MỤC LỤC
Nếu không có một số nguyên không âmknào để có (1.1) với số dươngC nào đó, thì ta nói rằng, hàm suy rộngf có cấp vô hạn trên tậpK. Để đơn giản, ta nói rằng, hàm suy rộngf ∈D0(Ω)có cấpk nếu nó có cấpk trênΩ. Mỗi phiếm hàm tuyến tính f trên D(Ω) là một hàm suy rộng khi và chỉ khi, trên mỗi tập compactK ⊂Ω, có một số nguyên không âmk và một số dươngC sao cho.
Để chứng minh điều kiện đủ ta chỉ cần chứng minh tính liên tục củaf tại gốc, nghĩa là nếu có một dãy {ϕj}∞j=1 trong C0∞(Ω) mà D− lim. Để chứng minh điều kiện cần ta dùng phản chứng, nghĩa là giả sử có một tập compact K ⊂Ωvới mỗik ∈Z+ ta đều có.
Để chứng minh điều kiện đủ ta chỉ cần chứng minh tính liên tục củaf tại gốc, nghĩa là nếu có một dãy {ϕj}∞j=1 trong C0∞(Ω) mà D− lim. Điều này là dễ thấy từ giả thiết. Để chứng minh điều kiện cần ta dùng phản chứng, nghĩa là giả sử có một tập compact K ⊂Ωvới mỗik ∈Z+ ta đều có. Như vậy, điều giả sử sai hay ta có điều phải chứng minh. Choặ)∈C∞(Ω)phép toán nhân vớiặ)biếnf ∈D0(Ω)thànhaf ∈D0(Ω) là ánh xạ tuyến tính liên tục, nghĩa là. Với mỗi α ∈ Zn+, phép toán đạo hàm suy rộng Dα cũng là ánh xạ tuyến tính liên tục trongD0(Ω),nghĩa là. Dãy{fk}∞k=1được gọi là dãy Cauchy trongD0(Ω)nếu với mỗiϕ∈D(Ω)dãy{hfk, ϕi}∞k=1 là dãy Cauchy trongC.
Bằng cách lấy ra một dãy con của dãy con trên, để đơn giản ký hiệu, ta có thể có. Rừ ràng tương ứng, ký hiệuf :ϕ 7→ hf, ϕilà phiếm hàm tuyến tớnh từD(Ω) vàoC.Ta sẽ chứng minhf là liên tục.
Khi đó, ta có thể thác triển f lên thành phiếm hàm tuyến tính liên tục trênE(Ω). (ii) Giả sửf là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên E(Ω).Khi đó, ta có thể thu hẹp f thành hàm suy rộng có giá compact. (iii) Các tương ứng trên cho ta một song ánh giữa không gian hàm suy rộng với giá compact E0(Ω)và không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trênE(Ω).
Từ Định lý 1.11, mỗi hàm suy rộng có giá compact có thể được xem như một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E(Ω), không gian các hàm suy rộng có giá compact E0(Ω)có thể coi là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E(Ω). Hơn nữa, có một tập compactK ⊂Ω,một số nguyên không âmm và một số dươngC sao cho. D(Ω)=g, hay ánh xạf 7→f¯là đơn ánh từE0(Ω) vào không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trênE(Ω).
Như vậy, ta có một song ánh từ không gian hàm suy rộng với giá compactE0(Ω)đến không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trênE(Ω).
Giả sử K không là tập compact, do ∪lk=1suppfk là tập compact với mọil nên∪∞k=lsuppfk 6⊂Ωj,∀j, l.
• với tập compact K0 ⊂Rn bất kỳ,f có cấp hữu hạn trên tập compact(K0−K), nghĩa là có một số tự nhiênl0 và số dươngcđể. • f có cấp hữu hạn trênRn,nghĩa là có một số tự nhiênl0 và số dương cđể với mỗi số tự nhiên k có. Trong trường hợpψ có giá compact, tích chập ϕ∗ψ(x),((f∗ϕ)∗ψ)(x)đều có dạng tích phân Riemann trên hình lập phươngP chứasuppψ.
Nếu trong f, g, h có nhiều nhất một hàm suy rộng có giá compact thì đẳng thức (2.6) nói chung không còn đúng, chẳng hạn trênR,với 1là hàm hằng bằng1có. Với mỗiα∈Zn+,do đạo hàm suy rộngDα là ánh xạ tuyến tính liên tục trongD0(Rn)nên Dα(f∗g) = D0− lim. Từ định lý 2.8 có thể coi mỗi hàm suy rộng (phiếm hàm tuyến tính liên tục từ D(Rn)vàoR) là một ánh xạ tuyến tính từ D(Rn)vàoE(Rn)giao hoán với phép toán dịch chuyển, do đó tích chập của hai hàm suy rộng (ít nhất một trong chúng có giá compact) có thể coi là một ánh xạ tuyến tính từD(Rn) vàoE(Rn)giao hoán đối với phép dịch chuyển, và ngược lại.
Từ Định lý Paley- Wiener, ta có thể định nghĩa biến đổi Fourier cho hàm suy rộng bằng cách sau. Không gian S(Cn) là không gian bao gồm tất cả các hàm giải tích ψ ∈ A(Cn)víi tÝnh chÊt. Từ định lý Paley- Wiener ta có phép biến đổi Fourier F là một đẩng cấu tuyến tính từ D(Rn)vào S(Cn),mà có phép nhúng liên tụcD(Rn) ,→S(Rn)nên, theo Mệnh đề 2.9, có nhúng liên tục từS(Cn)vào S(Rn).
Từ đó, mỗi hàm suy rộng tăng chậm có thể coi là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trênS(Cn). Biến đổi Fourier của hàm suy rộng f, ký hiệu Ff, là một ánh xạ từS(Cn)vàoCđược xác định như sau,. Phép biến đổi FourierFlà một đẩng cấu tuyến tính từD(Rn)vàoS(Cn)nênFf là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trênS(Cn).
Vớif ∈S0(Rn),thì biên đổi FourierFf có thể thác triển lên thành một phiếm hàm tuyến tính liên tục trênS(Rn)bằng cách. Tiếp theo, ta sẽ trình bày Định lý Paley-Wiener- Schwartz cho hàm suy rộng. Hàm suy rộngE là nghiệm của phương trình (2.13) khi và chỉ khi biến đổi Fourier của E (theo biếnx)FxE thoả mãn phương trình vi phân thường.
Như vậy, vớif ∈E0(Rn)thì biến đổi FourierFf là một hàm từRnvàoCđược xác định bởi. HàmFf(ξ) là hàm khả vi vô hạn và có thể thác triển lên thành một hàm giải tích trênCn nh sau. Định lý Paley -Wiener- Schwartz khẳng định điều kiện cần và đủ để một hàm giải tíchψ là biến đổi Fourier của một hàm suy rộng có giá compact là bất đẳng thức (2.15).
Như vậy, ta có thể coi L2(Ω) là không gian tất cả các hàm suy rộng thoã mãn bất. Nếu coi một hàm bình phương khả tích là một hàm suy rộng thì sự hội tụ theo nghĩa suy rộng chính là sự hội tụ yếu. Sự hội tụ yếu này không dẫn đến sự hội tụ trong L2(Ω) ngay cả khi thêm cả tính bị chặn đều.
Chuẩn ||.||l thực sự là một chuẩn, nghĩa là nó thoả mãn ba tiên đề về chuẩn. Từ nhận xét trên, ta chỉ cần chứng minh tính đầy đủ của không gianWl(Ω) theo chuẩn ||.||l. Trong trường hợpΩ =Rn,phiếm hàm xác định trênWl(Rn)được xác định nh sau.
VớiΩlà một tập mở trongRn,không gianWl(Ω)có thể coi là một không gian con của không gian Wl(Rn) gồm các phần tử có giá (theo nghĩa suy rộng) nằm trongΩ, còn không gianW0l(Ω)là bao đóng của tậpC0∞(Ω)trongWl(Rn).Trong một số trường hợp đặc biệt, chẳng hạnΩlà nửa không gian mở hay toàn không gian, thì Wl(Ω) =W0l(Ω).
Khil ∈Z+,thì theo Mệnh đề 3.5 các định nghĩa về không gian Sobolev Wl(Rn)là không m©u thuÉn nhau. Phép biến đổi Fourier là một đẳng cấu, đẳng cự từ Wl(Rn) vào Vl(Rn). Nên không gian Sobolev Wl(Rn) là không gian đầy đủ, do đó, là không gian Hilbert với tích vô hướng h., .iWl.Ngoài ra, dễ thấy các phép nhúng liên tụcS(Rn),→Vl(Rn),→S0(Rn)nên có các phép nhúng liên tụcS(Rn),→Wl(Rn),→S0(Rn).
(ii) Vớil < k, K là tập compact trongRn,có phép nhúng từ không gian con của Wk(Rn) gồm các phần tử có giásuppf ⊂K,vào không gianWl(Rn)là compact. , ta sẽ chứng minh nó có một dãy con hội tụ, hay một dãy Cauchy, trongWl(Rn). Do dãy{Ffν}∞ν=1 hội tụ đều trên từng tập compact nên tồn tại sốk0 ∈Nđể.
Vớil là một số thực,Ωlà một tập mở trong Rn ta có thể định nghĩa không gianWl(Ω) là không gian con của không gianWl(Rn) gồm các phần tử có giá nằm trong Ω,còn không gianW0l(Ω)là bao đóng của tậpC0∞(Ω). Như vậy, v xác định trên Vl(Rn)một phiếm hàm tuyến tính liên tục với chuẩn ||v||V−l =. Lại cóS(Rn)là tập trù mật trongVl(Rn)nên ta có thể thác triểnF−1f lên thành một phiếm hàm tuyến tính liên tục trênVl(Rn)hay ta có thể coiFf là một phần tử của không gian đối ngÉu Vl(Rn)0.
Khi đó, ánh xạ này có thể thác triển lên thành một ánh xạ tuyến tính liên tục từ Wl(Rn) vàoWl−12(Rn). Do tậpS(Rn)trù mật trong Wl(Rn)nên ta chỉ còn phải chứng minh bất đẳng thức sau.
+), với C là hằng số không phụ thuộcu.Như vậy, có một ánh xạ thác triển tuyến tính liên tục từWl( ¯Rn+)lênWl(Rn). Với l ≥ 0, dùng phép nội suy ta cũng sẽ có một ánh xạ tuyến tính liên tục biến mỗi u∈Wl( ¯Rn+)thành một thác triển củaulà một hàmu˜∈Wl(Rn). Theo Định lý về đối ngẫu cho không gian Wl(Rn), có duy nhất một hàmv ∈W−l(Rn)mà.