TÌM HIỂU MỘT SỐ LỚP TOÁN TỬ KÉO THEO VÀ ỨNG DỤNG MỘT VÀI BÀI TOÁN CỦA CƠ SỞ DỮ LIỆU MỜ

Các phép toán cơ bản của logic mờ Như các toán tử được định nghĩa trong tập hợp cổ điển, các toán tử tương tự như thế cũng được định nghĩa trên tập hợp mờ.. Đó là phép hội, phép tuyển c

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

TÌM HIỂU MỘT SỐ LỚP TOÁN TỬ KÉO THEO VÀ ỨNG DỤNG MỘT VÀI BÀI TOÁN CỦA CƠ SỞ DỮ

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

MỞ ĐẦU 4

CHƯƠNG 1 5

PHÉP KÉO THEO 5

1.1 Tập mờ và quan hệ mờ 5

1.1.1 Tập mờ 5

1.1.2 Số mờ 5

1.1.3 Các phép toán đại số trên tập mờ 6

1.1.4 Các phép toán cơ bản của logic mờ 6

1.1.4.1 Phép phủ định 7

1.1.4.2 Phép hội 7

1.1.4.3 Phép tuyển 9

1.1.4.4 Luật De Morgan 9

1.1.5 Quan hệ mờ 9

1.1.5.1 Quan hệ mờ và phép hợp thành 9

1.1.5.2 Phép hợp thành 10

1.2 Phép kéo theo 11

1.2 1 Định nghĩa phép kéo theo : 11

1.2.2 Các loại phép kéo theo mờ 12

1.2.3 Sự phân lớp các phép kéo theo mờ 16

1.3 Suy luận mờ với phép kéo theo 19

1.3.1 Các mệnh đề mờ 19

1.3.1.1 Các liên kết logic 19

1.3.1.2 Phủ định trong các mệnh đề mờ 21

1.3.2 Các luật mờ 22

1.3.2.1 Biểu biễn của luật mờ 22

1.3.2.2 Sự kết hợp giữa các luật mờ 22

1.3.3 Suy luận mờ 23

1.3.3.1 Luật hợp thành suy diễn 24

1.3.3.2 Sự suy rộng modus ponens và modus tollens 24

1.3.3.3 Tiêu chuẩn để suy rộng modus ponens 25

1.3.3.4 Suy diễn một luật dựa trên T-implication 27

CHƯƠNG 2 30

T-CHUẨN CÓ NGƯỠNG VÀ PHÉP KÉO THEO CÓ NGƯỠNG 30

2.1 T- chuẩn có ngưỡng 30

2.1.1 T-chuẩn và hàm sinh 30

2.1.2 t-chuẩn có ngưỡng 31

2.1.3 t-conorm có ngưỡng 33

2.1.4 Bộ ba De Morgan 33

2.1.5 t-chuẩn có ngưỡng và các hàm sinh 34

2.1.6 Các phương pháp suy diễn mờ sử dụng t-chuẩn có ngưỡng 36

2.2 Phép kéo theo có ngưỡng 38

CHƯƠNG 3 40

CƠ SỞ DỮ LIỆU MỜ VÀ LUẬT KẾT HỢP MỜ 40

3.1.Cơ sở dữ liệu mờ 40

3.1.1 Đại số gia tử và lập luận xấp xỉ 40

3.1.2 Lập luận xấp xỉ dựa trên đại số gia tử 42

3.1.3 Tính mờ của một giá trị ngôn ngữ 42

3.1.4.Xây dựng hàm định lượng ngữ nghĩa trên cơ sở độ đo tính mờ của gia tử 43

3.1.5 Xây dựng quan hệ đối sánh trong miền trị của thuộc tính 43

3.1.5.1 Phân hoạch dựa trên độ đo mờ của các giá trị ngôn ngữ trong đại số gia tử 44

3.1.5.2 Xấp xỉ các giá trị ngôn ngữ trong phân hoạch 44

3.1.6 Một số cách tiếp cận mô hình cơ sở dữ liệu mờ 48

3.2 Luật kết hợp mờ 49

3.2.1 Luật kết hợp 49

3.2.1.1 Ý nghĩa của luật kết hợp 49

3.2.1.2 Một số hướng tiếp cận trong khai thác luật kết hợp 49

3.2.1.3 Khai thác luật kết hợp 50

3.2.1.4 Thuật toán Apriori nhị phân để tìm kiếm các tập thường xuyên 58

3.2.1.5 Luật kết hợp có thuộc tính số và thuộc tính hạng mục 60

3.2.1.6 Phương pháp rời rạc hoá dữ liệu 61

3.2.2 Luật kết hợp mờ 62

3.2.2.1 Mô tả bài toán 62

3.2.2.2 Không gian tìm kiếm 65

3.2.2.3 Thuật toán 68

CHƯƠNG 4 72

BƯỚC ĐẦU ỨNG DỤNG PHÉP KÉO THEO VÀO TÍNH TOÁN LUẬT KẾT HỢP MỜ 72

4.1 t-chuẩn có ngưỡng và độ ủng hộ 72

4.2 Độ quan trọng 73

4.3 Độ chắc chắn 74

4.4 Cài đặt thuật toán F-Apriori 75

KẾT LUẬN 78

Những vấn đề đã được giải quyết trong luận văn 78

Công việc nghiên cứu trong tương lai 78

TÀI LIỆU THAM KHẢO 79

PHỤ LỤC 82

CHƯƠNG 1

PHÉP KÉO THEO

1.1 Tập mờ và quan hệ mờ

1.1.1 Tập mờ (Fuzzy set)

A là tập mờ trên không gian nền U nếu A được xác định bởi hàm:

A là hàm thuộc(membership function), A(x) xác định mức độ thuộc của x vào tập mờ A

Ví dụ 1: Xét một tập à bao gồm những người TRẺ, như vậy ở đây sẽ không có ranh giới rõ ràng để khẳng định một người có là phần tử của à hay không, ranh giới đó là mờ Ta chỉ có thể nói một người sẽ thuộc tập hợp à ở một mức độ nào đó Chẳng hạn chúng ta đồng ý với nhau một người 35 tuổi thuộc về tập hợp à với độ thuộc là 60% hay 0.6 Ta có hình vẽ sau:

a M chuẩn hoá, tức là có điểm x‟ sao cho M(x‟) = 1

b Ứng với mỗi  R1 , tập mức {x: M(x)  } là đoạn đóng trên R1

1.1.3 Các phép toán đại số trên tập mờ

Cho A và B là hai tập mờ trên không gian nền U

Phép hợp: Phép hợp của hai tập mờ A và B, kí hiệu là A  B là một tập

1.1.4 Các phép toán cơ bản của logic mờ

Như các toán tử được định nghĩa trong tập hợp cổ điển, các toán tử tương

tự như thế cũng được định nghĩa trên tập hợp mờ Đó là phép hội, phép tuyển của hai tập hợp mờ và phép phủ định của một tập hợp mờ, các phép toán này được suy ra từ định lý của tập hợp cổ điển Giá trị chân lý của phép hội, phép tuyển, phép phủ định được định nghĩa duy nhất trong tập hợp cổ điển như sau:

mờ

1.1.4.1 Phép phủ định (negation)

Phủ định là một trong những phép toán logic cơ bản, để suy rộng cần tới

toán tử v(NOT P) xác định giá trị chân lý của NOT P đối với mỗi mệnh đề NOT P

Ta sẽ xét tới một số tiên đề diễn đạt những tính chất quen thuộc trong logic cổ điển:

1/ v(NOT P) chỉ phụ thuộc vào v(P)

1/ Hàm phủ định n là chặt nếu nó là hàm liên tục và giảm chặt

2/ Hàm phủ định n là mạnh nếu n giảm chặt và n(n(x)) = x với mỗi x

1.1.4.2 Phép hội (conjunction)

Phép hội (vẫn quen gọi là phép AND) cũng là một trong những phép toán logic cơ bản Nó là cơ sở để định nghĩa phép giao của hai tập mờ Ở đây ta cũng xét các tiên đề từ logic cổ điển

Bảng 1

1/ v(P1 AND P2) chỉ phụ thuộc vào các giá trị v(P1), v(P2)

2/ Nếu v(P1) = 1 thì v(P1 AND P2) = v(P2), với mọi mệnh đề P2

3/ Giao hoán: v(P1 AND P2) = v(P2 AND P1)

4/ Nếu v(P1) v(P2) thì v(P1 AND P3)  v(P2 AND P3) với mọi mệnh đề P3

5/ Kết hợp: v(P1 AND (P2 AND P3)) = v((P1 AND P2 ) AND P3)

Nếu diễn đạt phép hội mờ (fuzzy conjunction) như một hàm T: [0,1] x

[0,1]  [0,1] thì ta có định nghĩa [4] như sau:

Hàm T: [0,1] x [0,1]  [0,1] là phép hội hay là t-chuẩn (t-norm) nếu thoả

mãn các điều kiện sau:

1/ T(1,x) = x với mọi 0  x  1

2/ T có tính giao hoán, tức là T(x,y) = T(y,x) với mọi 0  x,y  1

3/ T không giảm theo nghĩa T(x,y)  T(u,v) với mọi x  u, y  v

4/ T có tính kết hợp : T(x, T(y,z)) = T(T(x,y),z) với mọi 0  x,y,z  1

Từ những tiên đề trên ta suy ra T(0,x), hơn nữa tiên đề 4/ đảm bảo tính

thác triển duy nhất cho hàm nhiều biến

Một số ví dụ về t-chuẩn:

1/ Min (Zadeh 1965) T(x,y) = min(x,y)

3/ t-chuẩn Lukasiewiez T(x,y) = max{x+y-1, 0}

min(x,y) nếu x+y > 1

4/ min nipotent (Fodor 1993) T(x,y) =

0 nếu x+y  1 min(x,y) nếu max(x,y) = 1

5/ T-chuẩn yếu nhất Z(x,y) =

0 nếu max(x,y) <1

Ta thấy rằng Z(x,y)  T(x,y)  min(x,y) với mọi 0  x,y  1

1.1.4.3 Phép tuyển (disjunction)

Giống như phép hội, phép tuyển hay toán tử logic OR thông thường cần thoả mãn các tiên đề sau:

1/ v(P1 OR P2) chỉ phụ thuộc vào các giá trị v(P1), v(P2)

2/ Nếu v(P1) = 0 thì v(P1 OR P2) = v(P2), với mọi mệnh đề P2

2/ S có tính giao hoán, tức là S(x,y) = S(y,x) với mọi 0  x,y  1

3/ S không giảm S(x,y)  S(u,v) với mọi x  u, y  v

4/ S có tính kết hợp : S(x, S(y,z)) = S(S(x,y),z) với mọi 0  x,y,z  1

1.1.4.4 Luật De Morgan

Cho A và B là hai tập con của U, khi đó

(A  B)C = AC BC

(A  B)C = AC BC

Định nghĩa 1.1.3 [4] Cho T là t-chuẩn, S là t-đối chuẩn, n là phép phủ

định chặt Chúng ta nói bộ ba (T,S,n) là một bộ ba De Morgan nếu:

n(S(x,y) = T(nx,ny)

1.1.5 Quan hệ mờ

1.1.5.1 Quan hệ mờ và phép hợp thành

Định nghĩa 1.1.4[4] Cho X, Y là hai không gian nền R gọi là một đại số

quan hệ mờ trên X  Y nếu R là một tập mờ trên X  Y, tức là có một hàm thuộc

R : X  Y  [0,1] , ở đây R(x,y) là độ thuộc của (x,y) vào quan hệ R

Định nghĩa 1.1.5 [4] Cho R1 và R2 là hai quan hệ mờ trên X  Y ta có định nghĩa:

a/ Quan hệ R1 R2 với R1  R2 = max{ R1(x,y),R2(x,y)} (x,y)X  Y b/ Quan hệ R1 R2 với R1  R2 = min{ R1(x,y),R2(x,y)} (x,y)X  Y

Định nghĩa 1.1.6 [4] Quan hệ mờ trên những tập mờ Cho tập mờ A với

A(x) trên X, tập mờ B với B(x) trên Y Quan hệ mờ trên các tập mờ A và B là quan hệ R trên X  Y thoả mãn điều kiện:

R(x,y) A(x) yY và R(x,y) b(x)  xX

Định nghĩa 1.1.7 [4] Cho quan hệ mờ R trên X  Y

Phép chiếu của R lên X là: projXR = {(x, maxy R(x,y): xX

Phép chiếu của R lên Y là: projRR = {(y, maxx R(x,y): yY

Định nghĩa 1.1.8 [4] Cho quan hệ mờ R trên X  Y Thác triển R trên không gian tích X  Y  Z là:

ExtXYZR = {(x,y,z), (x,y,z) = R(x,y)  zZ

1.1.5.2 Phép hợp thành

Định nghĩa 1.1.9 [4] Cho R1 là quan hệ mờ trên X  Y, R2 là quan hệ mờ trên Y  Z Hợp thành R1 R2 của R1, R2 là quan hệ mờ trên X  Z

 Hợp thành max-min (max-min composition) được xác định bởi

R1  R2(x,z) = maxy {min( R1(x,y),R2(y,z))} (x,z)X  Z

 Hợp thành max-prod cho bởi:

R1  R2(x,z) = maxy { R1(x,y).R2(y,z)} (x,z)X  Z

 Hợp thành max-* được xác định bởi toán tử *: [0,1] x [0,1]  [0,1]

R1  R2(x,z) = maxy { R1(x,y) *R2(y,z)} (x,z)X  Z Giả thiết (T,S,n) là bộ ba DeMorgan, trong đó T là t-chuẩn, S là t-đối chuẩn, n là phép phủ định

Định nghĩa 1.1.10 [4] Cho R1, R2 là quan hệ mờ trên X  X, Phép T-tích hợp thành cho một quan hệ R1 T R2 trên X  X xác định bởi:

R1  T R2(x,z) = supy  XT(R1(x,y), R2(y,z))

Định nghĩa 1.1.11 [4] Cho R1, R2, R3 là quan hệ mờ trên X  X, khi đó:

 R1  T (R2  T R3) = (R1  T R2) T R3 )

 Nếu R1 R2 thì R1  T R3 R2  T R3 và R3  T R1 R3  T R2

1.2 Phép kéo theo (implication)

1.2 1 Định nghĩa phép kéo theo :

Phép kéo theo là công đoạn chốt nhất của quá trình suy diễn trong mọi lập luận xấp xỉ, bao gồm cả suy luận mờ Hơn nữa một trong những vấn đề trọng tâm của suy luận mờ là thông tin lập luận biểu thị bằng các điều kiện

“IF…THEN” Vì vậy toán tử implication là một đối tượng nghiên cứu quan

1/ v(P1 P2) chỉ phụ thuộc vào các giá trị v(P1), v(P2)

2/ Nếu v(P1)  v(P3) thì v(P1 P2)  v(P1 P3) với mọi mệnh đề P2

3/ Nếu v(P2)  v(P3) thì v(P1 P2)  v(P1 P3) với mọi mệnh đề P1

4/ Nếu v(P1) = 0 thì v(P1 P) = 1 với mọi mệnh đề P

5/ Nếu v(P1) = 1 thì v(P  P1) = 1 với mọi mệnh đề P

6/ Nếu v(P1) =1 và v(P2) = 0 thì v(P1 P2) = 0

Tính hợp lý của những tiên đề này chủ yếu dựa vào logíc cổ điển và những tư duy trực quan của phép suy diễn Từ tiên đề I0 chúng ta khẳng định sự tồn tại hàm số I(x,y) xác định trên [0,1]2

với mong muốn đo giá trị chân lý của phép kéo theo qua biểu thức:

v(P1 P2) =I(v(P1), v(P2))

Định nghĩa 1.2.1[4]: Phép kéo theo (implication) là một hàm số I: [0,1] x

[0,1]  [0,1] thoả mãn các điều kiện sau:

1/ Nếu x  z thì I(x,y)  I(z,y) với mọi y [0,1]

2/ Nếu y  u thì I(x,y)  I(x,u) với mọi x [0,1]

Bảng 3

3/ I(0,y) = 1 với mọi y [0,1]

4/ I(x,1) = 1 với mọi x [0,1]

6/ I(1,x) = x với mọi x [0,1]

7/ I(x, I(y,z)) = I(y, I(x,z))

Đây là qui tắc đổi chỗ, cơ sở trên sự tương đương giữa hai mệnh đề :

“If P1 then (If P2 then P3)”

và “If (P1 AND P2) then P3”

8/ x  u nếu và chỉ nếu I(x,y) = 1 Tiên đề này có nghĩa là: phép kéo theo xác lập một thứ tự

9/ I(x,0) = N(x) là một phép phủ định mạnh, như vậy 9/ phản ánh mệnh đề sau từ logíc cổ điển P  Q =  P nếu v(Q) = 0 (nếu Q là False)

10/ I(x,y)  y, với mọi x,y

11/ I(x,x) = 1 với mọi x

12/ I(x,y) = I(N(x), N(y)) Điều kiện này phản ánh phép suy luận ngựơc trong logic cổ điển: (P  Q) = ( Q  P)

13/ I(x,y) là hàm liên tục trên [0,1]2

Để tìm hiểu thêm các điều kiện này chúng ta xét tới định lý sau:

Định lý 1.2.1 Mỗi hàm số I: [0,1] x [0,1]  [0,1] thoả mãn các điều kiện 2/, 7/, 8/ thì cũng sẽ thoả mãn các điều kiện 1/, 3/, 4/, 5/, 6/, 10/, và 11/

1.2.2 Các loại phép kéo theo mờ

Lý thuyết tập mờ và logic mờ được suy rộng từ lý thuyết tập hợp cổ điển

và logic cổ điển Vì vậy một số các phép kéo theo mờ tuân theo phép kéo theo

cổ điển, phép kéo theo đôi khi được hiểu như là một phép hội, trong trường hợp này quan hệ “nguyên nhân-causality” được thể hiện bằng câu lệnh if-then Để tính toán được chúng ta cần những dạng cụ thể của phép kéo theo Dobois và Prade (1991) đã đưa ra một số loại phép kéo theo mờ khác nhau như sau:

Cho T là t-chuẩn, S là t-đối chuẩn, n là phép phủ định mạnh

1) Phép kéo theo trong logic mờ dựa trên phép kéo theo cổ điển:

Phép kéo theo này được gọi là S-implications

Ví dụ: phép kéo theo được đề xuất bởi Kleene-Dienes thuộc loại này I(x,y)=max(1-x,y)

Định lý 1.2.2[4] Với bất kỳ t-chuẩn T, t-đối chuẩn S, phép phủ định

mạnh n nào, IS1 là một phép kéo theo thoả mãn định nghĩa 1.2.1

Chứng minh:

IS1 thoả mãn năm điều kiện của phép kéo theo, tức là ta phải chứng minh: 1/ Nếu x  z thì IS1(x,y)  IS1(z,y) với mọi y [0,1]

x  z  n(x)  n(z)

 với mọi y, S(n(x),y)  S(n(z),y)  IS1(x,y)  IS1(z,y)

2/ Nếu y  u thì IS1(x,y)  IS1(x,u) với mọi x [0,1]

y  u  n(y)  n(u)

 với mọi x, S(x,n(y)

3/ IS1(0,y) = 1 với mọi y [0,1]

Vì x = 0 nên n(x) = 1  S(1,y) = 1 với mọi y

Phép kéo theo này được gọi là QL-implications, trong đó “QL” được viết

tắt của quantum logic Theo Lee(1990a)[20] kiểu kéo theo này có thể mở rộng

[0,1) trong các trường hợp ngược lại

Ví dụ: Phép kéo theo được đề xuất bởi Gaines (1976)[18]:

I(x,y)= 1 nếu x  y

0 nếu x>y Các phép kéo theo thuộc kiểu này hầu hết thuộc về R-implications (“R” viết tắt từ residuated):

IT(x,y) = sup{z | z [0,1], T(x,z)  y}

Ví dụ: phép kéo theo được đề xuất bởi Gouen(1969)[18]

1 nếu x=0 I(x,y) = min(y/x , 1) nếu x  0

Lee(1990b) [20] xem phép kéo theo kiểu này như là suy rộng của modus ponent và cũng đưa ra suy rộng modus tollent:

I(x,y) = 1 - inf{z  [0,1] | S(y, z)  x) (1.2.4)

Lee đã chứng minh công thức (1.2.4) như sau:

Đầu tiên chỉ rõ tổng quát hoá của modus tollent:

I(x,y) = inf{z  [0,1] | S(y,z)  x}

Phép kéo theo này không chính xác vì nó không thoả mãn trong trường hợp b>a Vì vậy Lee (1990b)[20] sử dụng công thức (1.2.3) bằng cách thay x bằng1-y và y bằng 1-x (modus tollent):

I(x,y) = sup{z  [0,1] | T(1-y,z)  1-x}

=1 - inf{z‟  [0,1] | T(1-y,1-z‟)  1-x

=1 - inf{z‟  [0,1] | 1-S(y, z‟)  1-x

=1 - inf{z‟  [0,1] | S(y, z‟)  x) Trong đó z‟ = 1- z

Định lý 1.2.3[4] IT là một phép kéo theo của logic mờ

Chứng minh

Kiểm tra từng tiên đề của phép kéo theo

1/ x1 x2  I(x1,y)  I(x2,y)

Ví dụ các phép kéo theo thuộc loại này:

Phép kéo theo được Mamdani sử dụng vào năm 1974



z



1 }

z

s u p { 0



z



1 }

z

s u p { 0



z



1

Phép kéo theo loại này rõ ràng không phải là suy rộng của phép kéo theo

cổ điển, nhưng tuân theo phép hội cổ điển Các phép kéo theo mờ được biểu diễn bằng một phép hội thì thường được sử dụng trong điều khiển mờ [18]

5) Cũng giống như phép kéo theo loại 3/ có quan hệ với phép kéo theo

cổ điển Một lớp kéo theo tương tự có thể được định nghĩa và có quan hệ với phép giao cổ điển như sau:

1 nếu x +y 1 I(x,y)= 1 nếu x=1 và y=1 (1.2.5)

(0,1) trong các trường hợp ngược lại

Có lớp con như sau (so sánh với R-implications):

I(x,y) = inf{z  [0,1] | S(1-x, z)  y}

Rõ ràng phép kéo theo kiểu này xem phép giao cổ điển như là một trường

hợp đặc biệt của nó [18]

Các phép kéo theo khác: Các phép kéo theo này không thuộc vào các loại

đã được nêu trên Ví dụ như phép kéo theo được đề xuất bởi Yager (1980)[18]:

I(x,y) = yx

1.2.3 Sự phân lớp các phép kéo theo mờ

Trong phần trước đã giới thiệu các loại phép kéo theo mờ khác nhau (phân loại theo Dobois và Prade (1991)[18]) Trong phần này sẽ giới thiệu sự phân lớp các phép kéo theo mờ một cách tổng quát hơn Việc phân lớp này chủ yếu dựa sự phân biệt giữa hai loại phép kéo theo cơ bản:

Loại I: Các phép kéo theo mờ tuân theo phép kéo theo cổ điển

a  b a  b Điều này được kết hợp bằng các tính chất của một phép hội

Loại II: Các phép kéo theo mờ tuân theo phép hội cổ điển

a  b  a  b Việc sử dụng sự khác nhau cơ bản của hai loại phép kéo theo này sẽ đưa

ra một số các định nghĩa như sau:

1/ Phép kéo theo mờ dựa vào phép kéo theo logic định lượng

a  b a  (a  b)

Như vậy ở công thức này ta có thể thấy a  b‟ (thuộc loại I), với b‟ = a 

b (thuộc loại II)

2/ Các phép kéo theo mờ dựa vào cách hiểu modus tollens

a  b b a

3/ Các phép kéo theo dựa vào tính đối xứng giữa modus ponens và modus tolens:

a  b  (a  b)  (b a ) Việc suy rộng hai loại phép kéo theo cơ bản không dựa vào việc sử dụng t-norms và t- conorms để suy rộng phép hội và phép tuyển Sau đây là định nghĩa suy rộng phép hội cổ điển:

0 nếu a = 0  b=0 C(a,b) = 1 nếu a=1  b=1 (1.2.6a)

[0,1) trong các trường hợp ngược lại

Và C(a,b)  C(c,d) với mọi a  c, b  d

Suy rộng phép tuyển cổ điển cũng được định nghĩa tương tự như sau:

1 nếu a = 1  b=1 D(a,b) = 0 nếu a=0  b=0 (1.2.6b)

(0,1] trong các trường hợp ngược lại

Và D(a,b)  D(c,d) với mọi a  c, b  d

Các suy rộng này không có giới hạn nhưng chúng phải được thay thế bằng liên kết and/or T-norm và t-conorm thuộc vào các định nghĩa này và được coi như một lớp con Một lớp con tổng quát hơn của lớp toán tử D- và C- có thể được định nghĩa là:

0 nếu a + b  1 C*(a,b) = 1 nếu a=1  b=1 (1.2.7a)

[0,1) trong các trường hợp ngược lại

1 nếu a + b  1 D*(a,b) = 0 nếu a=0  b=0 (1.2.7b)

(0,1] trong các trường hợp ngược lại

Như vậy, dễ dàng chỉ ra rằng lớp kéo theo biểu diễn thứ tự bộ phận và implication là các lớp con và được định nghĩa bởi:

R-IPO(a,b) = D*(1-a,b)

Và các lớp kéo theo này thuộc loại I Phép kéo theo của Yager (1980) sử dụng suy rộng phép tuyển cổ điển cũng được xem như phép kéo theo cổ điển:

D(a,b) = b1-a

Như vậy sẽ dẫn tới kết quả là: I(a,b) = D(1-a,b) = b1-(1-a) = ba

Phép kéo theo của (Zadeh,1975)[18]: I(a,b) = max(1-a, min(a,b)) xuất

phát từ phép kéo theo trong logic định lượng đó là: a  b  a  (a  b) Điều này có thể được hiểu như các phép kéo theo lồng nhau:

IQL(a,b) =ICI(a, ICC(a,b))

Trong đó ICI là phép kéo theo loại I, ICC là phép kéo theo loaị II

Lee (1990b)[21] xem phép kéo theo xuất phát từ logic định lượng như là phép tính mệnh đề (propositional calculus) và cũng muốn mở rộng phép tính mệnh đề này:

I(a,b) = max(b, min(1-a,1-b))

Phép kéo theo này có thể viết lại từ phép kéo theo định lượng dựa trên modus tollens như sau:

I(a,b) = (a, b) = max(1-(1-b), min(1-b,1-a)

= max(b, min(1-a,1-b)) Khi đó hai phép kéo theo này được kết hợp lại để thu được tính đối xứng của các biến, ở đây có sử dụng a  b  (a  b)  (b  a ) Kết quả là một

phép kéo theo được đề xuất bởi Willmott (1980)[18]

IWm(a,b) = min(max(1-a,b), max(a, 1-b, min(b,1-a)))

Công thức này có thể được viết lại như sau:

IWm(a,b) = min(IQL(a,b), IQL(1-b,1-a)) trong đó IQL(a,b) =max(1-a, min(a,b))

Ta có bảng sau thể hiện kết quả

a và b IWm(a,b) min(IQL(a,b), IQL(1-b,1-a)) 1-b  1-a  a  b A Min(a,b)

1-b  a 1- a  b 1-a Min(1-a,b)

b  1-a  a  1-b 1-a Min(1-a,1-a)

b  a  1-a  1-b 1-a Min(1-a,1-a)

và không kết hợp của phép hội và phép tuyển cổ điển

1.3 Suy luận mờ với phép kéo theo

1.3.1 Các mệnh đề mờ (fuzzy propositions)

Một khái niệm quan trọng trong logic mờ đó là mệnh đề mờ Các mệnh đề

mờ tương ứng với các câu lệnh ví dụ như “x is big”, trong đó “big” là nhãn ngôn ngữ (linguistic label) được định nghĩa là một tập mờ trên không gian nền của biến x Các nhãn ngôn ngữ mờ cũng được xem như các hằng mờ (fuzzy constants), số hạng mờ (fuzzy term) Các mệnh đề mờ liên kết các biến với các nhãn để định nghĩa các biến đó

Các mệnh đề mờ là cơ sở cho logic mờ và suy luận mờ, chúng có thể kết

hợp với nhau bằng các liên kết logic ví dụ như phép and và phép or Các từ bổ

nghĩa ngôn ngữ có thể được dùng để thay đổi nhãn ngôn ngữ đang sử dụng trong mệnh đề mờ (các bổ ngữ này sẽ được nói rõ trong chương III) Ví dụ bổ

ngữ very dùng để thay đổi “x is big” thành “x is very big”

1.3.1.1 Các liên kết logic (kết hợp với các phép toán đại số mờ)

Cũng giống như trong logic cổ điển, các mệnh đề mờ có thể kết hợp với

nhau bằng cách sử dụng các liên kết logic như phép and và phép or Các liên kết

and và or có thể được thực hiện bằng các t-norm và t-conorm tương ứng trong

logíc mờ Không có nguyên tắc chung nào để chọn các t-norm và t-conorm Tuy

Bảng 2

nhiên dựa vào các tính chất của t-norm và t-conorm, có thể sử dụng các t-norm

và t-conorm đặc biệt trong một số trường hợp cụ thể.Viêc sử dụng này được chứng minh bằng trực giác là đúng

Ví dụ hình 2 chỉ ra kết quả so sánh việc sử dụng t-norm và t-conorm theo

Lukasiewicz và theo Zadeh Trong đó hình (a) và hình (c) chỉ ra việc sử dụng

t-norm và t-cot-norm theo Lukasiewicz đối với liên kết and và or Hình (b) và

hình (d) là kết quả thực hiện theo Zadeh (lưu ý kết quả của hình (a) là 0) Ở

đây các toán tử được thực hiện trên không gian nền giống nhau

Như vậy, trong trường hợp kết hợp hai mệnh đề giống nhau, nếu áp dụng toán tử do Zadeh đề xuất sẽ được kết quả là:

A  A (x) = min(A(x),A(x)) = A(x)

A  A (x) = max(A(x),A(x)) = A(x)

Tuy nhiên điều này không có ý nghĩa với các t-norm và t-conorm khác Trong trường hợp các mệnh đề mờ không giống nhau, nhưng có tương quan với nhau hoặc là tác động với nhau, thì sử dụng các toán tử khác toán tử max, min cho việc kết hợp các mệnh đề đó Kết sau đây minh hoạ việc sử dụng t-norm và

(b) Min(  A1 (x),  A2 (x))

(d) Max(  A1 (x),  A2 (x))

(c) Min(  A1 (x)+  A2 (x),1)

Hình 2

t-conorm theo Lukasiewicz là thích hợp trong trường hợp sự tác động lẫn nhau

hoàn toàn

A1  A2 (x) = max(A1(x)+A2(x) – 1 , 0)

A1  A2 (x) = min(A1(x)+A2(x),1)

Trong đó t-norm đã cho ở trên cũng được biết như là giới hạn tổng

(bounded sum) Hình 2c chỉ ra liên kết phép or của hai mệnh đề mờ cho kết quả

là một tập mờ, tập mờ này cũng có đầy đủ các giá trị thuộc đối với biến trongcác tập mờ Việc chọn t-norm và t-conorm cho các liên kết phụ thuộc vào nghĩa

và ngữ cảnh của các mệnh đề và quan hệ giữa chúng Hầu hết các toán tử thường xuyên sử dụng trong logic mờ được chỉ ra ở bảng sau:

And or Chú ý Min(a,b) Max(a,b) Zadeh

Max(a+b-1,0) Min(a+b,1) Lukasiewicz

ab a+b-ab Xác suất Nếu các mệnh đề có liên quan tới các không gian nền khác nhau thì một liên kết logic sẽ cho kết quả là một quan hệ mờ Ví dụ xét mệnh đề sau:

p: x1 is A1 and x2 is A2

Trong đó A1, A2 có các hàm thuộc là A1(x1) và A2(x2), mệnh đề p có thể được biểu diễn bằng một quan hệ mờ P với hàm thuộc là:

P(x1 , x2) = T(A1(x1),A2(x2))

Trong đó T là một t-norm được sử dụng cho liên kết and Trong thực tế

một mệnh đề có thể là cơ sở lập luận cho một luật mờ

X ( A( )) /

1.3.2.1 Biểu biễn của luật mờ

Một luật mờ là một câu lệnh if-then, trong đó gồm phần thân (hay tiền tố)

và phần đầu (hay hệ quả) của luật, phần thân và phần đầu là các mệnh đề mờ như đã mô tả ở mục trên Phần đầu có thể chứa một kết hợp của các mệnh đề

mờ, điều này được thực hiện nhờ vào các liên kết logic and và or Để đơn giản

xét luật sau:

If x1 is A1 and x2 is A2 then y is B

Khi đó các tập mờ A1, A2, và B được thay bằng các hàm thuộc A1(x1),

A2(x2) và B(y) tương ứng Quan hệ mờ R sau đây tương ứng với luật mờ:

R = (I(T(A1, A2), B)

Trong đó T là một phép hội dựa trên một t-chuẩn, I là một hàm kéo theo

mờ Vì t-chuẩn T tương ứng với liên kết and nên hàm kéo theo mờ I tương ứng

với phép kéo theo: Liên kết If – then Vì vậy một luật mờ có thể tương ứng với một quan hệ mờ Hàm thuộc của quan hệ R được cho ở trên là:

R(x1 , x2, y)= I(T(A1(x1),A2(x2)), B(y))

1.3.2.2 Sự kết hợp giữa các luật mờ (Aggregation of fuzzy rules)

Mục đích của phần này là đưa ra việc chuyển phần thân của một luật mờ hoặc chuyển một câu lệnh if-then thành một quan hệ mờ Như vậy sẽ chuyển được các luật mờ thành các quan hệ mờ Nếu có hơn một mệnh đề kết quả của các luật mờ, phải tách mệnh đề kết quả thành các mệnh đề con Sau đó kết hợp một tập các luật mờ thành một quan hệ mờ Ở đây sẽ xét Nr luật và một giả thuyết trong mỗi luật dựa trên Nx biến:

R1: IF x1 is A1,1 and ….xNx is ANx,1 THEN y is B1

else

… else

Rk: IF x1 is A1,k and ….xNx is ANx,k THEN y is Bkelse

… else

RNr: IF x1 is A1,Nr and ….xNx is ANx,Nr THEN Y is BNrViệc chuyển một tập các luật mờ như trên thành một quan hệ mờ được thực hiện bằng cách: với mỗi luật mờ rk xây dựng quan hệ mờ Rk, sau đó kết hợp các quan hệ đó thành một quan hệ mờ đơn R Việc kết hợp này gọi là aggregation, cách thức như thế được thực hiện khác nhau đối với các hàm kéo theo khác nhau

Đối với phép kéo theo tuân theo phép hội cổ điển thì các toán tử kết hợp này gọi là một phép tuyển (disjunction) Nhưng trong trường hợp các phép kéo theo tuân theo phép kéo theo cổ điển thì phép hội sẽ được dùng cho việc kết hợp Nếu Nr luật mờ rk được biểu diễn bởi các quan hệ mờ Rk thì kết quả cuối cùng sẽ là việc kết hợp các quan hệ Rk như sau:

R =  Rk

Vì vậy liên kết else được hiểu như là một phép tuyển Tổng quát hơn ta có thể sử dụng S-norm trong việc kết hợp các quan hệ Rk Hình 3.3 chỉ ra việc sử dụng toán tử max cho việc kết hợp hai luật mờ Trong hình vẽ chúng ta dễ dàng nhận ra hai luật mờ và toán tử min được dùng như một hàm kéo theo

Việc kết hợp các luật mờ khi mà hàm kéo theo tuân theo phép kéo theo cổ điển sẽ được thực hiện bằng một phép hội

R =  Rk

Ở đây cũng có một định nghĩa tổng quát hơn đó là sử dụng t-norm để kết

hợp các luật Điều này có nghĩa là liên kết else được hiểu là một phép hội Hình

3.3 e chỉ ra việc sử dụng toán tử min để kết hợp hai luật mờ Từ hình này chúng

ta cũng thấy rằng không dễ dàng gì để để phân biệt hai luật đã sử dụng [18] 1.3.3 Suy luận mờ (fuzzy reasoning)

Sự suy diễn của một luật mờ đơn là một trường hợp đơn giản của hợp thành các quan hệ mờ Như Zadeh (1973) đã giới thiệu trong logic mờ đó là luật hợp thành suy diễn (compositional rule of inference - CRI) Sự suy rộng của suy

k

k

luận mờ cũng bắt nguồn từ suy rộng modus ponens và modus tollens trong logic

cổ điển

1.3.3.1 Luật hợp thành suy diễn (compositional rule of inference)

Luật hợp thành suy diễn được Zadeh giới thiệu vào năm 1973, đó là một luật mờ:

1.3.3.2 Sự suy rộng modus ponens và modus tollens

Sự suy rộng modus ponens được Zadeh giới thiệu vào năm 1973 Đây là một phiên bản nổi tiếng về sự suy rộng của luật suy diễn từ logic cổ điển Sự suy rộng này dựa vào quan hệ if-then:

If x is A then y is B

x is A‟

y is B‟

Trong đó A‟ biểu diễn dữ liệu, B‟ là kết quả suy luận Bảng sau đây đưa

ra giá trị chân lý của modus ponens cổ điển Như vậy để giải thích việc sử dụng luật hợp thành bằng suy diễn thì cần thiết phải có một quan hệ biểu diễn luật if-then Đã có một số phương pháp có thể biểu diễn luật if-then bằng một quan hệ (nêu ở phần sau)

bằng việc sử dụng modus ponens Suy diễn này thông thường được định nghĩa bằng CRI:

Cũng giống như modus ponens, modus tollens có thể được suy

Sử dụng ví dụ trên cho sự suy rộng modus tollens:

if there is smoke then there is fire” và “ there is no fire” thì “there is no smoke”

Để làm sáng tỏ modus tollens, luật hợp thành bằng suy diễn có thể được

sử dụng, giả sử có một quan hệ mờ cho luật if-then đã có Điều này được chứng

tỏ bằng:

A‟ = R  B‟

Trong đó R là một quan hệ mờ, nó biểu diễn luật mờ “If x is A then y is B”

1.3.3.3 Tiêu chuẩn để suy rộng modus ponens[18]

Trong logic cổ điển tiêu chuẩn để modus ponens phải tuân theo là duy nhất, nhưng trong logic mờ sẽ có nhiều khả năng hơn Các khả năng này được

Bảng 5

nhiều tác giả đề xuất, một số tác giả tiêu biểu như: Baldwin và Pilsworth (1980), Hellendoorn (1990), Fukami, Mizumoto và Tanaka (1980) Đến bây giờ đã có rất nhiều công việc được thực hiện dựa trên nghiên cứu của các hàm kéo theo và suy rộng modus ponens Baldwin và Pilsworth (1980) đã đề xuất các điều kiện thoả mãn sự suy rộng modus ponens, trong đó m là phép hợp thành sup-m và m

 GMP- 7a very(A) m I(A,B) = B trong đó very là

 GMP- 7b very(A) m I(A,B) =very(B)

 GMP- 8 more – or- less(A) m I(A,B) = more – or- less(B) Điều này tương tự như GMP – 6 và GMP- 7b

 GMP-9a Ā m I(A,B) = Y Điều kiện này giống như điều kiện GMP-3;

 GMP-9b Ā m I(A,B) = B

Hellendoorn (1990) đề xuất các điều kiện sau:

 GMP-10 B‟ = Y nếu A‟ = X Nghĩa là Nếu A‟ không xác địng thì B‟ cũng không xác định

Trong các tiêu chuẩn trên chúng ta có thể nhìn thấy một số tiêu chuẩn mâu thuẫn nhau Với mỗi phép kéo theo mờ, có thể được kiểm tra xem có đáp ứng một số các tiêu chuẩn mong muốn hay không Vì thế để thoả mãn một tiêu chuẩn nào đó thì phải xét đối với các ứng dụng đặc biệt và từ đó các hàm kéo theo phù hợp có thể được chọn Després (1989) đã đề xuất một công cụ để thu

được các luật mờ, và từ công cụ này có thể chọn được các hàm kéo theo phù hợp

Tiêu chuẩn GMP-1 đã được nghiên cứu khá nhiều Trillas và Valverde (1985) đã đề xuất sử dụng các hàm phát sinh phép kéo theo đối với suy rộng modus ponens Một hàm phát sinh modus ponens được biểu thị là m(a,b) phải thoả mãn các điều kiện sau:

M-1 m(a,I(a,b))  b M-2 m(1,1) = 1 M-3 m(0,b) = b

M-4 m(a,b)  m(c,b)  b nếu a  c Khi đó suy rộng modus ponens là ứng dụng của phép hợp thành sup-m:

B‟(y) = sup m(A‟(x), I(A(x), B(y))) Dựa trên điều kiện hợp thành sup-m, GMP-1 có thể được thoả mãn bằng việc sử dụng một toán tử m gắn liền với việc sử dụng phép kéo theo I Ví dụ Trillas và Valverde (1985) chỉ ra rằng: đối với một S-implication trong đó (I(a,b) = S(c(a),b) thì toán tử m được định nghĩa:

m(a,b) = inf{ [0,1] | S(c(a), )  b}

Điều này sẽ thoã mãn GMP-1 Thực tế đây là một phép hội không giao hoán, nhiều giá trị

Đối với R-implication, trong đó I(a,b) = sup{  [0,1] | T(a,)  b} thì toán tử m sau đây được sử dụng mà thoả mãn điều kiện GMP-1:

m(a,b) = T(a,b)

Việc sử dụng các loại phép hợp thành khác nhau đối với các phép kéo theo khác nhau như Trillas và Valverde (1985) đã đề xuất sẽ dẫn tới thoả mãn tiêu chuẩn GMP-1, nhưng nó không chỉ ra kết quả chính xác đối với dữ liệu khác Ở đây Trillas và Valverde (1985) đã chọn toán tử m thoả mãn tiêu chuẩn GMP-1 đối với một hàm kéo theo I đặc biệt trong hợp thành sup-min:

B = A m I(A,B)

1.3.3.4 Suy diễn một luật dựa trên T-implication

Khi hàm kéo theo là một t-norm, thì việc suy diễn có thể đơn giản trong một số trường hợp Giả sử cho luật sau:

rk: IF x1 is A1,k and x2 is A2,k THEN y is Bk

x

Trong đó phép hội và phép kéo theo được biểu diễn bằng một t-norm Theo định nghĩa t-norm ta có:

Bk‟ = T(A1‟, A2‟) T Rk

= T(A1‟, A2‟) T T(T(A1,k,A2,k), Bk)

= T(T(hgt(T(A1‟,A1,k)),hgt(T(A2‟,A2,k)), Bk)

Trong đó T là phép hợp thành sup-T, hgt(A) = sup A(x) Trong hầu hết các trường hợp t-norm được chọn là toán tử min hoặc toán tử product Quá trình đơn giản hoá này có thể thực hiện được vì nó cung cấp phép hội, phép kéo theo

và phép hợp thành dựa trên các norm giống nhau Nếu phép hội dựa trên một norm khác, giả sử là TC, khi đó t-norm cho phép kéo theo và phép hợp thành là

t-TI Lúc này quá trình đơn giản hoá chỉ có thể thực hiện được một phần

thành Vì vậy khi sử dụng toán tử min đối với liên kết and thì kết quả là:

Bk‟(y) = sup{(A‟1(x1) A‟2(x2)) Rk(x1,x2,y)}

= sup {(A‟1(x1) A‟2(x2)) [(A1,k(x1) A2,k(x2)) Rk(y)]} = {sup[(A‟1(x1) A‟2(x2)) (A1,k(x1) A2,k(x2)]} Rk(y)

= {sup(A‟1(x1) A1,k(x1))  sup(A‟2(x2) A2,k(x2))}Rk(y) = hgt(A1'  A1,k) hgt(A2' A2,k)Rk(y)

Khi đó, biến đổi để rút gọn tập mờ Bk trong luật rk thành một giá trị số k:

k = sup(min( A‟i(xi) ,Ai,k(xi))

= hgt(A‟iA‟i,k)

Giá trị số k được xem như các giá trị hỗ trợ giữa dữ liệu và giả thuyết

của luật, ở đây hợp thành của các quan hệ đã được khử Sự suy diễn được biến

x 1

N x i=1

đổi thành sơ đồ tính toán đơn giản và như vậy sẽ không có sự khác nhau giữa dữ liệu số và dữ liệu mờ

Suy diễn một luật mờ cũng có thể được đơn giản hoá khi hàm kéo theo và phép hội được chọn là toán tử product, lúc này phép hợp thành sup-min được sử dụng Tập mờ Bk được nhân với giá trị hỗ trợ k :

k = sup( A‟i(xi) Ai,k(xi))

= hgt(A‟i *A‟i,k)

Trong đó dấu * tương ứng với phép hội các tập mờ và được thực hiện bằng toán tử product Điều này cung cấp một sơ đồ tính toán tương tự như được phương pháp được mô tả trong toán tử min ở phần trước

N x i=1

Xét f: II là ánh xạ (1-1) lên bảo toàn thứ tự theo nghĩa x  y thì f(x) 

f(y), ta gọi f là phép đẳng cấu tăng

Kí hiệu Aut(I) ={các đẳng cấu tăng f}

Rõ ràng Aut(I)= {f: II là hàm lên tăng chặt, liên tục, f(0)=0, f(1)=1} Gọi g : II là hàm lên giảm chặt, liên tục, g(0)=1, g(1)=0 là phép đẳng cấu giảm

Kí hiệu Map(I) ={các đẳng cấu tăng hoặc đẳng cấu giảm}

Trên Map(I) chúng ta xét phép hợp thành thông thường của các hàm số, tức là:

Nếu cho f, g thuộc Map(I), xác định (f.g)(x)=f(g(x))

Mệnh đề 2.1.1 [1]: Với phép hợp thành trên Map(I) là một nhóm Aut(I)

là nhóm con của của Map(I)

Định nghĩa 2.1.2[22]

a t-chuẩn T là liên tục, nếu T là hàm liên tục theo từng biến

b T là Archimed nếu T liên tục và T(x,x) < x với mọi 0<x<1

Ta định nghĩa qui nạp T2(x) = T(x,x),…Tn

(x) = T(x,Tn-1(x))

c T là chặt nếu với mỗi x>0, sẽ có Tn(x) > 0, với mọi n  2

d T là nilpotent nếu với mỗi x < 1, sẽ có số nguyên n sao cho Tn

(x)=0

Ví dụ: Kiểm tra T3(x,y)=x.y là t-chuẩn Archimed, chặt

TL(x,y)= max{x+y-1,0}là t-chuẩn Archimed, nilpotent

Định lý 2.1.1[11] Cho f  Aut(I), t là một t-chuẩn

Xác định: Tf(x,y) = f-1(t(f(x),f(y))), với mọi 0  x, y  1

Khi đó Tf là một t-chuẩn, nếu t liên tục thì Tf(x,y) liên tục, nếu t là Archimed thì Tf(x,y) cũng là Archimed

Ký hiệu z1 z2 = max(z1, z2), z1 z2 = min(z1, z2) với z1,z2R1

Cho 0  a < 1

Ký hiệu Aut(I,a) = f: II là ánh xạ lên (1-1) bảo toàn thứ tự}

Định lý 2.1.2[22]

Cho T là t-chuẩn Archimed

Khi đó Tf(x,y) = f-1(T(f(x),f(y))  a), với mọi 0  x, y  1 là t-chuẩn Archimed

Điều ngược lại cũng đúng

Định lý 2.1.3 [11]

Cho T là t-chuẩn Archimed Khi đó sẽ có một số 0  a < 1 và một hàm f

 Aut(I,a) sao cho T(x,y) = f-1(f(x).f(y)  a) với mọi 0  x, y  1

Một hàm f như vậy gọi là hàm sinh của t-chuẩn T

2.1.2 t-chuẩn có ngƣỡng

t-norm, t-conorm và các phép kéo theo có ngưỡng là các liên kết cơ sở trong logic mờ Ngưỡng cũng là khái niệm tự nhiên quan trọng trong thế giới thực Kết hợp các khái niệm đó sẽ đưa đến một cách tiếp cận mới và nhờ vào đó

có thể giải quyết các vấn đề của hệ thống thông minh Sau đây là định nghĩa về t-norm có ngưỡng theo Dubois và Prade

Cho ngưỡng  = (1, 2) với 01, 2  1

Định nghĩa 2.1.3 [1]

Cho t1(x,y), t2(x,y) là t-chuẩn sao cho t1(x,y)  t2(x,y) với mọi 0  x, y  1 Một t-chuẩn có ngưỡng T(x,y,) có ngưỡng  , xác định trên [0,1]x[0,1] bởi biểu thức:

t1(x,y) nếu x 1 và y 2 T(x,y,) =

t2(x,y) nếu x < 1 hoặc y < 2

T(x,y,) là một t-chuẩn có ngưỡng loại 1 nếu

min(x,y) nếu x 1 và y 2 T(x,y,) =

t2(x,y) nếu x < 1 hoặc y < 2

Giả sử t2(x,y) là t-chuẩn thoả mãn điều kiện t2(x,y)  x.y với mọi x,y

T(x,y,) là một t-chuẩn có ngưỡng loại Larsen

x.y nếu x 1 và y 2

T(x,y,) =

t2(x,y) nếu x < 1 hoặc y < 2

Hệ quả 2.1.1 [1]: Với ngưỡng , T(x,y,) có các tính chất sau:

i) Z(x,y)  T(x,y,)  min (x,y) với mọi x,y

ii) T(x,y,) đơn điệu giảm đối với x,y và đơn điệu tăng đối với 

iii) T(x,1,) = T(1,x,) với mọi x

iv) T(x,0,) = T(0,x,) với mọi x

t-norm có ngưỡng không có tính chất giao hoán và kết hợp Hãy xét ví dụ sau:

Giả sử 1 < 2, cho x = (x1,x2) thoả mãn các điều kiện: 1 < x1 <1, 2 <

x2 <1 Vì x1 1 và T(x1,x2,) = t1(x1,x2) = min(x1,x2) = x2 Nhưng x2 <1, norm có ngưỡng T(x2,x1,) = t2(x2,x1) Nếu chọn t2(x,y) = xy thì T(x2,x1,) =

t-x2x1 < x2 điều này có nghĩa là: T(x1,x2,) T(x2,x1,)

Đối với tính chất kết hợp, xét ví dụ sau:

Giả sử 1= 0.5, 2= 0.3, (x,y,z) = (0.6, 0.4, 0.3) Khi đó chọn t1(x1,x2) = min(x1,x2), t2(x,y) = xy, T(x,y,) = t1(x1,x2) = min(0.6, 0.4) = 0.4 Vì vậy T(T(x,y,),z,) = t2(0.4, 0.3) = 0.12 Mặt khác T(y,z,) = T(0.4,0.3,) = 0.12,

do đó T(x,T(y,z,),) = t2(0.2, 0.12) = 0.072 T(T(x,y,),z,)

Nếu chỉ rõ a = min(1,2), b= max(1,2) và D*

() = {(x,y): b x,y 1},

D*() = {(x,y): 0 x <a hoặc 0 y<a hoặc a  x, y  b

Hệ quả 2.1.2 [1] t-norm có ngưỡng có tính giao hoán nếu (x,y) thuộc về

một trong hai tập D*

(), D*() Nếu 1 = 2 thì t-norm có ngưỡng giao hoán trên [0,1] x[0,1]

2.1.3 t-conorm có ngƣỡng

Cho  là một ngưỡng,  = (1, 2),0 < 1, 2 1

Cho s1(x,y), s2(x,y) là t-đối chuẩn sao cho s1(x,y)  s2(x,y) với mọi x,y

Định nghĩa 2.1.4 [1] Một t-đối chuẩn có ngưỡng S(x,y,) có ngưỡng 

được định nghĩa bởi:

s1(x,y) nếu x 1 và y 2

S(x,y,) =

s2(x,y) nếu 1 <x hoặc 2 < y Một t-đối chuẩn có ngưỡng loại S(x,y,), xác định trên [0,1]x[0,1] bởi biểu thức

max(x,y) nếu x 1 và y 2 S(x,y,) =

s2(x,y) nếu 1 <x hoặc 2 < y

s*(x,y) là t-conorm thoả mãn:s*(x,y) = max(x,y) nếu min(x,y)= 0

1 nếu min(x,y)  0

Hệ quả 2.1.3[1] Với ngưỡng , S(x,y,) có các tính chất sau:

v) max(x,y) S(x,y,)  s*(x,y) với mọi x,y

vi) S(x,y,) đơn điệu giảm đối với x,y và đơn điệu tăng đối với 

vii) S(0,x,) = x = S(x,0,) với mọi x

viii) S(1,x,) = 1 = S(x,1,) với mọi x

Tương tự như t-norm có ngưỡng , t-đối chuẩn cũng không có tính chất giao hoán và kết hợp

2.1.5 t-chuẩn có ngƣỡng và các hàm sinh

Đặt ‟ = (f-1

(1), f-1(2))

Định lý 2.1.4.[11]

T(x,y,) là một t-chuẩn có ngưỡng với ngưỡng 

Hàm số Tf : [0,1]x[0,1]  [0,1] được cho bởi

(t1(f(x), f(y))) là một t-chuẩn Nếu x < f-1

(1) hoặc y < f-1

(2) thì f(x) < ff-1(1) hoặc f(y) < ff-1

(2) suy ra x < 1 hoặc y < 2

Vì vậy:

Tf(x,y,‟) = f-1

(T(f(x), f(y), ) = f-1(t2(f(x), f(y))) Mặt khác hàm f-1

(t2(f(x), f(y))) là một t-chuẩn Như vậy ta có:

Vì 0  x, y 1 , t2(x,y)  t1(x,y) nên t2(f(x), f(y))  t1(f(x), f(y))

Vì f bảo toàn thứ tự nên f-1

(t2(f(x), f(y)))  f-1(t1(f(x), f(y)))

Điều này có nghĩa là Tf(x,y,‟) là một t-chuẩn có ngưỡng với ngưỡng

t2(x,y) nếu x < 1 hoặc y < 2

thì Tf(x,y,‟) là một t-chuẩn có ngưỡng loại 1

Hệ quả 2.1.5 [1] Nếu T(x,y,) là một t-chuẩn có ngưỡng loại Larsen , khi đó Tf(x,y,‟) là một t-chuẩn có ngưỡng loại Larsen với ngưỡng ‟nếu và chỉ nều f(x,y) = f(x).f(y) với mọi x  f-1(1), y  f-1(2)

Khi đó: f-1

(f(z1))  f-1(z1  a) Điều đó có nghĩa là: z1 f-1(1 a)

Tương tự ta cũng có z2 f-1(2 f(0)) và f(z2)2

Định nghĩa 2.1.6 [1] Cho t-chuẩn có ngưỡng

t1(x,y) nếu x 1 và y 2 T(x,y,) =

t2(x,y) nếu x < 1 hoặc y < 2

T(x,y,) gọi là Archimed nếu t1(x,y), t2(x,y) là những t-chuẩn Archimed

Hệ quả 2.1.6 [1] Nếu t1, t2 là t-chuẩn Archimed, toán tử cho trong định lý 2.1.5 Tf(x,y) là t-chuẩn có ngưỡng Archimed

Hệ quả 2.1.7[1] T(x,y,) là một t-chuẩn có ngưỡng loại 1 Giả sử f : [0,1]  [a,1] là đẳng cấu bảo toàn thứ tự Nếu a  min(1, 2) khi ấy Tf có trong định lý 2.1.5 cũng là t-chuẩn có ngưỡng với ngưỡng ‟ = (f-1

(1), f-2(2))

Hệ quả 2.1.8[1] T(x,y,) là một t-chuẩn có ngưỡng loại Larsen với ngưỡng  Cho f : [0,1]  [a,1] là đẳng cấu bảo toàn thứ tự Nếu a  min(1, 2) thì Tf có trong định lý 2.1.5 cũng là t-chuẩn có ngưỡng loại Larsen với ngưỡng

‟=(f-1

(1), f-2(2)) khi và chỉ khi f(x,y)=f(x).f(y) với mọi x1 và y2

2.1.6 Các phương pháp suy diễn mờ sử dụng t-chuẩn có ngưỡng

Trong lĩnh vực trí tuệ nhân tạo, có rất nhiều cách thức khác nhau để biêủ diễn tri thức, trong đó cách thức phổ biến nhất để biểu diễn sự hiểu biết của con người là bằng ngôn ngữ tự nhiên theo kiểu: IF giả thuyết,

THEN kết luận

Thiết lập này được xem như là dạng luật cơ sở IF THEN

Đầu tiên mô tả ngắn gọn mô hình hệ thống mờ bằng các dạng luật cơ sở : Cho V1, …Vn là một tập các biến, được gọi là các biến đầu vào Với mỗi biến Vi (i=1 n) đều nhận giá trị trên không gian nền Xi Cho một biến U được gọi là biến đầu ra, biến này nhận giá trị trên không gian nền Y

 Giải thuật suy diễn mờ

1 Với mỗi luật, tìm mức cháy i

2 Với mỗi luât, từ mức cháy i và Bi hợp lý, sẽ tìm đầu ra b i’ phù hợp

3 Kết hợp đầu ra của các luật đó ta được đầu ra của hệ thống toàn thể

đó là tập con mờ B

4 Khử mờ từ đầu ra toàn bộ đó ta được đầu ra của hệ thống Y

 Một số phương pháp suy diễn sử dụng t-chuẩn có ngưỡng

Để đơn giản chúng ta xét hệ thống mờ sau đây:

R1: IF V1 is A11 and V2 is A12 THEN Y là B1

R2: IF V1 is A21 and V2 is A22 THEN Y là B2

Trong đó V1,V2 là các biến đầu vào nhận giá trị trên không gian nền

X1,X2, U là biến đầu ra, A11,A12 là các tập mờ thuộc tập X1 , A21 , A22 là các tập

mờ thuộc tập X2, B1 , B2 là các tập mờ thuộc tập Y Chúng ta hãy xét các bước của giải thuật suy diễn mờ sử dụng t-chuẩn có ngưỡng

Cho A là một tập mờ thuộc Z với hàm thuộc là A(z) Giả sử đầu vào tương tự nhau của V1, V2 là x1

Ví dụ chúng tôi đưa ra phương pháp tổng quát Madani tổng quát

Bước 1: Với mỗi luật Ri i=(1,2), tìm mức cháy

Với các biến đầu vào V1, V2 , sử dụng t-chuẩn có ngưỡng

Ti(z,) = Ti(z1, z2, (1,2) với Ti(z,) = min(z1, z2) Nếu z1 1 và z2 2

Ti(z,) = ti(z1, z2) nếu z1 <1 hoặc z2 < 2 , trong đó z=(z1, z2), 0 1, z2  1,  = (1, z2) là các ngưỡng, ti(z1, z2) là một t chuẩn

Vì vậy, với luật R1, mức cháy tại các giá trị của đầu vào (x1*

Khi đó với luật R1, độ thuộc B1‟(y) của tập đầu ra mờ B1‟ được định nghĩa cho mỗi y như sau:

Bước 3: Kết hợp đầu ra của các luật riêng lẻ

Tập đầu ra mờ chung B‟ đạt được là:

B‟(y) = max(B1‟(y), B2‟(y))

Bước 4: Khử mờ bằng phương pháp trọng tâm vùng

2.2 Phép kéo theo có ngưỡng

Định nghĩa 2.2.1[11]: Một phép kéo theo mờ là một hàm I: [0,1] x [0,1]

 [0,1] thoã mãn điều kiện Io: I(0,0) = 1, I(0,1) = 1, I(1,0) = 0, I(1,1) = 1

Như đã định nghĩa ở trên các phép kéo theo mờ thoả mãn các điều kiện sau:

I1 Nếu x  z thì I(x,y)  I(z,y) với mọi y [0,1]

I2 Nếu y  u thì I(x,y)  I(x,u) với mọi x [0,1]

I3 I(0,y) = 1 với mọi y [0,1]

I4 I(x,1) = 1 với mọi x [0,1]

I(x,y,) = sup {u:T(x,y,)  y)}

Định lý 2.2.1[11]: I-implication IT là một phép kéo theo mờ, đồng thời thoả mãn các điều kiện I1, I2, I3, I4

Suy rộng của các phép kéo theo này như sau:

Cho I1(x,y), I2(x,y) là các phép kéo theo sao cho I1(x,y)  I2(x,y), với mọi x,y

Định nghĩa 2.2.4[11]: Một phép kéo theo có ngưỡng I(x,y,) được định nghĩa là:

I1(x,y) nếu (1-1)  x và y 2

I(x,y,) = I2(x,y) nếu x < (1-1) hoặc 2 <y

Định nghĩa 2.2.5[11]: Một phép kéo theo có ngưỡng I(x,y,) là một phép kéo theo mờ Nếu I1(x,y), I2(x,y) thoả mãn các điều kiện I1, I2, I3, I4 thì I(x,y,) cũng thoả mãn các điều kiện đó

S-implication IS và I-implication IT là các phép kéo theo có ngưỡng, thoả mãn các điều kiện I1, I2, I3, I4

mờ với ngữ nghĩa dựa trên đại số gia tử

3.1.1 Đại số gia tử và lập luận xấp xỉ

Để xây dựng cách tiếp cận đại số gia tử, trong phần này tác giả xin trình bày tổng quan một số nét cơ bản của đại số gia tử và khả năng biểu thị ngữ nghĩa dựa vào cấu trúc đại số

Xét miền ngôn ngữ của biến chân lý TRUTH gồm các từ sau: dom(TRUTH) = {true, false, very true, very false, more-or-less true, more-or-less false, possibly true, possibly false, approximately true, approximately false, little true, little false, very possibly true, very possibly false…}, trong đó true, false là các từ nguyên thuỷ, các từ nhấn (mordifier hay intensifier) very, more-or-less, possibly, approximately, little gọi là các gia tử

Khi đó miền ngôn ngữ T = dom(TRUTH) có thể biểu thị như một đại số

AH = (X, C, H, ), trong đó C là tập các từ nguyên thuỷ được xem là tập các phần tử sinh H là tập các gia tử được xem như là các phép toán một ngôi, quan

hệ  trên các từ (các khái niệm mờ) là quan hệ thứ tự được “cảm sinh” từ ngữ nghĩa tự nhiên Ví dụ dựa trên ngữ nghĩa, các quan hệ thứ tự sau là đúng: false 

true, more true  very true nhưng very false  more false, possibly true  true nhưng false  possibly false… Tập X được sinh ra từ C bởi các phép tính trong

H Như vậy mỗi phần tử của X sẽ có dạng biểu diễn x = hnhn-1…h1x, x  C Tập tất cả các phần tử được sinh ra từ một phần tử x được ký hiệu là H(x) Nếu C có

đúng hai từ nguyên thuỷ mờ thì một phần tử được gọi là phần tử sinh dương, kí hiệu là c+, một phần tử kia gọi là phần tử sinh âm, ký hiệu là c-

và ta có c- <c+ Như vậy ở trong ví dụ trên true là dương còn false là âm

Hai phần tử của đại số gia tử được gọi là đối nghịch nhau nếu chúng có dạng biểu diễn với cùng một dãy các gia tử, nhưng phần tử sinh của chúng khác nhau, tức là một cái là dương, một cái là âm Một đại số gia tử là đối xứng nếu mỗi phần tử chỉ có một phần tử đối nghịch

Kết quả về đại số gia tử có thể được phát biểu trong mệnh đề sau:

Định lý 3.1.1 [4]: Có tồn tại một hệ tiên đề hoá sao cho mỗi miền ngôn

ngữ AH của biến ngôn ngữ trở thành dàn đầy đủ (complete lattice) có một phần

tử 0, một phần tử đơn vị 1 và một phần tử trung hoà Như vậy phép tuyển  và phép hội  logic có thể được định nghĩa trong cấu trúc này Hơn nữa nếu AH là một đại số gia tử đối xứng thì trong cấu trúc đó ta có thể định nghĩa phép phủ định và phép kéo theo và ta có:

k) x  y  W khi và chỉ khi hoặc x  W hoặc y  W

l) x  y  W khi và chỉ khi hoặc y  W hoặc x  W

m) x  y  W khi và chỉ khi hoặc x=0 hoặc y=1