Định nghĩa và một số tính chất

Không gian Sobole

3.1 Định nghĩa và một số tính chất

3.1.1 Không gian Sobolev cấp nguyên không âmCho Ωlà một tập mở trong Rn.Cho f ∈L2(Ω)(⊂L2 Cho Ωlà một tập mở trong Rn.Cho f ∈L2(Ω)(⊂L2

loc(Ω)⊂L1

loc(Ω)), khi đóf có thể coi như một hàm suy rộng được xác định như sau

ϕ7→ hf, ϕi=

Z

Ω

f(x)ϕ(x)dx, ϕ ∈D(Ω).

Từ bất đẳng thức Cauchy- Schwartz có đánh giá

|hf, ϕi| ≤ Z Ω |f(x)|2dx 1 2Z Ω |ϕ(x)|2dx 1 2 ,∀ϕ∈D(Ω). (3.1) Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức (3.1) là điều kiện cần và đủ để một hàm suy rộng là một hàm trongL2(Ω).Với chú ý, không gian đối ngẫu (gồm các phiếm hàm tuyến tính liên tục) củaL2(Ω)cũng là L2(Ω)nên ta sẽ phát biểu Mệnh đề dưới dạng sau.

Mệnh đề 3.1. (i) Chof ∈D0(Ω).Nếu có một số dươngC sao cho

|hf, ϕi| ≤C(

Z

Ω

|ϕ(x)|2dx)12,∀ϕ ∈D(Ω) (3.2) thì ta có thể thác triểnf lên thành một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên L2(Ω).

(ii) Chof ∈ L2(Ω). Khi đó, thu hẹp của f trên D(Ω) là một hàm suy rộng thoả mãn bất đẳng thức (3.2) với hằng sốC =||f||L2.

Chứng minh. (i) DoC0∞(Ω)trù mật trongL2(Ω)nên nếu hàm suy rộngf thoả mãn bất đẳng thức (3.2) thì ta có thể thác triểnf lên thành phiếm hàm tuyến tính liên tục trênL2(Ω).Thác triển này là thác triển duy nhất.

(ii) Phần này được chứng minh từ bất đẳng thức Cauchy- Schwartz. 65

Chú ý. Như vậy, ta có thể coi L2(Ω) là không gian tất cả các hàm suy rộng thoã mãn bất đẳng thức (3.1), với chú ýf, g ∈L2(Ω)bằng nhau theo nghĩa suy rộng khi và chỉ khi bằng nhau trongL2(Ω).

Nếu coi một hàm bình phương khả tích là một hàm suy rộng thì sự hội tụ theo nghĩa suy rộng chính là sự hội tụ yếu. Sự hội tụ yếu này không dẫn đến sự hội tụ trong L2(Ω)

ngay cả khi thêm cả tính bị chặn đều. Chẳng hạn, ta xét ví dụ sau trên đường thẳng R,

lấy fk(x) = χ[k,k+1](x) hội tụ yếu về 0 khi k tiến ra vô cùng vì với mỗi ϕ ∈ D(Rn)

có một số k0 ∈ N để suppϕ ⊂ [−k0, k0], nên R

Rχ[k,k+1](x)ϕ(x) = 0, với k > k0. và

||χ[k,k+1]||L2 = 1, k = 1,2, . . . ,nên dãy {χ[k,k+1]}∞

k=1 không hội tụ trongL2(R).

Khác với các không gian hàm suy rộng khác, nếu f ∈ D0(S0,E0,E,S,D) thì Dαf ∈

D0(S0,E0,E,S,D),∀α ∈ Zn

+, một cách tương ứng; nếu f ∈ L2(Ω) thì chưa chắc Df ∈

L2(Ω),ngay cả khi f có đạo hàm suy rộng cấp cao hơn nằm trong L2(Ω).

Chẳng hạn, trên Ω = [−1,1], hàm Heaviside H(t) ∈ L2(−1,1) nhưng DH = δ 6∈

L2(−1,1).Hoặc hàm dấusgn(t)∈L2(−1,1)nhưngDsgn(t)6∈L2(−1,1)vì giả sử không phải thì Z 1 −1 Dsgn(t)ϕ(t)dt=− Z 1 −1 sgn(t)Dϕ(t)dt=− Z 1 0 Dϕ(t)dt+ Z 0 −1 Dϕ(t)dt = 2ϕ(0), ϕ∈C0∞(−1,1) (3.3) nên vớisuppϕ⊂(0,1)thìDsgn(t) = 0, h.k.n trên(0,1),

vớisuppϕ ⊂(−1,0)thìDsgn(t) = 0, h.k.ntrên(−1,0),

do đóDsgn(t) = 0, h.k.n(−1,1).Điều này mâu thuẫn với phương trình (3.3) khiϕ(0) 6= 0.

Trên hình tròn B1(0) = {(x1, x2) ∈ R2| |x1|2 +|x2

2| = 1} trong mặt phẳng, hàm f(x) =

sgn(x1) + sgn(x2) có đạo hàm suy rộng D1f, D2f 6∈ L2(B1(0)) còn D1D2f = 0 ∈

L2(B1(0)).

Nhưng cũng cần chú ý rằng với Ω có hình học đủ tốt, nếu f ∈ L2(Ω), Dαf ∈ L2(Ω), với mọi đa chỉ sốα mà|α|=lthì Dαf ∈L2(Ω), với mọi đa chỉ sốα mà|α| ≤l.Trong ví dụ trên thì chỉ cóD1D2f = 0 ∈L2(B1(0))còn D2

1f, D2

2f 6∈L2(B1(0)).

Định nghĩa 3.1. Cho l ∈ Z+. Không gian Sobolev Wl,2(Ω) = Wl(Ω) là không gian bao gồm các hàm suy rộng f ∈ L2(Ω) mà các đạo hàm suy rộng Dαf ∈ L2(Ω),|α| ≤ l, với chuẩn ||f||Wl(Ω)=||f||l= X |α|≤l Z Ω |Dαf|2dx12 .

Không gian SobolevWl

0(Ω) là bao đóng của tậpC0∞(Ω)trongWl(Ω).

Nhận xét. Chuẩn ||.||l thực sự là một chuẩn, nghĩa là nó thoả mãn ba tiên đề về chuẩn

• (xác định dương)||f||l≥0,∀f ∈Wl(Ω) và||f||l= 0 khi và chỉ khif = 0,

• (thuần nhất)||λf||l=|λ| ||f||l,∀f ∈Wl(Ω),∀λ ∈C,

Chuẩn này được sinh ra bởi tích vô hướng hf, gil= X |α|≤l Z Ω Dαf(x)Dαg(x)dx, vì • (xác định dương)hf, fil =||f||2 l ≥0,vàhf, fil = 0 khi và chỉ khif = 0, • (phản đối xứng)hf, gil =hg, fil,∀f, g ∈Wl(Ω),

• (tuyến tính theo biến thứ nhất)

hα1f1+α2f2, gil =α1hf1, gil+α2hf2, gil,∀f1, f2, g ∈Wl(Ω),∀α1, α2 ∈C. Ngoài ra |hf, gil| ≤ ||f||l||g||l, và ||f +g||2 l + ||f − g||2 l = 2(||f||2 l + ||g||2 l), với mọi f, g∈Wl(Ω).

Mệnh đề 3.2. Không gianWl(Ω)là không gian Hilbert với tích vô hướngh., .il.

Chứng minh. Từ nhận xét trên, ta chỉ cần chứng minh tính đầy đủ của không gianWl(Ω)

theo chuẩn ||.||l. Lấy dãy Cauchy {fk}∞

k=1 trong Wl(Ω), nghĩa là các dãy {Dαfk}∞ k=1 là Cauchy trongL2(Ω),với |α| ≤l.DoL2(Ω) là không gian đầy đủ nên với mỗi đa chỉ số α

mà|α| ≤l đều tồn tạifα ∈L2(Ω)mà lim

k→∞||Dαfk−fα||L2(Ω) = 0.

Nếu ta chứng minh đượcDαf0 =fα,|α| ≤l thì lim

k→∞||fk−f0||l = 0hay dãy {fk}∞ k=1 hội tụ đếnf0 trongWl(Ω).Do đó,Wl(Ω) là đầy đủ.

Để chứng minh Dαf0 = fα ta chứng minh chúng bằng nhau theo nghĩa suy rộng. Lấy

ϕ∈D(Ω), k = 1,2, . . . , có |hDαf0−fα, ϕi| ≤ |hDαf0−Dαfk, ϕi|+|hDαfk−fα, ϕi| mà |hDαf0−Dαfk, ϕi|=|hf0−fk, Dαϕi| ≤ ||f0 −fk||L2(Ω)||Dαϕ||L2(Ω) |hDαfk−fα, ϕi| ≤ ||Dαfk−fα||L2(Ω)||ϕ||L2(Ω) và lim k→∞||Dβfk−fβ||L2(Ω) = 0,∀|β| ≤l, nênhDαf0 −Dαfk, ϕi= 0 hayDαf0 =fα.

Hệ quả 3.3. Không gianW0l(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướngh., .il.

Từ định nghĩa, ta có các phép nhúng liên tục sau.

Mệnh đề 3.4. Các phép nhúng liên tục Vớil, k∈Z+, l≤k,ta có các phép nhúng liên tục sau:

Wk(Ω),→Wl(Ω) ,→L2(Ω), W0k(Ω),→W0l(Ω) ,→L2(Ω).

Mệnh đề 3.5. Trong trường hợpΩ =Rn,phiếm hàm xác định trênWl(Rn)được xác định như sau ||f||Wl = Z Rn (1 +||ξ||2)l|Ff(ξ)|2dξ 1 2

là một chuẩn tương đương với chuẩn||.||l.

Chứng minh. Lấy f ∈ Wl(Rn). Có Dαf ∈ L2(Rn),|α| ≤ l nên theo tính chất của phép biến đổi Fourier trongL2(Rn)thì

Z Rn |Dαf(x)|2dx= Z Rn |F(Dαf)(ξ)|2dξ = Z Rn |ξα|2|Ff(ξ)|dξ mà c1(X |α|≤l |ξα|2)≤(1 +||ξ||2)l ≤c2(X |α|≤l |ξα|2),

vớic1, c2 là các hằng số dương không phụ thuộcξnên

c1||f||l ≤ ||f||Wl ≤c2||f||l

do đó||.||l và||.||Wl là hai chuẩn tương đương trên Wl(Rn).

Chú ý. VớiΩlà một tập mở trongRn,không gianWl(Ω)có thể coi là một không gian con của không gian Wl(Rn) gồm các phần tử có giá (theo nghĩa suy rộng) nằm trongΩ, còn không gianWl

0(Ω)là bao đóng của tậpC0∞(Ω)trongWl(Rn).Trong một số trường hợp đặc biệt, chẳng hạnΩlà nửa không gian mở hay toàn không gian, thì Wl(Ω) =Wl

0(Ω).