Lý thuyết hàm suy rộng Colombeau (LV00477)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 HOÀNG ĐỨC TRƯỜNG LÝ THUYẾT HÀM SUY RỘNG COLOMBEAU LUẬN VĂN THẠC SỸ Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 Hà Nội-2011 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 HOÀNG ĐỨC TRƯỜNG LÝ THUYẾT HÀM SUY RỘNG COLOMBEAU LUẬN VĂN THẠC SỸ Chuyên ngành: Toán giải tích Người hướng dẫn khoa học TS. TẠ NGỌC TRÍ Mã số: 60 46 01 Hà Nội-2011 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí. Thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập cũng như nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập, tự tin vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với Thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng các quý thầy cô đã trang bị cho tác giả kiến thức và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin trân trọng cảm ơn, UBND Tỉnh Vĩnh Phúc, Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc, Ban Giám hiệu trường THPT Lê Xoay - Vĩnh Tường - Vĩnh Phúc, Tổ Toán - Tin học đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt khóa học. Hà Nội, tháng 5 năm 2011 Tác giả Hoàng Đức Trường LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 5 năm 2011 Tác giả Hoàng Đức Trường Mục lục Mở đầu v 1 Lý thuyết hàm suy rộng Schwartz 1 1.1 Một số thuật ngữ và khái niệm cơ bản . . . . . . . . . 1 1.2 Không gian các hàm thử . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Hàm suy rộng Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Đạo hàm của hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6.1 Biến đổi Fourier trong L p (R n ) . . . . . . . . . . 16 1.6.2 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng . . . . . . . 20 1.7 Tích hai hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.7.1 Tích của một hàm trơn và một hàm suy rộng . 21 1.7.2 Tích của hai hàm suy rộng tùy ý . . . . . . . . 22 1.8 Kết quả không thể của Schwartz . . . . . . . . . . . . . 27 2 Lý thuyết hàm suy rộng Colombeau 30 2.1 Định nghĩa hàm suy rộng Colombeau . . . . . . . . . . 30 2.1.1 Hàm suy rộng Colombeau trên R n . . . . . . . . 30 2.1.2 Hàm G-suy rộng trên tập mở Ω ⊂ R n . . . . . . 34 2.2 Các tính chất về vi phân của đại số G(R n ) . . . . . . . 35 2.3 Tính chất phi tuyến của G(R n ) . . . . . . . . . . . . . 40 iii iv 2.4 Số phức suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5 Giá trị tại điểm của hàm G-suy rộng . . . . . . . . . . 43 2.6 Tích phân của hàm G-suy rộng . . . . . . . . . . . . . 45 2.7 Khái niệm bằng nhau trong G(R n ) . . . . . . . . . . . 49 2.8 Hàm G-suy rộng tăng chậm . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.8.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.8.2 Tích phân của hàm G-suy rộng tăng chậm . . . 58 2.8.3 Biến đổi Fourier của hàm G-suy rộng tăng chậm 61 3 Các L p -hàm,(1 ≤ p < ∞) xét theo nghĩa G-suy rộng 63 3.1 Biểu diễn của các L p -hàm trong G(R n ) và G τ (R n ) . . . 63 3.2 Mối quan hệ giữa hai loại tích phân của f ∈ L p (R n ) . . 64 3.3 Mối liên hệ giữa biến đổi Fourier thông thường và biến đổi G τ -Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Kết luận 69 Tài liệu tham khảo 70 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Trong toán học việc lấy đạo hàm các hàm số là việc làm thường gặp. Tuy nhiên không phải lúc nào ta cũng làm được điều đó. Chẳng hạn như hàm f(x) = |x| ta không thể lấy đạo hàm tại x = 0. Trong vật lý có những hiện tượng vật lý mà ta không thể biểu diễn nó một cách chính xác bằng một hàm thông thường đã biết. Chẳng hạn như việc đo mật độ điện tích ρ của một nguồn đặt tại một điểm. Năm 1926, nhà vật lý người Anh là Paul Dirac đã đề xuất khái niệm một hàm được gọi là hàm Delta Dirac, hay đơn giản hơn là hàm Dirac. Chúng ta có thể hiểu khái niệm hàm Dirac như sau: δ(x) =    0 nếu x = 0 ∞ nếu x = 0 và đồng thời thỏa mãn đẳng thức tích phân  +∞ −∞ δ(x)dx = 1. Với cách định nghĩa như trên thì nhiều vấn đề trong toán học và vật lý đã được giải quyết. Về sau có nhiều cách định nghĩa hàm Dirac khác nhau, nhưng rõ ràng rằng hàm Delta không phải là những hàm thông thường mà ta đã biết. Điều này làm nảy sinh vấn đề là cần thiết phải mở rộng khái niệm hàm để có những lớp hàm mới luôn có thể lấy được đạo hàm đồng thời bao hàm những hàm đã biết và cả những hàm mới, chẳng hạn như hàm Dirac. Lý thuyết Hàm suy rộng (distribution theory) phát triển bởi L.Schwartz v vi đã mở cánh cửa quan trọng cho sự phát triển của Toán học hiện đại, đặc biệt là trong lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng. Với lý thuyết đó, L.Schwartz đã được nhận giải thưởng Fields năm 1950. Lý thuyết Hàm suy rộng của L.Schwartz đóng vai trò quan trọng lý thuyết phương trình đạo hàm riêng tuyến tính. Tuy nhiên những bài toán phi tuyến dẫn đến vệc xem xét lấy tích hai hàm suy rộng. Về vấn đề này L. Schwartz đã đưa ra kết luận về một "kết quả không thể" (impossibility result) trong việc lấy tích hai hàm suy rộng tổng quát. Trong kết luận đó L. Schwartz cho rằng không thể lấy tích hai hàm suy rộng bất kỳ mà vẫn thỏa mãn công thức Leibniz về lấy đạo hàm của một tích. Tuy nhiên rất nhiều ứng dụng cần lấy tích hai hàm suy rộng. Rất nhiều nhà Toán học đã nghiên cứu để có thể giải quyết vấn đề này. Họ đã cố gắng tìm ra những cách định nghĩa tích của hai hàm suy rộng bất kỳ. Một số cách đã giải quyết được một phần vấn đề nhân hai hàm suy rộng. Ta có thể kể đến phương pháp của Minkunski, hay phương pháp lấy tích dựa trên khai triển Fourier. Tuy nhiên chưa giải quyết một cách đầy đủ vấn đề tích hai hàm suy rộng. Với mục đích tiếp cận một hướng nghiên cứu của toán học hiện đại, được sự định hướng và hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí, tôi đã lựa chọn đề tài "Lý thuyết Hàm suy rộng Colombeau" cho luận văn tốt nghiệp khóa học thạc sỹ của mình. Luận văn sẽ tóm tắt những kiến thức cơ bản về lý thuyết hàm suy rộng của L. Schwartz cùng với kết quả không thể của ông. Tiếp theo, sẽ trình bày có hệ thống những kết quả quan trọng của lý thuyết hàm suy rộng của Colombeau. Cuối cùng sẽ là một số vấn đề cơ bản được xét trong lý thuyết đó. vii 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết hàm suy rộng của L.Schwartz làm nền tảng cho việc xây dựng lý thuyết hàm suy rộng Colombeau. Trên cơ sở đó đặt vấn đề tìm hiểu các ứng dụng của lý thuyết hàm suy rộng Colombeau trong việc giải các bài toán phi tuyến. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Tìm hiểu về lý thuyết Hàm suy rộng của L. Schwartz • Tìm hiểu lý thuyết hàm suy rộng Colombeau • Nghiên cứu những vấn đề cụ thể của lý thuyết hàm suy rộng Colombeau 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết hàm suy rộng và ứng dụng Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, bài báo trong và ngoài nước liên quan tới hàm suy rộng Colombeau. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận vấn đề. Thu thập và nghiên cứu các tài liệu liên quan, đặc biệt là các bài báo mới về vấn đề Hàm suy rộng của Colombeau. 6. Những đóng góp mới của đề tài Đề tài đã nghiên cứu một số vấn đề cụ thể xét trong lý thuyết hàm suy rộng Colombeau. Chương 1 Lý thuyết hàm suy rộng Schwartz 1.1 Một số thuật ngữ và khái niệm cơ bản Trong luận văn này, ta ký sẽ ký hiệu N = {0, 1, 2, . . .} là tập các số tự nhiên, N ∗ là tập các số tự nhiên khác 0, Z là tập các số nguyên, R là tập số thực và C là tập các số phức với đơn vị ảo i = √ −1. Với mỗi số tự nhiên n, tập N n = {α = (α 1 , α 2 , . . . , α n )|α j ∈ N, j = 1, 2, . . . .n}, tập R n = {x = (x 1 , x 2 , . . . , x n )|x j ∈ R, j = 1, 2, . . . , n} là không gian thực n chiều với chuẩn Euclide x =  n  j=1 x 2 j  1 2 . Mỗi phần tử α = (α 1 , α 2 , . . . , α n ) ∈ N n là một n-chỉ số (hay đa chỉ số) với bậc |α| = α 1 + α 2 + . . . + α n . Với mỗi đa chỉ số α, toán tử vi phân ký hiệu ∂ α = ∂ α 1 1 ∂ α 2 2 . . . ∂ α n n ở đây ∂ j = ∂ ∂x j và toán tử D α = D α 1 1 D α 2 2 . . . D α n n , trong đó D j = ∂ i∂x j = −i∂ j , j = 1, 2, . . . n. Nếu không có gì đặc biệt thì thì ta hiểu Ω là một tập mở trong R n . Với mỗi 1 ≤ p < ∞ thì: L p (Ω) = {f : Ω → C|  Ω |f(x)| p dx < +∞}. 1 [...]... Cho u ∈ D (Ω) 1 Hàm suy rộng u được gọi là bằng 0 trên tập mở K ⊂ Ω, ký hiệu u|K = 0 nếu u, φ = 0, ∀φ ∈ D(K) 2 Giá của hàm suy rộng u được ký hiệu supp u và được xác định bởi: supp u = Ω \ {K|K mở } ⊂ Ω và u|K = 0 Nếu u có supp u là tập compact trong Ω thì ta nói u là hàm suy rộng có giá compact 1.4 Đạo hàm của hàm suy rộng Một trong những lý do cần mở rộng khái niệm hàm đó là mọi hàm trong đó phải... hàm suy rộng Ví dụ 1.3.3 1 Mỗi hàm f ∈ Lloc (Ω) là một hàm suy rộng f : φ → f, φ = f (x)φ(x)dx Ω Thật vậy, với mọi tập compact K ⊂ Ω và mọi hàm φ ∈ D(Ω) sao cho suppφ ⊂ K ta có: | f, φ | = f (x)φ(x)dx f (x)φ(x)dx = K Ω ≤ (1.6) |f (x)||φ(x)|dx ≤ supK |φ(x)| K |f (x)|dx K Vậy với N = 0 và c = K |f (x)|dx thì f là hàm suy rộng cấp 0 2 Tương tự mọi hàm f ∈ Lp (Ω) cũng là một hàm suy rộng Ví dụ 1.3.4 (Hàm. .. = f ∂j u + (∂j f )u, φ (1.23) Từ đó suy ra điều phải chứng minh 1.7.2 Tích của hai hàm suy rộng tùy ý Ở trên chúng ta đã định nghĩa tích của một hàm trơn f ∈ C∞ (Ω) và một hàm suy rộng u ∈ D (Ω) Bây giờ chúng ta muốn định nghĩa 23 tích của hai hàm suy rộng tùy ý, nói riêng trên Rm Rõ ràng không thể dùng cách (1.7.1) cho hai hàm suy rộng vì f φ có thể không là hàm thử nếu f ∈ D (Rm ) và φ ∈ D(Rm )... (ξ) = (2π)−n/2 Rn • Nếu f là hàm suy rộng thì biến đổi Fourier của f là uf xác định bởi: uf , φ = uf , φ Tuy nhiên hai định nghĩa đó là tương thích với nhau Thật vậy ta có uf , φ = uf , φ = f φdx = f , φ , ∀φ ∈ S(Rn ) f φdx = Rn Rn Do đó f = uf 1.7 Tích hai hàm suy rộng Trong phần này ta sẽ tìm hiểu việc lấy tích hai hàm suy rộng 1.7.1 Tích của một hàm trơn và một hàm suy rộng Định nghĩa 1.7.1 Cho f... cũng là tuyến tính liên tục trên D(Ω) 7 1.3 Hàm suy rộng Schwartz Định nghĩa 1.3.1 Mỗi phiếm hàm u : D(Ω) → C tuyến tính, liên tục trên D(Ω) được gọi là một hàm suy rộng (distribution) hay hàm suy rộng Schwartz (Schwartz distribution) Tập hợp tất cả các hàm suy rộng trên Ω được ký hiệu D (Ω) Với mỗi hàm suy rộng u ta viết u(φ) là u, φ với φ ∈ D(Ω) Chú ý 1.3.1 D (Ω) là không gian vector với các phép... những định nghĩa cho tích hai hàm suy rộng Các cách đó là tự nhiên nhưng rõ ràng là chưa giải quyết triệt để vấn đề tích của hai hàm suy rộng 27 Vẫn có những nghịch lý trong việc lấy tích hai hàm suy rộng Chẳng 1 hạn, ta có x = 1 và x.δ = 0 trong D (Ω) Nếu ta áp dụng nó trong x D(R) ta sẽ có: 1 1 δ = ( x).δ = (x.δ) = 0(!) x x Một ví dụ khác về sự nghịch lý đó là nếu xét hàm Heaviside H(x) Ta biết rằng... với ψ(x) = e−|x| Suy ra ˆ ˆ ϕ(ξ) = D1/√2 ψ (ξ) = 2n/2 (D1/√2 ψ)(ξ) = e− ˆ |ξ|2 2 Điều phải chứng minh Định nghĩa 1.6.3 (Biến đổi Fourier ngược) Cho f ∈ S(Rn ) Ta gọi ∨ là biến đổi Fourier ngược của f là hàm ký hiệu là f xác định bởi : ∨ f (x) = (2π)−n/2 eix.ξ f (ξ)dξ (1.19) Rn 1.6.2 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng Định nghĩa 1.6.4 Ta gọi hàm suy rộng u ∈ D (Ω) là một hàm suy rộng tăng chậm (tempered... p dy p dy Trong đó f− y = f (x − y) Ta có f− y − f → 0 khi suy ra f ∗ φ − af 1 p Rn |φ(y)| f− y − f = dy Rn |φ(y)| = 1 p → 0 Từ đó → 0 khi → ∞ Mệnh đề được chứng minh Sau đây chúng ta sẽ xét tích chập của hai hàm suy rộng Định nghĩa 1.5.2 (Tích chập của hai hàm suy rộng) Cho u, v ∈ D (Rn ), tích chập của hai hàm suy rộng u và v là một phiếm hàm tuyến tính, ký hiệu u ∗ v xác định bởi: u ∗ v, φ = u(y),... 2 H = 3H.H do đó H = 2H.H = 0 suy ra H = δ = 0 trong D (R) 1.8 Kết quả không thể của Schwartz Trong lý thuyết hàm suy rộng của mình, Schwartz đã đưa ra một khẳng định là không hy vọng xây dựng một tích của các hàm suy rộng một cách đầy đủ Ông cho rằng: Mệnh đề 1.8.1 Nếu có A là một đại số chứa đại số C 0 (R) của tất cả các hàm liên tục trên R như là một đại số con với hàm 1 ∈ CC 0 (R) là phần tử đơn... dụ 1.3.4 (Hàm Dirac) Hàm Dirac ký hiệu là δ được xác định như sau: δ : D(Rn ) → C và δ, φ = φ(0) là một hàm suy rộng cấp 0 Thật vậy, với mọi tập compact K ⊂ Rn và với mọi φ ∈ D(Rn ) sao cho suppφ ⊂ K ta có | δ, φ | = |φ(0)| ≤ 1.supK |φ(x)| Ví dụ 1.3.5 Với mỗi f ∈ L1,loc (Ω) và với α ∈ Nn , ánh xạ: f (x)(Dα φ)(x)dx là một hàm suy rộng uf,α : φ → Ω Ví dụ 1.3.6 Trên R xét hàm suy rộng f xác định như sau: . . . . 27 2 Lý thuyết hàm suy rộng Colombeau 30 2.1 Định nghĩa hàm suy rộng Colombeau . . . . . . . . . . 30 2.1.1 Hàm suy rộng Colombeau trên R n . . . . . . . . 30 2.1.2 Hàm G -suy rộng trên tập. của lý thuyết hàm suy rộng Colombeau trong việc giải các bài toán phi tuyến. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Tìm hiểu về lý thuyết Hàm suy rộng của L. Schwartz • Tìm hiểu lý thuyết hàm suy rộng Colombeau •. về vấn đề Hàm suy rộng của Colombeau. 6. Những đóng góp mới của đề tài Đề tài đã nghiên cứu một số vấn đề cụ thể xét trong lý thuyết hàm suy rộng Colombeau. Chương 1 Lý thuyết hàm suy rộng Schwartz 1.1