Cấu trúc phô trương của một lớp toán tử phi tuyến compact

1 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hồn thành hướng dẫn tận tình chu đáo PGS TS Nguyễn Phụ Hy, người thầy hướng dẫn bảo cho tác giả kiến thức kinh nghiệm quý báu học tập nghiên cứu khoa học Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Phụ Hy Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, thầy, Tổ Giải tích Khoa Tốn Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi thời gian tác giả học tập nghiên cứu trường Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở GD – ĐT tỉnh Vĩnh Phúc, Phòng Giáo dục huyện Sông Lô, Trường THCS Cao Phong, Đức Bác huyện Sông Lô, tỉnh Vĩnh Phúc tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập hoàn thành luận văn Do điều kiện thời gian khả thân có hạn, nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Kính mong thầy, bạn đọc nhận xét góp ý kiến để luận văn hồn thiện có ý nghĩa thực tiễn cao Hà Nội, tháng năm 2010 Tác giả Nguyễn Đức Thịnh LỜI CAM ĐOAN Trong trình nghiên cứu luận văn: “ Cấu trúc phổ dương lớp toán tử phi tuyến compact ” giúp tác giả hiểu sâu mơn Giải tích Đặc biệt cấu trúc không gian thứ tự nửa thứ tự, cấu trúc phổ số lớp tốn tử phi tuyến Qua giúp tác giả bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Tác giả xin cam đoan luận văn hình thành cố gắng tìm tòi, nghiên cứu thân tác giả, bảo PGS TS Nguyễn Phụ Hy thầy, cô Phòng Sau đại học, Tổ Giải tích Khoa Tốn Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Trong nghiên cứu luận văn, tác giả tham khảo kế thừa thành khoa học, nghiên cứu học viên Cao học, thầy, cô giáo với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2010 Tác giả Nguyễn Đức Thịnh MỤC LỤC Trang Mở đầu Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị ………………………… 1.1 Khái niệm không gian Banach thực …………………………… 1.1.1 Các định nghĩa ……………………………………………… 1.1.2 Một số tính chất đơn giản …………………………………… 10 1.1.3 Một số không gian Banach thực…………………………… 11 1.2 Khái niệm phổ tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Banach thực ……………………………………………………… 16 1.2.1 Các định nghĩa……………………………………………… 16 1.2.2 Một số định lí phổ tốn tử tuyến tính bị chặn………… 17 1.2.3 Phổ số tốn tử tuyến tính…………………………… 20 1.3 Khơng gian Banach thực nửa thứ tự……………………… 24 1.3.1 Khái niệm nón không gian Banach thực……………… 24 1.3.2 Quan hệ thứ tự không gian Banach thực ………… 25 1.3.3 Một số định lí nón ……………………………………… 26 1.3.4 Khơng gian Eu ……………………………………………… 30 1.3.5 Một số không gian Banach thực nửa thứ tự……………… 32 Chương 2: Toán tử u0_lõm tốn tử lõm quy ………… 36 2.1 Tốn tử u0_lõm ………………………………………………… 36 2.1.1 Định nghĩa toán tử u0_lõm định nghĩa liên quan…… 36 2.1.2 Một số toán tử u0_lõm ……………………………………… 36 2.1.3 Điểm bất động toán tử u0_lõm ………………………… 38 2.2 Toán tử lõm quy………………………………………… 2.2.1 Định nghĩa tốn tử lõm quy định nghĩa liên quan…………………………………………………………… Một số tốn tử lõm quy……………………………… Điểm bất động tốn tử lõm quy…………………… Chương 3: Cấu trúc phổ dương củ 3.1 Các định nghĩa………………………………………………… Định nghĩa toán tử compact………………………………… Định nghĩa toán tử compact đơn điệu……………………… Vecto riêng dương giá trị riêng dương……………………… Định nghĩa vecto riêng dương giá trị riêng dương……… Định nghĩa toán tử dương nghiêm ngặt……………………… Một số tính chất đơn giản vecto riêng dương giá trị riêng dương……………………………… Cấu trúc phổ dương tốn tử lõm quy hồn toàn liên tục………………………………… Kết luận Tài liệu tham khảo MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nhiều vấn đề tốn học, vật lí, kỹ thuật dẫn đến việc giải phương trình: Ax   x  y khơng gian định chuẩn X, A tốn tử tuyến tính,  số thực hay số phức, y cho trước thuộc X, x phần tử phải tìm Nội dung chủ yếu tốn việc nghiên cứu phổ toán tử A Việc nghiên cứu phổ toán tử nêu giải từ đầu kỷ 20, gắn liền với tên tuổi nhà khoa học tiếng Hilbert, Banach, Frêsê… Một hướng lớn phát triển lí thuyết phổ lí thuyết khai triển theo vecto riêng toán tử họ hữu hạn toán tử Vấn đề nghiên cứu giải vào năm 40, 50 kỷ 20, gắn liền với tên tuổi nhà khoa học tiếng như: Krein, Beredanxki, Rudin, Iôxida… Từ năm 70 kỷ 20 lí thuyết khai triển theo vecto riêng phát triển cho hệ vô hạn tốn tử liên hợp, hình thành lí thuyết tốn tử tuyến tính khơng gian vơ hạn biến Cơng khai phá phát triển lí thuyết thuộc Viện sĩ Beredanxki học trò ơng Nước ta, thời gian này, tác giả Nguyễn Phụ Hy có đóng góp đáng kể vào lý thuyết phổ toán tử theo hướng Tuy nhiên việc ứng dụng lý thuyết phổ vào ngành kế cận như: Phương trình vi phân tích phân, xác suất thống kê tốn, động lực học, điều khiển, lý thuyết trò chơi, tốn kinh tế, … tốn tử A nói thường khơng phải tuyến tính, lý thuyết Phương trình phi tuyến đời Đặt móng cho lý thuyết nhà toán học Hunggari Banach Kế đến phải nói tới lý thuyết nghiệm dương Phương trình tốn tử phi tuyến cơng trình nhà tốn học Xơ viết tiếng Kraxnơxenxki học trò ơng Các nhà tốn học xét toán tử khác như: toán tử đơn điệu, toán tử đo được, toán tử cực trị, tốn tử có đạo hàm Frêsê hay đạo hàm tiệm cận, toán tử lõm, … Theo hướng nghiên cứu đó, hướng dẫn, giúp đỡ PGS TS Nguyễn Phụ Hy tơi muốn nghiên cứu, tìm hiểu cấu trúc phổ lớp toán tử phi tuyến compact vài ứng dụng tốn phổ thơng Vì tơi chọn đề tài: “ cấu trúc phổ dương lớp toán tử phi tuyến “ Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu cách hệ thống phổ dương lớp toán tử phi tuyến compact vài ứng dụng Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài làm rõ khái niệm không gian Banach thực nửa thứ tự, cấu trúc phổ dương lớp tốn tử phi tuyến lõm quy hồn tồn liên tục tác dụng không gian Banach thực nửa thứ tự Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu cấu trúc phổ dương tốn tử lõm quy hồn tồn liên tục, vận dụng lý thuyết thông qua số ví dụ Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận tài liệu tham khảo Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Toán tử u0_lõm tốn tử lõm quy Chương 3: Cấu trúc phổ dương lớp toán tử phi tuyến compact Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu Phát triển lý thuyết liên quan Xây dựng giả thuyết khoa học, chứng minh Xây dựng ví dụ cụ thể Giả thuyết khoa học Luận văn nghiên cứu sâu cấu trúc phổ dương lớp tốn tử phi tuyến compact, nâng thành đề tài nghiên cứu đề xuất ứng dụng giải vấn đề lý thuyết, thực tiễn phổ toán tử phi tuyến lý thuyết phương trình Vì mục đích nghiên cứu, học hỏi, luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, học viên cao học, người u thích tốn người quan tâm tới lý thuyết, ứng dụng phổ tốn tử phương trình 10 Chơng 1: số kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm không gian Banach thực 1.1.1.Các định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi l không gian định chuẩn ( hay không gian tuyến tính định chuẩn) mt không gian tun tÝnh (hay khơng gian vecto) X trªn trêng P với ánh xạ: || || : X  R x  || x || đọc lµ chuÈn, thoả mãn tiên đề sau: C1, ( x X) || x ||  0, || x || =  x = 0; C2, (  x X) (  α P) || αx || = | α| || x ||; C3, (  x, yX) || x+y ||  || x || + || y || Ta kí hiệu không gian định chuẩn ( X, || || ) X Định nghĩa 1.1.2 Dãy điểm (xn) không gian định chuẩn X gọi hội tơ tíi ®iĨm xX, nÕ lim || x  x || = KÝ n u n hiÖu lim xn = x n Định nghĩa 1.1.3 lim n,m Dãy điểm ( xn ) không gian định chuẩn X gọi dãy = xn x m Định nghĩa 1.1.4 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach, dãy X hội tụ Không gian Banach X gọi không gian Banach thực X không gian tuyn tính trªn trêng sè thùc ( P = R ) Định nghĩa 1.1.5 Tập M  X gọi tập lồi, nếu: x1, x  M   R :     ,  x1  (1   )x2  M Tập rỗng  coi tập lồi Định nghĩa 1.1.6 Tập X0   gọi không gian định chuẩn không gian định chuẩn X, X0 không gian tuyến tính khơng gian X chuẩn xác định X0 chuẩn xác định X Nếu X0 đồng thời tập đóng khơng gian X, X0 gọi khơng gian định chuẩn úng ca khụng gian X 1.1.2.Một số tính chất đơn gi¶n (+) Nếu dãy điểm (xn) hội tụ tới x, dãy chuẩn (|| xn || ) hội tụ tới || x || (+) Nếu dãy điểm (xn) hội tụ khơng gian định chuẩn X, dãy chuẩn tương ứng ( ||xn || ) bị chặn (+) Nếu dãy điểm (xn) hội tụ tới x, dãy điểm (yn) hội tụ tới y không gian định chuẩn X, dãy số  n  hội tụ tới  thì: xn + yn  x + y ( n   ) , n xn   x ( n   ) Định lí 1.1.1 Nếu X0 khơng gian định chuẩn đóng khơng gian định chuẩn X X0  X, với số dương  cho trước tùy ý, tồn phần tử x  X, || x || = 1, cho d( x, X0) = inf || x  y ||    yX Chứng minh Vì X0  X, nên tồn phần tử z  X \ X0 Đặt:   d (z, X )  inf || z  y (1.1.1) || yX Rõ ràng   Thật vậy,   , tồn dãy điểm ( yn )  X cho lim || z  yn ||  , X đóng n nên z  X , điều mâu thuẫn với tính chất phần tử z  X \ X0 Mâu thuẫn chứng tỏ   Giả sử  số tùy ý thuộc khoảng (0;1) Theo định nghĩa cận đúng, với số a =  1 tử ya  X  , tồn phần cho   || z  ya ||    a Đặt x || x  y ||  z  ya , || x || = ta có y  X || z  ya || z  ya  y || z  ya ||  || z  ya  ||  || z  ya || || z  ( ya  || z  ya   a  || y) ||   1   1  Định lý chứng minh 1.1.3.Mét sè không gian Banach thực Ví dụ 1.1.1 Tập hợp số thực không gian Banach thc với chuẩn: || x || = | x |,  x  R ThËt vËy, biết, tập số thực R khơng gian tuyến tính thực Đối với số thực x || x || = | x | (1.1) Nhờ tính chất giá trị tuyệt đối số thực, ta có: +/ x  R, || x ||  | x |  || x ||  | x |   x  +/ x  R,  R, ||  x ||  |  x |  |  | | x |  |  | || x || +/ x, y  R, || x  y ||  | x  y |  | x |  | y |  || x ||  || y || Vậy công thức (1.1) cho chuẩn R Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu R1 Không gian R1 khơng gian Banach, điều có tiêu chuẩn Cauchy hội tụ dãy số thực VÝ dơ 1.1.2 Xét khơng gian tuyến tính thực R n x  (x , x , , x ) : x  R,i  1, 2, , n ,   n i nN , n  Với x  (x1, x2 , , xn )  R || x ||  n x i1 i n ta đặt: (1.2) V× vậy, nu toán tử An  K inf xK ,t 0 || An x  tx ||   n  vecto riªng, thì: Trong tập compact tơng đối An( n K ) lấy _ lới hữu hạn gồm m phÇn tư y1; y2; y3; …; ym ( m  N* ) Trên tập An( K ) xác định toán tử Pn: m y i i Py n i1 , y  An(   K ) m   y  i 11  n  ®ã yy ,  i i  y     y y  n i   0, y  yi  n i = 1; 2; 3; ; m Hiển nhiên, toán tử Pn liªn tơc, Pny thc bao låi cđa  n _ lới y1; y2; y3; ; ym với y  An(   K ) Nªn Py y n  n , y A (  K ) , P n   K ) lªn toán tử chiếu A ( n n không gian ( bao tuyến tính phần tử y1; y2; y3; …; ym ) Do ®ã, t  x   K 0, Pn An x  tx  ta cã: An x  tx  n An x  Pn An x  Suy ra, to¸n tư PnAn vecto K tơng ứng với giá riêng trị riêng dơng Tập giá trị toán tử PnAn chứa không gian hữu hạn chiều E1 E, E1 bao tuyến tính điểm y1; y2; y3; ; ym Kí hiệu K1 K E1 K1 nãn kh«ng gian E1 KÝ G  E1 1 biên hiệu G1 , G1 Hiển nhiên, PnAn xác định K1  E1 Nªn PnAn cã Ýt nhÊt mét vecto riêng K1 Mâu thuẫn Vì khẳng định toán tử An có K vecto riêng xn tơng ứng với giá trị riêng dơng n 0; đợc chứng minh Ax  Ax  n n n u0  x (2) (n  1, 2, 3, ) n n n Theo giả thiết, tập G mở, bị chặn chứa phần tử không gian E, nên r  0, ThËt vËy:  G x   B  x,  x   x  R, R  cho: r      x  r  0, x    G   Gi¶ sư y B  x,  x  Suy ra: r   , suy ra: xy  y     x   K ,  R, y  R n  1, 2,3  n xn Khi ®ã: n  An xn xn Axn  V× A K    u0 n  xn K  u0  sup Ax  u0 xK  M   , n = 1, 2, 3, … r nªn   cho Au0 u0 tính chất lõm chÝnh quy cđa to¸n tư A ta cã: Atu0 t 0;1  tAu0  tu0 , KÝ hiƯu N1 lµ tập hợp tất số tự nhiên n u0 , N2 = N \ N1 cho xn Víi n  N1 ta cã: x  Ax  n n Ax  n n  n  R  Ax  n n n   r  0 Rn   u0  n xn n  N1  Au   u  nr    0  n  N1  TiÕp theo ta chøng    , n  N2 ThËt vËy, gi¶ sư n0  N2  n minh    KÝ hiƯu t0 lµ sè lín nhÊt  t   , t lµ tồn vì: cho: x u n0 n0 0 A x   x n0 n0 n0  Ax n0   x n0 n0  Ax  u u0 n0  n0 u0 n0  n0    xn0   n    u0   n0   Râ ràng t0 > nên: x tu n0 Ax   0  n 0 n0 n   tu u0  0 1  At u  u   0   n0  n 0 u0   n0n u  n0n0 t0u0 u0   xn  n    n0  0  At u 1  Au t 0   n0   xn   t0    u   n n0   M©u thn víi tÝnh chÊt t0 Vì Do n a   R  ,   d   n   , (n  N2 )  n  1, 2,  Nhê tÝnh chÊt compact cđa to¸n tư A cã thĨ coi  n   vµ x  n 1   n Ax  n u0   n n    d  0, x    K , (n ) Chuyển qua giới hạn (2) ta đợc: Ax =  x =>  W   Cuèi cïng ta chøng minh W+  n  1, 2,3, (3) tập đóng Giả sử: v  W  v , , Av  vµ  v u0  n   n n n n Nhờ tính chất liên tục toán tử A ta đợc: Avn n Av v   n   Chun qua giíi h¹n (3) ta đợc: Av v nghĩa v W Định lí 3.3.2 S ( A) u  0  sup S ( A) u , lim  + xW , x 0 u0 Chứng minh Lấy giá trị tùy ý  S  ( A tån u ) t¹i    S ( A), u0 víi  ta cã  x W  + Ax  inf + x Theo định lí 3.3.1, nên: xx u0 xW ,  + x  W cho Ax  x Khi u0  ®ã x 0 u0 Từ suy khẳng định định lí §Þnh lÝ 3.3.3   sup S ( A)  S ( A) u0 u0 0  Chøng minh (A ) Giả sử S x W +  Ax   x HiĨn nhiªn,  toán u0 tử u0 0 0 toán tử lõm quy hoàn toàn liên tục Khi đó, A +   S  ( A), x  W cho Ax =  x x0  x  u u 0 thể có đợc định lí 3.3.1 Định lí 3.3.4 S ( A) u0 ®ã   lim  + xW , x  u0 Chøng minh    , ; 0  0  sup S ( A)  u0 inf x + xW u0 Điều không Theo ®Þnh lÝ 3.3.2, 0  lim+  xW , x u0 hiển nhiên 3.3.1 với tập mở G bất kỳ, bị chặn, chứa phần tử W + u0 E Theo định lí víi biªn  ta cã    ; Giả sử x cho phơng trình Ax nghiệm khác không nón K Khi phân hoạch tập số thực ; thành hai phần Kí hiệu J1 phần chứa , mút ( ), kí hiệu J2 phần chứa Kí hiệu W1 tập nghiệm khác không phơng trình: (5) tơng ứng với phần tử  E Khi ®ã:  Ax W W   + W  W W, u0 + x  W    : x  u0 ThËt vËy, gi¶ sư:  \ J1  J1 ; W2 tập nghiệm lại phơng trình (5) ; x  hc   J1 Ax  x  W1 x W2  hc hc x W1  W2 Gi¶ sư x W1  W2  x   V×:  W    J , 1 \J : x    ;    Ax  Ax  1 2  1  Ax         2  Ax x Vô lí Hơn W1 W2 tập đóng Thật vậy, gi¶ xn  x sư  xn   W1, Khi ®ã   n  cho xn  n Ax , Axn Do A liªn tơc nªn lim Axn  Ax x    n víi   lim n  J1 Do x W1 hay W1 tập đóng n Tơng tự W2 tập đóng Do W1 W2 W1, W2 đóng d (W1, W2  ) nªn: inf xW1 , yW2 x y 0 (6) Kí hiệu V tập mở, bị chặn đó, hợp hình cầu mở bán kính W Do tâm điểm thuộc W , biên V (6) HiĨn nhiªn, 2 nª   W Do phơng trình (5) vô nghiệm, mâu n thuẫn với định lí 3.3.1 Vậy     0  S ( A) u0 ; Định lí 3.3.5 ( A) 0 ; 0  ,   0 S u0 Chøng minh LÊy hai phÇn tư tïy ý 1, 2  S ( A) ,  1  2 Ta chøng minh   ;   u0 S  u0 ( A) ThËt vËy, gi¶ Ax   x , Ax sö: 1  Ta cã to¸n tư x2  x, < x1 Nên 1; x2 y0  2 Ax2  2 A2    x; xW Ax2 ; x1 + Theo định lí 3.2.3, x u0 Ax1  1  Ax1 A toán tử lõm quy hoàn toàn liên tơc, A2 x2  A2 y0 Tõ tÝnh hoµn toàn liên tục x2 toán tử A Ax2 , suy d·y xn = A2xn-1 ( n = 3, 4, 5, ) tăng compact tơng ®èi Do ®ã, tån t¹i d·y    xn  héi tơ tíi x x k n HiĨn nhiªn, x  (n  n , n  2,3, 4, ) x n nk k Cho qua giíi hạn bất đẳng thức k ta đợc x x, n n 2,3, 4,  x nk  x , k  1, 2,3, Ta hai p hÇn tư tïy ý z  xn , (n 2,3, 4, ) , đặc biệt z  x n , (k  1, 2,3, ) k Cho qua giới hạn bất đẳng thức k ta đợc z x , nghÜa lµ x  sup(xn ) x  A2 x  Râ rµng x  K (u0 ) Ax x S Đặt sup S  ( A) u0 ,  u0 nªn theo định lí 2.2.1 ta có: ( A) inf S u0 ( A) Theo định lớ 3.3.3, 0   S ( A) u0 60 Ta chứng minh đợc ( A) u S V× vËy  ; 0   S  u0 (A) ) S+(A) tập mở Định lí 3.3.6 +  {x  W : ( ,  > 0)  v  x Chứng minh + Ta có W   v }, v  K \{  } Vì quan hệ u0 0 thơng ước có tính chất phản xạ, bắc cầu đối xứng, nên quan hệ phân hoạch tập W+ thành lớp đôi không giao nhau, cho hai phần tử thuộc lớp thơng ước với Kí hiệu lớp tương đương là: Wu+ , Wv+ , ,  Su ( A),  Sv ( A), tập hợp giá trị riêng dương tương ứng với vecto riêng dương lớp W+ , W+ , u v Hiển nhiên,   S ( A)   + Su ( A) uW  Theo định lí 3.3.5, Su ( A) Vì S+(A) tập mở  (u , u ) u   inf Su ( A), u   sup Su ( A) KẾT LUẬN Sau nghiên cứu tìm hiểu kỹ cấu trúc phổ dương toán tử lõm quy hồn tồn liên tục đế xuất vài ứng dựng lý thuyết phổ tốn tử nói chung tốn phổ thơng nói riêng, luận văn đạt kết sau: Làm rõ cấu trúc phổ dương lớp tốn tử phi tuyến khơng gian Banach thực nửa thứ tự, lớp tốn tử lõm quy hồn tồn liên tục Tìm hiểu đề xuất số ví dụ ứng dụng cấu trúc phổ, điểm bất động số lớp toán tử phi tuyến (+) Ứng dụng giải vấn đề lý thuyết (+) Một số ví dụ ứng dụng Mặc dù cố gắng, thời gian khả thân có hạn, nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Kính mong thầy giáo, giáo bạn đọc nhận xét, đóng góp ý kiến để luận văn hồn thiện hơn, có ý nghĩa lý thuyết thực tiễn cao Một lần cho phép tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, giáo Khoa tốn, thầy Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt thầy Nguyễn Phụ Hy người tận tình dìu dắt tác giả thời gian hoàn thành luận văn TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Phụ Hy (1987), Các vecto riêng tốn tử lõm quy, Tạp chí tốn học, tập 15 (số 2), (17-23) [2] Nguyễn Phụ Hy (1991), Một số định lí nón khơng gian định chuẩn, Thơng tin Khoa học ĐHSP Hà Nội 2, (số 2), (2-8) [3] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội [4] Nguyễn Xuân Liêm (2005), Hàm thực giải tích hàm (Giải tích đại), NXB Giáo dục ... luận văn: “ Cấu trúc phổ dương lớp toán tử phi tuyến compact ” giúp tác giả hiểu sâu mơn Giải tích Đặc biệt cấu trúc không gian thứ tự nửa thứ tự, cấu trúc phổ số lớp toán tử phi tuyến Qua giúp... phổ thơng Vì tơi chọn đề tài: “ cấu trúc phổ dương lớp toán tử phi tuyến “ Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu cách hệ thống phổ dương lớp toán tử phi tuyến compact vài ứng dụng Nhiệm vụ... kết luận tài liệu tham khảo Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Toán tử u0_lõm toán tử lõm quy Chương 3: Cấu trúc phổ dương lớp toán tử phi tuyến compact Phương pháp nghiên cứu Nghiên