một số lớp toán tử chuẩn hợp nhất trong lôgic mờ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN HUY CHINH MỘT SỐ LỚP TOÁN TỬ CHUẨN HỢP NHẤT TRONG LÔGIC MỜ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN HUY CHINH MỘT SỐ LỚP TOÁN TỬ CHUẨN HỢP NHẤT TRONG LÔGIC MỜ Chuyên ngành: Đảm bảo toán học cho máy tính và hệ thống tính toán Mã số : 604635 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH BÙI CÔNG CƯỜNG Hà Nội - 2011 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 CHƢƠNG 1 : CHUẨN HỢP NHẤT 3 1.1. Tập mờ, Logic mờ 3 1.1.1. Khái niệm tập mờ 3 1.1.2. Logic mờ và một số phép toán cơ bản của logic mờ. 6 1.1.3. Hàm chuyển 18 1.2. Chuẩn hợp nhất 19 1.2.1. Chuẩn hợp nhất 19 1.2.2. Tính chất của toán tử chuẩn hợp nhất: 20 1.2.3 Chuẩn hợp nhất dạng min và dạng max 22 1.2.4. Chuẩn hợp nhất lũy đẳng 25 1.2.4. Chuẩn hợp nhất biểu diễn 31 CHƢƠNG 2: PHÉP KÉO THEO 35 2.1 Phép kéo theo 35 2.1.1. Định nghĩa phép kéo theo 35 2.1.2. Các dạng hàm kéo theo định nghĩa bằng các hàm t-chuẩn, t-đối chuẩn và phủ định : 35 2.2 Phép kéo theo (U,N) 36 2.3 Phép kéo theo RU 38 2.4 Phép kéo theo QL 42 2.5 Phép kéo theo D 50 CHƢƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA CHUẨN HỢP NHẤT TRONG ĐIỀU KHIỂN MỜ 54 3.1. Chuẩn hợp nhất lũy đẳng 54 3.2. Quá trình điều khiển với yếu tố mờ, không chắc chắn 55 3.3. Biến ngôn ngữ 58 3.4. Cấu trúc cơ bản 58 3.5. Cơ sở luật 59 3.6. Khâu mờ hóa 59 3.7. Mô tơ suy diễn 61 3.7.1. Xác định giá trị của các luật: 61 3.7.2. Xác định giá trị luật hợp thành: 63 3.8. Khâu giải mờ 63 KẾT LUẬN 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO 66 1 MỞ ĐẦU Từ nhiều năm trở lại đây, lí thuyết tập mờ và logic mờ phát triển rất nhanh và đa dạng. Công nghệ mờ và công nghệ mạng nơ-ron đã cung cấp nhiều công nghệ mới cho các ngành công nghiệp làm ra nhiều sản phẩm thông minh, đáp ứng nhu cầu thị trường cần có bộ điều khiển linh hoạt hơn, những thiết bị biết làm việc với những bài toán khó, phải xử lí nhiều loại thông tin mập mờ, chưa đầy đủ và thiếu chính xác. Logic mờ đã đóng góp rất cơ bản cho lập luận xấp xỉ trong những tình huống mới phức tạp như là tình huống thông tin thiếu chính xác, chưa đầy đủ. Trong lôgic mờ khái niệm t-chuẩn và t-đối chuẩn đóng vai trò quan trọng trong việc tổng quát hóa các toán tử kết hợp and và or. Các toán tử này được xác định trong đoạn [0,1] nhưng khác nhau ở phần tử trung hòa của chúng. Đối với t- chuẩn phần tử đơn vị là 1 còn đối với t-đối chuẩn phần tử đơn vị là 0. Hợp nhất và tổng quát hóa các toán tử này bằng cách gán phần tử đơn vị là một số nằm trong một khoảng đơn vị. Ta gọi cách tổng quát hóa lớp các toán tử này là toán tử chuẩn hợp nhất. Nội dung chính của luật văn là tôi tìm hiểu toán tử chuẩn hợp nhất, ứng dụng của nó trong việc xây dựng phép kéo theo và phần tiếp theo tôi mạnh dạn đề xuất « mang tính chất định hướng » : ứng dụng của chuẩn hợp nhất trong việc xác định giá trị của luật hợp thành trong điều khiển mờ. Luận văn gồm 3 chương: Chƣơng 1, Toán tử Chuẩn hợp nhất. Trong luận văn này, tôi chỉ đề cấp đến các lớp chuẩn hợp nhất phổ biến sau đây và các tính chất của nó: + Lớp chuẩn hợp nhất dạng min và dạng max + Lớp chuẩn hợp nhất lũy đẳng. + Lớp chuẩn hợp nhất biểu diễn và Lớp chuẩn hợp nhất liên tục. Chƣơng 2, Phép kéo theo . Nội chính là ứng dụng của toán tử chuẩn hợp nhất trong việc xậy các phép kéo theo sau : 2 + Phép kéo theo (U,N) + Phép keo theo RU + Phép kéo theo QL + Phép kéo theo D Chƣơng 3, Ứng dụng của chuẩn hợp nhất trong Điều khiển mờ : Nội dung chính là : ứng dụng của chuẩn hợp nhất trong việc xác định giá trị của luật hợp thành trong điều khiển mờ. Do thời gian có hạn và khả năng còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến từ các thầy cô giáo để hoàn thiện hơn bản luận văn của mình. Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán-Cơ-Tin học đã hướng dẫn chúng em trong thời gian học tập tại trường. Em xin cảm ơn PGS.TSKH Bùi Công Cường đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành bài luận văn này. 3 CHƢƠNG 1 CHUẨN HỢP NHẤT 1.1. Tập mờ, Logic mờ 1.1.1. Khái niệm tập mờ a. Định nghĩa tập mờ * Định nghĩa 1.1.1: Tập mờ A trên tập X là tập mà mỗi phần tử của nó là một cặp (x,μ A (x)), với xX và μ A là một ánh xạ: : [0,1] A X   . X gọi là tập nền (không gian nền) A  gọi là hàm thuộc (membership function). () A x  là độ thuộc của x vào tập mờ A. Tập A được gọi là tập rỗng nếu nó không có phần tử nào. Kí hiệu là: A   * Các ví dụ: + Ví dụ 1.1.1: Cho không gian nền X = [0, 200] là tập chỉ các tốc độ của xe ôtô (đơn vị là km/h). Xét tập mờ A = ”Những tốc độ được coi là nhanh ” xác định bởi hàm thuộc A  như đồ thị sau: 1 0.85 0.5 100 40 60 80 X A  120 Hình 1.1 Đồ thị hàm thuộc A  4 + Ví dụ 1.1.2 : Vết vân tay của tội phạm trên hiện trường là một ví dụ về tập mờ được cho trong hình sau: Hình 1.2: Để cho gọn, ta kí hiệu độ thuộc là A(x) thay cho () A x  . Ta cũng kí hiệu A={( () A x  /x):x  X} + Ví dụ 1.1.3: A 0 = một vài (quả cam) ={ (0/0),(0/1),(0.6/2),(1/3),(1/4),(0.8/5),(0.2/6)} Ta sẽ kí hiệu: F(X) = {A tập mờ trên X} b. Các phép toán đại số trên tập mờ : * Định nghĩa 1.1.2: Cho A , B là hai tập mờ trên không gian nền X, có các hàm thuộc là , AB  . Khi đó phép hợp AB , phép giao AB và phần bù C A là các tập mờ trên X với các hàm thuộc cho bởi: ( ) ax{ ( ), ( )}, x X ( ) in{ ( ), ( )}, x X ( ) 1 ( ), x X C A B A B A B A B A A x m x x x m x x xx               * Định nghĩa 1.3: Cho , ( )A B F X . Ta nói: AB nếu ( ) ( ) AB xx   với mọi xX AB nếu ( ) ( ) AB xx   với mọi xX Do đó: AB nếu ( ) ( ) AB xx   với mọi xX Với các tập mờ thì nhiều tính chất của tập rõ vẫn còn đúng. Mệnh đề sau sẽ minh họa điều đó. 1 ( ) 1 A x   2 ( ) 0.7 A x   5 * Mệnh đề 1.1.1: Cho , , ( )A B C F X . Ta có các tính chất sau: a) Giao hoán: ;A B B A A B B A      b) Kết hợp: ( ) ( )A B C A B C     ( ) ( )A B C A B C     c) Lũy đẳng: ;A A A A A A    d) Phân phối: ( ) ( ) ( )A B C A B A C      ( ) ( ) ( )A B C A B A C      e) A   và A X X f) Đồng nhất: AA   và A X A g) Hấp thu: ()A A B A   và ()A A B A   h) Luật De Morgan: () C C C A B A B   và () C C C A B A B   i) Cuộn: () CC AA j) Dạng tƣơng đƣơng: ( ) ( ) ( ) ( ) C C C C A B A B A B A B       k) Hiệu đối xứng: ( ) ( ) ( ) ( ) C C C C A B A B A B A B       Chứng minh:(Ở đây ta chứng minh một vài đẳng thức để minh họa) + Chứng minh đẳng thức của tính chất phân phối: ( ) ( )A B C A B C     Đặt: 12 ( ), ( )D A B C D A B C      Lấy x tùy ý, cố định.Ta sẽ chỉ rõ rằng: 12 ( ) ( ) DD xx   Kí hiệu ( ), ( ), ( ) A B C a x b x c x       Do x cố định, như vậy ứng với véc tơ (a, b, c) ta chỉ cần xét 6 trường hợp và được cho trong bảng sau: ( )( )B C x 1 ()Dx ( )( )A C x 2 ()Dx abc c c c c a c b b b c b b c a c a a a bac c c c c c a b b b a b c b a b a a a 6 1.1.2. Logic mờ và một số phép toán cơ bản của logic mờ. Trong những suy luận đời thường cũng như trong các suy luận khoa học chặt chẽ, logic toán học đã đóng vai trò rất quan trọng . Nhưng đáng tiếc, chiếc áo logic toán học cổ điển đã quá chật hẹp đối với những ai mong muốn tìm kiếm những cơ sở vững chắc cho những suy luận phù hợp hơn với những bài toán nảy sinh từ nghiên cứu và thiết kế những hệ thống phức tạp, đặc biệt là những cố gắng đưa những suy luận giống như cách con người vẫn thường sử dụng vào các lĩnh vực trí tuệ nhân tạo (chẳng hạn trong các hệ chuyên gia, các hệ hỗ trợ quyết định, các bộ phần mềm lớn,…) hay vào trong công việc thiết kế và điều khiển, vận hành các hệ thống lớn, phức tạp sao cho kịp thời và hiệu quả. Trong sự phát triển đa dạng của các hệ mờ, dựa trên cách tiếp cận mới của lí thuyết tập mờ, logic mờ giữ một vai trò cơ bản.Trong chương này, ta sẽ hiểu logic mờ theo nghĩa đủ “hẹp” – đó là phần trực tiếp suy rộng logic mệnh đề cổ điển thông qua việc trình bày một số công cụ củ chốt của logic mờ: các liên kết logic cơ bản. 1.1.2.1. Logic mệnh đề cổ điển: Ta kí hiệu P là tập hợp các mệnh đề và P, P 1 , Q, Q 1 …là những mệnh đề. Với mỗi mệnh đề P  P , ta gán một giá trị v(P) là giá trị chân lí của mệnh đề. Logic cổ điển đề nghị v(P) =1 nếu P là đúng, v(P) = 0 nếu P là sai. Trên P chúng ta xác định trước tiên 3 phép toán cơ bản và rất trực quan: - Phép tuyển: P OR Q, kí hiệu là PQ , đó là mệnh đề “hoặc P hoặc Q” - Phép hội: P AND Q, kí hiệu là PQ , đó là mệnh đề “vừa P vừa Q” - Phép phủ định: NOT P , kí hiệu là P , đó là mệnh đề “không P”. Dựa vào 3 phép toán logic cơ bản này, người ta đã định nghĩa nhiều phép toán khác, nhưng quan trọng nhất là phép kéo theo (implication), kí hiệu là PQ . * Định nghĩa 1.1.4: Khi sử dụng các liên kết logic: phép tuyển, phép hội, phép phủ định, phép kéo theo và phép tương đương (  ), giá trị chân lí của mệnh đề hệ quả được xác định phụ thuộc vào giá trị chân lí của các mệnh đề gốc P, Q cho trong bảng sau: [...]...  y  2e x  y  2e là chuẩn hợp nhất có phần tử trung hòa là e là chuẩn hợp nhất có phần tử trung hòa là e 1.2.2 Tính chất của toán tử chuẩn hợp nhất: + Tính chất 1.2.1: Khi e = 1 thì U là t _chuẩn, e=0 thì U là t_đối chuẩn + Tính chất 1.2.2: Tồn tại một luật Morgan đối ngẫu cho toán tử chuẩn hợp nhất Tức là: Giả sử U là một chuẩn hợp nhất với phần tử trung hòa e Khi đó toán tử U‟ được xác định: U... Tính kết hợp - Hai toán tử này chỉ khác nhau tính chất thứ 4 : + t_ chuẩn có tính chất : T( x,1)=x (có phần tử trung hòa là 1) + t_đối chuẩn có tính chất : S(x,0)=x (có phần tử trung hòa là 0) - Vậy chúng ta có thể gộp 2 toán tử hai ngôi này để xây dựng toán toán tử hai ngôi kết hợp Toán tử hai ngôi kết hợp mới này gọi là chuẩn hợp nhất có 3 tính chất đầu giống như 3 tính của t _chuẩn và t_đối chuẩn và... hội + U(0,1)=0 thì U được gọi là chuẩn hợp nhất dạng tuyển 1.2.3 Chuẩn hợp nhất dạng min và dạng max Định lý 1.2.1: Cho hai đẳng cấu tăng  e: [0,e]  [0,1],  e : [e,1]  [0,1] và toán tử hai ngôi U: [0,1]2  [0,1] U là chuẩn hợp nhất với phần tử trung hòa e  (0,1) nếu và chỉ nếu tồn tại một t -chuẩn T, một t-đối chuẩn S và một chuẩn hợp nhất U* có PT trung hòa là e, thỏa mãn điều kiện: min(x,y)≤U*(x,y)≤max(x,y)... U(x,e) = x Vậy với toán tử chuẩn hợp nhất U bấy kỳ có phần tử trung hòa e thì: + Với (x,y)  [0,e]2 tính chất của U giống như tính chất của t _chuẩn + Với (x,y)  [e,1]2 tính chất của U giống như tính chất của t_đối chuẩn + Các trường hợp còn lại thì: min(x,y) ≤ U(x,y) ≤ max(x,y) Ngược lại U : [0,1]2  [0,1] là toán tử hai ngôi thỏa mãn công thức (1.1) rõ ràng U là chuẩn hợp nhất có phần tử trung hòa là... U(x,y)=1 Chú ý: + Cho chuẩn hợp nhất biểu diễn U thì U(x,1)=1 với mọi x >0 và U(x,0)=0 với mọi xe thì U(0,1)=U(0,U(1,1))=U(U(0,1),1)=U(x,1)=1 suy ra U(0,1)=1 21 Định nghĩa 1.2.2: Cho chuẩn hợp nhất U: [0,1]2→[0,1] + U(0,1)=1 thì U được gọi là chuẩn hợp nhất dạng hội + U(0,1)=0 thì U được gọi là chuẩn hợp nhất dạng... e+(1-e)S  ;   1-e 1-e   min(x,y)   khi ( x, y ) [0,e]2 khi ( x, y ) [e,1]2 (1.3) khác đi Ký hiệu lớp các chuẩn hợp nhất có công thức (1.3) là Umin Định nghĩa 1.2.4: Một toán tử U: [0,1]2→[0,1] gọi là chuẩn hợp nhất dạng max với phần tử trung hòa e  (0,1) nếu tồn tại t -chuẩn T và một t-đối chuẩn S sao cho U được cho bởi công thức sau: 24  x y khi ( x, y ) [0,e]2 eT  e , e       x-e... 1 e  khác đi max(x,y)   max có phần tử trung hòa là e 1.2.4 Chuẩn hợp nhất lũy đẳng Định nghĩa 1.2.5: Chuẩn hợp nhất U được gọi là chuẩn hợp nhất lũy đẳng nếu U(x,x) = x với mọi x  [0,1] Định lý 1.2.2(M.Mas, M.Monzerrat and J.Torrens[2, Theorem 6]): U là chuẩn hợp nhất lũy đẳng với phần tử trung hòa e  [0,1] nếu và chỉ nếu có một hàm giảm g: [0,1]  [0,1] với g(e) = e sao cho: 25 khi  min(... giữa t -chuẩn và t-đối chuẩn) : Cho n là một phép phủ định mạnh Khi đó : a) S(x,y) là một t-đối chuẩn và T(x,y) cho bởi : T(x,y) = n(S(n(x),n(y)) với mọi x,y  [0,1] Khi đó T(x,y) là một t -chuẩn b) Đối ngẫu, cho T(x,y) là một t -chuẩn và S(x,y) cho bởi : S(x,y)= n(T(n(x),n(y)) với mọi x,y  [0,1] Khi đó S(x,y) là một t-đối chuẩn Chứng minh :Ta chứng minh trường hợp a) Để chứng minh T(x,y) là một t -chuẩn. .. hàm phủ định mạnh thì toán tử N :[0,1]  [0,1] được xác định bởi công thức sau: N  (x)=  -1(N(  (x))) cũng là hàm phủ định mạnh Ví dụ 1.2.12: N(x)=1-x với mọi x  [0,1] là hàm phủ định mạnh vậy N  (x)=  1 (1-  (x))(2) với mọi x  [0,1] cũng là hàm phủ định mạnh 18 1.2 Chuẩn hợp nhất 1.2.1 Chuẩn hợp nhất Như ta đa biết với t _chuẩn và t_đối chuẩn ta có: + Một t -chuẩn T là một ánh xạ T: [0,1]x[0,1] . các lớp chuẩn hợp nhất phổ biến sau đây và các tính chất của nó: + Lớp chuẩn hợp nhất dạng min và dạng max + Lớp chuẩn hợp nhất lũy đẳng. + Lớp chuẩn hợp nhất biểu diễn và Lớp chuẩn hợp nhất. nằm trong một khoảng đơn vị. Ta gọi cách tổng quát hóa lớp các toán tử này là toán tử chuẩn hợp nhất. Nội dung chính của luật văn là tôi tìm hiểu toán tử chuẩn hợp nhất, ứng dụng của nó trong. : CHUẨN HỢP NHẤT 3 1.1. Tập mờ, Logic mờ 3 1.1.1. Khái niệm tập mờ 3 1.1.2. Logic mờ và một số phép toán cơ bản của logic mờ. 6 1.1.3. Hàm chuyển 18 1.2. Chuẩn hợp nhất 19 1.2.1. Chuẩn hợp