Cho T(x,y,) là một t-chuẩn cú ngưỡng, S(x,y,) là t-đối chuẩn cú ngưỡng, n là phộp phủ định
Bộ ba (T,S,n) được gọi là bộ ba De Morgan cú ngưỡng nếu: n(S(x,y,)) = T(x,y,) .
2.1.5. t-chuẩn cú ngƣỡng và cỏc hàm sinh
Đặt ‟ = (f-1
(1), f-1(2)).
Định lý 2.1.4.[11]
T(x,y,) là một t-chuẩn cú ngưỡng với ngưỡng Hàm số Tf : [0,1]x[0,1] [0,1] được cho bởi Tf(x,y,‟) = f-1
(T(f(x), f(y), ),với mọi 0 x, y 1 là một t-chuẩn cú ngưỡng với ngưỡng ‟
Chứng minh: Giả sử x f-1(1) và y f-1(2) Vỡ f bảo toàn thứ tự nờn ta cú: f(x) ff-1(1), f(y) ff-1(2) nghĩa là: f(x) 1, f(y) 2 Khi đú: Tf(f(x),f(y),‟)= f-1 (t(f(x), f(y), ) = f-1(t1(f(x), f(y))) Mặt khỏc, sử dụng định lớ 2.1.1 thỡ ta cú f-1 (t1(f(x), f(y))) là một t-chuẩn Nếu x < f-1 (1) hoặc y < f-1 (2) thỡ f(x) < ff-1(1) hoặc f(y) < ff-1 (2) suy ra x < 1 hoặc y < 2 Vỡ vậy: Tf(x,y,‟) = f-1 (T(f(x), f(y), ) = f-1(t2(f(x), f(y))) Mặt khỏc hàm f-1 (t2(f(x), f(y))) là một t-chuẩn Như vậy ta cú: f-1(t1(f(x), f(y))) nếu x f-1(1) và y f-1(2) Tf(x,y,‟)= f-1(t2(f(x), f(y))) nếu x < f-1 (1) hoặc y < f-1 (2) Vỡ 0 x, y 1 , t2(x,y) t1(x,y) nờn t2(f(x), f(y)) t1(f(x), f(y)) Vỡ f bảo toàn thứ tự nờn f-1
Điều này cú nghĩa là Tf(x,y,‟) là một t-chuẩn cú ngưỡng với ngưỡng
‟ = (f-1
(1),f-1(2))
Hệ quả 2.1.4 [1]. Nếu T(x,y,) là một t-chuẩn cú ngưỡng loại 1 cú dạng min(x,y) nếu x 1 và y 2
T(x,y,) =
t2(x,y) nếu x < 1 hoặc y < 2
thỡ Tf(x,y,‟) là một t-chuẩn cú ngưỡng loại 1
Hệ quả 2.1.5 [1]. Nếu T(x,y,) là một t-chuẩn cú ngưỡng loại Larsen , khi đú Tf(x,y,‟) là một t-chuẩn cú ngưỡng loại Larsen với ngưỡng ‟nếu và chỉ nều f(x,y) = f(x).f(y) với mọi x f-1(1), y f-1(2)
Định lý 2.1.5[1].
Cho t1(x,y), t2(x,y) là t-chuẩn sao cho t1(x,y) t2(x,y) với mọi 0 x, y 1 Giả sử f là ỏnh xạ bảo toàn thứ tự f: [0,1] [a,1]
Định nghĩa 2.1.5 [1]
f-1(t1(f(x), f(y)) a) nếu f-1(1) x và f-1(2) y Tf(x,y) =
f-1(t2(f(x), f(y)) a) nếu x < f-1(1) hoặc y < f-1
(2) Nếu t1, t2 là t-chuẩn Archimed, khi đú Tf là t-chuẩn với ngưỡng ‟ = f-1
(1
f(0)), f-1(2 f(0))).
Chứng minh:
Theo định lý 2.1.5 cỏc hàm f-1
(t1(f(x), f(y)) a), f-1(t2(f(x), f(y)) a) là cỏc t-norm Archimed
Sử dụng đẳng cấu bảo toàn thứ tự f ta cú: t2(f(x), f(y)) t1(f(x), f(y)) với mọi 0x,y 1 và f-1(t2(f(x), f(y)) a) f-1(t1(f(x), f(y)) a)
Mặt khỏc: nếu z1 f-1(1 f(0)) thỡ f(z1) ff-1(1 f(0)) = 1 f(0)=1a Ngược lại f(z1) 1, vỡ f(z1) a cho nờn ta cú: f(z1) z1 a
Khi đú: f-1
(f(z1)) f-1(z1 a)
Điều đú cú nghĩa là: z1 f-1(1 a)
Định nghĩa 2.1.6 [1]. Cho t-chuẩn cú ngưỡng t1(x,y) nếu x 1 và y 2 T(x,y,) =
t2(x,y) nếu x < 1 hoặc y < 2
T(x,y,) gọi là Archimed nếu t1(x,y), t2(x,y) là những t-chuẩn Archimed
Hệ quả 2.1.6 [1]. Nếu t1, t2 là t-chuẩn Archimed, toỏn tử cho trong định lý 2.1.5. Tf(x,y) là t-chuẩn cú ngưỡng Archimed.
Hệ quả 2.1.7[1]. T(x,y,) là một t-chuẩn cú ngưỡng loại 1. Giả sử f : [0,1] [a,1] là đẳng cấu bảo toàn thứ tự. Nếu a min(1, 2) khi ấy Tf cú trong định lý 2.1.5 cũng là t-chuẩn cú ngưỡng với ngưỡng ‟ = (f-1
(1), f-2(2)).
Hệ quả 2.1.8[1]. T(x,y,) là một t-chuẩn cú ngưỡng loại Larsen với ngưỡng . Cho f : [0,1] [a,1] là đẳng cấu bảo toàn thứ tự. Nếu a min(1, 2) thỡ Tf cú trong định lý 2.1.5 cũng là t-chuẩn cú ngưỡng loại Larsen với ngưỡng
‟=(f-1
(1), f-2(2)) khi và chỉ khi f(x,y)=f(x).f(y) với mọi x1 và y2.
2.1.6. Cỏc phƣơng phỏp suy diễn mờ sử dụng t-chuẩn cú ngƣỡng
Trong lĩnh vực trớ tuệ nhõn tạo, cú rất nhiều cỏch thức khỏc nhau để biờủ diễn tri thức, trong đú cỏch thức phổ biến nhất để biểu diễn sự hiểu biết của con người là bằng ngụn ngữ tự nhiờn theo kiểu: IF giả thuyết,
THEN kết luận.
Thiết lập này được xem như là dạng luật cơ sở IF ..THEN
Đầu tiờn mụ tả ngắn gọn mụ hỡnh hệ thống mờ bằng cỏc dạng luật cơ sở : Cho V1, …Vn là một tập cỏc biến, được gọi là cỏc biến đầu vào. Với mỗi biến Vi (i=1..n) đều nhận giỏ trị trờn khụng gian nền Xi. Cho một biến U được gọi là biến đầu ra, biến này nhận giỏ trị trờn khụng gian nền Y
Một mụ hỡnh hệ thống mờ là một tập cỏc luật cú dạng IF (V1, …Vn ) is Ri THEN U is Bi
Trong đú Ri là tập mờ con của khụng gian nền X= X1 x X2 x….x Xn, Bi là tập mờ con của khụng gian nền. Cho một tập cỏc giỏ trị đầu vào giống nhau (Vj
= xj j=1..n). Quỏ trỡnh suy diễn mờ cung cấp một phương phỏp để thu được giỏ trị đầu ra từ cỏc luật mờ và cỏc giỏ trị đầu vào đó cho.
Giải thuật suy diễn mờ
1. Với mỗi luật, tỡm mức chỏy i
2. Với mỗi luõt, từ mức chỏy i và Bi hợp lý, sẽ tỡm đầu ra bi’ phự hợp 3. Kết hợp đầu ra của cỏc luật đú ta được đầu ra của hệ thống toàn thể đú là tập con mờ B
4. Khử mờ từ đầu ra toàn bộ đú ta được đầu ra của hệ thống Y
Một số phƣơng phỏp suy diễn sử dụng t-chuẩn cú ngƣỡng.
Để đơn giản chỳng ta xột hệ thống mờ sau đõy: R1: IF V1 is A11 and V2 is A12 THEN Y là B1
R2: IF V1 is A21 and V2 is A22 THEN Y là B2
Trong đú V1,V2 là cỏc biến đầu vào nhận giỏ trị trờn khụng gian nền X1,X2, U là biến đầu ra, A11,A12 là cỏc tập mờ thuộc tập X1 , A21 , A22 là cỏc tập mờ thuộc tập X2, B1 , B2 là cỏc tập mờ thuộc tập Y. Chỳng ta hóy xột cỏc bước của giải thuật suy diễn mờ sử dụng t-chuẩn cú ngưỡng.
Cho A là một tập mờ thuộc Z với hàm thuộc là A(z). Giả sử đầu vào tương tự nhau của V1, V2 là x1
* , x2 * . nghĩa là z1 * = A11(x1 * ), z2 * = A12(x2 * ) , z* = (z1 * , z2 * ), z1‟ = A21(x1 * ), z2‟ = A22(x2 * ) , z‟ = (z1‟ , z2‟ )
Vớ dụ chỳng tụi đưa ra phương phỏp tổng quỏt Madani tổng quỏt
Bƣớc 1: Với mỗi luật Ri i=(1,2), tỡm mức chỏy
Với cỏc biến đầu vào V1, V2 , sử dụng t-chuẩn cú ngưỡng
Ti(z,) = Ti(z1, z2, (1,2) với Ti(z,) = min(z1, z2) Nếu z1 1 và z2 2 Ti(z,) = ti(z1, z2) nếu z1 <1 hoặc z2 < 2 , trong đú z=(z1, z2), 0 1, z2 1, = (1, z2) là cỏc ngưỡng, ti(z1, z2) là một t chuẩn.
Vỡ vậy, với luật R1, mức chỏy tại cỏc giỏ trị của đầu vào (x1*
, x2 * ) là 1(x1*, x2* ) = T1(z*,), 2(x1*, x2* ) = T2(z‟,) nghĩa là: min(z1*,z2*) nếu z1*1 và z2*2 1(x1 * , x2 * ) = t1(z1 * ,z2 *) nếu z1* < 1 và z2 * < 2 và với luật R2 mức chỏy được định nghĩa là:
min(z1‟ ,z2‟) nếu z1‟ 1 và z2‟2 2(x1*, x2* ) = t1(z1‟ ,z2‟) nếu z1‟ < 1 và z2‟ < 2
Bƣớc 2: Xỏc định tập đầu ra mờ Bi‟. Ở bước này thực thi lại t-chuẩn cú ngưỡng Ti‟(u,) tương ứng với t-chuẩn ti‟(u1, u2), Ti‟(u,) = Ti‟(u1,u2,1,2)
Điều này được tớnh toỏn bằng mức chỏy của đầu vào i(x1 *
, x2 *
) và độ thuộc Bi(y) i=1,2
Khi đú với luật R1, độ thuộc B1‟(y) của tập đầu ra mờ B1‟ được định nghĩa cho mỗi y như sau:
min(u1 * , u2 *) nếu u1* 1, u2 * 2 B1‟(y) = t1(u1*, u2*) nếu u1* < 1, u2* < 2 với u1* = 1(x1*, x2* ) , u2* = B1(y) Tương tự cho luật R2, độ thuộc B2‟(y) của tập đầu ra mờ B2‟ được định nghĩa cho mỗi y là:
min(u1‟ , u2‟) nếu u1‟ 1, u2‟ 2 B2‟(y) = t1(u1‟ , u2‟) nếu u1‟ < 1, u2‟ < 2 với u1‟ = 2(x1 * , x2 * ),u2 * = B2(y)
Bƣớc 3: Kết hợp đầu ra của cỏc luật riờng lẻ Tập đầu ra mờ chung B‟ đạt được là:
B‟(y) = max(B1‟(y), B2‟(y))
Bƣớc 4: Khử mờ bằng phương phỏp trọng tõm vựng
2.2. Phộp kộo theo cú ngƣỡng
Định nghĩa 2.2.1[11]: Một phộp kộo theo mờ là một hàm I: [0,1] x [0,1]
[0,1] thoó món điều kiện Io: I(0,0) = 1, I(0,1) = 1, I(1,0) = 0, I(1,1) = 1.
Như đó định nghĩa ở trờn cỏc phộp kộo theo mờ thoả món cỏc điều kiện sau:
I1. Nếu x z thỡ I(x,y) I(z,y) với mọi y [0,1] I2. Nếu y u thỡ I(x,y) I(x,u) với mọi x [0,1] I3. I(0,y) = 1 với mọi y [0,1]
I4. I(x,1) = 1 với mọi x [0,1]
Cho là một ngưỡng, = (1, 2),0 < 1, 2 1 Cho S là t-conorm cú ngưỡng và n là phộp phủ định.
Định nghĩa 2.2.2[11]: một S-implication là một hàm Is: [0,1] x [0,1]
[0,1] cú dạng:
IS(x,y,) = S(n(x),y, )
Định lý 2.2.1[11]: S-implication Is là một phộp kộo theo mờ, đồng thời thoả món cỏc điều kiện I1, I2, I3, I4
Định nghĩa 2.2.3[11]: Cho T là một t-norm cú ngưỡng . Một T- implication là một hàm IT:
[0,1] x [0,1] [0,1] cú dạng: I(x,y,) = sup {u:T(x,y,) y)}.
Định lý 2.2.1[11]: I-implication IT là một phộp kộo theo mờ, đồng thời thoả món cỏc điều kiện I1, I2, I3, I4
Suy rộng của cỏc phộp kộo theo này như sau:
Cho I1(x,y), I2(x,y) là cỏc phộp kộo theo sao cho I1(x,y) I2(x,y), với mọi x,y
Định nghĩa 2.2.4[11]: Một phộp kộo theo cú ngưỡng I(x,y,) được định nghĩa là:
I1(x,y) nếu (1-1) x và y 2
I(x,y,) = I2(x,y) nếu x < (1-1) hoặc 2 <y
Định nghĩa 2.2.5[11]: Một phộp kộo theo cú ngưỡng I(x,y,) là một phộp kộo theo mờ. Nếu I1(x,y), I2(x,y) thoả món cỏc điều kiện I1, I2, I3, I4 thỡ I(x,y,) cũng thoả món cỏc điều kiện đú.
S-implication IS và I-implication IT là cỏc phộp kộo theo cú ngưỡng, thoả món cỏc điều kiện I1, I2, I3, I4
CHƢƠNG 3
CƠ SỞ DỮ LIỆU MỜ VÀ LUẬT KẾT HỢP MỜ 3.1.Cơ sở dữ liệu mờ.
Trong những năm gần đõy, CSDL mờ đó được nhiều tỏc giả trong và ngoài nước quan tõm nghiờn cứu và đó cú nhiều kết quả đỏng kể. Cú nhiều cỏch tiếp cận khỏc nhau như cỏch tiếp cận theo lý thuyết tập mờ, theo lý thuyết khả năng do Prade và Testemale năm 1983…Tất cả cỏc cỏch tiếp cận đú nhằm mục đớch nắm bắt và xử lý một cỏch thoả đỏng trờn một luận điểm nào đú cỏc thụng tin khụng chớnh xỏc (unexact), khụng chắc chắn (uncertainty) hay những thụng tin khụng đầy đủ (Incomplete). Do sự đa dạng của những loại thụng tin này nờn chỳng ta gặp khú khăn trong biểu thị ngữ nghĩa và thao tỏc với chỳng. Trong những năm gần đõy đại số gia tử được nhiều tỏc giả nghiờn cứu và cú nhiều kết quả đỏng kể, đặc biệt trong lập luận xấp xỉ và trong bài toỏn điều khiển. Trong luận văn này tỏc giả xin trỡnh bày cỏch tiếp cận nghiờn cứu CSDL mờ với ngữ nghĩa dựa trờn đại số gia tử.
3.1.1. Đại số gia tử và lập luận xấp xỉ
Để xõy dựng cỏch tiếp cận đại số gia tử, trong phần này tỏc giả xin trỡnh bày tổng quan một số nột cơ bản của đại số gia tử và khả năng biểu thị ngữ nghĩa dựa vào cấu trỳc đại số.
Xột miền ngụn ngữ của biến chõn lý TRUTH gồm cỏc từ sau: dom(TRUTH) = {true, false, very true, very false, more-or-less true, more-or- less false, possibly true, possibly false, approximately true, approximately false, little true, little false, very possibly true, very possibly false…}, trong đú true, false là cỏc từ nguyờn thuỷ, cỏc từ nhấn (mordifier hay intensifier) very, more- or-less, possibly, approximately, little gọi là cỏc gia tử.
Khi đú miền ngụn ngữ T = dom(TRUTH) cú thể biểu thị như một đại số AH = (X, C, H, ), trong đú C là tập cỏc từ nguyờn thuỷ được xem là tập cỏc phần tử sinh. H là tập cỏc gia tử được xem như là cỏc phộp toỏn một ngụi, quan hệ trờn cỏc từ (cỏc khỏi niệm mờ) là quan hệ thứ tự được “cảm sinh” từ ngữ nghĩa tự nhiờn. Vớ dụ dựa trờn ngữ nghĩa, cỏc quan hệ thứ tự sau là đỳng: false
true, more true very true nhưng very false more false, possibly true true nhưng false possibly false… .Tập X được sinh ra từ C bởi cỏc phộp tớnh trong H. Như vậy mỗi phần tử của X sẽ cú dạng biểu diễn x = hnhn-1…h1x, x C. Tập tất cả cỏc phần tử được sinh ra từ một phần tử x được ký hiệu là H(x). Nếu C cú
đỳng hai từ nguyờn thuỷ mờ thỡ một phần tử được gọi là phần tử sinh dương, kớ hiệu là c+, một phần tử kia gọi là phần tử sinh õm, ký hiệu là c-
và ta cú c- <c+. Như vậy ở trong vớ dụ trờn true là dương cũn false là õm.
Hai phần tử của đại số gia tử được gọi là đối nghịch nhau nếu chỳng cú dạng biểu diễn với cựng một dóy cỏc gia tử, nhưng phần tử sinh của chỳng khỏc nhau, tức là một cỏi là dương, một cỏi là õm. Một đại số gia tử là đối xứng nếu mỗi phần tử chỉ cú một phần tử đối nghịch.
Kết quả về đại số gia tử cú thể được phỏt biểu trong mệnh đề sau:
Định lý 3.1.1 [4]: Cú tồn tại một hệ tiờn đề hoỏ sao cho mỗi miền ngụn ngữ AH của biến ngụn ngữ trở thành dàn đầy đủ (complete lattice) cú một phần tử 0, một phần tử đơn vị 1 và một phần tử trung hoà. Như vậy phộp tuyển và phộp hội logic cú thể được định nghĩa trong cấu trỳc này. Hơn nữa nếu AH là một đại số gia tử đối xứng thỡ trong cấu trỳc đú ta cú thể định nghĩa phộp phủ định và phộp kộo theo và ta cú:
a) –hx = h – x với mọi h H
b) - -hx = x, -1 = 0, -0 = 1 và –W = W c) –(xy) = (-x-y) và -(xy) = (-x-y) d) x-x y-y với mọi x,y X
e) x-x W y-y f) x>y khi và chỉ khi x<-y g) x y = -x -y
h) x (y z ) = y (x z )
i) x y x‟ y‟ khi và chỉ khi x x‟ và /hoặc y y‟ j) 1 x = x, x 1 = 1, 0 x =1 và x 0 = -x k) x y W khi và chỉ khi hoặc x W hoặc y W l) x y W khi và chỉ khi hoặc y W hoặc x W m)x y W khi và chỉ khi hoặc x=0 hoặc y=1
3.1.2. Lập luận xấp xỉ dựa trờn đại số gia tử
Cho đại số gia tử AH = (X, C, H, ), với X là tập nền, C= {c+
, c- }, với c+ và c-
tương ứng với phần tử sinh dương và õm. H= H+ H- và H- = {h1, h2, …,hp
}, H+ = {hp+1, hp+2, …,hp+q },h1> h2> …>hp và hp+1< hp+2< …<hp+q
Định nghĩa 3.1.1[4]: f: X [0,1] gọi là hàm định lượng ngữ nghĩa của X nếu h, k H+ hoặc h, k H-và x, y X, ta cú:
=
Với đại số gia tử và hàm định lượng ngữ nghĩa ta cú thể định nghĩa tớnh mờ của một khỏi niệm mờ.
3.1.3. Tớnh mờ (fuzziness) của một giỏ trị ngụn ngữ
Xột cỏc giỏ trị : True, Very false,..
Cho trước hàm định lượng ngữ nghĩa f của X. Xột bất kỳ x X. Tớnh mờ của x khi đú được đo bằng đường kớnh của tập fs(H(x)) [0,1]
Định nghĩa 3.1.2[4] Cho fm: X [0,1] được gọi là độ đo tớnh mờ trờn X nếu thoả món cỏc điều kiện sau:
(1)fm(c-) = w >0 và fm(c+) =1- w >0 (2)Với c {c+, c- } thỡ
(3)Với x, y X và h H,
với c {c+, c- }, nghĩa là tỉ số này khụng phụ thuộc vào x vào y, được ký hiệu là (h) gọi là độ đo tớnh mờ của gia tử h
1/2 Little True 1
Poss True
True More
True Very True
ĐK của
f(H(Little True))
ĐK của f(H(Poss True)) ĐK của f(H(More True)) ĐK của f(H(Very True)) ĐK của f(H(True)) ) ( ) ( ) ( ) ( x f kx f x f hx f ) ( ) ( ) ( ) ( y f ky f y f hy f ) ( ) ( 1 c fm c h fm q p i i ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( c fm hc fm y fm hy fm x fm x h fm
Mệnh đề 3.1.1[4]
(1)fm(hx) = (h) fm(x) với x X
(2) , trong đú c {c+, c- } (3) với x X
(4) và với , >0 và + =1
3.1.4.Xõy dựng hàm định lƣợng ngữ nghĩa trờn cơ sở độ đo tớnh mờ của gia tử
Định nghĩa 3.1.3[4]: Hàm sgn: X {-1,0,1} là một ỏnh xạ được định nghĩa đệ qui như sau, với : h, h‟H
(1)sign(c-) = -1 và sign(hc-) = +sign(c-) nếu hc-
<c- sign(hc-) =-sign(c-) nếu hc-
>c- sign(c+) = +1 và sign(hc+
) = +sign(c+) nếu hc+
>c+ sign(hc+) =-sign(c-) nếu hc+
<c+
(2)sign(h‟hx) = -sign(hx) nếu h‟ là negative với h và h‟hx hx (3)sign(h‟hx) = +sign(hx) nếu h‟ là positive đối với h và h‟hx hx (4)sign(h‟hx) = 0 nếu h‟hx =hx
Định nghĩa 3.1.4[4]
Giả sử cho trước độ đo tớnh mờ của cỏc gia tử (h), và cỏc giỏ trị độ đo tớnh mờ của cỏc phần tử sinh fm(c-
), fm(c+) và w là phần tử trung hoà. Hàm định lượng ngữ nghĩa của X được xõy dựng như sau với x = him…hi2hi1c:
1). (c-) = w- fm(c-) và ) (c+) = w+ fm(c+)
2). (hjx) = (x)+sign(hjx)[ -1/2(1-sign(hix)sign(h1hix)(- )fm(hix)] nếu 1 jp
(hjx) = (x)+sign(hjx)[ -1/2(1-sign(hjx)sign(h1hjx)(-)fm(hjx)] nếu j>p
3.1.5. Xõy dựng quan hệ đối sỏnh trong miền trị của thuộc tớnh
í tưởng của việc mở rộng cơ sở dữ liệu quan hệ là làm thế nào để phản ỏnh một cỏch chớnh xỏc, đầy đủ những thụng tin khụng chắc chắn, thụng tin mờ. Trong tạp chớ tin học và điều khiển học, T17 S3(2001), 41-47 cỏc tỏc giả Hồ