Tài liệu Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Tai lieu, luan van1 of 102 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN An Giang, ngày 20 tháng năm 2019 BÁO CÁO Kết thực sáng kiến kinh nghiệm: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO HỌC SINH GIỎI LỚP 11 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN I SƠ LƯỢC LÝ LỊCH CỦA TÁC GIẢ: Họ tên: Lê Quốc Sang Ngày tháng năm sinh: 09/08/1982 Nơi thường trú: Thị trấn Phú Mỹ, Phú Tân, An Giang Đơn vị công tác: Trường trung học phổ thông Chu Văn An Chức vụ nay: Tổ trưởng tổ Toán, Bí thư Chi KHTN Lĩnh vực cơng tác: chun mơn Tốn II SƠ LƯỢC ĐẶC ĐIỂM TÌNH HÌNH ĐƠN VỊ: Đặc điểm tình hình: Trường THPT Chu Văn An thành lập từ năm 1975, tiền thân trường cấp III Phú Tân, trải qua thập kỷ đội ngũ cán bộ, giáo viên, viên chức ngày lớn mạnh Nhìn chung, máy tổ chức trường THPT Chu Văn An ổn định, tổ chun mơn đồn kết, gương mẫu làm tốt nhiệm vụ giao Trường học nhiều năm liền đánh giá “hồn thành xuất sắc nhiệm vụ” Thành tích đạt năm học 2017-2018 sau:  Chất lượng văn hóa:  Học lực: Giỏi: 304 học sinh, tỉ lệ: 23,68% Khá: 708 học sinh, tỉ lệ: 55,14% Trung bình: 244 học sinh, tỉ lệ: 19% Yếu: 06 học sinh, tỉ lệ: 2,18%  Hạnh kiểm: Tốt: 1265 học sinh, tỉ lệ: 98,52% Khá: 18 học sinh, tỉ lệ: 1,4% Trung bình: học sinh, tỉ lệ: 0,08% khoa luan, tieu luan1 of 102 Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang Trường THPT Chu Văn An Tai lieu, luan van2 of 102 Giáo viên: Lê Quốc Sang  Chất lượng học sinh giỏi cấp tỉnh:  Học sinh giỏi mơn văn hóa cấp tỉnh: 21 giải  Học sinh thi máy tính bỏ túi cấp tỉnh: 07 cấp tỉnh  Chất lượng hoạt động thi:  Tham gia nhiều thi Sở, Huyện tổ chức tích cực, đạt hiệu  Tổ chức Câu lạc bộ:Toán, Ngữ văn, Tiếng Anh, … thành công, học sinh giáo viên hướng dẫn tận tình, tham gia nhiều viết, nhiều tiết mục sáng tạo, phát học sinh có nhiều tiềm triển vọng Tên sáng kiến: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO HỌC SINH GIỎI LỚP 11 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN Lĩnh vực sáng kiến: Tốn học III MỤC ĐÍCH U CẦU CỦA SÁNG KIẾN: Thực trạng cần thiết phải áp dụng giải pháp, sáng kiến: Dãy số, hàm số vấn đề tảng giải tích, lĩnh vực khó rộng, sử dụng nhiều kiến thức khác tốn học Có nhiều tốn dãy số tìm số hạng tổng quát dãy, chứng minh tính chất dãy, tính tổng số hạng dãy, tìm giới hạn dãy,….trong tốn tìm giới hạn dãy thường xuất nhiều kì thi học sinh giỏi, kỳ thi Olympic Những năm gần đây, tốn dãy số xuất đề thi trung học phổ thông quốc gia nên nhiều học sinh không hứng thú với nội dung Tài liệu tham khảo dãy số ít, có nội dung đề cập q cao so với trình độ học sinh phổ thơng khơng chun Do học sinh có nhu cầu tìm hiểu sâu thêm dãy số học sinh có ý định ơn thi học sinh giỏi khó tìm cho tài liệu tham khảo phù hợp Học sinh khối 11 trung học phổ thông không chuyên, đặc biệt học sinh trường THPT Chu Văn An khơng có điều kiện để học hỏi, trao đổi kinh nghiệm thông qua kỳ thi Olympic 30/4, kỷ yếu, trường chuyên tổ chức Thực tế nay, em chủ yếu học tập toán dãy số sách giáo khoa sách tập, gặp toán dãy số kỳ thi học sinh giỏi, em thường lúng túng, khơng tìm lời giải Bài viết tất vấn đề giới hạn dãy số đề cập mà viết đề cập đến số toán tìm giới hạn dãy gặp nhiều kì thi Bài viết khơng phải giáo trình, tài liệu dãy số mà cóp nhặt, ghi nhận thân q trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, đơi mang tính chủ quan Rất mong q thầy, cô, bạn đọc giả xem tài liệu mở tiếp tục triển khai, ghi nhận góp ý cho chưa hay, chưa xác Phần nội dung giải pháp, sáng kiến xoay quanh số tốn tìm:  Giới hạn dãy số cách xác định số hạng tổng quát dãy số  Giới hạn dãy số dạng: un 1  f un  khoa luan, tieu luan2 of 102 Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Tai lieu, luan van3 of 102 n  Giới hạn tổng thường gặp: lim  H x i  i 1  Giới hạn dãy số sinh nghiệm phương trình Nội dung sáng kiến: 2.1 Cơ sở lý luận vấn đề: 2.1.1 Các định nghĩa: 1) Dãy số tăng, dãy số giảm Dãy số un  gọi dãy số tăng un  un 1, n  * Dãy số un  gọi dãy số giảm un  un 1, n  * 2) Dãy số bị chặn Dãy số un  gọi bị chặn tồn số M cho un  M , n  * Dãy số un  gọi bị chặn tồn số m cho un  m, n  * Dãy số un  gọi bị chặn bị chặn bị chặn 3) Cấp số cộng Dãy số un  gọi cấp số cộng un 1  un  d , n   * , d số không đổi, gọi công sai cấp số cộng Nếu dãy số un  cấp số cộng un  u1  n  1d, n  Nếu dãy số un  cấp số cộng tổng Sn  u1  u2   un  n u  un  4) Cấp số nhân Dãy số un  đươc gọi cấp số nhân un 1  un q , n   * , q số không đổi, gọi công bội cấp số nhân Nếu dãy số un  cấp số nhân un  u1.q n 1, n  Nếu dãy số un  cấp số nhân với q  1, q  tổng qn Sn  u1  u2   un  u1 q 2.1.2 Các định lý: 1) Định lý Nếu lim un  a lim un  a 2) Định lý Nếu q  lim q n  khoa luan, tieu luan3 of 102 Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Tai lieu, luan van4 of 102 3) Định lý Cho dãy un  xác định công thức truy hồi un 1  f (un ) , f (x ) hàm số liên tục Khi đó, un   a a nghiệm phương trình f (x )  x 4) Định lý Cho dãy số un  với u1  a số thực cho trước un 1  f (un ) Khi a) Nếu f (x ) hàm số đồng biến x  x un  dãy số tăng b) Nếu f (x ) hàm số đồng biến x  x un  dãy số giảm 5) Định lí Cho dãy số (un ) với u1  a số thực cho trước un 1  f (un ) Khi a) Nếu f (x ) hàm số nghịch biến x  x u2n  dãy số tăng u2n 1  dãy số giảm b) Nếu f (x ) hàm số nghịch biến x  x u2n  dãy số giảm u2n 1  dãy số tăng 6) Nguyên lý kẹp Cho ba dãy số un , vn , wn  cho: n  , n  , n  n  u  v  w  0 n n n  lim  a  lim u  lim w  a  n  n n n  n  7) Tiêu chuẩn hội tụ (Tiêu chuẩn Weierstrass) a) Một dãy số đơn điệu bị chặn hội tụ b) Một dãy số tăng bị chặn hội tụ c) Một dãy số giảm bị chặn hội tụ 8) Định lý LAGRANGE Nếu f (x ) hàm số liên tục đoạn khoảng a;b  tồn c  a; b  cho f '(c )  a;b  , có đạo hàm   f (b )  f (a ) hay f (b)  f (a )  f '(c )(b  a ) b a 2.2 Các dạng toán thường gặp: 2.2.1 Giới hạn dãy số cách xác định số hạng tổng quát dãy số Trong dạng này, chủ yếu áp dụng công thức định nghĩa cấp số cộng, cấp số nhân, công thức tổng n số hạng đầu cấp số cộng, cấp số nhân đặt dãy số phụ Bài toán 1: Cho dãy số un  khoa luan, tieu luan4 of 102 u  xác định bởi:   un 1  un  2n  3, n   Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Tai lieu, luan van5 of 102 Tính giới hạn L  lim un un 1 Bài giải u1  Theo đề suy ra: u2  u1  2.1  u  u2  2.2  … … un  un 1  n  1  Cộng theo vế n đẳng thức ta un   1    n  1  n  1    un   n  1 n  n  1  n  4n   un 1  un  2n   n  2n  L  lim un un 1  n  4n  n n  lim  lim 1 2 n  2n  1  n n Bài toán 2: Cho dãy số un  1  u1   un xác định bởi:   ;n  un 1   3n  2 un   Tính giới hạn L  lim un Bài giải Từ công thức truy hồi suy un 1   3n  2; n  un Từ ta có 1 u1 1   3.1  u2 u1 1   3.2  u3 u2 khoa luan, tieu luan5 of 102 Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Tai lieu, luan van6 of 102 1   3.3  u4 u3 … … 1   n  1  un un 1 Cộng n đẳng thức theo vế ta   1    n  1  n  1   un n  1 n  3n  n    1  n  1  un 2  un  3n  n  Vậy L  lim un  Bài toán Cho dãy số un  u   xác định bởi:  u  un 1  , n   n Tính giới hạn L  lim un Bài giải Ta có un  un 1   2un  un 1   un  1  un 1  1 v  (vn ) cấp số n 1 nhân có số hạng đầu v1  u1   công bội q  Đặt  un  Ta được: 2vn  1    n 1  n 1  Suy     un     1, n       n 1     Vậy L  lim un  lim    1       u  2, u  Bài toán Cho dãy số (un ) xác định sau:   un 2  5un 1  6un , n  (1)  khoa luan, tieu luan6 of 102 Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Tai lieu, luan van7 of 102  u  Tính giới hạn L  lim  n   3n  Bài giải Từ đẳng thức (1), ta có: un 2  2un 1  un 1  2un  Đặt  un 1  2un , n  Khi đó: un 2  2un 1  un 1  2un   1  3.vn  (vn ) cấp số nhân có cơng bội q  số hạng đầu v1  u2  2u1  Suy  v1.q n 1  3n 1, n  Mặt khác, từ đẳng thức (1), ta có: un 2  3un 1  un 1  3un  Đặt wn  un 1  3un , n  Khi đó: un 2  3un 1  un 1  3un   wn 1  2.wn  (wn ) cấp số nhân có cơng bội q  số hạng đầu w1  u2  3u1  1 Suy wn  w1.q n 1  2n 1, n  n 1 u  n 1  2un  Ta có hệ phương trình   un  3n 1  2n 1, n  n  u  3un  2  n 1 n 1    u  3n 1  2n 1  1     n  Vậy L  lim  n   lim  lim          3    3n   Bài toán Cho dãy số (un ) xác định công thức: u  1; u    n un 2  (3n  2).un 1  2(n  1).un , n  * (1)   u  Tính giới hạn L  lim  nn   n.2  Bài giải Từ đẳng thức (1): n.un 2  (3n  2).un 1  2(n  1).un  n un 2  un 1   2(n  1) un 1  un   khoa luan, tieu luan7 of 102 un 2  un 1 n 1  un 1  un Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An n Trang Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Tai lieu, luan van8 of 102 un 1  un , ta được: 1  2vn  (vn ) cấp số nhân có cơng n bội q  số hạng đầu v1  u2  u1  Đặt  Suy  2n 1, n  Khi đó: un 1  un  n.2n 1  un  u1  1.20  2.21  3.22   (n  1).2n 2  un   2.21  3.22   (n  1).2n 2  , n     2un   2.22  3.23   (n  2).2n 2  (n  1).2n 1      2un  un  (n  1).2n 1   22  23   2n 2   un  (n  1).2n 1  (2n 1  2)  (n  2).2n 1   u  1 n 2 (n  2).2n 1    n   L  lim  n   lim  lim   2 n  n.2  n.2n n.2n 1   2.2.2 Giới hạn dãy số dạng un 1  f un  u   u Bài toán Cho dãy số thực (un ) xác định  un  n 1 , n   un 1   (1) Tính giới hạn L  lim un Bài giải Bằng phép quy nạp toán học, ta chứng minh un  0, n  , dãy (un ) bị chặn Từ hệ thức (1), ta suy được: * n   , un 1  un  un un2   un   un3 un2   , dãy (un ) dãy số giảm Do (un ) giảm bị chặn nên theo Tiêu chuẩn Weierstrass có giới hạn Giả sử lim un  a a  Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n   ta có: a a a 1 khoa luan, tieu luan8 of 102 a 0 Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Tai lieu, luan van9 of 102 Vậy L  lim un  u   Bài toán Cho dãy số thực (un ) xác định  1 2019  , n  (1) un  un 1    un 1   Tính giới hạn L  lim un Bài giải Bằng phép quy nạp toán học, ta chứng minh un  0, n  Mặt khác, ta lại có: 1 2019  2019 un  un 1   2019 , dãy (un ) bị chặn   un 1  un 1  un 1 Từ hệ thức (1), ta suy được: 2019  un2  2019  n   , un 1  un  un   , dãy (un )   un   un  2un * dãy số giảm Do (un ) giảm bị chặn nên theo Tiêu chuẩn Weierstrass có giới hạn Giả sử lim un  a a  2019 Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n   ta có: a  2019    a  2019 a  2 a  Vậy L  lim un  2019 Bài toán Cho dãy số thực x n  x  2019  xác định bởi:   x n 1  , n    3x n  Tính giới hạn L  lim x n Bài giải Xét hàm số f x   , ta có f ' x    suy f hàm tăng  3x 4  3x  Tính tốn trực tiếp ta có x  x , dãy x n  n 2 khoa luan, tieu luan9 of 102 tăng Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An (1) Trang Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Tai lieu, luan van10 of 102 Dễ dàng chứng minh qui nạp ta x n  , với n  (2) Từ (1) (2) suy dãy có giới hạn Gọi a giới hạn dãy a  a nghiệm phương trình a  f a   a  Vậy L  lim x n  1 a   3a u  2019   un Bài toán Cho dãy số thực un  xác định bởi:  , n  * (1) un 1    un2   Tính giới hạn L  lim un Bài giải Bằng quy nạp chứng minh un  3, n  Giả sử un  có giới hạn a a  a nghiệm phương trình a 3 a a2    a    a  3a  a2 a2    a 2 a  3a  1   a  a  3a   Xét hàm số f (x )   Ta có: f '(x )   x x 1 x  1    3a    15  3;  , un 1  f (un ) f (a )  a  f '(x )  2 , x   3;   Xét hiệu sau kết hợp với định lý Lagrange ta suy ra: khoa luan, tieu luan10 of 102 Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 10 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Tai lieu, luan van11 of 102 un 1  a  f (un )  f (a )  f '(cn ) un  a  (cn  un ; a   cn  a; un ) = f '(cn ) un  a  n  u1  a < un  a < <    2  2  n  u a Như ta có:  un 1  a    2   n  u1  a  mà lim  n    2  nên lim un 1  a   lim un 1  a   n  n   lim un  lim un 1  a n  n  Vậy dãy số un  có giới hạn hữu hạn n   lim un  n   15 Bài toán 10 Khảo sát hội tụ dãy số thực an  cho a1  a  0, an 1  , n  *  an Bài giải Chứng minh qui nạp ta an   0;1 Với f x   1 , x   0;1 an 1  f an  f ' x   0 1x 1  x     x  Xét g x   f f x   f  , x  0;1 , g x  hàm tăng 1  x   x   (1) Đối với dãy a2n 1  ta có   g a2n 1   f f a2n 1   f a2n 2   a2n 3  a2n 11 (2) Từ (1) (2) suy dãy a2n 1  đơn điệu bị chặn 0;1 nên a2n 1  hội tụ đến k , tương tự dãy a2n  hội tụ đến l Do k l nghiệm dương phương trình g x   x hay k l  1 Vậy lim an  khoa luan, tieu luan11 of 102 1 Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 11 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Tai lieu, luan van12 of 102 Bài toán 11 Cho dãy số x n  x  a  xác định  xn 1  3xn3  7x n2  5x n , n   Tìm tất giá trị a để dãy x n  có giới hạn hữu hạn Bài giải Nếu dãy có giới hạn k k nghiệm phương trình 3k  7k  5k  k  k  0; k  1; k  Xét hàm số f x   3x  7x  5x Khi dãy cho có dạng x n 1  f x n , n   *  5 Ta có f ' x   9x  14x   x  1x     f x   x  3x  7x  4x  x x  13x  4 , suy x  x  f x   x  x x  13x  4 Ta có bảng biến thiên sau Trường hợp a  Từ bảng biến thiên suy x n  x  x ; f tăng nên x n  dãy giảm   Giả sử lim x n  b b  0;1;  b  a , a  nên không tồn b   Suy dãy khơng có giới hạn a  Trường hợp a  Khi dãy x n  dãy lim x n  Trường hợp a  khoa luan, tieu luan12 of 102 Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 12 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Tai lieu, luan van13 of 102 4  Từ bảng biến thiên suy x n   ;  x  x f tăng nên x n  dãy    4  tăng Nếu tồn giới hạn dãy b b  0;1;  b  a , a  nên  3  không tồn b Suy dãy khơng có giới hạn a  Trường hợp a  Khi dãy x n  dãy lim x n   4 Trường hợp a  0;     4 Từ bảng biến thiên suy x n  0;    x n 1   x n  1 3x n  1  x n   4 (do x n  0;  nên x n  13x n  1  )   Bằng phương pháp qui nạp ta thu x n 1   a   , suy x n  có giới hạn n 2.2.3 Giới hạn tổng thường gặp  H x i  i 1 Cho dãy số x n  f x n 1 , n  Để tính giới hạn n  H x i  (trong i 1 H x i  biểu thức theo số hạng dãy cho) ta thực theo bước sau Bước Chỉ lim x n   n Bước Tính  H x i  i 1 n Bước Tìm lim  H x i  i 1 khoa luan, tieu luan13 of 102 Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 13 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Tai lieu, luan van14 of 102 Bài toán 12 Cho dãy số x n  x   thoả mãn  x n 1  2019x n2  x n , n   x x2 x n    Tìm L  lim      x x x n 1  Bài giải Bước (có thể sử dụng định nghĩa tính chất dãy đơn điệu) Ta có x n 1  x n  2019x n2  n  1,2,  nên dãy x n  dãy tăng dãy dương Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn a a  2019a  a  a  (vô lý) Vậy lim x n   Bước Ta có x k 1  2019x k2  x k  Suy x1 x2  x2   x3 xn x n 1 xk x k 1    1     2019  x k x k 1   1     2019  x1 x n 1  x x x  Vậy L  lim     n    x x x n 1  2019 Bài toán 13 Cho dãy số x n   x   xác định    x n21  4x n 1  x n 1 x n  , n   n i 1 x i2 Chứng minh dãy yn  với yn   có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Bài giải Nhận thấy x n  0, n  Ta có x n  x n 1  x n2 1  4x n 1  x n 1  x n 1  2x n 1 x n2 1  0, n   4x n 1  x n 1 Do dãy x n  dãy tăng khoa luan, tieu luan14 of 102 Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 14 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Tai lieu, luan van15 of 102 a  4a  a Giả sử lim x n  a suy a  a   a  (vơ lí) Vậy lim x n   Từ x n  x n2 1  4x n 1  x n 1  x n2  x n  1 x n 1  n i 1 x i2 Suy yn    x 12   x n2  , n  2, 3, x n 1  , n  xn 1  1 1 1 1              x 12  x x   x x   x n 1 x n  1 1    , n  x1 x n xn Vậy yn  có giới hạn hữu hạn lim yn  2.2.4 Giới hạn dãy sinh phương trình Bài tốn 14 Xét phương trình 1 1       x  4x  k x 1 n x 1 n số nguyên dương 1) Chứng minh với số nguyên dương n , phương trình có nghiệm 1;  ký hiệu nghiệm x n 2) Chứng minh lim x  n  n Bài giải 1) Chứng minh với số nguyên dương n, phương trình có nghiệm 1;  Xét phương trình x  1;  1 1       với x  4x  k x 1 n x 1 (1) 1 1 (1)  fn (x )         0 x  4x  k x 1 n x 1 (2) Khảo sát tính đơn điệu fn (x ) 1;  Dễ thấy f (x ) liên tục 1;  khoa luan, tieu luan15 of 102 Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 15 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Tai lieu, luan van16 of 102 Do   k2 n2  ' fn (x )          x  12 4x  12 n 2x  k x 1          0, x  1;       nên fn (x ) nghịch biến x  1;  (3) Xét tồn nghiệm phương trình (2) 1;   lim f (x )     n x 1 Do fn (x ) liên tục 1;     lim f (x )   x  n (4) Từ (3) (4) suy với số nguyên dương n, phương trình có nghiệm 1;  2) Ký hiệu nghiệm x n Chứng minh lim x n  n  So sánh fn (x n ) fn (4) , ta có 1 1 fn (4)         2 2 1 1 2k   2n   1 1 1 1    1           2 3 2k  2k  2n  2n  1  1 0 2n  1 Do fn (x n )  nên fn (x n )  fn (4) Do fn (x ) nghịch biến 1;  fn (x n )  fn (4) nên theo định nghĩa tính đơn điệu suy x n  Lại tiếp tục đánh giá x n Áp dụng định lý Lagrange cho fn (x n ) x n ;  , ta suy với số n nguyên dương, tồn cn  x n ;  cho fn 4  fn (x n )  fn' (cn )(4  x n )  fn' (cn )  khoa luan, tieu luan16 of 102 1 2n  14  x n  Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 16 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Tai lieu, luan van17 of 102 Mặt khác     2 k n   1 ' fn (cn )         2 2  c  1 4cn  1 k 2cn  n 2cn    n    (Do  x n  cn    cn  1    1 cn  1    ) nên 1    xn   2n  14  x n  2n  1 Tóm lại ta ln có: 4  x n  với số nguyên dương n 2n  1 (5) Từ (5) theo nguyên lý kẹp ta suy lim x n  n  Bài toán 15 Xét phương trình n số ngun dương 1 1       0 2x x  x  x k x  n2 1) Chứng minh với số nguyên dương n , phương trình có nghiệm 0;1 ký hiệu nghiệm x n 2) Chứng minh tồn giới hạn hữu hạn lim x n n  Bài giải 1) Chứng minh với số nguyên dương n , phương trình có nghiệm 0;1 Xét phương trình x  0;1 Đặt fn (x )  1 1        với 2x x  x  x k x  n2 (1) 1 1       2x x  x  x  k2 x  n2 Khảo sát tính đơn điệu fn (x ) 0;1 Do   1 ' fn (x )        2x 2 x  12 x  k2   khoa luan, tieu luan17 of 102      0, x  0;1     2  x n     Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 17 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Tai lieu, luan van18 of 102 nên fn (x ) nghịch biến 0;1 (2) Xét tồn nghiệm phương trình (1) 0;1  lim f (x )     n Do fn (x ) liên tục 0;1 x   lim fn (x )   x 1 (3) Từ (2) (3) suy với số nguyên dương n , phương trình có nghiệm 0;1 2) Chứng minh tồn giới hạn hữu hạn lim x n n  Khảo sát tính đơn điệu bị chặn x n  Với số nguyên dương n ta có: 1 1 1        2x n x n  x n  xn  k x n  n x  n  12 n 1  fn (x n )   fn 1(x n )   (do  x n  1) 2 x n  n  1 x n  n  1 fn 1(x n )  Mặt khác lim fn 1(x )   fn 1(x ) nghịch biến 0; x n  nên suy x  0 phương trình fn 1(x )  có nghiệm 0; x n  , gọi nghiệm x n 1 Do 0; x n   0;1 nên  x n 1  x n Dãy x n  dãy đơn điệu giảm bị chặn nên tồn giới hạn hữu hạn lim x n  n Bài tốn 16 Xét phương trình x n  x  x   n số nguyên dương n  1) Chứng minh với số nguyên dương n  , phương trình có nghiệm dương ký hiệu nghiệm x n 2) Tìm lim x n  n Bài giải 1) Chứng minh với số nguyên dương n  , phương trình có nghiệm Xét phương trình x n  x  x    x n  x  x   x  0, n  2 suy phương trình có nghiệm x  khoa luan, tieu luan18 of 102 Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An (1) Trang 18 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Tai lieu, luan van19 of 102 Đặt fn x   x n  x  x  1, x  1, n  2 Khảo sát tính đơn điệu fn (x ) 1;  Do fn '(x )  nx n 1  2x  1, fn "(x )  n n  1 x n 2   n  3, x  1 Suy fn '(x )  fn' 1  n    0, n  3 nên fn (x ) đồng biến x  1;  (2) Xét tồn nghiệm phương trình 1;   lim f (x )  2   n Do fn (x ) liên tục 1;   nên x 1  lim fn (x )  2n     0, n  x 2 tồn x  1;2 cho fn (x )  (3) Từ (2) (3) suy với số ngun dương n , phương trình có nghiệm 1;2 2) Ký hiệu nghiệm x n Chứng minh lim x n  n  Do x n nghiệm phương trình (1) nên : x nn  x n2  x n    x n  n x n2  x n    Theo bất đẳng thức Cơ-si, ta có: xn  n x n2  x n   n xn2  xn  1.1  x n2  x n  1  1   1  n sô n  x n2  x n  n n Kết hợp với x n  , với n  1, ta được: x n2  x n  Từ (4) (5) suy ra:  x n   n 1 sô (4) (5) n  6 Do lim 1    theo nguyên lý kẹp suy lim x n  n   n  n   Bài tốn 17 Xét phương trình x n  x  n n số nguyên dương n  1) Chứng minh với số ngun dương, phương trình có nghiệm dương ký hiệu nghiệm x n khoa luan, tieu luan19 of 102 Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 19 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Tai lieu, luan van20 of 102 2) Chứng minh dãy có giới hạn tìm giới hạn lim x n n  Bài giải 1) Chứng minh với số nguyên dương n  , phương trình có nghiệm dương Xét phương trình: x n  x  n Khảo sát tính đơn điệu fn (x )  x n  x  n, x  Dễ thấy fn x   0, x  0;1   (1) Do fn' (x )  nx n 1   với x  1;  nên fn (x ) hàm số đồng biến 1;   (2)  f (1)  n  n  Do fn (x ) liên tục  0;   nên tồn x  1; n   fn (n )  n n  2n   cho fn (x )  (3) Từ (2) (3) suy với số nguyên dương n  , phương trình có nghiệm 1;n  2) Ký hiệu nghiệm x n Tìm lim x n  n Do x n nghiệm phương trình (1) nên x nn  x n    x n  n x n  n  n 2n Vì lim n n  2n  , theo nguyên lý kẹp ta lim x  n  n Vậy lim x n  n  Bài tốn 18 Xét phương trình x n  x n 1   x   với n số nguyên dương n  1) Chứng minh với số nguyên dương n  , phương trình có nghiệm dương ký hiệu nghiệm x n 2) Tìm lim x n  n Bài giải 1) Chứng minh với số nguyên dương n  , phương trình có nghiệm dương Xét phương trình: x n  x n 1   x   khoa luan, tieu luan20 of 102 Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An (1) Trang 20 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Tai lieu, luan van21 of 102 Khảo sát tính đơn điệu fn (x )  x n  x n 1   x  0;  Dễ thấy f (x ) liên tục  0;   Do fn' (x )  nx n 1  n  1 x n 2    với x  0;  n  nên fn (x ) hàm số đồng biến  0;  (2) Xét tồn nghiệm phương trình (1)  0;   f (0)  1  n  Do fn (x ) liên tục  0;   nên tồn x  0;1    fn (1)  n    cho fn (x )  (3) Từ (2) (3) suy với số nguyên dương n  , phương trình có nghiệm 0;1 2) Ký hiệu nghiệm x n Tìm lim x n  n Do x n nghiệm phương trình (1) nên: x n  x n  x n2   x nn  (4) Vì x n  nên từ (4) suy ( x n ) dãy giảm, mặt khác lại bị chặn 0, nên tồn giới hạn hữu hạn lim x n  a (5) n  Ta lại có:  x n  x n2 (4), (5) suy 1a Vậy lim x n  n    x nn  xn  x nn  xn lim x nn  nên kết hợp với n  1 a  1a 2 IV HIỆU QUẢ ĐẠT ĐƯỢC: Bản thân mang đề tài giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi Toán khối 11 trường THPT Chu Văn An năm qua Sau trình học tập em làm quen với toán dãy số từ đơn giản đến nâng cao, cách giải tự nhiên theo chiều hướng dễ tiếp cận Chất lượng đội tuyển học sinh giỏi Toán trường nâng lên rõ rệt Kết thi học sinh giỏi năm qua sau:  Năm học 2013 – 2014: Học sinh giỏi cấp tỉnh: giải ba Vào vòng 2: học sinh  Năm học 2014 – 2015: khoa luan, tieu luan21 of 102 Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 21 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Tai lieu, luan van22 of 102 Học sinh giỏi cấp tỉnh: giải nhất, giải Vào vòng 2: học sinh Học sinh giỏi cấp quốc gia: học sinh  Năm 2015-2016: Học sinh giỏi cấp tỉnh: giải nhất, giải nhì, giải ba Vào vòng 2: học sinh  Năm 2016-2017: Học sinh giỏi cấp tỉnh: giải ba Vào vòng 2: học sinh  Năm 2017-2018: Học sinh giỏi cấp tỉnh: giải nhì, giải ba Vào vòng 2: học sinh V MỨC ĐỘ ẢNH HƯỞNG: Giáo viên trường trung học phổ thông khơng chun ngồi tỉnh áp dụng sáng kiến để giảng dạy cho học sinh giỏi khối 11, đặc biệt áp dụng để giaing3 dạy cho đội tuyển học sinh giỏi tốn trường Học sinh khối lớp 11 có nhìn bao qt cách giải toán dãy số thuộc chương trình trung học phổ thơng khơng chun, từ giúp em tự tin đứng trước toán dãy số VI KẾT LUẬN: Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh giỏi lớp 11, chủ yếu hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung trình bày Tơi thấy em học sinh tự tin đứng trước toán dãy số phép biến đổi dãy số góp phần đáng kể nâng cao khả tư duy, yêu cầu cần thiết người học Tốn nói riêng học mơn tự nhiên nói chung Tơi vui nhiều năm gần đây, học sinh giỏi toán khối 11 trường THPT Chu Văn An tập làm quen cách tiếp cận toán dãy số cách tự nhiên, em khơng cịn ngán ngại gặp câu dãy số đề thi học sinh giỏi Điều góp phần làm cho chất lượng học sinh giỏi Toán trường ngày nâng cao năm vừa qua Với thời gian ngắn nên việc thực đề tài khó tránh khỏi thiếu sót Một lần nữa, tơi mong góp ý chân tình quý thầy, cô bạn đồng nghiệp Xin chân thành cám ơn! Xác nhận đơn vị áp dụng sáng kiến Người viết sáng kiến Lê Quốc Sang khoa luan, tieu luan22 of 102 Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 22 Trường THPT Chu Văn An Tai lieu, luan van23 of 102 Giáo viên: Lê Quốc Sang TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Huy Khải Các toán dãy số NXBGD 2007 [2] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Thủy Thanh Giới hạn dãy số & hàm số NXBGD 2002 [3] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Văn Tiến Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi THPT NXBGD 2009 [4] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 năm [5] Tô Văn Ban Giải tích tập nâng cao NXBGD 2005 [6] Các diễn đàn toán học http://diendantoanhoc.net/ http://mathscope.org/ http://k2pi.net.vn/ http://boxmath.vn/forum/ http://www.mathvn.com/ http://www.vnmath.com/ http://www.hexagon.edu.vn/ http://artofproblemsolving.com/community/c89 khoa luan, tieu luan23 of 102 Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 23 ... luan11 of 102 1 Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 11 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Tai lieu, luan van12 of 102 Bài toán 11 Cho. .. luan, tieu luan13 of 102 Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 13 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Tai lieu, luan van14 of 102 Bài toán. .. tieu luan21 of 102 Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 21 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Tai lieu, luan van22 of 102 Học sinh giỏi