Theo Định lý 1.1 Định lý phân hoạch đơn vị có một họ hữu hạn các hàm {ψj }j=1 trong DΩ sao cho Chøng minh... Khi đó, có.[r]
(1)Lý thuyÕt Hµm suy réng vµ Kh«ng gian Sobolev §Æng Anh TuÊn Hµ Néi, ngµy 20- 11- 2005 Lop12.net (2) Chương C¸c kh«ng gian hµm c¬ b¶n vµ kh«ng gian hµm suy réng 1.1 Mét sè kiÕn thøc bæ sung 1.1.1 Mét sè ký hiÖu N = {1, 2, } lµ tËp c¸c sè tù nhiªn, Z+ = {0, 1, 2, } lµ tËp c¸c sè nguyªn kh«ng √ −1 = i ©m, R lµ tËp c¸c sè thùc, C lµ tËp c¸c sè phøc §¬n vÞ ¶o n Víi mçi sè tù nhiªn n ∈ N, tËp Z+ = {α = (α1 , , αn ) αj ∈ Z+ , j = 1, , n}, tËp Rn = {x = (x1 , x2 , , xn ) xj ∈ R, j = 1, 2, } lµ kh«ng gian thùc n chiÒu víi chuÈn Euclid kxk = n X x2j 12 j=1 Nếu không có gì đặc biệt, ký hiệu Víi mçi k ∈ Z+ Ω lµ tËp më Rn ký hiÖu c¸c tËp nh sau: liªn tôc C k (Ω) = {u : Ω → C u khả vi liên tục đến cấp k}, C(Ω) = C (Ω) = {u : Ω −→ C}, C0k (Ω) = {u : Ω → C u ∈ C k (Ω), supp u lµ tËp compact}, C0 (Ω) = C00 (Ω), k ∞ ∞ k C ∞ (Ω) = ∩∞ k=1 C (Ω), C0 (Ω) = ∩k=1 C0 (Ω), supp u = cl{x ∈ Ω u(x) 6= 0} Víi mçi sè thùc ≤ p < ∞, ký hiÖu đó, p L (Ω) = {u : víi ®® −→ C ΩLebesgue Z |u(x)|p < +∞}, Ω p = ∞, ký hiÖu ®® −→ C ess sup |u(x)| < +∞}, L∞ (Ω) = {u : ΩLebesgue x∈Ω Lop12.net (3) ess supx∈Ω |u(x)| = inf{M > m{x ∈ Ω |u(x)| > M } = 0} Víi ≤ p ≤ ∞, ký hiÖu đó, ®® −→ C u ∈ Lp (ω), Lploc (Ω) = {u : ΩLebesgue víi mäi tËp ®o ®îc ω ⊂⊂ Ω} ®® −→ C u ∈ Lp (Ω), ∃ω ⊂⊂ Ω : u(x) = h.k.n Ω \ ω}, Lpcompact (Ω) = {u : ΩLebesgue ω ⊂⊂ Ω nghĩa là bao đóng cl(ω) là tập compact Ω ∞ n Víi mçi hµm u ∈ C (Ω), α = (α1 , α2 , , αn ) ∈ Z+ ký hiÖu đó, α D u= Khi đó, với α β đó, mµ D1α1 D2α2 α Dnαn u, Dj j ∂ αj = α , j = 1, 2, ∂xj j u, v ∈ C ∞ (Ω), α = (α1 , α2 , , αn ) ∈ Zn+ cã c«ng thøc Leibnitz X α α Dβ uDα−β v, D (uv) = β β≤α = Qn j=1 αj βj , αj βj = αj ! , βj !(αj −βj )! P lµ tæng lÊy trªn tËp c¸c ®a chØ sè β ∈ Zn+ β≤α β ≤ α, nghÜa lµ ≤ βj ≤ αj , j = 1, 2, , n 1.1.2 Phân hoạch đơn vị Ω là tập Rn Một họ đếm các cặp {(Ωj , ϕj )}∞ j=1 , n n đó Ωj là tập mở R , ϕj là hàm thuộc lớp các hàm khả vi vô hạn trên R , gọi là phân hoạch đơn vị tập Ω các tính chất sau thoả mãn: §Þnh nghÜa 1.1 Cho (i) {Ωj }∞ =1 (ii) lµ mét phñ më cña Ω, (Ω ⊂ ∪∞ j=1 Ωj , Ωj lµ tËp më), ≤ ϕj (x) ≤ 1, ∀x ∈ Ω, j = 1, 2, , ϕj ∈ C0∞ (Rn ), supp ϕj ⊂ Ωj , j = 1, 2, , P∞ (iv) j=1 ϕj (x) = 1, ∀x ∈ Ω (iii) Ta cßn gäi {ϕj }∞ j=1 là phân hoạch đơn vị ứng với phủ mở {Ωj }∞ j=1 cña tËp Ω Rn , hä h÷u h¹n {Uj }N j=1 lµ mét phñ më cña N K Khi đó, tồn họ hữu hạn các hàm khả vi vô hạn {ϕj }j=1 xác định phân hoạch N đơn vị ứng với phủ mở {Uj }j=1 tập K §Þnh lý 1.1 Cho K lµ mét tËp compact Để chứng minh định lý ta cần số kết sau n Từ đây trở đi, ký hiệu hàm ρ : R → R là hàm xác định sau ( ρ(x) := đó, C lµ h»ng sè cho §Ó ý r»ng, hµm ρ R Ce ||x||2 −1 , 0, ρ(x)dx = Rn cã c¸c tÝnh chÊt sau Lop12.net nÕu||x|| < 1, nÕu ||x|| ≥ 1, (4) ρ ∈ C0∞ (Rn ), supp ρ = B̄1 (0) = {x ∈ Rn ||x|| ≤ 1}, ρ(x) ≥ 0, ∀x ∈ Rn , R (ii) ρ(x)dx = 1, ρ lµ hµm chØ phô thuéc vµo ||x||(radial function) Rn (i) Víi mçi > 0, đặt ρ (x) = −n ρ( x ) Hàm ρ còng cã c¸c tÝnh chÊt cña hµm ρ: ρ ∈ C0∞ (Rn ), supp ρ = B̄ (0) = {x ∈ Rn ||x|| ≤ 1}, ρ (x) ≥ 0, ∀x ∈ Rn , R (ii) ρ (x)dx = 1, ρ lµ hµm chØ phô thuéc vµo ||x||(radial function) Rn (i) Víi mçi hµm f ∈ L1loc (Rn ), đặt Z f (x) = (f ∗ ρ )(x) = f (y)ρ (x − y)dy Rn Việc đặt này là có nghĩa vì Z Z f (y)ρ (x − y)dy = f (x − y)ρ (y)dy = Rn Rn Mệnh đề 1.2 Cho (i) Z f (x − y)ρ (y)dy B̄ (0) f ∈ L1loc (Rn ) Khi đó, ta có các kết luận sau f ∈ C ∞ (Rn ) (ii) NÕu supp f = K ⊂⊂ Rn th× f ∈ C0∞ (Rn ), supp f ⊂ K = {x ∈ Rn d(x, K) ≤ } (iii) NÕu f ∈ C(Rn ) th× lim sup |f (x) − f (x)| → 0, ∀K ⊂⊂ Rn (iv) NÕu f ∈ Lp (Rn )(1 ≤ p < ∞) th× f ∈ Lp (Rn ), vµ f −→ f →0+ x∈K Lp → 0+ Chứng minh (i) Dễ dàng chứng minh từ đẳng thức sau Z Z Dxα ( (ii)Do supp f = K f (y)ρ (x − y)dy) = Rn Rn f (y)Dxα ρ (x − y)dy nªn Z Z f (y)ρ (x − y)dy = f (x) = Rn f (y)ρ (x − y)dy K x 6∈ K , nghÜa lµ d(x, K) > hay ||x−y|| > , ∀y ∈ K Mµ supp ρ ∈ B̄ (0) nên ρ (x − y) = 0, ∀y ∈ K Do đó, f (x) = x 6∈ K hay supp f ⊂ K Khi đó, với (iii) DÔ thÊy Z f (x − y) − f (x) ρ(y)dy = f (x) − f (x) = Rn nªn Z f (x − y) − f (x) ρ(y)dy B̄1 (0) |f (x) − f (x)| ≤ sup |f (x − y) − f (x)| y∈B̄ (0) f ∈ C(Rn ) có f liên tục trên tập compact K ⊂ Rn n đó lim sup |f (x) − f (x)| → 0, ∀K ⊂⊂ R mµ →0+ x∈K Lop12.net (5) Mệnh đề 1.3 Cho (i) K ⊂⊂ Rn Khi đó, với > 0, có hàm ϕ ∈ C0∞ (Rn ) thoả mãn ≤ ϕ(x) ≤ 1, ∀x ∈ Rn , supp ϕ ⊂ K , (ii) (iii) ϕ(x) = 1, ∀x ∈ K 2 Chứng minh Lấy hàm đặc trưng tập ( χ(x) := Cã K 3 1, 0, x ∈ K 3 , nÕu x 6∈ K 3 nÕu χ ∈ L1 (Rn ) ⊂ L1loc (Rn ), supp χ = K 3 , nên theo Mệnh đề 1.2 có (i) (ii) χ ∗ ρ 4 ∈ C0∞ (Rn ), supp(χ ∗ ρ 4 ) ⊂ K , (iii)0 ≤ (χ ∗ ρ 4 )(x), ∀x ∈ Rn §Ó ý r»ng, Z (χ ∗ ρ 4 )(x) = B̄ (0) χ(x − y)ρ 4 (y)dy nªn (i) (χ ∗ ρ 4 )(x) ≤ (ii) NÕu x ∈ K 2 R B̄ (0) th× ρ 4 (y)dy = 1, (x − y) ∈ K 3 , ∀y ∈ B̄ 4 , đó (χ ∗ ρ 4 )(x) = Chøng minh Chøng minh §Þnh lý 1.1 Tõ gi¶ thiÕt më cña K K R B̄ (0) lµ tËp compact, ρ 4 (y)dy = {Uj }N j=1 lµ mét phñ cã W1 := K\(∪N j=2 Uj ) ⊂⊂ U1 nªn tån t¹i 1 > cho W1 ⊂ W1 + B1 (0) ⊂ U1 Theo Mệnh đề 1.3 có hàm nhận giá trị khoảng (0, 1) lµ ψ1 ∈ C0∞ (Rn ) cho V1 := W1 + B 21 (0) ⊂ supp ψ1 ⊂ W1 + B1 ⊂ U1 L¹i cã, W1 := K\(∪N j=2 Uj ) ⊂ V1 mµ V1 lµ tËp më nªn W2 := K\(V1 ∪ (∪N j=3 Uj )) ⊂⊂ U2 Lop12.net (6) Do đó, tồn 2 > cho W2 ⊂ W2 + B2 (0) ⊂ U2 Theo Mệnh đề 1.3, có hàm nhận giá trị khoảng (0, 1) lµ ψ2 ∈ C0∞ (Rn ) cho V2 := W2 + B 22 (0) ⊂ supp ψ2 ⊂ W2 + B2 ⊂ U2 Cø nh thÕ ta x©y dùng ®îc d·y c¸c hµm (i) {ψj }N j=1 tho¶ m·n ψj ∈ C0∞ (Rn ), Vj := Wj + B j (0) ⊂ supp ψj ⊂ Wj + Bj ⊂ Uj , (ii) (iii) PN ψj (x) > 0, ∀x ∈ ∪N j=1 Vj (⊃ K), (iv) PN ψj (x) < N + 1, ∀x ∈ Rn Cã j=1 j=1 K ⊂⊂ ∪N j=1 Vj nªn tån t¹i mét sè > cho K ⊂ K + B (0) ⊂ ∪N j=1 Vj Theo Mệnh đề 1.3 có hàm không âm (i) (ii) φ tho¶ m·n φ ∈ C0∞ (Rn ), K ⊂ K + B 2 (0) ⊂ supp φ ⊂ K + B ⊂ ∪N j=1 Vj , (iii)0 ≤ φ(x) ≤ 1, ∀x ∈ Rn , φ(x) = 1, ∀x ∈ K + B (0) §Æt ϕj (x) := ψj (x) P PN N φ(x) k=1 ψk (x) k=1 ψk (x) + (1 − φ(x)) N + − cã (i) ≤ ϕj (x) ≤ 1, ∀x ∈ K, j = 1, 2, , ϕj ∈ C0∞ (Rn ), supp ϕj ⊂ Uj , j = 1, 2, , P∞ (iii) j=1 ϕj (x) = 1, ∀x ∈ K (ii) Chó ý §Ó x©y dùng c¸c hµm ϕj tõ ψj ta cã thÓ dïng mét hai c¸ch sau: ( φ(x)ψj (x) PN , k=1 ψk (x) nÕu x ∈ supp φ, 0, nÕu x 6∈ supp φ, (i) thø nhÊt ϕj (x) := (ii) thø hai ϕ1 (x) = ψ1 (x), ϕ2 (x) = (1 − ψ1 (x))ψ2 (x), , ϕN (x) = ψN (x) N −1 Y j=1 Lop12.net (1 − ψj (x)) (7) 1.2 D(Ω), Kh«ng gian hµm c¬ b¶n D0(Ω) réng 1.2.1 kh«ng gian hµm suy Kh«ng gian hµm c¬ b¶n D(Ω) ∞ §Þnh nghÜa 1.2 Kh«ng gian D(Ω) lµ kh«ng gian gåm c¸c hµm ϕ ∈ C0 (Ω) víi kh¸i niÖm ∞ ∞ ∞ hội tụ sau: dãy {ϕj }j=1 các hàm C0 (Ω) gọi là hội tụ đến hàm ϕ ∈ C0 (Ω) (i) cã mét tËp compact (ii) lim sup |D j→∞ x∈Ω α Khi đó, ta viết là Chó ý 1.NÕu K ⊂ Ω mµ supp ϕj ⊂ K, j = 1, 2, , ϕj (x) − Dα ϕ(x)| = 0, ∀α ∈ Zn+ ϕ = D− lim ϕj j→∞ ϕ = D− lim ϕj j→∞ th× supp ϕ ⊂ K D(Ω) lµ phï hîp víi cÊu tróc tuyÕn λ, µ ∈ C, ϕk , ψk , ϕ, ψ ∈ D(Ω), k = 1, 2, , cã Kh¸i niÖm héi tô trªn nÕu D− lim ϕk = ϕ, D− lim ψk = ψ k→∞ k→∞ H¬n thÕ, ta cßn cã thÓ chøng minh nÕu D− lim φϕj j→∞ ThËt vËy, nÕu ϕk (x) = th× tÝnh trªn nÕu D− lim (λϕk + µψk ) = λϕ + µψ k→∞ φ ∈ C ∞ (Ω), vµ φ(x)ϕk (x) = th× D(Ω), nghÜa lµ, ϕ = D− lim ϕj j→∞ nªn th× φϕ = supp(φϕk ) ⊂ supp ϕk , α ∈ Zn+ X α α D (φϕk )(x) = Dβ φ(x)Dα−β ϕk (x) β β≤α vµ theo c«ng thøc Leibnitz cã víi mçi mµ ϕ = D− lim ϕj j→∞ nghÜa lµ (i) cã mét tËp compact (ii) K ⊂ Ω mµ supp ϕk ⊂ K, k = 1, 2, , lim sup |Dα ϕk (x) − Dα ϕ(x)| = 0, ∀α ∈ Zn+ , k→∞ x∈Ω đó, (i)supp(D α ϕk ) ⊂ K, k = 1, 2, , ∀α ∈ Zn+ nªn supp(φϕk ) ⊂ K, supp(Dα (φϕk )) ⊂ K, k = 1, 2, , (ii) sup |Dα (φϕk )(x) − Dα (φϕ)(x)| ≤ C x∈Ω P sup |Dβ φ(x)| sup |Dβ ϕk (x) − Dβ ϕ(x)| β≤α x∈K x∈Ω β≤α nªn lim sup |Dα (φϕk )(x) − Dα (φϕ)(x)| = 0, ∀α ∈ Zn+ k→∞ x∈Ω Lop12.net (8) Víi mçi (i) α ∈ Zn+ , phép toán đạo hàm Dα lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc D(Ω), nghÜa lµ Dα ϕ ∈ D(Ω), supp Dα ϕ ⊂ supp ϕ, (ii) nÕu (iii) nÕu Nh vËy, λ, µ ∈ C, ϕ, ψ ∈ D(Ω) th× Dα (λϕ + µψ) = λDα ϕ + µDα ψ, D− lim ϕk = th× D− lim Dα ϕk = k→∞ k→∞ P to¸n tö vi ph©n tuyÕn tÝnh P = aα (x)Dα , aα ∈ C ∞ (Ω) lµ to¸n tö vi ph©n |α|≤m D(Ω) mà supp P u ⊂ supp u, ∀u ∈ D(Ω) Peetre, J đã chứng minh ∞ ®îc r»ng nÕu to¸n tö tuyÕn tÝnh P trªn C0 (Ω) tho¶ m·n tÝnh chÊt supp P u ⊂ supp u, ∀u ∈ C0∞ (Ω) th× P lµ to¸n tö vi ph©n ∞ D·y {ϕj }j=1 ®îc gäi lµ mét d·y Cauchy D(Ω) nÕu tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn (i) cã mét tËp compact (ii) lim sup |D j→∞ x∈K k→∞ α K ⊂ Rn mµ supp ϕj ⊂ K, j = 1, 2, , ϕj (x) − Dα ϕk (x)| = 0, ∀α ∈ Zn+ P ϕk ∈ D(Ω), k = 1, 2, , chuçi h×nh thøc ∞ k=1 ϕk Pk ∞ nÕu d·y c¸c tæng riªng { j=1 ϕj }k=1 héi tô D(Ω) Cho Mệnh đề 1.4 Không gian Chøng minh LÊy d·y (ii) lim sup |D j→∞ x∈K k→∞ α D(Ω) D(Ω) là đủ {ϕj }∞ j=1 (i) cã mét tËp compact ®îc gäi lµ héi tô lµ mét d·y Cauchy D(Ω) th× K ⊂ Ω mµ supp Dα ϕj ⊂ K, j = 1, 2, , ∀α, ϕj (x) − Dα ϕk (x)| = 0, ∀α ∈ Zn+ α d·y {Dα ϕj }∞ j=1 lµ d·y Cauchy kh«ng gian C(K) víi chuÈn sup, mµ α không gian C(K) với chuẩn sup là không gian đủ, đó có hàm ϕ ∈ C(Ω) cho nªn víi mçi (i) supp ϕα ⊂ K, (ii) lim sup |D j→∞ x∈K α ϕj (x) − ϕα (x)| = Ta sÏ chøng minh (i) supp Dα ϕ0 ⊂ K, (ii) lim sup |D j→∞ x∈Ω hay ϕα = Dα ϕ0 Khi đó, ϕ0 ∈ C0∞ (Ω) và α ϕj (x) − Dα ϕ0 (x)| = lim sup |Dα ϕj (x) − Dα ϕ0 (x)| = j→∞ x∈K ϕ0 = D− lim ϕj j→∞ §Ó chøng minh ®iÒu nµy ta chØ cÇn chøng minh j z}|{ α = (0, , 0, , 0, , 0) ta chứng minh tương tự α = (1, 0, , 0) Các trường hợp Sau đó, qui nạp ta chứng minh cho các trường hợp còn lại §iÒu nµy lµ hiÓn nhiªn v× D1 ϕ j hội tụ đến K Lop12.net ϕ(1,0, ,0) K, vµ ϕj hội tụ đến ϕ0 (9) 1.2.2 D0 (Ω) Kh«ng gian hµm suy réng §Þnh nghÜa 1.3 Ta nãi r»ng f lµ mét hµm suy réng D(Ω) Hàm suy rộng f ∈ D (Ω) tác động lên ϕ ∈ D(Ω) réng f, g ∈ D (Ω) ®îc gäi lµ b»ng nÕu Ω nÕu f lµ mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn ®îc viÕt lµ hf, ϕi Hai hµm suy hf, ϕi = hg, ϕi, ∀ϕ ∈ D(Ω) TËp tÊt c¶ c¸c hµm suy réng Chó ý Trªn D0 (Ω) Ω lËp thµnh kh«ng gian D0 (Ω) cã thÓ x©y dùng mét cÊu tróc kh«ng gian vect¬ trªn C, nghÜa lµ ta cã thể định nghĩa các phép toán tuyến tính sau f, g ∈ D0 (Ω) tæng f + g (i) phÐp céng: víi xác định sau f + g : ϕ 7→ hf + g, ϕi = hf, ϕi + hg, ϕi, ϕ ∈ D(Ω), đó, f + g ∈ D0 (Ω), nghÜa lµ, f + g (ii) phÐp nh©n víi sè phøc: víi lµ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn λ ∈ C, f ∈ D0 (Ω) tÝch λf D(Ω), xác định sau λf : ϕ 7→ hλf, ϕi = λhf, ϕi, ϕ ∈ D(Ω), đó, λf ∈ D0 (Ω), nghÜa lµ, λf lµ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn D(Ω) ∞ Hơn thế, ta còn có thể định nghĩa phép nhân với hàm C (Ω) ∞ 0 Với φ ∈ C (Ω), f ∈ D (Ω) tích φf ∈ D (Ω) xác định sau φf : ϕ 7→ hφf, ϕi = hf, φϕi, ϕ ∈ D(Ω), φf ∈ D0 (Ω) ThËt vËy, f ∈ D (Ω) nªn dÔ thÊy φf : D(Ω) → C lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh ∞ §Ó chøng minh φf liªn tôc ta lÊy d·y {ϕk }k=1 mµ D− lim ϕk = ta chøng minh lim hφf, ϕk i = đó, lim hf, φϕk i = §iÒu nµy lµ hiÓn nhiªn v× f k→∞ VÝ dô Víi mçi f∈ k→∞ liªn tôc vµ D− lim φϕk = k→∞ k→∞ Lloc (Ω) ®îc coi lµ mét hµm suy réng b»ng c¸ch sau Z f : ϕ 7→ hf, ϕi = f (x)ϕ(x)dx, ϕ ∈ D(Ω) Ω Nh vËy, cã thÓ coi L1loc (Ω) lµ tËp cña D0 (Ω) Hµm suy réng f ∈ L1loc (Ω) ®îc gäi lµ hµm suy réng chÝnh quy Với f, g ∈ Lloc (Ω), thì theo nghĩa hàm suy rộng và theo nghĩa thông thường lµ nh nhau, nghÜa lµ f, g ∈ L1loc (Ω), Z Z f (x)ϕ(x)dx = Ω VÝ dô g(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ D(Ω) Ω Hµm Dirac: δ : ϕ 7→ hδ, ϕi = ϕ(0), ϕ ∈ D(Ω) Lop12.net th× f = g, h.k.n Ω (10) 1.2.3 §¹o hµm suy réng Trong trường hợp biến, áp dụng công thức tích phân phần cho ∞ C0 (R) cã Z +∞ f (x)ϕ(x)dx = f (x)ϕ(x)|+∞ −∞ +∞ Z − −∞ Z +∞ f (x)ϕ0 (x)dx f (x)ϕ (x)dx = (−1) −∞ f ∈ C (R), ϕ ∈ −∞ Như vậy, ta có thể định nghĩa đạo hàm hàm hàm suy rộng Ngoài ra, cách định nghĩa ta có thể định nghĩa đạo hàm cho hàm f ∈ Lloc (R) f ∈ D0 (Ω), α = (α1 , , αn ) ∈ Zn+ §¹o hµm suy réng cÊp α α hàm suy rộng f Ω, ký hiệu là D f, là ánh xạ từ D(Ω) vào C xác định §Þnh nghÜa 1.4 Cho cña Dα f : ϕ 7→ (−1)|α| hf, Dα ϕi, ϕ ∈ D(Ω) α ∈ Zn+ , f ∈ D0 (Ω), đạo hàm suy rộng cấp α hàm suy rộng f Ω α là hàm suy rộng, nói cách khác, đạo hàm suy rộng D f là phiếm hàm tuyến tính liên tôc tõ D(Ω) vµo C, v× Chó ý • Víi mçi víi mçi λ, µ ∈ C, ϕ, ψ ∈ D(Ω) cã hDα f, λϕ + µψi = (−1)|α| hf, Dα (λϕ + µψ)i = (−1)|α| (λhf, Dα ϕi + µhf, Dα ψi) = λhDα f, ϕi + µhDα f, ψi • víi ϕk ∈ D(Ω), k = 1, 2, , D− lim ϕk = th× D− lim Dα ϕk = 0, α ∈ Zn+ k→∞ k→∞ nªn lim hDα f, ϕk i = lim hf, Dα ϕk i = k→∞ Víi mçi k→∞ α, β ∈ Zn+ , f ∈ D0 (Rn ) có đạo hàm suy rộng cấp α, β, α + β lµ Dα f, Dβ f, Dα+β f vµ Dα+β f = Dα (Dβ f ) = Dβ (Dα f ) j Do đó, α Dα = D1α1 D2α2 Dnαn , víi Dj j j z}|{ z}|{ (0, ,0, ,0, ,0) (0, ,0, ,0, ,0) = |D {z D }, vµ thø tù αj lÇn có thể thay đổi f ∈ L1loc (Ω) VÝ dô NÕu VÝ dô Hµm Heaviside có đạo hàm cấp α theo nghĩa thông thường α đạo hàm theo nghĩa suy rộng hàm suy rộng f là D f ( θ(t) := có đạo hàm suy rộng 1, 0, Dθ(t) = δ(t) Lop12.net t > 0, nÕu t ≤ nÕu Dα f ∈ L1loc (Ω) th× (11) 10 VÝ dô Cho α D (ϕf ) = f ∈ D0 (Ω), ϕ ∈ C ∞ (Ω) cã X α β≤α VÝ dô §Æt β β D ϕD α−β f, đó Y n α αj αj αj ! = , = βj !(αj − βj )! β βj βj j=1 E(x) = (2π)−1 ln ||x||, x ∈ R2 \{0}, còn với n ≥ đặt E(x) = − ||x||2−n , x ∈ Rn \{0}, (n − 2)cn n là diện tích mặt cầu đơn vị trong gian R n 2 Khi đó, ∆E = δ D (R ), ∆ = D1 + Dn n Thật vậy, trước hết ta chứng minh E ∈ Lloc (R ) Dễ dàng thấy víi cn ®iÓm E x 6= 0, vµ víi x 6= cã 1 xj ||x||−n , Dj2 E(x) = (||x||2 − nx2j )||x||−n cn cn 2 ∆E(x) = D1 E(x) + Dn E(x) = Dj E(x) = Như để chứng minh vÞ kh¶ vi v« h¹n t¹i mäi E ∈ L1loc (Rn ) ta chØ cÇn chøng minh E chó ý c2 = 2π khả tích hình cầu đơn B1 (0) Bằng cách chuyển sang hệ toạ độ cầu ta có (R 2π R Z ln(r)rdrdθ E(x)dx = R c2 R 1 − ||x||=1 (n−2)cn r2−n rn−1 drdS B1 (0) nÕu n = 2, nÕu n ≥ 3, hay (R Z E(x)dx = B1 (0) ln(r)rdr = r 2ln r − R1 −1 − (n−2) rdr = 2(n−2) R1 r dr = −1 nÕu n = 2, nÕu n ≥ ϕ ∈ C0∞ (Rn ) có số R > để supp ϕ ∈ BR (0), đó, theo công thức Gauss cho h×nh { ≤ ||x|| ≤ R} víi hai biªn { = ||x||}, {||x|| = R} Z hDj E, ϕi = − hE, Dj ϕi = − lim E(x)Dj ϕ(x)dx →0+ ≤||x||≤R Z Z xj −n = lim xj ||x|| ϕ(x)dx + lim E(x)ϕ(x) dS →0+ ≤||x||≤R cn →0+ =||x|| ||x|| Z xj − lim E(x)ϕ(x) dS →0+ ||x||=R ||x|| Víi x j ϕ(x) = 0, ||x|| ≥ R, vµ trªn biªn { = ||x||} th× |E(x)ϕ(x) ||x|| | lµ v« cïng bÐ O(ln( 1 )) R xj 2−n nÕu n = vµ O( ) nÕu n ≥ nªn =||x|| E(x)ϕ(x) ||x|| dS lµ v« cïng bÐ O( ln( 1 )) nÕu n = vµ O() nÕu n ≥ → 0+ nªn Z hDj E, ϕi = lim xj ||x||−n ϕ(x)dx →0+ ≤||x||≤R cn mµ Lop12.net (12) 11 nên đạo hàm suy rộng Dj E có thể viết dạng hàm khả tích địa phương Dj E(x) = xj ||x||−n cn L¹i cã hDj2 E, ϕi mµ Z = − hDj E, Dj ϕi = − lim Dj E(x)Dj ϕ(x)dx →0+ ≤||x||≤R Z (||x||2 − nx2j )||x||−n ϕ(x)dx = lim →0+ ≤||x||≤R cn Z xj − lim Dj E(x)ϕ(x) dS →0+ ||x||=R ||x|| Z x2j ϕ(x) + lim dS →0+ ||x||= cn ||x||n+1 ϕ(x) = 0, ||x|| ≥ R nªn h∆E, ϕi = lim →0+ cn n−1 hay Z ϕ(x)dS = ϕ(0) = hδ, ϕi, ||x||= ∆E = δ VÝ dô Trong Rn+1 , ký hiÖu (x, t) ∈ Rn × R vµ E(x, t) = (4πt) Khi đó, −n e− ||x||2 4t , t > 0, , E(x, t) = 0, t ≤ E ∈ C ∞ (Rn+1 \{0}) ∩ L1loc (Rn+1 ), vµ (Dt − ∆x )u = δ VÝ dô Trong R2 , ký hiÖu (x, t) ∈ R × R vµ E1 (x, t) = θ(t − |x|) (Dt2 − Dx2 )E1 (x, t) = δ Trong R , ký hiÖu (x, t) ∈ R × R vµ Khi đó, E2 (x, t) = θ(t − ||x||) p , t 6= ||x|| , E(x, t) = 0, t = ||x|| 2π t2 − ||x||2 (Dt2 − ∆x )E2 (x, t) = δ Trong R , ký hiÖu (x, t) ∈ R × R vµ Khi đó, E3 (x, t) = Khi đó, θ(t)δ(t2 − ||x||2 ) 2π (Dt2 − ∆x )E3 (x, t) = δ Lop12.net (13) 12 Ω = R, víi f, F ∈ D0 (R), ta nãi F lµ nguyªn hµm suy réng cña hµm suy rộng f đạo hàm suy rộng F là f, nghĩa là DF = f Trong trường hợp Mệnh đề 1.5 Mọi hàm suy rộng Chøng minh Víi mçi f ∈ D0 (R) có nguyên hàm suy rộng ϕ ∈ C0∞ (R) đặt Z ψ(x) = ϕ(x) − ρ(x) Z x ψ(t)dt Ψ(x) = +∞ ϕ(t)dt −∞ −∞ Cã Ψ(x) ∈ C0∞ (R) nªn víi mçi hµm suy réng f ∈ D0 (R),ta có thể đặt hF, ϕi = hf, Ψi Khi đó, F ∈ D0 (R) vµ Z x hDF, ϕi = hF, ϕ i = hf, ϕ(x) − F +∞ ρ(y) −∞ NÕu hµm suy réng Z ϕ0 (t)dtdyi = hf, ϕi −∞ DF = th× Z +∞ hF, ϕi = hF, ψi + ϕ(t)dt hF, ρi −∞ Z +∞ = hDF, Ψi + ϕ(t)dt hF, ρi −∞ Z +∞ ϕ(t)dt hF, ρi = có đạo hàm suy rộng −∞ có nguyên hàm suy rộng DF = thì F tương ứng với hàm F ≡ hF, ρi lớp hàm khả tích địa phương Lloc (R) Khi đó, với hàm suy rộng f ∈ D (R), luôn có họ các nguyên hàm suy rộng mà Do đó, hàm suy rộng F hai nguyên hàm họ sai khác hàm suy rộng có thể biểu diễn dạng hàm khả tích địa phương 1.2.4 CÊp cña hµm suy réng K ⊂ Ω, f ∈ D0 (Ω) Ta nãi hµm suy réng f cã cÊp h÷u có số nguyên không âm k và số dương C cho X |hf, ϕi| ≤ C sup |Dα ϕ(x)|, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω), supp ϕ ⊂ K §Þnh nghÜa 1.5 Cho |α|≤k h¹n trªn K (1.1) x∈K k nhỏ các số nguyên không âm mà ta có bất đẳng thức (1.1) ®îc gäi lµ cÊp cña hµm suy réng f trªn tËp K Nếu không có số nguyên không âm k nào để có (1.1) với số dương C nào đó, thì ta nói r»ng, hµm suy réng f cã cÊp v« h¹n trªn tËp K Để đơn giản, ta nói rằng, hàm suy rộng f ∈ D (Ω) có cấp k nó có cấp k trên Ω Sè nguyªn kh«ng ©m Lop12.net (14) 13 VÝ dô Mäi hµm suy réng f ∈ L1 (Ω) có cấp Rn , hàm Dirac δ(x) ∈ D0 (Rn ) có cấp Với α ∈ Zn+ , đạo hàm suy rộng cấp α cña hµm Dirac Dα δ cã cÊp |α| ThËt vËy, chän φ ∈ C0∞ (Rn ) cho φ(0) = 1, supp φ ⊂ B1 (0) §Æt φ (x) = xα φ( x ) cã VÝ dô 10 Trªn x hDα δ, φ i = (−1)|α| hδ, Dα φ i = (−1)|α| Dα (xα φ( ))(0) = (−1)|α| α! L¹i cã nÕu ||x|| ≥ th× φ (x) = nªn sup |Dβ φ (x)| ≤ C|α−β| → → 0, β < α, x∈Rn k < |α|, với số c > ta tìm số > để X |hDα δ, φ i| = α! > c sup |Dβ φ (x)|, đó với số nguyên không âm |β|≤k cßn víi k = |α| th× |hDα δ, ϕi| = |Dα ϕ(0)| ≤ C X |β|≤k VÝ dô x∈Rn 11 Trªn sup |Dβ ϕ(x)|, ∀ϕ ∈ C0∞ (Rn ) x∈Rn R, hàm suy rộng xác định sau hf, ϕi = +∞ X ϕ(j) (j) j=0 cã cÊp v« h¹n 1 ∞ ThËt vËy, chän φ ∈ C0 (R) mµ φ(x) = 1, x ∈ [− , ], supp φ ⊂ (−1, 1) §Æt φj (x) = 2 (x − j)j φ( x−j ), j chän sau Cã Dk φj (k) = 0, k 6= j, vµ Dj φj (j) = j! nªn hf, φj i = j! j Nhng, nÕu |x − j| ≥ j th× φj (x) = nªn sup |Dk φj (x)| ≤ cj−k , k < j, j x∈R ta chän j > cho |hf, φj i| = j! > j j−1 X k=1 Do đó, với j−1 X l=1 f x∈R k > 0, c > chän j = max{k + 1, c + 1} cã |hf, φj i| = j! > j hay cÊp cña sup |Dk φj (x)| l sup |D φj (x)| > c x∈R lµ v« h¹n Lop12.net k X l=1 sup |Dk φj (x)| x∈R (15) 14 §Þnh lý 1.6 Mçi phiÕm hµm tuyÕn tÝnh f trªn D(Ω) lµ mét hµm suy réng vµ chØ khi, K ⊂ Ω, có số nguyên không âm k và số dương C cho X |hf, ϕi| ≤ C sup |Dα ϕ(x)| = CkϕkC k (Ω) , ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω), supp ϕ ⊂ K trªn mçi tËp compact |α|≤k x∈Ω Chứng minh Để chứng minh điều kiện đủ ta cần chứng minh tính liên tục f gốc, ∞ ∞ nghÜa lµ nÕu cã mét d·y {ϕj }j=1 C0 (Ω) mµ D− lim ϕj = th× lim hf, ϕj i = j→∞ j→∞ §iÒu nµy lµ dÔ thÊy tõ gi¶ thiÕt §Ó chøng minh ®iÒu kiÖn cÇn ta dïng ph¶n chøng, nghÜa lµ gi¶ sö cã mét tËp compact K ⊂ Ω víi mçi k ∈ Z+ ta có sup ϕ∈C0∞ (Ω) supp ϕ⊂K,ϕ6=0 |hf, ϕi| = +∞ kϕkC k (Ω) ϕk ∈ C0∞ (Ω), supp ϕ ⊂ K, kϕk kC k (Ω) > Chän ψk (x) = ϕk (x) cã đó, tồn cho |hf, ϕk i| > kkϕk kC k (Ω) k kϕk kC k (Ω) • ψk ∈ C0∞ (Ω), supp ψk ⊂ K, • D− lim ψk = 0, |hf, ψk i| ≥ k , k→∞ nªn f 6∈ D0 (Ω), tr¸i víi gi¶ thiÕt Nh vËy, ®iÒu gi¶ sö sai hay ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh 1.2.5 Sù héi tô kh«ng gian hµm suy réng §Þnh nghÜa 1.6 Cho fk , f ∈ D (Ω), k D (Ω) k tiÕn v« cïng nÕu = 1, 2, D0 (Ω) Ta nãi r»ng, d·y {fk }∞ k=1 hội tụ đến lim hfk , ϕi = hf, ϕi, ∀ϕ ∈ D(Ω) k→∞ Khi đó, ta viết VÝ dô 12 D0− lim fk = f k→∞ D0− lim ρ = δ k→∞ Th©t vËy, víi mçi ϕ k ∈ C0∞ (Rn ) cã Z Z |hρ , ϕi − ϕ(0)| ≤ ρ (y)|ϕ(y) − ϕ(0)|dy = k k Rn ρ (y)|ϕ(y) − ϕ(0)|dy B (0) k ≤ sup |ϕ(y) − ϕ(0)| y∈B (0) k nªn lim |hρ , ϕi − ϕ(0)| = hay ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh k→∞ k Lop12.net k f (16) 15 13 Sù héi tô D (Ω) trïng víi sù héi tô yÕu vµ ∈ L1loc (Ω), D0− lim fk = f, th× k→∞ VÝ dô fk , f Z lim k→∞ Z fk (x)ϕ(x)dx = Ω L1loc (Ω), nghÜa lµ nÕu f (x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω) Ω Khái niệm hội tụ định nghĩa trên là phù hợp với cấu trúc tuyến tính trên (Ω), nghÜa lµ víi λ, µ ∈ C, fk , gk , f, g ∈ D0 (Ω), k = 1, 2, vµ Chó ý D D0− lim fk = f, D0− lim gk = g k→∞ k→∞ th× D0− lim (λfk + µgk ) = λf + µg k→∞ Cho ặ) ∈ C ∞ (Ω) phÐp to¸n nh©n víi ặ) biÕn f ∈ D0 (Ω) thµnh af ∈ D0 (Ω) lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc, nghÜa lµ (i) a(λf + µg) = λaf + µag, ∀λ, µ ∈ C, f, g ∈ D0 (Ω), (ii) NÕu fk , f ∈ D0 (Ω), k = 1, 2, vµ D0− lim fk = f k→∞ n Với α ∈ Z+ , phép toán đạo hàm suy rộng D (Ω), nghÜa lµ (i) Dα th× D0− lim afk = af k→∞ còng lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc Dα (λf + µg) = λDα f + µDα g, ∀λ, µ ∈ C, f, g ∈ D0 (Ω), (ii) NÕu fk , f ∈ D0 (Ω), k = 1, 2, vµ D0− lim fk = f k→∞ th× D0− lim Dα fk = Dα f k→∞ P fk ∈ D0 (Ω), k = 1, 2, , chuçi h×nh thøc ∞ lµ héi tô D (Ω) k=1 fk ®îc gäi P Pk ∞ ∞ α nÕu d·y tæng riªng { j=1 fj }k=1 hội tụ D (Ω) Khi đó, chuỗi k=1 D fk còng héi tô D (Ω) vµ ∞ ∞ X X Dα fk = Dα fk Cho k=1 k=1 ∞ {fk }∞ k=1 ®îc gäi lµ d·y Cauchy D (Ω) nÕu víi mçi ϕ ∈ D(Ω) d·y {hfk , ϕi}k=1 lµ d·y Cauchy C D·y §Þnh lý 1.7 D0 (Ω) là không gian đủ Để chứng minh Định lý ta cần đến Bổ đề sau Bổ đề 1.8 Cho dãy {ϕk }∞ k=1 D(Ω) mµ D0 (Ω) Khi đó, lim hfk , ϕk i = k→∞ Lop12.net D− lim ϕk = 0, k→∞ vµ {fk }∞ k=1 lµ d·y Cauchy (17) 16 Chøng minh Ta chøng minh b»ng ph¶n chøng, gi¶ sö cã mét sè hfk , ϕk i 6→ k → ∞, nghÜa lµ c > và dãy con, để đơn giản ký hiệu, ta có thể giả sử |hfk , ϕk i| > c, k = 1, 2, Bằng cách lấy dãy dãy trên, để đơn giản ký hiệu, ta có thể có |Dα ϕk (x)| ≤ ψk = 2k ϕk §Æt , ∀x ∈ Ω, |α| ≤ k, k = 1, 2, 4k cã ψk ∈ C0∞ (Ω), supp ψk ⊂ supp ϕk , (i) (ii) D− lim ψk = 0, lim hfk , ψk i = +∞ k→∞ k→∞ {fk0 , ψk0 }∞ k=1 b»ng c¸ch quy n¹p nh sau lim hfl , ψl i = +∞ nªn cã mét sè tù nhiªn l1 cho |hfl1 , ϕl1 i| > Ta ®i x©y dùng d·y Do l→∞ f10 = fl1 , ψ10 = ψl1 Do D− lim ψl = nªn cã mét sè tù nhiªn k1 > l1 §Æt cho |hf1 , ψl i| < 1, ∀l ≥ k1 Mµ d·y l→∞ {hfl , ψ10 i}∞ l=1 lµ d·y Cauchy nªn bÞ chÆn, cßn lim hfl , ψl i = +∞ nªn cã mét sè tù nhiªn l→∞ l2 > k1 cho |hfl , ψl i| > |hfl , ψ10 i| + 1, ∀l ≥ l2 0 §Æt f2 = fl2 , ψ2 = ψl2 Cã 0 (i)|hf1 , ψ2 i| < 12 , 0 (ii)|hf2 , ψ2 i| > |hf20 , ψ10 i| + Giả sử ta đã có 0 (i)|hfj , ψk−1 i| , ψ10 , , ψk−1 (k > 2, fj0 = flj , l1 < l2 < · · · < lk−1 ) mµ f10 , , fk−1 < 0 (ii)|hfk−1 , ψk−1 i| Do ,j 2k−1−j > = 1, , k − 2, Pk−2 j=1 |hfk−1 , ψj0 i| + k − D− lim ψl = nªn cã mét sè tù nhiªn k2 > lk−1 l→∞ |hfj0 , ψl i| < Víi mçi 2l−j , j = 1, , k − 2, ∀l ≥ k2 j = 1, , k − 2, d·y {hfl , ψj0 i}∞ l=1 +∞ nªn cã mét sè tù nhiªn lk > k2 lµ d·y Cauchy nªn bÞ chÆn, cßn cho |hfl , ψl i| > k−2 X |hfl , ψj0 i| + k, ∀l ≥ lk j=1 §Æt cho fk0 = flk , ψk0 = ψlk Cã Lop12.net lim hfl , ψl i = l→∞ (18) 17 0 (i)|hfj , ψk i| 0 (ii)|hfk , ψk i| Cã d·y ,j 2k−j < > Pk−1 j=1 = 1, , k − 1, |hfk0 , ψj0 i| + k ∞ {ψk0 }∞ k=1 = {ψlk }k=1 (i) cã mét tËp compact (ii)víi mçi {ψk }∞ k=1 ψk = 2k ϕk mµ nªn K ⊂ Ω cho supp ψk0 ⊂ K, k = 1, 2, , α ∈ Zn+ , m2 , m1 ∈ Z+ , m2 > m1 > |α| cã m2 X k=m1 Do đó, dãy lµ d·y cña d·y { sup |D x∈Ω Pk l=1 α ψk0 (x)| = m2 X k=m1 ψl0 }∞ k=1 m2 ∞ X X 1 sup |D ψlk (x)| < ≤ = m1 −1 l k 2k 2 x∈Ω k=m k=m α héi tô 1 D(Ω), nghÜa lµ cã mét hµm ψ ∈ D(Ω) mµ ψ = D− lim k→∞ k X ψl0 l=1 Khi đó, có |hfk0 , ψi| ≥ |hfk0 , ψk0 i| − k−1 X |hfk0 , ψj0 i| j=1 ≥ k − lim l→∞ l X j=k+1 2j−k l X − lim l→∞ |hfk0 , ψj0 i| j=k+1 = k − 1, ∞ nghĩa là, dãy {hfk , ψi}k=1 là không bị chặn, đó không là dãy Cauchy nên dãy {fk0 }∞ k=1 kh«ng lµ Cauchy D (Ω) §iÒu nµy tr¸i víi gi¶ thiÕt Nh vËy ®iÒu gi¶ sö sai hay ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh ∞ Chøng minh B©y giê ta ®i chøng minh §Þnh lý 1.7 LÊy {fk }k=1 lµ d·y Cauchy D0 (Ω) Ta ph¶i chøng minh cã mét hµm suy réng f ∈ D0 (Ω) mµ f = D0− lim fk k→∞ ∞ ∞ Do {fk }k=1 lµ d·y Cauchy D (Ω) nªn víi mçi ϕ ∈ D(Ω) d·y {hfk , ϕi}k=1 lµ d·y Cauchy C, đó tồn phần tử ký hiệu hf, ϕi ∈ C mà lim hfk , ϕi = hf, ϕi k→∞ f : ϕ 7→ hf, ϕi lµ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh tõ D(Ω) vµo C Ta sÏ chứng minh f là liên tục Khi đó, f = D− lim fk Rõ ràng tương ứng, ký hiệu k→∞ Ta chøng minh b»ng ph¶n chøng, gi¶ sö cã mét d·y 0, nhng hf, ϕk i 6→ mét sè lk cho §Æt fk = flk cã (i) {fk0 }∞ k=1 D(Ω) mµ D− lim ϕk = k→∞ k → ∞, nghĩa là có số c > và dãy con, để đơn giản |hf, ϕk i| = lim |hfl , ϕk i| > c, k = 1, 2, Do đó, với k có ký hiÖu ta cã thÓ gi¶ sö {ϕk }∞ k=1 l→∞ |hflk , ϕk i| > c lµ d·y Cauchy D0 (Ω), Lop12.net (19) 18 D− lim ϕk = 0, (ii) k→∞ (iii) |hfk0 , ϕk i| > c, k = 1, 2, , mà theo Bổ đề 1.8 có f hay lim |hfk0 , ϕk i| = nên xảy điều mâu thuẫn Do đó điều giả sử sai k→∞ liªn tôc 1.2.6 Địa phương hoá Ω1 , Ω2 lµ c¸c tËp më Rn lµ hµm trªn Ω2 b»ng c¸ch sau ( Cho ϕΩ2 (x) = vµ Ω1 ⊂ Ω2 ϕ(x) , ϕ ∈ C0∞ (Ω1 ) Víi mçi hµm cã thÓ coi x ∈ Ω1 , nÕu x ∈ Ω2 \Ω1 , , nÕu ϕ ∈ C0∞ (Ω2 ) Khi đó, với f ∈ D (Ω2 ) ta coi là hàm suy rộng trên Ω1 th× b»ng c¸ch sau hf |Ω1 , ϕi = hf, ϕΩ2 i, ϕ ∈ D(Ω1 ) f, g ∈ D0 (Ω2 ), f 6= g th× cha ch¾c f |Ω1 6= g|Ω1 hay nÕu f |Ω1 = g|Ω1 th× cha ch¾c f = g NÕu ϕ ∈ C0∞ (Ω2 ), supp ϕ ⊂ Ω1 th× cã thÓ coi ϕ ∈ C0∞ (Ω1 ) vµ hf, ϕi = hf |Ω1 , ϕi NÕu Ω lµ tËp më Rn , ®iÓm x ∈ Ω, c¸c hµm Ta nói f = g x có lân cận mở ω ⊂ Ω x để §Þnh nghÜa 1.7 Cho suy réng f, g ∈ D0 (Ω) f |ω = g|ω f, g ∈ D0 (Ω) f 6= g t¹i mét ®iÓm x ∈ Ω ω ⊂ Ω x có hàm ϕ ∈ D(Ω), supp ϕ ⊂ ω cho Chó ý Cho Khi đó, nÕu víi mäi l©n cËn më hf, ϕi = hg, ϕi hay cã mét d·y h×nh cÇu mµ Brk (x) ⊂ Ω mµ rk & k % ∞ vµ mét d·y hµm ϕk ∈ C0∞ (Ω) supp ϕk ⊂ Brk (x) cho hf, ϕk i = hg, ϕk i Cho f, g ∈ D0 (Ω) NÕu f = g D0 (Ω) th× f = g t¹i mäi ®iÓm x ∈ Ω Định lý sau cho ta thấy điều ngược lại đúng §Þnh lý 1.9 Cho f, g ∈ D0 (Ω) NÕu víi mäi x∈Ω có f =g t¹i x th× f =g D (Ω) ϕ ∈ D(Ω) cã K = supp ϕ lµ tËp compact Ω Tõ gi¶ thiÕt, víi mçi x ∈ K cã mét l©n cËn më ωx cña x mµ f |ωx = g|ωx Cã K ⊂ ∪x∈K ωx mµ K compact nªn cã mét sè h÷u h¹n ®iÓm x1 , , xm ∈ K mµ K ⊂ m ∪m j=1 ωxj Theo Định lý 1.1 (Định lý phân hoạch đơn vị) có họ hữu hạn các hàm {ψj }j=1 D(Ω) cho Chøng minh Víi mçi Lop12.net (20) 19 (i) ≤ ψj (x) ≤ 1, ∀x ∈ K, j = 1, 2, , supp ψj ⊂ ωxj , j = 1, 2, , Pm (iii) j=1 ψj (x) = 1, ∀x ∈ K (ii) Khi đó, có m X hf, ϕi = hf, ( ψj )ϕi j=1 = = m X j=1 m X hf |ωj , ψj ϕi( v× ψj ϕ ∈ D(ωxj )) hg|ωj , ψj ϕi j=1 = hg, ϕi, nªn ta cã f =g D0 (Ω) Lop12.net (21)