k k k k n n k k k k n n n n y a a A Ax x a x a x a x z y trong đó 1 1 1 1 1,2,3, n k n k k n n k z a x X n . Với hai số tự nhiên bất kì , :p q p q ta có: 1 , 2 p q p p q q p q q p p q y y A A y z y z y y z z [...]... 2.5 Toán tử A gọi là lõm nếu 1 A là toán tử dương, đơn điệu và uo đo được trên K 2 x K \ , t 0,1 thì Atx tAx 2.1.1.2 Một số tính chất của toán tử lõm Định lí 2.1 A2 là toán tử lõm nếu A là là toán tử lõm  36 Chứng minh Thật vậy: + x K : Ax K (do A là toán tử dương) A là toán tử dương nên A Ax K A2 x K Vậy A2 là toán tử dương trên K + A2 là toán tử đơn điệu vì: x K , do x Ax ... , từ tính chất bất kì của x G suy ra G Eu0 Vậy, Eu0 G  35 Chương 2 Toán tử lõm chính quy compact 2.1 Toán tử lõm chính quy - Tính chất 2.1.1 Khái niệm toán tử uo lõm 2.1.1.1 Các định nghĩa Cho E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với nón K và phần tử uo K \ Toán tử A tác dụng trong không gian E , M là tập con nào đó của E định nghĩa 2.1 Toán tử A gọi là toán tử dương trên M nếu x M... 2.2 Toán tử A gọi là toán tử dương nghiêm ngặt trên nón K nếu A K \ K \ định nghĩa 2.3 Toán tử A gọi là toán tử đơn điệu trên M nếu mọi x, y M : x y thì Ax Ay định nghĩa 2.4 Toán tử A gọi là uo đo được trên nón K nếu x K \ tồn tại các số thực x 0, x 0 sao cho uo Ax uo Nhận xét Nếu toán tử A là uo đo được trên nón K thì Ax K u0 với x K \ định nghĩa 2.5 Toán tử A... thuẫn với tính compact của toán tử A Vì vậy, chỉ có hữu hạn véctơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng với giá trị riêng mà Định lí 1.3 Giả sử A là toán tử tuyến tính compact tác dụng trong không gian Banach thực X Khi đó, với số 0 bất kỳ ta có hai không gian N ker A .I và R im A .I là hai không gian con hữu hạn chiều và đóng của không gian Banach X Trong đó I là toán tử đồng nhất tác... Axn không có chứa bất kỳ dãy con hội tụ nào Vậy A không là toán tử compact (mâu thuẫn) Định lí 1.5 Phổ của toán tử tuyến tính compact A tác dụng trong không gian Banach thực X chỉ có một số hữu hạn hay đếm được giá trị riêng khác nhau Chứng minh Xét dãy n các giá trị phổ của A Theo hệ quả trên mỗi giá trị phổ của A là giá trị riêng của A nên với mọi n 1 tồn tại xn X sao cho: xn 1 và Axn n... lí 1.4 Giả sử A L X là toán tử compact trên không gian Banach thực X Số 0, R, không là giá trị riêng của A thì không là giá trị 13 phổ của A Nói cách khác phổ của A chỉ gồm các giá trị riêng của A Chứng minh Giả sử 0 không là giá trị riêng của A mà là giá trị phổ của A Khi đó theo định nghĩa thì A I có ánh xạ ngược A I A .I 1 1 và hơn nữa là ánh xạ tuyến tính liên tục từ i... theo giả thiết A là toán tử đơn điệu nên Ax Ay AAx AAy A2 x A2 y + Toán tử A2 là uo đo được trên K x K , theo tính chất uo đo được của toán tử A, 0, 0 sao cho u0 Ax u0 Do A đơn điệu và uo K \ : A u0 A2 x A u0 Do có uo K \ , uo K \ và tính uo đo được của toán tử A : ' 0, ' 0 ' u0 A u0 , A u0 ' u0 ' u0 A2 x ' u0 Vậy toán tử A2 là uo đo được... Chứng minh 1 1 Gọi S là hình cầu đơn vị của N thì với mọi x thuộc S ta có A .I x 0 Ax x 1 1 Suy ra A S S Do hình cầu đơn vị S là tập bị chặn và toán tử A là 1 toán tử compact nên tập S là tập compact tương đối trong N Theo định lý Riesz thì dim N , ta giả sử dim N n và N có cơ sở là e1 ,, en Theo định lý Hahn-Banach tồn tại các phi m hàm tuyến tính liên tục f1 ,, f n xác định... đẳng cấu giữa X và Im A nên X n imA là không gian con đóng của X , n 0, 1, 2, Do vậy tồn tại phi m hàm tuyến tính f sao cho: f X n 1 0 và f Xn 1 1 Tồn tại xn X n : xn 1 và f xn 2 14 (Từ định nghĩa chuẩn của toán tử) xn x f xn x f xn f x x X n1 xn x 1 x X n1 2 Mọi m n : Vì X n là không gian con đóng của X và vì m n nên A xn xm A xm X n1 X n 1 X m X n 1... luôn có x Eu0 Vậy Eu0 là một không gian tuyến tính thực con của không gian X Sau đây ta coi Eu0 là không gian tuyến tính thực độc lập Eu0 có thể trở thành một không gian định chuẩn với chuẩn u được xác định 0 như sau: x Eu0 mà x u0 x x u0 ta đặt x u0 max x , x 1.16 Định lí 1.7 Hệ thức 1.16 là một chuẩn trên Eu0 Chứng minh Thật vậy, ta có: + u là một ánh xạ từ không gian E vào . là nghiên cứu về phổ, của toán tử A nói chung nghiên cứu về véctơ riêng của toán tử A nói riêng và điều kiện tồn tại véctơ riêng của toán tử A . Khi A là toán tử tuyến tính đã có rất. nghiên cứu xem xét về lý thuyết véctơ dơng cho một lớp khác đó là lớp các toán tử phi tuyến compact. Vấn đề đặt ra là trên lớp các toán tử phi tuyến compact thì véctơ dơng có những tính chất. tại của toán tử compact. Đề tài "Vectơ riêng dơng của một lớp toán tử phi tuyến compact& quot; nhằm mục đích tìm hiểu về tính chất, đặc trng, điều kiện tồn tại của véctơ dơng trên lớp