Dãy suy rộng và không gian các dãy

Mục lục Trang Lời giới thiệu 1 Đ 1. Các khái niệm và tính chất cơ bản . 3 Đ 2. Dãy suy rỗng . 6 Đ 3. Các họ khả tổng 11 Đ 4. Không gian các dãy 14 Kết luận .24 Tài liệu tham khảo 25 Lời giới thiệu Trong Giải tích toán học, lý thuyết giới hạn đóng vai trò quan trọng. Các khái niệm cơ bản của Giải tích nh đạo hàm, tích phân, tổng của chuỗi, đều đ- ợc định nghĩa thông qua giới hạn. Tuy nhiên trong các giáo trình dành cho sinh viên, chỉ mới đề cập đến sự hội tụ của dãy thông thờng (dãy số, dãy trong không gian tôpô) mà cha đề cập tới sự hội tụ của dãy suy rộng. Để hiểu sâu hơn về lý thuyết giới hạn, khoá luận nghiên cứu sự hội tụ của dãy suy rộng và không gian các dãy. Với mục đích đó khoá luận đợc trình bày thành 4 phần: Phần 1: Dành cho việc giới thiệu lại một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng trong khoá luận. Phần 2: Trình bày khái niệm dãy suy rộng, sự hội tụ của dãy suy rộng và các ví dụ minh hoạ cho các khái niệm này. Sau đó, chứng minh nhiều tính chất tơng tự nh sự hội tụ của dãy thông thờng vẫn đúng đối với dãy suy rộng. Phần 3: Dựa vào khái niệm hội tụ của dãy suy rộng, chúng tôi đã nghiên cứu tổng của một họ bất kỳ các số (nói chung là quá đếm đợc), và chứng minh một số tính chất của tổng của chuỗi số vẫn đúng cho tổng của họ khả tổng. Phần 4: Từ không gian các dãy số l p , l , c 0 đã đợc học trong giải tích hàm, chúng tôi đặt ra vấn đề là nghiên cứu các không gian tơng tự nhng thay cho dãy số là dãy trong không gian định chuẩn hay dãy suy rộng các số. Vì điều kiện thời gian và khuôn khổ của khoá luận nên chúng tôi chỉ mới chứng minh đợc rằng trong các không gian l p , l , c 0 nếu thay dãy số bởi dãy trong không gian định chuẩn (đặc biệt là không gian Banach) thì các kết quả t- ơng tự vẫn đúng. Việc thay các dãy số bởi dãy suy rộng các số cha đợc trình bày. 2 Khoá luận này đã hoàn thành dới sự hớng dẫn của thầy giáo PGS-TS Đinh Huy Hoàng. Nhân đây em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo h- ớng dẫn, ngời đã chỉ đạo tần tình giúp đỡ em hoàn thành khoá luận này. Em cũng xin đợc gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong Khoa toán đã tận tình dạy dỗ chỉ bảo em trong suốt thời gian qua, cùng tất cả các bạn bè trong và ngoài lớp đã giúp đỡ tôi trong thời gian làm khoá luận. Cuối cùng em rất mong nhận đợc sự góp ý chân thành của các thầy cô giáo, các anh chị cùng toàn thể các bạn. Vinh, ngày tháng năm 2004 Tác giả 3 Đ1. Các khái niệm và tính chất cơ bản Trong mục này, ta sẽ trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản về không gian tôpô, không gian mêtric và không gian định chuẩn cần dùng trong khoá luận mà chúng đã có trong các tài liệu tham khảo. 1.1. Định nghĩa: Giả sử X là tập khác rỗng và T là họ các tập con nào đó của X. T đợc gọi là một tôpô trên X nếu. 1) và X T . 2) Hợp của một số tuỳ ý các tập thuộc T là thuộc T. 3) Giao của một số hữu hạn các tập thuộc T là thuộc T. Tập X cùng với một tôpô T trên nó đợc gọi là một không gian tôpô và đ- ợc kí hiệu là (X, T ) hay viết gọn là X. Các tập thuộc T đợc gọi là các tập mở trong X. 1.2. Định nghĩa: Giả sử U là tập con của không gian tôpô X và .x X U đợc gọi là một lân cận của x nếu tồn tại tập G mở trong X sao cho .x G U 1.3. Định nghĩa: Không gian tôpô X đợc gọi là 1 T - không gian nếu với hai điểm bất kỳ ,x y X mà x y đều tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho y U và x V . Không gian tôpô X đợc gọi là 2 T - không gian nếu với hai điểm bất kỳ ,x y X mà x y đều tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho U V = . 1.4. Định nghĩa: Giả sử { } n x là một dãy trong không gian tôpô X và x X . Ta nói { } n x hội tụ tới x nếu với mọi lân cận U cuả x đều tồn tại số tự nhiên 0 n sao cho n x U 0 , .n N n n Khi đó ta kí hiệu n x x hay lim n n x x = hay gọn hơn lim n x x= . 4 1.5. Định lý: Nếu X là 2 T - không gian thì mỗi dãy trong X mà hôị tụ thì hội tụ tới một điểm duy nhất . 1.6. Định nghĩa: Giả sử X là tập khác rỗng và hàm : .d X X R ì Hàm d đợc gọi là một mêtric trên X nếu thoả mãn 1) ( ) , 0d x y ( ) , ; , 0 ;x y X d x y x y = = 2) ( ) ( ) , ,d x y d y x= ,x y X ; 3) ( ) ( ) ( ) , , ,d x y d x z d z y + , , .x y z X Tập X cùng với một mêtric d trên nó đợc gọi là một không gian mêtric và đợc kí hiểu là ( ) ,X d hay viết gọn là X. Giả sử X là không gian mêtric, a thuộc X và r là số thực dơng. Đặt ( ) ( ) { } , : , ,B a r x X d x a r= < [ ] ( ) { } , : ,B a r x X d x a r= và gọi chúng lần lợt là hình cầu mở, hình cầu đóng tâm a ính r. 1.7. Định lý: Giả sử X là không gian mêtric và T = { :G X x G ( ) ( ) , , , }B x r B x r G . Khi đó T là một tôpô mêtric trên X. Ta gọi T là tôpô mêtric trên X. Nh vậy mọi không gian mêtric đều là không gian tôpô, hơn nữa, nó là 2 T - không gian. Mỗi hình cầu mở (đóng) trong không gian mêtric X là tập mở (tơng ứng đóng) trong X. 1.8. Định lý: Giả sử { } n x là dãy trong không gian mêtric X và x X . Khi đó n x x khi và chỉ khi ( ) , 0. n d x x 1.9. Định nghĩa: Giả sử { } n x là dãy trong không gian mêtric X. Ta nói { } n x là dãy Cauchy nếu với mọi 0 > đều tồn tại số tự nhiên 0 n sao cho ( ) , n m d x x < 0 ,n m n . 5 Không gian mêtric X đợc gọi là không gian đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ. 1.10. Định nghĩa: Giả sử X là không gian tuyến tính trên trờng K (K=R hay C), và hàm . : . x x X R a Ta nói hàm . là một chuẩn trên X nếu 1) 0x ; 0 0;x X x x = = 2) x x = , ;K x X 3) x y x y+ + , .x y X Không gian tuyến tính X cùng với một chuẩn trên nó đợc gọi là một không gian định chuẩn và đợc kí hiệu là ( ) , .X hay vẫn là X. 1.11. Định lý: Nếu X là không gian định chuẩn thì công thức ( ) ,d x y x y= ,x y X xác định một mêtric trên X và ( ) ( ) , ,d x a y a d x y+ + = , , ,x y a X ( ) ( ) , ,d x y d x y = , , .K x y X Nh vậy, mọi không gian định chuẩn đều là không gian mêtric. Do đó trên không gian định chuẩn có các khái niệm và kết quả của không gian mêtric. 1.12. Định lý: Giả sử X là không gian định chuẩn. Khi đó 1) ánh xạ chuẩn liên tục đều trên X; 2) Phép cộng ( ) ,x y x y + là ánh xạ liên tục từ E Eì vào E; 3) Phép nhân vô hớng ( ) , x x là ánh xạ liên tục từ K Eì vào E. 1.13. Định nghĩa: Không gian định chuẩn E đợc gọi là không gian Banach nếu E là không gian mêtric đầy đủ đối với mêtric sinh bởi chuẩn. 6 Đ2. Dãy suy rộng 2.1.Định nghĩa: Giả sử là một tập bất kỳ và " " là một quan hệ trên . Ta nói quan hệ " " là một sự định hớng trên I nếu thoả mãn: a. Với mọi I thì ; b. Với mọi , , I mà , thì ; c. Với mọi , :I I và . Tập trên đó đã có một sự định hớng " đợc gọi là tập định hớng và đợc kí hiệu là ( , ) hay viết gọn là . 2.2.Ví dụ: 1 với quan hệ " " thông thờng là tập định hớng ( N là tập các số tự nhiên). 2 Đặt là họ tất cả các tập con của . Với mọi U, V ta định nghĩa U V V U Khi đó " " là sự định hớng trên Chứng minh: Với mọi U có U U. Với mọi U,V,W mà U V, V W thì U W. Giả sử U,V . Khi đó U V và U V U, U V V. Do đó " " hay" " là một sự định hớng trên I và ( ,I ) là tập định hớng. 3 Giả sử là không gian mêtric, a , U là họ tất cả các hình cầu tâm a bán kính r nào đó: B( a, r )={x X:d(x,a)< r}. Với B r = B(a,r), B s =B(a,s) U, ta định nghĩa: B s B r nếu B s B r . Khi đó " " là một sự định hớng trên U. Chứng minh: Với mọi r B U ta có r B r B . Với , , r s p B B B U sao cho ,r s s p B B B B ta có r B p B . Giả sử r B , s B U. Lấy p=min(r,s) Ta có p B r B , p B s B . Do đó " " là một sự định hớng trên U và (U, ) là tập định hớng. 7 4 Giả sử X là không gian tôpô, a X, U là họ tất cả các lân cận của a. Khi đó (U, ) là tập định hớng. Chứng minh: Với mọi U U thì U U. Với mọi U, V, W U mà U V, V W thì U W. Giả sử U, V, U. Đặt W=U B . Khi đó W là 1 lân cận của a, nghĩa là W . Rõ ràng W U, W V. Vậy (U, ) là một tập định h- ớng 2.3 Định nghĩa: Giả sử (I, ) là một tập định hớng và X là một không gian tôpô. Một ánh xạ f: I X đợc gọi là một dãy suy rộng (hay một lới) trong X. Kí hiệu là (f, I, ) hay (f(i), I), (f i , I). Sau này, nếu không có lu ý gì thêm thì ta luôn hiểu dãy là dãy suy rộng . 2.4 Ví dụ: 1) Dãy thông thờng là một dãy suy rộng (tập định hớng là (N, ). 2) Lấy I= U là họ tất cả các lân cận của điểm a thuộc không gian tôpô X (trong ví dụ 4). Xét ánh xạ: f: U X U a f(U) : , U x= U U với x U nào đó thuộc U. Vì f là ánh xạ từ U vào X và (U, ) là tập định hớng nên (f U , U) là một dãy suy rộng.Ta kí hiệu dãy này là (x U ,U). 2.5 Đinh nghĩa: Giả sử ( ) , i f I là một dãy suy rộng trong không gian tôpô X, * x là một điểm thuộc X Ta nói ( ) , i f I hội tụ tới điểm * x nếu mọi lân cận W của * x đều tồn tại i o I: i f W với mọi i I mà 0 i i . Khi đó, ký hiệu: i f * x hay ( , ) lim i I f = * x , lim I i f = * x . Nếu không sợ nhầm lẫn thì ta kí hiệu gọn là * lim i f x= 2.6 Ví dụ: 8 1) Sự hội tụ của dãy thông thờng là trờng hợp đặc biệt của sự hội tụ của dãy suy rộng. 2) Giả sử U là họ tất cả các lân cận của điểm a trong không gian tôpô X và sự định hớng trên U là quan hệ " " (ví dụ 2 ở 2.2). Khi đó dãy (x U ,U) hội tụ tới a (dãy trong Ví dụ 2 ở 2.4). Chứng minh: Giả sử W là một lân cận của a. Ta cần chứng tỏ tồn tại U 0 U sao cho U x W U U, 0 U U . Ta lấy 0 .U W= Khi đó, từ U x U với mọi U U suy ra U x W U U , 0 U U W = . Vậy ta có . U x a 2.7 Định lý: Một dãy suy rộng trong 2 T -không gian mà hội tụ thì hội tụ tới một điểm duy nhất. Chứng minh: Giả sử I là một tập định hớng (x i ,I ) là một dãy suy rộng bất kỳ trong 2 T không gian X và x i s, x i t. Ta cần chứng minh s = t. Giả sử s t. Khi đó do X là 2 T - không gian nên tồn tại lân cận s U của s và lân cận t U của t, sao cho s U t U = . Vì lim x i = s và s U là lân cận s nên theo Định nghĩa 2.5 ắt tồn tại n 0 I sao cho 0 , . n s x U n I n n Tơng tự vì lim i x = t và t U là lân cận t nên tồn tại 1 n I sao cho 1 , . n t x U n I n n Chọn 2 n I sao cho 2 n 0 n , 2 n 1 n (vì I là tập định hớng nên tìm đợc 2 n ). Khi đó: , . n s n t x U X U 2 , .n I n n 9 Do đó s U t U . Điều này mâu thuẫn với s U t U = .Vậy s = t, nghĩa là ( i x , I) hội tụ tới một điểm duy nhất. Nhận xét: Giả sử E là không gian định chuẩn, (I, ) là tập định hớng nào đó, (x i ,I) và (y i , I) là hai dãy trong E sao cho i x a , i y b . Khi đó ta có hai dãy: ( ) ( ) , , , i i i x y I x I + . Một câu hỏi đặt ra là hai dãy này có hội tụ hay không? Định lý sau đây trả lời câu hỏi này. 2.8 Định lý: Giả sử ( ) , i x I và ( ) , i y I là hai dãy suy rộng trong không gian định chuẩn E. Nếu i x a và i y b thì các dãy ( i x + i y , I), ( i x , I) hội tụ và i x + i y a+b, i x a. Chứng minh: Vì phép cộng trong không gian định chuẩn là liên tục nên mọi lân cận W của a+b tồn tại lân cận U của a, lân cận V của b: U + V W. Do i x a và U lân cận của a nên tồn tại i' 0 I: i x U i i' 0 . (1) Vì i y b nên tồn tại i'' 0 I: i y V i i'' 0 . (2). Do I là tập định hớng nên tồn tại 0 i I : 0 i ' 0 i và 0 i '' 0 i . Khi đó với mọi i I mà i 0 i thì có cả (1) và (2). Do đó i x U, i y V với mọi i 0 i . Từ đó ta có i x + i y U + V W, 0 ,i I i i . Vậy i x + i y a + b. Giả sử i x a , R. Ta cần chứng minh i x a. Vì phép nhân vô hớng trong không gian định chuẩn là liên tục nên mọi lân cận W của a tồn tại lân cận U của a sao cho U W. Vì i x a và U là lân cận của a nên tồn tại 0 i I: i x U i 0 i . Khi đó i x U W i 0 i . Vậy i x a. 10