Định lý bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy rộng trong không gian SM–TRIC đầy đủ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP CƠ SỞ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO ÁNH XẠ CO PHI TUYẾN SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN S-MÊTRIC ĐẦY ĐỦ Mã số: CS2013.01.14 Chủ nhiệm đề tài: ThS. Nguyễn Thành Nghĩa ĐỒNG THÁP, 5 - 2014 i BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP CƠ SỞ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO ÁNH XẠ CO PHI TUYẾN SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN S-MÊTRIC ĐẦY ĐỦ Mã số: CS2013.01.14 Xác nhận của Chủ tịch HĐ nghiệm thu Chủ nhiệm đề tài TS. Lê Xuân Trường ThS. Nguyễn Thành Nghĩa ĐỒNG THÁP, 5 - 2014 MỤC LỤC Trang phụ bìa i Thông tin kết quả nghiên cứu iii Summary iv Mở đầu 1 1 Tổng quan tình hình nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Tính cấp thiết của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 Mục tiêu nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . 2 5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6 Nội dung nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Không gian S-mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Định lí điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy rộng trong không gian S-mêtric đầy đủ 16 2.1 Một số khái niêm mở rộng trong không gian S-mêtric . . . . . . . . 16 2.2 Định lí điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy rộng trong không gian S-mêtric đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ii iii BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Độc lập - Tự do - Hạnh phúc TÓM TẮT KẾT QUẢ ĐỀ TÀI KH & CN CẤP CƠ SỞ Tên đề tài: Định lí Điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy rộng trong không gian S-mêtric đầy đủ Mã số: CS2013.01.14 Chủ nhiệm đề tài: Nguyễn Thành Nghĩa Tel.: 0909645886; E-mail: ntnghia@dthu.edu.vn Cơ quan chủ trì đề tài: Trường Đại học Đồng Tháp Cơ quan và cá nhân phối hợp: Không Thời gian thực hiện: 6/2013 đến 5/2014 1. Mục tiêu: - Thiết lập và chứng minh định lí điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy rộng trong không gian S-mêtric đầy đủ. - Đưa ra một số ví dụ minh họa cho kết quả đạt được. 2. Nội dung chính: - Kiến thức chuẩn bị - Định lí điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy rộng trong không gian S-mêtric đầy đủ. 3. Kết quả chính đạt được: Đề tài đã đề xuất được Định nghĩa 2.1.1, Nhận xét 2.1.2, thiết lập và chứng minh định lí điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy rộng trong không gian S-mêtric đầy đủ, Định lí 2.2.1, xây dựng các Hệ quả 2.2.2, Hệ quả 2.2.3, Hệ quả 2.2.4, Định lí 2.2.5 và các Ví dụ 2.2.6, Ví dụ 2.2.7. Nội dung đề tài được kiểm chứng bằng một bài báo khoa học đã nhận đăng trên tạp chí khoa học Trường Đại học An Giang. Chủ nhiệm đề tài Nguyễn Thành Nghĩa iv BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Độc lập - Tự do - Hạnh phúc SUMMARY Project Title: Some fixed points theorems generalized nonlinear contractive mappings in S-metric spaces Code number: CS 2013.01.14 Coordinator: Nguyễn Thành Nghĩa Tel.: 0909645886; E-mail: ntnghia@dthu.edu.vn Implementing Institution: Dong Thap University Cooperating Institution(s): No Duration: from 2013, June to 2014, May 1. Objectives: - To establish and to prove the fixed point theorem for generalized non- linear contractive mappings in complete S-metric spaces. - To give some examples to illustrate the obtained results. 2. Main contents: - Background knowledge - The fixed point theorem for generalized nonlinear contractive mappings in complete S-metric spaces. 3. Results obtained: A new notion was introduced in Definition 2.1.1, some properties were given in Remark 2.1.2, fixed point theorems for gen- eralized nolinear contractions on S-metric spaces were stated and proved in Theorem 2.21, some consequences were obtained in Corollary 2.2.2, Corollary 2.2.4, Theorem 2.2.5, examples were given in Example 2.2.6, Example 2.2.7. The main result was accepted to publish on Science Journal of An Giang University. Project manager Nguyễn Thành Nghĩa 1 MỞ ĐẦU 1 Tổng quan tình hình nghiên cứu Lí thuyết điểm bất động là một trong những vấn đề quan trọng trong toán học. Nó có nhiều ứng dụng trong giải tích phi tuyến, nhất là việc thiết lập sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân phi tuyến. Vấn đề này đã và đang được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu [4], [12], [13], [14], [19]. Năm 1922, trong [2] Banach đã giới thiệu Nguyên lí ánh xạ co trên không gian mêtric đầy đủ. Đây được xem là một trong những kết quả cơ bản nhất trong lí thuyết điểm bất động. Từ đó, không những việc mở rộng nguyên lí co Banach cho lớp các ánh xạ co khác nhau trên không gian mêtric được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu đã đạt được một số kết quả nhất định [3], [10], [12], mà còn trên các không gian mêtric suy rộng khác [11], [18], [19]. Năm 2012, S. Sedghi và các cộng sự giới thiệu không gian S-mêtric và đưa ra một số kết quả [19]; S. Sedghi và N.V Dung đã đưa ra định lí điểm bất động cho không gian S-mêtric [18]. Những năm gần đây, hướng nghiên cứu định lí điểm bất động trên các không gian mêtric suy rộng đang được tiến hành bởi số tác giả ở các Trường Đại học, Viện Toán học đã thu được một số kết quả [7], [8]. Hiện nay, tại Trường Đại học Đồng Tháp một số tác giả đang quan tâm, nghiên cứu các vấn đề về không gian mêtric suy rộng và bước đầu đã thu được một số kết quả [13], [14]. Ngoài ra, năm 2013 trong tài liệu [4], S. Chandok trình bày định lí điểm bất động chung cho ánh xạ co phi tuyến trong không gian mêtric đầy đủ bằng cách khái quát và mở rộng các kết quả của [1], [5], [6], [9], [15]. Đến nay, việc mở rộng định lí chính trong [4] trên các không gian mêtric suy rộng khác còn là vấn đề mở, nên chúng tôi mở rộng định lí sang không gian S-mêtric. 2 2 Tính cấp thiết của đề tài Từ tình hình tổng quan đề tài và kết quả các công trình nghiên cứu liên quan, đặc biệt từ kết quả [4], chúng tôi thấy việc mở rộng kết quả này sang không gian S-mêtric vẫn còn là vấn đề chưa được nghiên cứu, nên chúng tôi chọn thiết lập "định lí điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy rộng trong không gian S-mêtric đầy đủ" làm nội dung nghiên cứu của đề tài. Bên cạnh đó, nội dung đề tài cũng góp phần mở rộng trong việc nghiên cứu về lí thuyết điểm bất động của nhóm giảng viên và sinh viên chuyên ngành Sư phạm Toán học của Trường Đại học Đồng Tháp, và những tác giả quan tâm nghiên cứu về Toán học Hiện đại. 3 Mục tiêu nghiên cứu - Thiết lập và chứng minh định lí điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy rộng trong không gian S-mêtric đầy đủ. - Xây dựng một số ví dụ minh họa cho các kết quả đạt được. 4 Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu - Cách tiếp cận: Trên cơ sở nghiên cứu các tài liệu tham khảo liên quan đến đề tài, bằng cách tương tự những kết quả đã có, chúng tôi đề xuất các kết quả mới. - Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu các tài liệu tham khảo trong và ngoài nước có liên quan, từ đó tương tự hoá những kết quả về điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến tổng quát trong không gian S-mêtric đầy đủ. Đồng thời trao đổi thông tin với các thành viên trong nhóm nghiên cứu và các tác giả khác; viết bài gửi cho các tạp chí chuyên ngành để kiểm định kết quả nghiên cứu. 3 5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu những đặc trưng và tính chất của điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy rộng trong không gian S-mêtric đầy đủ và đưa ra các ví dụ làm sáng tỏ các kết quả đạt được. 6 Nội dung nghiên cứu Đề tài nghiên cứu một số khái niệm, tính chất cơ bản của không gian mêtric và không gian S-mêtric, từ đó đề xuất và chứng minh Định lí điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy rộng trong không gian S-mêtric đầy đủ đồng thời đưa ra các ví dụ làm sáng tỏ các kết quả đạt được. Ngoài Mục lục, Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo thì nội dung chính của đề tài được trình bày trong hai chương. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Định lí điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy rộng trong không gian S-mêtric đầy đủ. 4 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian mêtric Mục này, chúng tôi hệ thống các khái niệm và các tính chất liên quan đến không gian mêtric, từ đó chi tiết hóa Theorem 2.1 trong tài liệu [4]. 1.1.1 Định nghĩa ([17], Định nghĩa 1.1). Cho X là một tập khác rỗng, ánh xạ d : X × X −→ R thỏa mãn các điều kiện sau (1) d(x, y) ≥ 0; d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y; (2) d(x, y) = d(y, x); (3) d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z); với mọi x, y, z ∈ X, khi đó d được gọi là một mêtric trên X và (X, d) được gọi là một không gian mêtric. 1.1.2 Định nghĩa ([17], Định nghĩa 4.5.1). Giả sử f : X −→ X là một ánh xạ. Khi đó, phần tử x ∈ X sao cho f (x) = x được gọi là điểm bất động của ánh xạ f . Các khái niệm sau đây được xét trên không gian mêtric (X, d). 1.1.3 Định nghĩa ([17], Định nghĩa 4.5.1). Ánh xạ T : X −→ X được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại 0 ≤ k < 1 sao cho với mọi x, y ∈ X ta có d(T x, T y) ≤ kd(x, y). 5 1.1.4 Định nghĩa ([19], Định nghĩa 1.5.1). (1) Dãy {x n } ⊂ X được gọi là hội tụ đến x, kí hiệu là lim n→+∞ x n = x hoặc x n −→ x nếu d(x n , x) −→ 0 khi n −→ +∞, nghĩa là với mỗi ε > 0 tồn tại n 0 ∈ N sao cho d(x n , x) < ε với mọi n ≥ n 0 . (2) Dãy {x n } được gọi là dãy cơ bản trong X (hay dãy Cauchy) nếu với mỗi ε > 0, tồn tại n 0 ∈ N sao cho với mọi m, n ≥ n 0 ta có d  x m , x n  < ε. 1.1.5 Định nghĩa ([6]). Ánh xạ T : X −→ X được gọi là ánh xạ C-co khi và chỉ khi tồn tại k ∈  0, 1 2  sao cho với mọi x, y ∈ X ta có d(T x, T y) ≤ k[d(x, T y) + d(y, T x)]. 1.1.6 Định nghĩa ([9]). Ánh xạ T : X −→ X được gọi là ánh xạ co yếu nếu với mọi x, y ∈ X, ta có d(T x, T y) ≤ d(x, y) − ψ  d(x, y)  với f : X −→ X và ψ : [0, +∞) −→ [0, +∞) liên tục và thỏa mãn điều kiện ψ(x) = 0 khi và chỉ khi x = 0. 1.1.7 Định nghĩa ([9]). Ánh xạ T : X −→ X được gọi là ánh xạ f-co yếu nếu với mọi x, y ∈ X, ta có d(T x, T y) ≤ d(f x, f y) − ψ  d(fx, f y)  với f : X −→ X và ψ : [0, +∞) −→ [0, +∞) liên tục và thỏa mãn điều kiện ψ(x) = 0 khi và chỉ khi x = 0. Gọi Ψ là lớp các hàm liên tục ψ : [0, +∞) 2 −→ [0, +∞) thỏa mãn điều kiện ψ(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y = 0. 1.1.8 Định nghĩa ([9]). Ánh xạ T : X −→ X được gọi là ánh xạ co yếu suy rộng nếu với mọi x, y ∈ X, với ψ ∈ Ψ, ta có d(T x, T y) ≤ 1 2  d(x, T y) + d(y, T x)  − ψ  d(x, T y), d(y, T x)  . 1.1.9 Nhận xét. Ánh xạ C-co là trường hợp đặc biệt của ánh xạ co yếu suy rộng khi chọn hàm ψ(x, y) =  1 2 − k  (x + y), 0 < k < 1 2 . [...]... xạ đồng nhất, ánh xạ f -co yếu suy rộng trở thành ánh xạ co yếu suy rộng 2.2 Định lí điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy rộng trong không gian S-mêtric đầy đủ Mục này, chúng tôi thết lập và chứng minh định lí điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy rộng trong không gian S-mêtric đầy đủ, từ đó rút ra các hệ quả và định lí khác Đồng thời, chúng tôi xây dựng các ví dụ để minh họa cho các kết quả... CHƯƠNG 2 ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO ÁNH XẠ CO PHI TUYẾN SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN S-MÊTRIC ĐẦY ĐỦ 2.1 Một số khái niêm mở rộng trong không gian S-mêtric Trước hết, chúng tôi đề xuất khái niệm ánh xạ C -co, ánh xạ co yếu suy rộng và ánh xạ f -co yếu suy rộng trên không gian S-mêtric 3 Kí hiệu Ω là lớp các hàm liên tục ψ : [0, +∞) −→ [0, +∞) thỏa mãn ψ(x, y, z) = 0 khi và chỉ khi x = y = z = 0 2.1.1 Định nghĩa... x Vậy T và f có duy nhất điểm bất động 1.1.13 Hệ quả ([4], corollary 2.2) Cho M là tập con của không gian mêtric (X, d), T : M −→ M thỏa mãn T (M ) ⊂ M Nếu T (M ) là đầy đủ và T là ánh xạ co yếu suy rộng thì T có duy nhất điểm bất động 1.1.14 Hệ quả ([9]) Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ Nếu ánh xạ T : X −→ X là ánh xạ co yếu suy rộng thì T có duy nhất điểm bất động Từ Nhận xét 1.1.9 và Hệ... duy nhất điểm bất động Từ Nhận xét 2.1.2 và Định lí 2.2.1, ta nhận được hệ quả sau 2.2.2 Hệ quả ([16], Hệ quả 2.4) Cho M là một tập hợp con khác rỗng của không gian S-mêtric (X, S) và ánh xạ T : M −→ M thỏa mãn T (M ) ⊂ M Nếu T (M ) là đầy đủ và T là ánh xạ co yếu suy rộng Khi đó T có duy nhất điểm bất động 22 Hệ quả sau là sự mở rộng của Theorem 2.1 trong Choudhury (2009) trên không gian S-mêtric... 2.5) Cho (X, S) là không gian S-mêtric đầy đủ Nếu T : X −→ X là một ánh xạ co yếu suy rộng thì T có duy nhất điểm bất động trên X Từ Hệ quả 2.2.3 và Nhận xét 2.1.2, ta nhận được hệ quả sau 2.2.4 Hệ quả ([16], Hệ quả 2.6) Cho (X, S) là không gian S-mêtric đầy đủ Nếu T : X −→ X là một ánh xạ C -co thì T có duy nhất điểm bất động trên X Sử dụng Hệ quả 2.2.2, chúng ta chứng minh được kết quả sau 2.2.5 Định. .. triển theo hướng nghiên cứu - Thiết lập một số định lí điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy rộng trên các không gian mêtric suy rộng khác - Xây dựng một số ứng dụng về định lí điểm bất động trong các lĩnh vực phương trình vi phân, phương trình tích phân phi tuyến, phương trình đạo hàm riêng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M A Al-Thagafi and N Shahzad, Noncommuting self maps and invariant approximations,... đạt được 2.2.1 Định lí ([16], Định lí 2.3) Cho (X, S) là không gian S-mêtric, M là tập con khác rỗng của X và hai ánh xạ T, f : M −→ M thỏa mãn các điều kiện sau: (1) T (M ) ⊂ f (M ); (2) T (M ) đầy đủ; (3) T là ánh xạ f -co yếu suy rộng; 18 Khi đó, hai ánh xạ T và f có điểm trùng trong M Hơn nữa, nếu T và f là hai ánh xạ tương thích yếu thì F (T ) ∩ F (f ) có duy nhất điểm Chứng minh Lấy bất kì x0 ∈... 2.2.5 Định lí ([16], Định lí 2.7) Cho M là một tập hợp con khác rỗng của không gian S-mêtric (X, S) và hai ánh xạ f, T : M −→ M thỏa mãn T (F (f )) ⊂ F (f ) Nếu T (M ) đầy đủ, tập F (f ) là khác rỗng và T là ánh xạ f -co yếu suy rộng với mọi x, y ∈ F (f ) thì F (T ) ∩ F (f ) có duy nhất điểm Chứng minh Do T (F (f )) là tập hợp con của T (M ) và T (M ) đầy đủ nên T (F (f )) đầy đủ Mặt khác, với mọi... ([6]) Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ Nếu ánh xạ T : X −→ X thỏa mãn d(T x, T y) ≤ k d(x, T y) + d(y, T x) với 0 ≤ k < 1 2 và với mọi x, y ∈ X thì T có duy nhất điểm bất động 1.1.16 Định lí ([4], Theorem 2.7) Gọi M là tập con của không gian mêtric (X, d), f, T : M −→ M thỏa mãn T (F (f )) ⊂ F (f ) Nếu T (M ) là đầy đủ, F (f ) là tập khác rỗng và T là ánh xạ f − co yếu suy rộng với mọi x, y ∈... trong tài liệu [4] và [19]: Ví dụ 1.2.2, Ví dụ 1.2.3, Ví dụ 1.2.4, Bổ đề 1.2.5, Định lí 1.2.6 - Đề xuất Định nghĩa 2.1.1, Nhận xét 2.1.2; thiết lập và chứng minh định lí điểm bất động cho ánh xạ co phuyến suy rộng trong không gian S-mêtric đầy đủ (Định lí 2.2.1); từ đó rút ra các hệ quả: Hệ quả 2.2.2, Hệ quả 2.2.3, Hệ quả 2.2.4, Định lí 2.2.5 Đồng thời đưa ra các ví dụ minh họa Ví dụ 2.2.6, Ví dụ 2.2.7 . generalized nonlinear contractive mappings in S-metric spaces Code number: CS 2013.01.14 Coordinator: Nguyễn Thành Nghĩa Tel.: 0909645886; E-mail: ntnghia@dthu.edu.vn Implementing Institution: Dong Thap. illustrate the obtained results. 2. Main contents: - Background knowledge - The fixed point theorem for generalized nonlinear contractive mappings in complete S-metric spaces. 3. Results obtained: A. S-mêtric đầy đủ Mã số: CS2013.01.14 Chủ nhiệm đề tài: Nguyễn Thành Nghĩa Tel.: 0909645886; E-mail: ntnghia@dthu.edu.vn Cơ quan chủ trì đề tài: Trường Đại học Đồng Tháp Cơ quan và cá nhân phối hợp: