Lý thuyết hàm suy rộng và không gian sobolev

Trong bài giảng “Hàm suy rộng và Không gian Sobolev” tôi có trình bày sơ qua về Không gian Sobolev. Trong cách trình bày đó, tôi đã sử dụng phép biến đổi Fourier như một công cụ chính nên mới chỉ dừng lại L^2. Tôi xin giới thiệu một cách trình bày Không gian Sobolev khác qua Đạo hàm suy rộng. Bài giảng này tôi đã trình bày tại Tổ Bộ môn Giải tích, Khoa Toán- Cơ- Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG HN.

▲ý t❤✉②Õt ❍➭♠ s✉② ré♥❣ ✈➭ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ ➜➷♥❣ ❆♥❤ ❚✉✃♥ ❍➭ ◆é✐✱ ♥❣➭② ✷✵✲ ✶✶✲ ✷✵✵✺ ❈❤➢➡♥❣ ✶ ❈➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❤➭♠ ❝➡ ❜➯♥ ✈➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❤➭♠ s✉② ré♥❣ ✶✳✶ ▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❜æ s✉♥❣ ✶✳✶✳✶ ▼ét sè ❦ý ❤✐Ö✉ N = {1, 2, . . .} ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ sè tù ♥❤✐➟♥✱ Z + = {0, 1, 2, . . .} ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ❦❤➠♥❣ ➞♠✱ R ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ sè t❤ù❝✱ C ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ sè ♣❤ø❝✳ ➜➡♥ ✈Þ ➯♦ √ −1 = i. ❱í✐ ♠ç✐ sè tù ♥❤✐➟♥ n ∈ N✱ t❐♣ Z n + = {α = (α 1 , . . . , α n )   α j ∈ Z + , j = 1, . . . , n}, t❐♣ R n = {x = (x 1 , x 2 , . . . , x n )   x j ∈ R, j = 1, 2, . . .} ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t❤ù❝ n ❝❤✐Ò✉ ✈í✐ ❝❤✉➮♥ ❊✉❝❧✐❞ x =  n  j=1 x 2 j  1 2 . ◆Õ✉ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❣× ➤➷❝ ❜✐Öt✱ ❦ý ❤✐Ö✉ Ω ❧➭ t❐♣ ♠ë tr♦♥❣ R n . ❱í✐ ♠ç✐ k ∈ Z + ❦ý ❤✐Ö✉ ❝➳❝ t❐♣ ♥❤➢ s❛✉✿ C k (Ω) = {u : Ω → C   u ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tô❝ ➤Õ♥ ❝✃♣ k}, C(Ω) = C 0 (Ω) = {u : Ω ❧✐➟♥ tô❝ −→ C}, C k 0 (Ω) = {u : Ω → C   u ∈ C k (Ω), supp u ❧➭ t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t}, C 0 (Ω) = C 0 0 (Ω), C ∞ (Ω) = ∩ ∞ k=1 C k (Ω), C ∞ 0 (Ω) = ∩ ∞ k=1 C k 0 (Ω), tr♦♥❣ ➤ã✱ supp u = cl{x ∈ Ω   u(x) = 0}. ❱í✐ ♠ç✐ sè t❤ù❝ 1 ≤ p < ∞, ❦ý ❤✐Ö✉ L p (Ω) = {u : Ω ➤➤ −→ ▲❡❜❡s❣✉❡ C    Ω |u(x)| p < +∞}, ✈í✐ p = ∞, ❦ý ❤✐Ö✉ L ∞ (Ω) = {u : Ω ➤➤ −→ ▲❡❜❡s❣✉❡ C   ess sup x∈Ω |u(x)| < +∞}, tr ó ess sup x |u(x)| = inf{M > 0 m{x |u(x)| > M} = 0}. ớ 1 p , ý ệ L p loc () = {u : s C u L p (), ớ ọ t ợ } L p compact () = {u : s C u L p (), : u(x) = 0 tr \ }, tr ó ĩ ó cl() t t tr . ớ ỗ u C (), = ( 1 , 2 , . . . , n ) Z n + ý ệ D u = D 1 1 D 2 2 . . . D n n u, D j j = j x j j , j = 1, 2, . . . . ó ớ u, v C (), = ( 1 , 2 , . . . , n ) Z n + ó tứ t D (uv) = D uD v, tr ó = n j=1 j j , j j = j ! j !( j j )! , tổ tr t ỉ số Z n + , ĩ 0 j j , j = 1, 2, . . . , n. P ị ị ĩ ột t tr R n . ột ọ ế ợ {( j , j )} j=1 , tr ó j t ở tr R n , j tộ ớ tr R n , ợ ọ ột ị ủ t ế tí t s ợ t { j } =1 ột ủ ở ủ , ( j=1 j , j t ở 0 j (x) 1,x , j = 1, 2, . . . , j C 0 (R n ), supp j j , j = 1, 2, . . . , j=1 j (x) = 1,x . ò ọ { j } j=1 ị ứ ớ ủ ở { j } j=1 ủ t . ị ý K ột t t tr R n , ọ ữ {U j } N j=1 ột ủ ở ủ K. ó tồ t ột ọ ữ { j } N j=1 ị ột ị ứ ớ ủ ở {U j } N j=1 ủ t K. ể ứ ị ý t ột số ết q s ừ trở ý ệ : R n R ợ ị s (x) := Ce 1 ||x|| 2 1 , ế||x|| < 1, 0, ế ||x|| 1, tr ó C số s R n (x)dx = 1. ể ý r ó tí t s ✸ ✭✐✮ ρ ∈ C ∞ 0 (R n ), supp ρ = ¯ B 1 (0) = {x ∈ R n   ||x|| ≤ 1}, ρ(x) ≥ 0,∀x ∈ R n , ✭✐✐✮  R n ρ(x)dx = 1, ρ ❧➭ ❤➭♠ ❝❤Ø ♣❤ô t❤✉é❝ ✈➭♦ ||x||✭r❛❞✐❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥✮✳ ❱í✐ ♠ç✐  > 0, ➤➷t ρ  (x) =  −n ρ( x  )✳ ❍➭♠ ρ  ❝ò♥❣ ❝ã ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ❤➭♠ ρ✿ ✭✐✮ ρ  ∈ C ∞ 0 (R n ), supp ρ  = ¯ B  (0) = {x ∈ R n   ||x|| ≤ 1}, ρ  (x) ≥ 0,∀x ∈ R n , ✭✐✐✮  R n ρ  (x)dx = 1, ρ  ❧➭ ❤➭♠ ❝❤Ø ♣❤ô t❤✉é❝ ✈➭♦ ||x||✭r❛❞✐❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥✮✳ ❱í✐ ♠ç✐ ❤➭♠ f ∈ L 1 loc (R n ), ➤➷t f  (x) = (f ∗ ρ  )(x) =  R n f(y)ρ  (x − y)dy. ❱✐Ö❝ ➤➷t ♥➭② ❧➭ ❝ã ♥❣❤Ü❛ ✈×  R n f(y)ρ  (x − y)dy =  R n f(x − y)ρ  (y)dy =  ¯ B  (0) f(x − y)ρ  (y)dy. ▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✷✳ ❈❤♦ f ∈ L 1 loc (R n ). ❑❤✐ ➤ã✱ t❛ ❝ã ❝➳❝ ❦Õt ❧✉❐♥ s❛✉✳ ✭✐✮ f  ∈ C ∞ (R n ). ✭✐✐✮ ◆Õ✉ supp f = K ⊂⊂ R n t❤× f  ∈ C ∞ 0 (R n ), supp f  ⊂ K  = {x ∈ R n   d(x, K) ≤ }. ✭✐✐✐✮ ◆Õ✉ f ∈ C(R n ) t❤× lim →0 + sup x∈K |f  (x) − f(x)| → 0,∀K ⊂⊂ R n . ✭✐✈✮ ◆Õ✉ f ∈ L p (R n )(1 ≤ p < ∞) t❤× f  ∈ L p (R n ), ✈➭ f  L p −→ f ❦❤✐  → 0 + . ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✐✮ ❉Ô ❞➭♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ tõ ➤➻♥❣ t❤ø❝ s❛✉ D α x (  R n f(y)ρ  (x − y)dy) =  R n f(y)D α x ρ  (x − y)dy. ✭✐✐✮❉♦ supp f = K ♥➟♥ f  (x) =  R n f(y)ρ  (x − y)dy =  K f(y)ρ  (x − y)dy. ❑❤✐ ➤ã✱ ✈í✐ ♠ç✐ x ∈ K  ✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ d(x, K) >  ❤❛②||x−y|| > ,∀y ∈ K. ▼➭ supp ρ  ∈ ¯ B  (0) ♥➟♥ ρ  (x − y) = 0,∀y ∈ K. ❉♦ ➤ã✱ f  (x) = 0 ❦❤✐ x ∈ K  ❤❛② supp f  ⊂ K  . ✭✐✐✐✮ ❉Ô t❤✃② f  (x) − f(x) =  R n  f(x − y) − f(x)  ρ(y)dy =  ¯ B 1 (0)  f(x − y) − f(x)  ρ(y)dy ♥➟♥ |f  (x) − f(x)| ≤ sup y∈ ¯ B  (0) |f  (x − y) − f(x)| ♠➭ f ∈ C(R n ) ❝ã f ❧✐➟♥ tô❝ ➤Ò✉ tr➟♥ tõ♥❣ t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t K ⊂ R n ❞♦ ➤ã lim →0 + sup x∈K |f  (x) − f(x)| → 0,∀K ⊂⊂ R n . ✹ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✸✳ ❈❤♦ K ⊂⊂ R n . ❑❤✐ ➤ã✱ ✈í✐ ♠ç✐  > 0, ❝ã ♠ét ❤➭♠ ϕ ∈ C ∞ 0 (R n ) t❤♦➯ ♠➲♥ ✭✐✮ 0 ≤ ϕ(x) ≤ 1,∀x ∈ R n , ✭✐✐✮ supp ϕ ⊂ K  , ✭✐✐✐✮ ϕ(x) = 1,∀x ∈ K  2 . ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ▲✃② ❤➭♠ ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ t❐♣ K 3 4 χ(x) :=  1, ♥Õ✉ x ∈ K 3 4 , 0, ♥Õ✉ x ∈ K 3 4 . ❈ã χ ∈ L 1 (R n ) ⊂ L 1 loc (R n ), supp χ = K 3 4 , ♥➟♥ t❤❡♦ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✷ ❝ã ✭✐✮ χ ∗ ρ  4 ∈ C ∞ 0 (R n ), ✭✐✐✮ supp(χ ∗ ρ  4 ) ⊂ K  , ✭✐✐✐✮0 ≤ (χ ∗ ρ  4 )(x),∀x ∈ R n . ➜Ó ý r➺♥❣✱ (χ ∗ ρ  4 )(x) =  ¯ B  4 (0) χ(x − y)ρ  4 (y)dy ♥➟♥ ✭✐✮ (χ ∗ ρ  4 )(x) ≤  ¯ B  4 (0) ρ  4 (y)dy = 1, ✭✐✐✮ ◆Õ✉ x ∈ K  2 t❤× (x − y) ∈ K 3 4 ,∀y ∈ ¯ B  4 , ❞♦ ➤ã (χ ∗ ρ  4 )(x) =  ¯ B  4 (0) ρ  4 (y)dy = 1. ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳ ❚õ ❣✐➯ t❤✐Õt K ❧➭ t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t✱ {U j } N j=1 ❧➭ ♠ét ♣❤ñ ♠ë ❝ñ❛ K ❝ã W 1 := K\(∪ N j=2 U j ) ⊂⊂ U 1 ♥➟♥ tå♥ t➵✐  1 > 0 s❛♦ ❝❤♦ W 1 ⊂ W 1 + B  1 (0) ⊂ U 1 . ❚❤❡♦ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✸ ❝ã ♠ét ❤➭♠ ♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ tr♦♥❣ ❦❤♦➯♥❣ (0, 1) ❧➭ ψ 1 ∈ C ∞ 0 (R n ) s❛♦ ❝❤♦ V 1 := W 1 + B  1 2 (0) ⊂ supp ψ 1 ⊂ W 1 + B  1 ⊂ U 1 . ▲➵✐ ❝ã✱ W 1 := K\(∪ N j=2 U j ) ⊂ V 1 ♠➭ V 1 ❧➭ t❐♣ ♠ë ♥➟♥ W 2 := K\(V 1 ∪ (∪ N j=3 U j )) ⊂⊂ U 2 . ✺ ❉♦ ➤ã✱ tå♥ t➵✐  2 > 0 s❛♦ ❝❤♦ W 2 ⊂ W 2 + B  2 (0) ⊂ U 2 . ❚❤❡♦ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✸✱ ❝ã ♠ét ❤➭♠ ♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ tr♦♥❣ ❦❤♦➯♥❣ (0, 1) ❧➭ ψ 2 ∈ C ∞ 0 (R n ) s❛♦ ❝❤♦ V 2 := W 2 + B  2 2 (0) ⊂ supp ψ 2 ⊂ W 2 + B  2 ⊂ U 2 . ❈ø ♥❤➢ t❤Õ t❛ ①➞② ❞ù♥❣ ➤➢î❝ ❞➲② ❝➳❝ ❤➭♠ {ψ j } N j=1 t❤♦➯ ♠➲♥ ✭✐✮ ψ j ∈ C ∞ 0 (R n ), ✭✐✐✮ V j := W j + B  j 2 (0) ⊂ supp ψ j ⊂ W j + B  j ⊂ U j , ✭✐✐✐✮  N j=1 ψ j (x) > 0,∀x ∈ ∪ N j=1 V j (⊃ K), ✭✐✈✮  N j=1 ψ j (x) < N + 1,∀x ∈ R n . ❈ã K ⊂⊂ ∪ N j=1 V j ♥➟♥ tå♥ t➵✐ ♠ét sè  > 0 s❛♦ ❝❤♦ K ⊂ K + B  (0) ⊂ ∪ N j=1 V j . ❚❤❡♦ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✸ ❝ã ♠ét ❤➭♠ ❦❤➠♥❣ ➞♠ φ t❤♦➯ ♠➲♥ ✭✐✮ φ ∈ C ∞ 0 (R n ), ✭✐✐✮ K ⊂ K + B  2 (0) ⊂ supp φ ⊂ K + B  ⊂ ∪ N j=1 V j , ✭✐✐✐✮0 ≤ φ(x) ≤ 1,∀x ∈ R n , φ(x) = 1,∀x ∈ K + B  (0). ➜➷t ϕ j (x) := ψ j (x) φ(x)   N k=1 ψ k (x)  + (1 − φ(x))  N + 1 −  N k=1 ψ k (x)  ❝ã ✭✐✮ 0 ≤ ϕ j (x) ≤ 1,∀x ∈ K, j = 1, 2, . . . , ✭✐✐✮ ϕ j ∈ C ∞ 0 (R n ), supp ϕ j ⊂ U j , j = 1, 2, . . . , ✭✐✐✐✮  ∞ j=1 ϕ j (x) = 1,∀x ∈ K. ❈❤ó ý✳ ➜Ó ①➞② ❞ù♥❣ ❝➳❝ ❤➭♠ ϕ j tõ ψ j t❛ ❝ã t❤Ó ❞ï♥❣ ♠ét tr♦♥❣ ❤❛✐ ❝➳❝❤ s❛✉✿ ✭✐✮ t❤ø ♥❤✃t ϕ j (x) :=  φ(x)ψ j (x)  N k=1 ψ k (x) , ♥Õ✉ x ∈ supp φ, 0, ♥Õ✉ x ∈ supp φ, ✭✐✐✮ t❤ø ❤❛✐ ϕ 1 (x) = ψ 1 (x), ϕ 2 (x) = (1 − ψ 1 (x))ψ 2 (x), . . . , ϕ N (x) = ψ N (x) N−1  j=1 (1 − ψ j (x)). D() s rộ D () D() ị ĩ D() ồ C 0 () ớ ệ ộ tụ s { j } j=1 tr C 0 () ợ ọ ộ tụ ế C 0 () ế ó ột t t K supp j K, j = 1, 2, . . . , lim j sup x |D j (x) D (x)| = 0, Z n + . ó t ết = D lim j j . ú ý ế = D lim j j tì supp K. ệ ộ tụ tr D() ù ợ ớ trú tế tí tr D(), ĩ ế , à C, k , k , , D(), k = 1, 2, . . . , ó ế D lim k k = , D lim k k = tì D lim k ( k + à k ) = + à. tế t ò ó tể ứ ế C (), = D lim j j tì = D lim j j . t ế k (x) = 0 tì (x) k (x) = 0 supp( k ) supp k , t tứ t ó ớ ỗ Z n + D ( k )(x) = D (x)D k (x) = D lim j j ĩ ó ột t t K supp k K, k = 1, 2, . . . , lim k sup x |D k (x) D (x)| = 0, Z n + , ó supp(D k ) K, k = 1, 2, . . . , Z n + supp( k ) K, supp(D ( k )) K, k = 1, 2, . . . , sup x |D ( k )(x) D ()(x)| C sup xK |D (x)| sup x |D k (x) D (x)| lim k sup x |D ( k )(x) D ()(x)| = 0, Z n + . ớ ỗ Z n + , é t D tế tí tụ tr D() ĩ D D(), supp D supp , ế , à C, , D() tì D ( + à) = D + àD , ế D lim k k = 0 tì D lim k D k = 0. t tử tế tí P = ||m a (x)D , a C () t tử tế tí tụ tr D() supp P u supp u,u D(). Ptr ứ ợ r ế t tử tế tí P tr C 0 () t tí t supp P u supp u,u C 0 () tì P t tử { j } j=1 ợ ọ ột tr D() ế ó ột t t K R n supp j K, j = 1, 2, . . . , lim j k sup xK |D j (x) D k (x)| = 0, Z n + . k D(), k = 1, 2, . . . , ỗ ì tứ k=1 k ợ ọ ộ tụ tr D() ế tổ r { k j=1 j } k=1 ộ tụ tr D(). ệ ề D() ủ ứ { j } j=1 ột tr D() tì ó ột t t K supp D j K, j = 1, 2, . . . ,, lim j k sup xK |D j (x) D k (x)| = 0, Z n + ớ ỗ {D j } j=1 tr C(K) ớ sup, C(K) ớ sup ủ ó ó ột C() s supp K, lim j sup xK |D j (x) (x)| = 0. sẽ ứ = D 0 . ó 0 C 0 () supp D 0 K, lim j sup x |D j (x) D 0 (x)| = lim j sup xK |D j (x) D 0 (x)| = 0. 0 = D lim j j . ể ứ ề t ỉ ứ = (1, 0, . . . , 0). trờ ợ = (0, . . . , 0, j 1 , 0, . . . , 0) t ứ t tự ó q t ứ trờ ợ ò ề ể ì D 1 j ộ tụ ề ế (1,0, .,0) tr K, j ộ tụ ề ế 0 tr K. s rộ D () ị ĩ ó r f ột s rộ tr ế f ột ế tế tí tụ tr D(). s rộ f D () t ộ ỗ D() ợ ết f, . s rộ f, g D () ợ ọ ế f, = g, , D(). tt s rộ tr t D (). ú ý r D () ó tể ự ột trú t tr C, ĩ t ó tể ị ĩ é t tế tí s é ộ ớ f, g D () tổ f + g ợ ị s f + g : f + g, = f, + g, , D(), ó f + g D (), ĩ f + g ế tế tí tụ tr D(), é ớ số ứ ớ C, f D () tí f ợ ị s f : f, = f, , D(), ó f D (), ĩ f ế tế tí tụ tr D(). tế t ò ó tể ị ĩ é ớ ột tr C (). ớ C (), f D () tí f D () ợ ị s f : f, = f, , D(), ó f D (). t f D () ễ t f : D() C tế tí ể ứ f tụ t { k } k=1 D lim k k = 0 t ứ lim k f, k = lim k f, k = 0. ề ể ì f tụ D lim k k = 0. í ụ ớ ỗ f L 1 loc () ợ ột s rộ s f : f, = f(x)(x)dx, D(). ó tể L 1 loc () t ủ D () s rộ f L 1 loc () ợ ọ s rộ í q ớ f, g L 1 loc (), tì sự t ĩ s rộ t ĩ t tờ ĩ f, g L 1 loc (), f(x)(x)dx = g(x)(x)dx, D() tì f = g, h.k.n tr . í ụ r : , = (0), D(). s rộ r trờ ợ ột ế ụ tứ tí từ f C 1 (R), C 0 (R) ó + f (x)(x)dx = f(x)(x)| + + f(x) (x)dx = (1) + f(x) (x)dx. t ó tể ị ĩ ủ ột ột s rộ r ị ĩ t ó tể ị ĩ f L 1 loc (R). ị ĩ f D (), = ( 1 , . . . , n ) Z n + . s rộ ủ s rộ f tr , ý ệ D f, từ D() C ợ ị ở D f : (1) || f, D , D(). ú ý ớ ỗ Z n + , f D (), s rộ ủ s rộ f tr ột s rộ ó s rộ D f ế tế tí tụ từ D() C, ì ớ ỗ , à C, , D() ó D f, + à = (1) || f, D ( + à) = (1) || (f, D + àf, D ) = D f, + àD f, ớ k D(), k = 1, 2, . . . , D lim k k = 0 tì D lim k D k = 0, Z n + lim k D f, k = lim k f, D k = 0. ớ ỗ , Z n + , f D (R n ) ó s rộ , , + D f, D f, D + f D + f = D (D f) = D (D f). ó D = D 1 1 D 2 2 . . . D n n , ớ D j j = D (0, .,0, j 1 ,0, .,0) . . . D (0, .,0, j 1 ,0, .,0) j , tứ tự ó tể t ổ í ụ ế f L 1 loc () ó t ĩ t tờ D f L 1 loc () tì t ĩ s rộ ủ s rộ f ũ D f. í ụ s (t) := 1, ế t > 0, 0, ế t 0. ó s rộ D(t) = (t). [...]... nguyên hàm suy rộng của hàm suy rộng f nếu đạo hàm suy rộng của F là f, nghĩa là DF = f Trong trường hợp Mệnh đề 1.5 Mọi hàm suy rộng Chứng minh Với mỗi f D (R) đều có nguyên hàm suy rộng C0 (R) đặt + (x) = (x) (x) (t)dt x (t)dt (x) = Có (x) C0 (R) nên với mỗi hàm suy rộng f D (R),ta có thể đặt F, = f, Khi đó, F D (R) và x DF, = F, = f, (x) + (y) Nếu hàm suy rộng F có đạo hàm suy rộng. .. = có nguyên hàm suy rộng DF = 1 trong lớp hàm khả tích địa phương Lloc (R) Do đó, nếu hàm suy rộng hằng F F, F Khi đó, với mỗi hàm suy rộng f D (R), 0 thì F tương ứng với hàm luôn có một họ các nguyên hàm suy rộng mà hai nguyên hàm trong họ sai khác nhau một hàm suy rộng có thể biểu diễn dưới dạng hàm khả tích địa phương hằng 1.2.4 Cấp của hàm suy rộng K , f D () Ta nói hàm suy rộng f nếu có... gian hàm suy rộng với giá compact E () và không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E() Nhận xét Từ Định lý 1.11, mỗi hàm suy rộng có giá compact có thể được xem như một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E(), không gian các hàm suy rộng có giá compact E () có thể coi là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E() Từ Định lý 1.6 mỗi hàm suy rộng có giá compact f E () đều có cấp hữu... suy rộng f được rộng tăng chậm nếu có một số tự nhiên m và một số dương c sao cho Định nghĩa 1.12 Cho hàm suy rộng |D (x)|, D(Rn ) | f, | c sup (1 + ||x||2 )m xRn gọi là hàm suy ||m Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) là tập tất cả các hàm suy rộng tăng chậm n 1 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S (R ) là đóng đối với các phép toán n n tuyến tính, phép nhân với một hàm a(.) C (R... ||m Định lý 1.11 (Định nghĩa khác của không gian hàm suy rộng có giá compact) f E () phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E() hàm suy rộng với giá compact (ii) Giả sử f Khi đó, ta có thể thác triển là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên E() f (i) Cho lên thành Khi đó, ta có thể thu hẹp f thành hàm suy rộng có giá compact (iii) Các tương ứng trên cho ta một song ánh giữa không gian hàm suy rộng với... Định lý 1.16 (Định nghĩa khác về hàm suy rộng tăng chậm) (i) Cho hàm suy rộng tăng n chậm f S (R ) Khi đó, ta có thể thác triển f thành phiếm hàm tuyến tính liên tục n từ S(R ) vào C (ii)Với mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục một hàm suy rộng tăng chậm f : S(Rn ) C đều có thu hẹp trên D(Rn ) là 33 Từ Định lý 1.16 ta có thể coi hàm suy rộng tăng chậm là phiếm hàm tuyến n n tính liên tục trên S(R ), không. .. (x) = (x) Dễ dàng chứng minh C () và Do đó, trên từng lim sup |D k (x) D (x)| = 0, Zn , j = 1, 2, , + k xj hay E lim k = k 22 1.3.2 Không gian hàm suy rộng E () Định nghĩa 1.9 (Giá của hàm suy rộng) Cho f D () Giá của hàm suy rộng f được xác định như sau supp f = {x f = 0 tại x} supp f các hàm suy rộng có giá compact được ký hiệu là E () Hàm suy rộng Chú ý 1 Số f được gọi là có giá compact... vì j D(xj )) = j=1 m = g|j , j j=1 = g, , nên ta có f =g trong D () 20 1.3 Không gian hàm cơ bản với giá compact 1.3.1 E () Không gian hàm cơ bản Định nghĩa 1.8 Không gian hội tụ sau: dãy {k }k=1 trong E(), không gian hàm suy rộng E() E() là không gian gồm các hàm C () với khái niệm C () được gọi là hội tụ đến hàm C () trong E() nếu lim sup |D k (x) D (x)| = 0, Zn , K + k xK Khi đó,... E() và f |D() = g|D() Do C0 () là tập trù mật trong E() và f , g là các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E() nên f = g, nghĩa là với mỗi g là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E() đều có một hàm f = g|D() E() sao cho f = g Như vậy, ta có một song ánh từ không gian hàm suy rộng với giá compact E () đến không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E() Lấy 1.3.3 Sự hội tụ trong không gian hàm. .. supp(f + g) (supp f supp g) và D f E (), supp D f supp f, Zn + 5 Không gian E () là không gian đóng đối với các phép toán tuyến tính, phép nhân với một hàm C (), phép lấy đạo hàm suy rộng 6 Với một hàm f : C đo được thì khái niệm giá theo nghĩa thông thường là không có ý nghĩa Để thấy được điều này ta xét ví dụ sau, với = (0, 1) còn hàm f : (0, 1) C 2 Hàm suy rộng f = C0 () mà f, được