Một số lớp toán tử Schrodinger với phổ hoàn toàn rời rạc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGƠ THỊ HẠNH MỘT LỚP TỐN TỬ SCHRƯDINGER VỚI PHỔ HỒN TỒN RỜI RẠC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Tạ Ngọc Trí HÀ NỘI, 2016 LèI CÁM ƠN Tơi xin gúi lòi cám ơn chân thành sâu sac tói TS Ta Ngoc Trí, ngưòi t¾n tình hưóng dan chí báo cho tơi q trình làm lu¾n văn Thơng qua lu¾n văn này, tơi muon gúi lòi cám ơn đen thay giáo to Giái tích, khoa Tốn, trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i gia đình, ban bè thành viên lóp Tốn Giái Tích Khóa 18 đ®ng viên, giúp đõ tơi hồn thành lu¾n văn Hà N®i, tháng 11 năm 2016 Tác giá Ngơ Th% Hanh LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan lu¾n văn tơi tn làm dưói sn hưóng dan cna TS Ta Ngoc Trí Tơi cam đoan rang so li¾u ket nghiên cúu lu¾n văn trung thnc Các thơng tin trích dan, tài li¾u tham kháo lu¾n văn đưoc chí rõ nguon goc Trong q trình hồn thành lu¾n văn tác giá ke thùa nhung ket cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng 11 năm 2016 Tác giá Ngô Th% Hanh MUC LUC M đau Kien thNc chuan b% 1.1 1.2 Toán tú liên hop, toán tú tn liên hop 1.1.1 Tốn tú tuyen tính 1.1.2 Toán tú liên hop, toán tú tn liên hop Pho cna toán tú 1.2.1 Pho cna toán tú b% ch¾n 1.2.2 Pho cna toán tú khơng b% ch¾n 10 1.2.3 M®t so ket liên quan đen 12 Toỏn tN Schrăodinger 2.1 2.2 18 M®t so đ%nh nghĩa tính chat .19 2.1.1 Phép bien đoi Fourier 19 2.1.2 Toỏn tỳ Schrăodinger tn 22 Pho cna toán tú Schrodinger 24 Toỏn tỳ Schrăodinger dang H0 + V 24 2.2.2 Toỏn tỳ Schrăodinger dang |x | 25 − N 2.2.3 Toán tú Schrodinger dang − + j cho (∀x ∈ X), "Ax"Y ≤ C"x"X Hang so C nhó nhat thóa mãn h¾ thúc "Ax"Y ≤ C"x"X , vói moi x ∈ X goi chuan cna tốn tú A, ký hi¾u "A" hay "Ax"Y "A" = sup , x ∈ X xƒ= "x"X Do ta có nh¾n xét sau Nh¾n xét 1.1.1 1) (∀x ∈ X), "Ax" ≤ "A"."x"; 2) (∀ε > 0)(∃xε ∈ X), ("A" − ε)"xε" < "Axε" Đ%nh lý 1.1.1 (Chuan cúa tốn tú) Cho tốn tú A tù khơng gian đ %nh chuan X vào không gian đ%nh chuan Y Neu tốn tú A b% ch¾n "A" = sup "Ax" = sup "Ax" "x"X ≤1 "x"X =1 Đ%nh lý 1.1.2 (F.Riesz) Moi phiem hàm tuyen tính liên tnc khơng gian Hilbert H đeu có the bieu dien nhat dưói dang f (x) = (x, a), vói moi x ∈ H, phan tú a ∈ H đưoc xác đ%nh nhat bói phiem hàm f "f" = "a" M¾nh đe 1.1.1 Cho A tốn tú tù khơng gian đ%nh chuan X vào khơng gian đ%nh chuan Y Khi ta có m¾nh đe sau tương đương 1) A b% ch¾n; 2) A liên tnc; 3) A liên tnc tai điem 1.1.2 Toán tN liên hap, toán tN tN liên hap Đ%nh nghĩa 1.1.3 Cho X, Y khơng gian Hilbert K, ký hi¾u B(X, Y ) t¾p hop tat cá tốn tú b% ch¾n tù X vào Y , tốn tú A ∈ B(X, Y ) Khi ton tai nhat tốn tú A∗ ∈ B(X, Y ) cho (∀x ∈ X)(∀y ∈ Y ), (Ax, y)Y = (x, A∗ y)X k ... thNc chuan b% 1.1 1.2 Toán tú liên hop, toán tú tn liên hop 1.1.1 Toán tú tuyen tính 1.1.2 Toán tú liên hop, toán tú tn liên hop Pho cna toán tú ... tú Schrodinger cna toán tú Schrodinger Phương pháp nghiên cNu Sú dung phương pháp giái tích hàm đe tiep c¾n van đe Sú dung kien thúc lý thuyet pho, lý thuyet toán tú, toán tú tn liên hop, toán. .. Đoi tưang pham vi nghiên cNu Đoi tưong nghiên cúu: Toán tú Schrodinger, cna toán tú Schrodinger, đ¾c bi¾t đieu ki¾n cna V(x) đe cna tốn tú Schrodinger hồn tồn ròi rac (tài li¾u [6]) Pham vi nghiên