Hàm suy rộng và nghiệm của một số lớp toán tử Elliptic tuyến tính

LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Trần Văn Bằng. Thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập cũng như nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập, tự tin vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với Thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng các quý thầy cô đã trang bị cho tác giả kiến thức và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin trân trọng cảm ơn, UBND Huyện Sơn Dương, tỉnh Tuyên Quang, Phòng GD&ĐT Sơn Dương, Ban Giám hiệu trường THCS Văn Phú - Sơn Dương - Tuyên Quang, Tổ Toán - Lý đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt khóa học. Hà Nội, tháng 6 năm 2012 Tác giả Trần Quang Trung LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Trần Văn Bằng. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2012 Tác giả Trần Quang Trung Mục lục Mở đầu vii 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Toán tử vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Một số hàm đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.1 Hàm Gamma (Tích phân Euler loại 2) . . . . . . 4 1.3.2 Hàm Beta (Tích phân Euler loại 1) . . . . . . . . 5 1.3.3 Hàm Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Hàm suy rộng 8 2.1 Hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.2 Đạo hàm của hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . 16 2.1.3 Tích trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.4 Hàm suy rộng tăng chậm . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.5 Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.6 Đại số tích chập D  + . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Nghiệm cơ bản của toán tử vi phân tuyến tính . . . . . . 34 2.3.1 Nghiệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.2 Toán tử vi phân không dừng . . . . . . . . . . . . 39 iii iv 3 Nghiệm của một số lớp toán tử elliptic tuyến tính 42 3.1 Toán tử với hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2 Toán tử Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3 Toán tử Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.4 Toán tử Cauchy - Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.5 Toán tử không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 BẢNG KÍ HIỆU N Tập các số tự nhiên R Tập các số thực C Tập các số phức R + Tập các số thực không âm R n Không gian Euclide n chiều A Bao đóng của tập A A  − lân cận của tập A B(x 0 , r) Hình cầu mở tâm x 0 bán kính r C p (Ω) Lớp hàm có đạo hàm đến cấp p liên tục trên miền Ω C ∞ (Ω) Lớp các hàm khả vi vô hạn trên Ω C ∞ 0 (R n ) Lớp các hàm khả vi vô hạn trên R n và có giá compact C p 0 (R n ) Tập các hàm trong C p (R n ) có giá compact D k Đạo hàm riêng cấp k D Tập các hàm thử trên miền thích hợp D(R n ) Tập tất cả các hàm thử trên R n D  Không gian của tất cả các hàm suy rộng trên D(R n ) D  + Lớp các hàm suy rộng trên D  (R 1 ) và triệt tiêu với t < 0 F Phép biến đổi Fourier F −1 Phép biến đổi Fourier ngược G(x, ξ) Hàm Green Γ(s) Hàm Gamma B(p, q) Hàm Beta H 1,2 n Hàm Hankel có bậc n I v Hàm Bessel điều chỉnh loại 1 bậc v J v Hàm Bessel loại 1 Y v Hàm Bessel loại 2 k Đa chỉ số k = (k 1 , , k n ) vi K v Hàm Bessel điều chỉnh loại 2 bậc v L(D) Toán tử vi phân tuyến tính L ∗ Toán tử liên hợp L  D, ∂ ∂t  Toán tử vi phân không dừng P Hàm, P 1 x = d dx ln |x| S(x 0 , r) Mặt biên của hình cầu B(x 0 , r) S n (1) Diện tích mặt của hình cầu đơn vị  = 2π n 2 Γ( n 2 )  S  (R n ) Tập các hàm suy rộng trên S(R n ), S  (R n ) ⊂ D  (R n ) S[f(x 0 )] Hàm bước nhảy f tại x 0 u ∗ (x, ξ) Nghiệm cơ bản x (= (x 1 , , x n )) một điểm trong R n ; điểm miền α Biến của phép biến đổi Fourier δ(x, ξ) Hàm Delta Dirac ξ Điểm nguồn Ω Tập mở trong R n χ A (x) Hàm đặc trưng của một tập A ∇ gradient (= grad =  i ∂ ∂x +  j ∂ ∂y +  k ∂ ∂z ) ∇ 2 Laplace, = ∂ 2 ∂x 2 + ∂ 2 ∂y 2 + ∂ 2 ∂z 2  Tích chập F.G Tích vô hướng của hai vecto F ×G Tích có hướng của hai vecto dΩ Vi phân thể tích trên Ω dS Vi phân diện tích mặt  Kết thúc chứng minh Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng có mối quan hệ trực tiếp với các bài toán vật lý. Quá trình nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng thường gặp trong vật lý đã dẫn đến một ngành mới là phương trình Vật lý Toán vào giữa thế kỷ XVIII. Những người đặt nền móng cho ngành khoa học này là J.D’ Alembert (1717 - 1783), L.Euler (1707-1783), D.Bernoulli (1700-1782), J.Lagrange (1763-1813), P.Laplace (1749-1827), S.Poison (1781-1840), J. Fourier (1768-1830). Các ý tưởng và phương pháp nghiên cứu của họ khi xem xét các bài toán cụ thể của Vật lý Toán đã ảnh hưởng rất lớn đến sự phát triển lý thuyết tổng quát phương trình đạo hàm riêng vào cuối thế kỷ XIX. Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng có mối quan hệ mật thiết với các ngành toán học khác như giải tích hàm và lý thuyết hàm, topo, đại số, giải tích phức, phương trình vi phân. Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng sử dụng rộng rãi các khái niệm cơ bản, các tư tưởng và các phương pháp của các lĩnh vực toán học trên, nó có ý nghĩa quan trọng trong việc phát triển ngành Vật lý Toán. Nhiều bài toán trong Vật lý Toán và toán ứng dụng dẫn đến bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng. Một số bài toán có thể giải được bằng các phương pháp thông thường của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng. Tuy nhiên mô hình toán của Vật lý lượng tử đòi hỏi một vii viii lĩnh vực mới đó là hàm suy rộng, lý thuyết phân bố. Sự ra đời của lý thuyết này làm nảy sinh khái niệm nghiệm cơ bản của toán tử vi phân. Đó là nghiệm của toán tử vi phân khi vế phải là phiếm hàm Delta - Dirac (nguồn là một điểm). Sự xuất hiện của các khái niệm này đã tạo nên một bước ngoặt mới trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng cả về mặt lý thuyết lẫn ứng dụng. Với mong muốn được tìm hiểu về lý thuyết hàm suy rộng và ứng dụng của chúng đối với phương trình đạo hàm riêng, được sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng, em đã chọn đề tài: "Hàm suy rộng và nghiệm của một số lớp toán tử elliptic tuyến tính" 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu nghiệm của bài toán biên đối với toán tử elliptic tuyến tính. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu về lý thuyết hàm suy rộng. • Nghiên cứu nghiệm cơ bản của toán tử vi phân tuyến tính. • Nghiên cứu giải bài toán biên đối với một số toán tử elliptic tuyến tính. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Hàm suy rộng, khái niệm, các phép toán, biến đổi Fourier, tích chập. - Ứng dụng của hàm suy rộng đối với toán tử vi phân tuyến tính. - Nghiệm cơ bản, nghiệm của bài toán biên. ix 5. Phương pháp nghiên cứu - Phân tích tổng hợp từ tài liệu. - Sử dụng các phương pháp của giải tích hàm và phương trình đạo hàm riêng. 6. Những đóng góp của đề tài - Trình bày những vấn đề cơ bản của lý thuyết hàm suy rộng một cách hệ thống. - Trình bày khái niệm nghiệm cơ bản của toán tử vi phân tuyến tính. - Tìm nghiệm cơ bản, từ đó tìm nghiệm của bài toán biên đối với một số toán tử elliptic tuyến tính như các toán tử: Laplace, Helmholtz, Cauchy-Riemann. Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Toán tử vi phân Trong luận văn này ta ký hiệu N = {0, 1, 2, } là tập các số tự nhiên, R là tập các số thực, C là tập các số phức với đơn vị ảo √ −1 = i, R + là tập các số thực không âm, N n = {k = (k 1 , k 2 , , k n )|k j ∈ N, j = 1, 2, }. R n =  x = (x 1 , x 2 , , x n )|x j ∈ R, j = 1, n  là không gian thực n-chiều. Ký hiệu |x − y| = ( n  j=1 (x j − y j ) 2 ) 1 2 là khoảng cách giữa x và y trong R n . B(x 0 , r) = {x : |x − x 0 | < r} là một hình cầu mở có tâm tại x 0 ∈ R n bán kính r. S(x 0 , r) = {x : |x −x 0 | = r} là biên của mặt cầu B(x 0 , r). S n (1) = 2π n 2 Γ( n 2 ) là diện tích mặt cầu đơn vị trong R n . ε-lân cận của tập A ⊂ R n là: A ε = ∪ x∈A B(x, ε). Ta gọi mỗi phần tử k = (k 1 , k 2 , , k n ) ∈ N n là bộ n-chỉ số (hay đa chỉ số) với bậc |k| = k 1 + k 2 + + k n , với mỗi đa chỉ số k toán tử vi phân được xác định bởi: D k = ∂ |k| ∂x k 1 1 ∂x k n n = ∂ k 1 +k 2 + +k n ∂x k 1 1 ∂x k n n , x = (x 1 , x 1 , , x n ) ∈ R n (1.1.1) với quy ước nếu có thành phần nào của k bằng 0 thì ta hiểu là không có đạo hàm theo biến đó. Hơn nữa: D k u(x) = ∂ |k| u(x 1 , , x n ) ∂x 1 k 1 ∂x n k n , D 0 u(x) = u(x), 1 [...]... Tập của các hàm suy rộng (các phiếm hàm tuyến tính liên tục) trên S(Rn ) ký hiệu bởi S = S (Rn ) Như vậy một phiếm hàm tuyến tính là liên tục khi và chỉ khi f, φj → 0 khi j → ∞ trong S Không gian S (Rn ) ⊂ D (Rn ) và phần tử của S được gọi là hàm suy rộng tăng chậm Như vậy một hàm suy rộng tăng chậm chính quy là f, φ = f (x)φ(x)dx, ở đây f là hàm khả tích địa phương trong Rn , sao cho có Rn 23 một. .. Rn 23 một đa thức P (x) với |f (x)| ≤ P (|x|), ∀x ∈ Rn Nói chung mỗi hàm suy rộng có giá compact là hàm suy rộng tăng chậm Ví dụ một hàm suy rộng tăng chậm kỳ dị là hàm Delta Dirac Định lí 2.1.12 (Định lý Schwarfz) Điều kiện cần và đủ để một hàm suy rộng f ∈ S thuộc S (tức là, liên tục trên S) là tồn tại các số nguyên, p ≥ 0 và một số thực C > 0 sao cho với mỗi φ ∈ S ta có bất đẳng thức | f, φ | ≤ C||φ||p... tục từ D vào D theo f và g; chẳng hạn, δ(x − n) → 0 khi 24 n → ∞ trong D (R2 ) nhưng 1 δ(x − n) = 1 0 khi n → ∞ trong D (R1 ) Chú ý rằng tích chập tồn tại nếu f là một hàm tùy ý và g là một hàm suy rộng hữu hạn Một số tính chất của tích chập: (i) Tính chất tuyến tính: (λf1 +µf2 ) g = λ(f1 g)+µ(f2 g), f1,2 ∈ D , nếu các tích chập f1 g và f2 g tồn tại (ii) Tính chất giao hoán: Nếu tích chập f tại và f g... D(Ω) 3 Một phiếm hàm tuyến tính Λ : D(Ω) → C liên tục khi và chỉ khi với mọi j ∈ N tồn tại Nj ∈ N và hằng số cj > 0 sao cho sup |Λ(φ)| ≤ cj sup {|Dk φ(x)| : |k| ≤ Nj } (2.1.2) x∈Kj φ∈DKj (Ω) Định nghĩa 2.1.2 Mỗi phiếm hàm f : D(Rn ) → C tuyến tính và liên tục với topo trên D(Ω) được gọi là một hàm suy rộng (distribution) Giá trị của f tại φ ký hiệu là f, φ Tập hợp tất cả các hàm suy rộng trên Ω được... 2.1.4 (Hàm suy rộng Dirac) Cho ξ là một điểm cố định trong Rn Xét phiếm hàm δξ xác định bởi δξ , φ = φ(ξ), đặt tương ứng mỗi hàm thử φ với giá trị của nó tại ξ Phiếm hàm δξ là tuyến tính và liên tục trên D(Rn ) và do đó là một hàm suy rộng với cực ξ Ta sẽ chứng tỏ rằng δ0 (kí hiệu đơn giản bởi δ) là hàm suy rộng kỳ dị Thật vậy, giả sử δ là chính quy, khi đó tồn tại hàm f (x) khả tích địa phương sao... trên Ω được ký hiệu D (Ω) Với mỗi tập compact K ⊂ Ω, tồn tại một số thực c > 0 và một số nguyên không âm N , sao cho sup Dk φ , | u, φ | ≤ c (2.1.3) |k|≤N với mọi φ ∈ D(Ω) và supp φ ⊂ K Số N nhỏ nhất thỏa mãn (2.1.3) được gọi là cấp của hàm suy rộng m Chú ý: f, 0 = 0 và f, m αn φ n n=1 = αn f, φn n=1 Mỗi hàm f ∈ L1,loc (Rn ) sinh ra một hàm suy rộng xác định bởi 11 f (x)φ(x)dx f, φ = Rn ∞ = ∞ −∞ f (x1... N∗ và φ ∈ D(Rn ), với mỗi Kj ta có: f (x)φ(x)dx ≤ | f, φ | = Kj Kj ≤ sup |φ| Kj Như vậy ∃cj = |f ||φ|dx |f |dx = cj sup |φ| Kj Kj |f |dx > 0, Nj = 0 để | f, φ | ≤ cj sup |φ|, suy ra f là Kj Kj hàm liên tục Tính chất tuyến tính là hiển nhiên Vậy f là hàm suy rộng cấp 0 Cho f1 (x), f2 (x) là hai hàm khả vi liên tục khác nhau Khi đó mỗi hàm sinh ra một hàm suy rộng khác nhau theo nghĩa; tồn tại một hàm. .. hai hàm f1 , f2 bằng nhau hầu khắp nơi trên miền bị chặn Ω thì |f1 − f2 |dx = 0, do đó hai hàm khả tích địa phương bằng nhau hầu Ω khắp nơi sẽ sinh ra cùng một hàm suy rộng dạng (2.1.4) Mỗi hàm suy rộng sinh bởi f ∈ L1,loc (Rn ) được gọi là chính quy Mọi hàm suy rộng khác được gọi là kỳ dị mặc dù công thức (2.1.4) có thể được dùng một cách hình thức cho các hàm suy rộng đó Chú ý: Nếu f ∈ D(Rn ) thì hàm. .. là một hàm liên tục bị chặn trên Rn , do đó xác định một hàm suy rộng trong S Như vậy: F[f ](α), φ = F[f ](α)φ(α)dα Rn   =  Rn = f (x)ei(α.x) dx φ(α)dα Rn φ(α)ei(α.x) dαdx f (x) Rn = Rn f (x)F[φ](x)dx Rn = f, F[φ] , φ ∈ S, f ∈S Định nghĩa 2.2.2 Biến đổi Fourier của một hàm suy rộng f ∈ S là một hàm suy rộng F[f ] ∈ S xác định bởi: F[f ], φ = f, F[φ] , φ ∈ S (2.2.4) 26 F[φ] là hàm liên tục và bị... 1 Ví dụ 2.1.6 (Thế vị lớp đơn) Cho S là một mặt trong R3 và cho dS là ρ(x)φ(x)dS, φ ∈ D vi phân diện tích mặt trên S Phiếm hàm: ρ, φ = S Trong đó ρ(x) là hàm khả tích địa phương quy định trên S (nó xác định mật độ trên mặt) là một hàm suy rộng kỳ dị Nếu S là một mặt cầu |x| = r và ρ(x) = 1 4πr2 thì ta được hàm suy rộng ρ, φ = 1 4πr2 φ(x)dS (2.1.17) |x|=r Nếu ký hiệu δS là một lớp đơn trên mặt cầu S . thuyết hàm suy rộng và ứng dụng của chúng đối với phương trình đạo hàm riêng, được sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng, em đã chọn đề tài: " ;Hàm suy rộng và nghiệm của một số lớp toán tử elliptic. cơ bản của toán tử vi phân tuyến tính. • Nghiên cứu giải bài toán biên đối với một số toán tử elliptic tuyến tính. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Hàm suy rộng, khái niệm, các phép toán, . vi phân tuyến tính. - Tìm nghiệm cơ bản, từ đó tìm nghiệm của bài toán biên đối với một số toán tử elliptic tuyến tính như các toán tử: Laplace, Helmholtz, Cauchy-Riemann. Chương 1 Một số kiến