Một số toán tử chuẩn hợp nhất trong logic mờ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ………………………………………… NGUYỄN THANH XUÂN MỘT SỐ TOÁN TỬ CHUẨN HỢP NHẤT TRONG LOGIC MỜ Chuyên ngành: Toán tin – Toán ứng dụng LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN TIN – TOÁN ỨNG DỤNG NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TSKH BÙI CÔNG CƯỜNG Hà nội - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ………………………………………… NGUYỄN THANH XUÂN MỘT SỐ TOÁN TỬ CHUẨN HỢP NHẤT TRONG LOGIC MỜ Chuyên ngành: Toán tin – Toán ứng dụng LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN TIN – TOÁN ỨNG DỤNG NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TSKH BÙI CÔNG CƢỜNG Hà nội - 2012 Mục lục LỜI CẢM ƠN .3 LỜI NÓI ĐẦU CHƢƠNG I:MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ T- chuẩn T- đối chuẩn I 1.1 Toán tử t - chuẩn 1.2 Toán tử t – đối chuẩn Phép phủ định mạnh số tính chất II 1.3 III Phép phủ định mạnh Chuẩn hợp 10 1.4 Chuẩn hợp 10 1.5 Tính chất biểu diễn chuẩn hợp 14 IV Phép kéo theo 14 1.6 Toán tử kéo theo 14 1.7 Một số phép kéo theo quan trọng sử dụng rộng rãi 15 1.8 Điều kiện Lipschits 16 CHƢƠNG II: PHÉP QL-KÉO THEO TỪ CHUẨN HỢP NHẤT 17 2.1 Phép QL – kéo theo 17 2.2 Điều kiện cần để 2.3 Phép lũy đẳng: 21 2.4 Điều kiện đủ để 3.1 Mối quan hệ QL - kéo theo D - kéo theo 26 3.2 Tính chất phép D – kéo theo 27 3.3 Một vài tính chất QL-kéo theo D-kéo theo 31 toán tử kéo theo 18 toán tử kéo theo 22 Kết luận .35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 Tiếng Việt 36 Tiếng Anh 36 Luận văn thạc sĩ LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS.TSKH.Bùi Công Cƣờng giúp đỡ em nhiều trình tìm kiếm tài liệu nhƣ hoàn thành Sự bảo tận tình thầy suốt trình từ ý tƣởng ban đầu luận văn đƣợc hoàn thành trợ giúp lớn em Em xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo giảng dạy em, đặc biệt thầy, cô giáo khoa Toán Tin ứng dụng Những kiến thức thu nhận đƣợc từ thầy, cô hỗ trợ em nhiều trình hoàn thành luận văn Em xin cảm ơn bạn học lớp Toán Tin, Đại học Bách Khoa Hà Nội, anh chị bạn thuộc Seminar Lý thuyết mờ Mạng Nơron, đóng góp ngƣời giúp em hoàn chỉnh đƣợc luận văn Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn tới cha mẹ, chị gái em, cổ vũ động viên ngƣời động lực lớn giúp em hoàn thành đƣợc luận văn Do hạn chế trình độ, kiến thức nhƣ tài liệu tham khảo, luận văn em nhiều thiếu sót Em mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp từ thầy, cô, nhƣ từ bạn để hoàn thiện kiến thức mình, nhƣ tiếp tục hƣớng nghiên cứu Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội - 2012 LỜI NÓI ĐẦU Con ngƣời giao tiếp ngôn ngữ tự nhiên, mà chất ngôn ngữ tự nhiên mơ hồ không xác Tuy vậy, hầu hết tình huống, ngƣời hiểu điều mà ngƣời khác muốn nói với Khả hiểu sử dụng ngôn ngữ tự nhiên, thực chất hiểu xử lý thông tin không xác chứa đó, coi thƣớc đo mức độ hiểu biết, thông minh ngƣời Con ngƣời mơ ƣớc máy tính, ngƣời bạn, ngƣời giúp việc đắc lực mình, ngày thông minh hiểu biết Vì vậy, nhu cầu làm cho máy tính hiểu xử lý đƣợc thông tin không xác, xấp xỉ, chừng nhu cầu thiết Logic mờ đời cung cấp công cụ hữu hiệu để nghiên cứu xây dựng hệ thống có khả xử lý thông tin không xác Nhờ có logic mờ mà ngƣời xây dựng đƣợc hệ điều khiển có tính linh động cao Chúng hoạt động tốt điều kiện có nhiều nhiễu tình chƣa đƣợc học trƣớc Nhờ có logic mờ mà ngƣời xây dựng đƣợc hệ chuyên gia có khả suy luận nhƣ chuyên gia hàng đầu có khả tự hoàn thiện thông qua việc thu nhận tri thức Chuẩn hợp dạng đặc biệt toán tử gộp, đƣợc ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực hệ chuyên gia, mang nơ ron, mà hệ mờ Nó đặc biệt cấu trúc sực kết hợp đặc biệt hai toán tửt – chuẩn t – đối chuẩn Trong lý thuyết tập mờ, hàm kéo theo thƣờng đƣợc xây dựng từ toán tử t – chuẩn t – đối chuẩn theo cách khác nhƣ: phép kéo theo mạnh, QL – Kéo theo, D – Kéo theo Các phép QL – Kéo theo, D – Kéo theo gần đƣợc nghiên cứu công trình [11,17,16] Sự quan trọng phép kéo theo chỗ biểu diễn cho giá trị chân lý mệnh đề mờ dạng IF-THEN hệ mờ, mà biểu diễn cho giá trị chân lý suy Luận văn thạc sĩ diễn lý thuyết lập luận xấp xỉ, điều khiển mờ Đó lý khiến cho việc nghiên cứu toán lớp toán tử kéo theo trở nên quan trọng có ý nghĩa thời Luận văn nghiên cứu hai lớp toán tử kéo theo đƣợc sinh từ lớp toán tử hợp Lớp thứ lớp QL – Kéo theo đƣợc xác định [0,1] N phép phủ định mạnh, U U’ , với x,y lần lƣợt phép hội phép tuyển hợp Lớp thứ hai D – kéo theo dạng [0,1] Tuy nhiên với cách định , với x,y nghĩa nhƣ lúc toán tử toán tử kéo theo Vì trọng tâm luận văn nghiên cứu điều kiện cần đủ để toán tử định nghĩa nhƣ toán tử kéo theo Bằng chứng minh toán học chặt chẽ toán tử QL – Kéo theo toán tử là D – Kéo theo điều kiện cần cho khẳng định chuẩn hợp U’ phải t – đối chuẩn, U’ phải phép lũy đẳng liên kết với phép phủ định mạnh trƣờng hợp liên tục Luận văn dài 30 trang, phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn đƣợc chia thành 3chƣơng Chƣơng I: Kiến thức chuẩn bị Trong chƣơng đƣa khái niệm t-chuẩn t-đối chuẩn, phép phủ định mạnh toán tử binary Đặc biệt khái niệm chuẩn hợp đƣợc giới thiệu chƣơng đƣợc sử dụng xuyên suốt nội dung luận văn Chƣơng II: Nghiên cứu phép QL-kéo theo từ chuẩn hợp Chƣơng III: Nghiên cứu phép D-kéo theo từ chuẩn hợp nhất.Một vài tính chất QL-kéo D-kéo theo Tác giả Nguyễn Thanh Xuân Luận văn thạc sĩ CHƯƠNG I:MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chƣơng trình bày số kiến thức số lớp toán tử thƣờng đƣợc sử dụng logic mờ: lớp toán tử t - chuẩn, t - đối chuẩn I T- chuẩn T- đối chuẩn 1.1 Toán tử t - chuẩn Định nghĩa 1.1 Hàm hai biến gọi t-chuẩn thỏa mãn điều kiện sau: 1) 2) , , , , 3) , 4) , Ví dụ 1.1 Chúng ta thƣờng gặp số t chuẩn có dạng nhƣ sau: Lớpt-chuẩn tích đại số Lớpt-chuẩn Lớpt-chuẩn Einstein Lớp t-chuẩn Yager { } Lớp t-chuẩn Dubois – Prade Lớpt-chuẩn Dombi ( ⁄ ) , 1.2 Toán tử t – đối chuẩn Định nghĩa 1.2 Hàm hai biến s gọi s-chuẩn (hoặc t-đối chuẩn) thỏa mãn điều kiện sau: 1) 2) 3) Nếu 4) Ví dụ 1.2: Lớp s-chuẩn tổng đại số: Lớp s-chuẩn tổng Enstein Lớp -chuẩn max Lớp s-chuẩn Yager ⁄ với Lớp s- chuẩn Dubois –prade với Lớp s-chuẩn Dombi Luận văn thạc sĩ ( ⁄ ) II Phép phủ định mạnh số tính chất 1.3 Phép phủ định mạnh Định nghĩa 1.3 Hàm phép phủ định mạnh thỏa mãn: I ( II ) Ví dụ Trong ví dụ ta chọn Xét Suy ra: Hơn nữa: ( ( ) ) Do đó, phép phủ định mạnh Mệnh đề 1.1 song ánh, tăng Khi Cho ( ) phép phủ định mạnh Định nghĩa 1.4 song ánh, tăng, Cho hai biến Khi ( toán tử ) gọi - biến đổi F hàm cho Luận văn thạc sĩ Ví dụ 2.1 Cho U chuẩn hợp nhấttrong mệnh đề 14 song ánh tăng Trong chứng minh mệnh đề 14 ta có phép kéo theo-QL đƣợc cho bởi: ế ườ { ặ ợ Biểu diễn phép kéo theo đƣợc mô tả Hình Hình 1: Biểu diễn phép kéo theo Mệnh đề 2.4 Giả sử chuẩn hợp l p song ánh tăng Kí hiệu hạn chế hàm đoạn Khi cho công thức: 23 là phép kéo theo biến đổi T thỏa mãn điều kiện Lipschitz v i trường hợp v i Hơn nữa, { ( ế ế ) (2.7) ế ( ( )) Chứng minh Giả sử phép kéo theo Lấy y Vì giảm theo biến thứ nên từ phƣơng trình (2.3) ta nhận đƣợc: ( ( Do đó: ) ) ( ( ( ) )) Bất đẳng thức cho hàm dung với giá trị nhỏ ta đƣợc: e Lấy ( với Vì cho ) biến đổi thỏa mãn điều kiệnLipschitz Ngƣợc lại để chứng minh không giảm theo biến thứ phép kéo theo ta cần kiểm tra tính Hơn nữa, ta cần chứng minh điều với với Ta chia phép chứng minh thành trƣờng hợp:  Trƣờng hợp 1: Khi từ lí luận ta suy (x,y) Luận văn thạc sĩ  Trƣờng hợp 2: Vì U=(e,T,S) ( Do ( )  Trƣờng hợp nên ta có U ) (x,y) Từ trƣờng hợp ta suy (e,y) Do ( ) ( ) (x,y) Từ ta suy biểu diễn Hình 2: Biểu diễn Biểu diễn đƣợc mô tả Hình , với * 25 ( ) CHƢƠNG III: PHÉP D-KÉO THEO TỪ CHUẨN HỢP NHẤT Giả sử lần luợt chuẩn hợp liên kết phân chia với phần tử trung lập e e’.Cho N phép phủ định mạnh Ta ký hiệu toán tử D nhƣ sau: ( ( ) ) (3.1) Chú ý phép D- kéo theo tƣơng phản phép QL-kéo theo theo thông qua phép phủ định N Thật vậy, cho trƣớc U,U’, N ta có: (3.2) Tƣơng tự nhƣ Chƣơng II, chƣơng nghiên cứu điều kiện cần đủ để toán tử phép kéo theo Chú ý trƣờng hợp , hàm phƣơng trình (3 ) thỏa mãn điều kiện phép kéo theo ngoại trừ tính tăng theo biến thứ hai Chúng ta bắt đầu với mệnh đề chứng minh mối quan hệ chặt chẽ QL - phép kéo theo D - phép kéo theo 3.1 Mối quan hệ QL - kéo theo D - kéo theo Mệnh đề 3.1 Cho U chuẩn hợp liên kết phân chia, N phép phủ định mạnh Khi toán tử QL - kéo theo Chứng minh: phép D - kéo theo toán tử phép Luận văn thạc sĩ Giả sử phép kéo theo Để chứng minh cần kiểm tra tính tăng theo biến thứ hai phép kéo theo Giả sử cho Khi ID x,y =IQ N(x),N(y ) IQ N(x),N(y )=ID x,y ; x,y,y Do , phép kéo theo Chiều ngƣợc lại chứng minh tƣơng tự 3.2 Tính chất phép D – kéo theo Mệnh đề 3.2 Cho U chuẩn hợp liên kết phân chia, N phép phủ định mạnh cho toán tử D tương ứng l 1phép kéo theo Khi t- đối chuẩn thỏa mãn: ( ) Chứng minh: Ta có: Thay vào ta đƣợc Từ ta có Hơn giảm theo biến thứ ( Ta lại có ) ( Từ suy ra: ) 27 Để chứng minh t- đối chuẩn ta cần chứng minh Mệnh đề Thật từ (1) (2) ta có đƣợc chứng minh Trong trƣờng hợp liên tục ta lại có U’ lũy đẳng t-đối chuẩn, ánh thỏa mãn Khi ( , với song ta có ) Chú ý 3.1 Chú ý hay Do ta có Mặt khác từ biểu diễn trên, D-toán tử hàm chuẩn hợp nhấtU Ta kí hiệu biểu diễn , Mệnh đề 3.3 Cho chuẩn hợp liên kết v i phần tử trung lập l song ánh tăng i) Nếu hạn chế Khi hàm kéo theo U liên tục , từ suy U biểu diễn ii) Nếu U lũy đẳng phép kéo theo U thuộc Umin iii) Nếu U thuộc Uminv i nếuphép biến đổi nữa, trường hợp phép kéo theo T thỏa mãn điều kiện Lipschitz v i cho công thức sau Luận văn thạc sĩ ế ( { ) ế ế Trong B(x,y) xác định bởi: ( ( ) ) Chứng minh: Giả sử phép kéo theo Lấy y Vì giảm theo biến thứ nên từ phƣơng trình (9) ta nhận đƣợc ( ( Do cho hàm ) ) ( ( ( ) )) Bất đẳng thức dung với giá trị nhỏ e Lấy a= ta đƣợc: ( với , cho ) Vì dịch chuyển T thỏa mãn điều kiện Lipschitz Ngƣợc lại để chứng minh không giảm theo biến thứ phép kéo theo ta cần kiểm tra tính Hơn nữa, ta cần chứng minh điều với (x,y)=1 với Ta chia phép chứng minh thành trƣờng hợp:  Trƣờng hợp 1: Khi từ lí luận ta suy (x,y) 29  Trƣờng hợp 2: Vì U=(e,T,S) ( Do ( )  Trƣờng hợp nên ta có U ) (x,y) Từ trƣờng hợp ta suy (e,y) Do ( ) ( ) (x,y) Từ ta suy biểu diễn Biểu diễn đƣợc mô tả Hình Hình 3: Biểu diễn tổng quát D-kéo theo Chú ý 2.1: Chú ý D kéo theo nhận đƣợc phần ii) mệnh đề trƣờng hợp đặc biệt phép D-kéo theo phần iii) cách cho T toán tử Biểu diễn trƣờng hợp nàylà { ế ( ) ườ ặ ợ Luận văn thạc sĩ Biểu diễn tổng quát D-kéo theo phần iii) trƣờng hợp đặc biệt phần ii) đƣợc minh họa Hình 3.3 Một vài tính chất QL-kéo theo D-kéo theo Trong phần này, nghiên cứu vài tính chất QL-kéo theo D-kéo theo Chú ý phép QL – kéo theo D - kéo theo đƣợc xây dựng từ t - chuẩn t-đối chuẩn chúng có số tính chất quen thuộc (xem [11]) Những tính chất không trƣờng hợp phép QL – kéo theo D - kéo theo đƣợc xây dựng từ chuẩn hợp Chẳng hạn nhƣ, trƣờng hợp tchuẩn t -đối chuẩn, IQ ID phépkéotheo Chúng thỏa mãn Chúng trùng nhiều trƣờng hợp nhiều trƣờng hợp chúng thỏa mãn tính phản đối xứng N nguyên lý trao đổi (xem [11]) Trong chuẩn hợp ta có trƣờng hợp sau Mệnh đề 4.1 Cho S v S l hai toán tử T-đối chuẩn, N v N l hai phép phủ định mạnh, U v U l hai chuẩn liên kết v i phần tử trung hòa e (0,1) v e (0,1) 31 tương ứng Cho IQ toán tử QL – kéo theo nhận từ S, N,U ID toán tử Dkéo theo nhận từ S , N ,U Khi ta có: i) ID thỏa mãn ID(1,y)=y v i y thuộc [0,1], IQ tính chất ii) IQ(x,0)=N(x) v i x thuộc [0,1], ID không thỏa mãn ID(x,0)=N (x) iii) IQ khác ID iv) IQ , ID không thỏa mãn tính phản xứng đối v i phép phủ định mạnh v) IQ không thỏa mãnnguyên lý trao đổi Chứng minh Với y thuộc khác với ta có Mặt , ta có i) Với x thuộc [0,1] ta có Trong ID tính chất khác e’ ii) Dễ dàng suy từ i) iii) Giả sử IQ phép phản đối xứng phép phủ định mạnh N1 Khi sử dụng tính chất phản đối xứng ta có: Từ với ta có điều mâu thuẫn bời đơn ánh Tƣơng tự ID phản đối xứng phép phủ định mạnh N1 Sử dụng phần i) ta có với y thuộc [0,1], Luận văn thạc sĩ Từ với nên từ biểu thức ta có với Điều mâu thuẫn N’ N1 hai song ánh iv)Sử dụng kết phần ii) ta có Hơn ta có Điều phải chứng minh Chú ý 4.2: Phép chứng minh phần v) cho phép QL-kéo theo đƣợc dựa vào phần ii), không áp dụng đƣợc cho phép D- kéo theo Thựa tế phép D-kéo theo đƣợc tính chất nêu trên, thay vào đó, phép D-kéo theo đƣợc biểu diễn ý 2.1 thỏa mãn nguyên lý trao đổi Mệnh đề 4.2 Cho chuẩn hợp nhấtliên kết l p Umin v i e song ánh tăng cho khoảng (0,1) phép kéo theo Khi ba mệnh đề sau l tương đương i) v i ii) v i iii) T T-chuẩn 33 hai Khi mệnh đề n y th l hai phép kéo theo cho (11) v (15)tương ứng Chứng minh: Sự tƣơng đƣơng mệnh đề i) ii) thấy đƣợc từ tính tƣơng phản hai toán tử IQ ID Do ta cần chứng minh i) tƣơng đƣơng với iii) Thật vậy, giả sử (x,x)=1 v i x với x e từ (12) ta có ( hệ ( ) với x Ngƣợc lại T=min IQ cho ( ( )) Do T lũy đẳng T=min ) thỏa mãn i) Điều phải chứng minh Chú ý 4.2 Những tính chất cho mệnh đề không tƣơng đƣơng với tính thứ tự, tức Điều xảy trƣờng hợp QL-kéo theo D - kéo theo đƣợc cho từ toán tử T-chuẩn t-đối chuẩn (xem [11]) Luận văn thạc sĩ Kết luận Luận văn trình bày sở lý thuyết số toán tử chuẩn hợp logic mờ, t – chuẩn, t – đối chuẩn, phép phủ định mạnh, chuẩn hợp Luận văn nghiên cứu hai lớp toán tử kéo theo đƣợc sinh từ lớp toán tử hợp Lớp thứ lớp QL – Kéo theo đƣợc xác định , với x,y [0,1] N phép phủ định mạnh, U U’ lần lƣợt phép hội phép tuyển hợp Lớp thứ hai D – kéo theo dạng , với x,y nghĩa nhƣ lúc toán tử [0,1] Tuy nhiên với cách định toán tử kéo theo Vì trọng tâm luận văn nghiên cứu điều kiện cần đủ để toán tử định nghĩa nhƣ toán tử kéo theo 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Bùi Công Cƣờng (Chủ biên), Nguyễn Doãn Phƣớc, (2006), Hệ mờ mạng Nơron v ứng dụng, NXB Khoa học v kỹ thuật [2] Phan Xuân Minh, Nguyễn Doãn Phƣớc, ( 2004), Lý thuyết điều khiển mờ, NXB Khoa học kỹ thuật Tiếng Anh [1] Baczynski.M and Jayaram.B (2008), (S,N)- and R-implications: A state-of-theart survey, Fuzzy Sets and Systems, 159, pp.1836–1859 [2] FodorJ C, Yager.R R and Rybalov.A (1997),Fuzziness and Knowledge - based Systems,Structure of Uninorms, Int J of Uncertainty , 5(4) ,pp 411-427 [3] González M, Ruiz D and Torrens J, Artificial Intelligence Research and Development, IOSPress, Algebraic properties of fuzzy morphological operators based on uninorms pp 27-38, 2003 [4] Hu S and Li Z, (2001), Fuzzy Sets and Systems, The structure of continuous uninorms, 124, pp 43 - 52 [5] Liang X and Pedrycz W, Fuzzy Sets and Systems, (2009), Logic-based fuzzy net works: A study in System modeling with triangular norms and uninorms, 160(24), pp 3475–3502 [6] Pedrycz W and Hirota K, (2007), Soft Computing, Uninorm-based logic neurons as adaptive and interpretable processing constructs, 11(1), pp.41–52 [7] Ruiz-Aguilera D and Torrens J (2006),IEEE Transactions on Fuzzy SystemsDistributivity and conditional Distributivity of a uninorm and a continuous t - conorm, 14(2), pp 180–190 Luận văn thạc sĩ [8] Smets P and Magrez P, (1987), International Journal of Approximate Reasoning, Implications in fuzzy logic, 1, pp 327–347 [9] Yager R and Rybalov A, (1996), Fuzzy Sets and Systems, Uninorm aggregation operators, 80(1), pp.111–120 [10] Yager R R and Kreinovich V, (2003), Fuzzy Sets and Systems, Universal approximation theorem for uninorm-based fuzzy systems modeling,140(2), pp 331– 339 [11] Yager R, (2001), Fuzzy Sets andSystems, Uninorms in fuzzy systems modeling vol 122, no 1, pp 167–175, AUG 16 37 ... trình bày số kiến thức số lớp toán tử thƣờng đƣợc sử dụng logic mờ: lớp toán tử t - chuẩn, t - đối chuẩn I T- chuẩn T- đối chuẩn 1.1 Toán tử t - chuẩn Định nghĩa 1.1 Hàm hai biến gọi t -chuẩn thỏa... (disjunctive) Một số lƣợng phong phú chuẩn hợp đƣợc đƣa tài liệu [13],[15] Giả sử T toán tử t – chuẩn S toán tử t – đối chuẩn, ta có hai lớp toán tử chuẩn hợp thƣờng gặp nhƣ sau: Luận văn thạc sĩ *) Lớp chuẩn. .. ………………………………………… NGUYỄN THANH XUÂN MỘT SỐ TOÁN TỬ CHUẨN HỢP NHẤT TRONG LOGIC MỜ Chuyên ngành: Toán tin – Toán ứng dụng LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN TIN – TOÁN ỨNG DỤNG NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA