Tích chập và Phép biến đổi Fourier 2.1 Tích chập
2.1.3Tích chập giữa các hàm suy rộng Vớif∈D0( Rn), g∈E0(Rn)có một dãy{gk } ∞
k=1 trong C0∞(Rn) mà E0 − lim
k→∞gk = g.
Với mỗiϕ ∈D(Rn)cóD− lim
k→∞gk∗ϕ=g∗ϕ.Do đó,
lim
k→∞hf ∗gk, ϕi= lim
k→∞(f ∗(gk∗ϕˆ))(0) = (f∗(g∗ϕˆ))(0),
nên dãy {f ∗gk}∞
k=1 là dãy Cauchy trong D0(Rn), mà D0(Rn) là đủ, nên hội tụ đến một hàm suy rộng, ký hiệuf ∗g, xác định bởi công thức (không phụ thuộc vào việc chọn dãy
{gk}∞ k=1) hf ∗g, ϕi= (f ∗(g∗ϕˆ))(0), ϕ ∈D(Rn). Vớif ∈E0(Rn), g ∈ D0(Rn) có một dãy {gk}∞ k=1 trong C0∞(Rn) màD0 − lim k→∞gk =g. Với mỗiϕ∈D(Rn)có E− lim k→∞gk∗ϕ=g∗ϕ.Do đó, lim k→∞hf ∗gk, ϕi= lim k→∞(f ∗(gk∗ϕˆ))(0) = (f∗(g∗ϕˆ))(0), nên dãy {f ∗gk}∞
k=1 là dãy Cauchy trong D0(Rn), mà D0(Rn) là đủ, nên hội tụ đến một hàm suy rộng, ký hiệuf ∗g, xác định bởi công thức (không phụ thuộc vào việc chọn dãy
{gk}∞
k=1)
hf ∗g, ϕi= (f ∗(g∗ϕˆ))(0), ϕ ∈D(Rn).
Định nghĩa 2.2. Cho f, g ∈ D0(Rn), mà ít nhất một hàm suy rộng có giá compact. Hàm suy rộngf ∗g được gọi là tích chập của hàm suy rộngf theo hàm suy rộng g.
Ví dụ1. Vớif ∈D0(Rn)cóδ∗f =f ∗δ=f.
Nhận xét. 1. Vớiϕ ∈D(Rn), f, g∈D0(Rn),(ít nhất một hàm suy rộng có giá compact) có
((f ∗g)∗ϕ)(x) =hf∗g, ψi= lim
k→∞(f∗(gk∗ψˆ))(0) = (f∗(g∗ϕ))(x), ψ(y) = ϕ(x−y)
nên(f∗g)∗ϕ =f ∗(g∗ϕ)và hf∗g, ϕi=hf,(g∗ϕˆ)ˆi.
2. Vớiψ ∈E(Rn), g ∈D0(Rn),(ít nhất một trong chúng có giá compact) thì nếu coiψ như một hàm suy rộng có
ψ∗g = lim
k→∞ψ∗gk = lim
k→∞gk∗ψ =g∗ψ..
Khi đó, với f, g ∈ D0(Rn), (ít nhất một hàm suy rộng có giá compact), do ρ1
k ∗ ρ1 k ∈ C0∞,supp(ρ1 k ∗ρ1 k) = ¯B2 k(0),R Rn(ρ1 k ∗ρ1
k)(x)dx = 1 nên theo nhận xét của Mệnh đề 2.5 có f∗g =D0 − lim k→∞f∗(g∗(ρ1 k ∗ρ1 k)) =D0 − lim k→∞f∗((g∗ρ1 k)∗ρ1 k)(doρ1 k ∈C0∞(Rn)) =D0 − lim k→∞f∗(ρ1 k ∗(g∗ρ1 k))( dog∗ρ1 k ∈C∞(Rn)) =D0 − lim k→∞(f∗ρ1 k)∗(g∗ρ1 k)(dog∗ρ1 k ∈C∞(Rn)) =D0 − lim k→∞(g∗ρ1 k)∗(f∗ρ1 k)(dof∗ρ1 k ∈C∞(Rn)) =g∗f.
Vớif, g∈D0(Rn),(ít nhất một hàm suy rộng có giá compact) dof∗g =D0 − lim k→∞f∗(g∗ρ1 k) màsupp(f ∗(g∗ρ1 k)) ⊂(suppf + suppg+ ¯B1
k(0)) nên nếux 6∈ (suppf + suppg) mà
(suppf+ suppg)là tập đóng, có một số kxđểx6∈(suppf+ suppg+ ¯B1
k(0)),khik > kx
do đóf ∗(g∗ρ1
k) = 0 tạix khik > kx hayf ∗g = 0tạix. Như vậy, nếu f∗g 6= 0tại x
thìx∈((suppf+ suppg)haysupp(f ∗g)⊂(suppf+ suppg).
Vớif, g, h∈D0(Rn),(nhiều nhất một hàm suy rộng không có giá compact) thì
(f ∗g)∗h=D0 − lim k→∞(f∗g)∗(h∗ρ1 k) =D0 − lim k→∞f∗(g∗(h∗ρ1 k)) =D0 − lim k→∞f ∗((g∗h)∗ρ1 k) =f ∗(g∗h). (2.6) Nếu trong f, g, h có nhiều nhất một hàm suy rộng có giá compact thì đẳng thức (2.6) nói chung không còn đúng, chẳng hạn trênR,với 1là hàm hằng bằng1có
• 1∗Dδ = 0,0∗θ = 0,nên(1∗Dδ)∗θ = 0,
• Dδ∗θ =δ,1∗δ = 1,nên 1∗(Dδ∗θ) = 1.
Với mỗiα∈Zn
+,do đạo hàm suy rộngDα là ánh xạ tuyến tính liên tục trongD0(Rn)nên
Dα(f∗g) = D0 − lim
k→∞Dα(f∗(g∗ρ1
k)) = (Dαf)∗g =f ∗(Dαg).
3. Vớif ∈S0(Rn), g ∈E0(Rn), ϕ∈S(Rn)thì (g∗ϕˆ)ˆ∈S(Rn)nênhf,(g∗ϕˆ)ˆilà xác định hayf∗glà phiếm hàm tuyến tính trênS(Rn).Hơn nữa, nếuϕk∈S(Rn)màS− lim
k→∞ϕk= 0
cóS− lim
k→∞(g∗ϕkˆ)ˆ= 0nên lim
k→∞hf,(g∗ϕkˆ)ˆi= 0hayf ∗g ∈S0(Rn).
Với f, g ∈ E0(Rn) do supp(f ∗g) ⊂ (suppf + suppg) nên f ∗ g có giá compact hay
f∗g ∈E0(Rn).
Mệnh đề 2.7. (i) Nếuf ∈D0(Rn), g ∈E0(Rn)thì
• ánh xạ h7→f∗h=h∗f là ánh xạ tuyến tính liên tục từE0(Rn)vàoD0(Rn),
• ánh xạ h7→h∗g =g∗h là ánh xạ tuyến tính liên tục từD0(Rn)vàoD0(Rn),
• ánh xạ h7→h∗g =g∗h là ánh xạ tuyến tính liên tục từE0(Rn)vàoE0(Rn).
(ii) Nếuf ∈E0(Rn), g ∈S0(Rn)thì
• ánh xạ h7→f∗h=h∗f là ánh xạ tuyến tính liên tục từS0(Rn)vàoS0(Rn),
• ánh xạ h7→h∗g =g∗h là ánh xạ tuyến tính liên tục từE0(Rn)vàoS0(Rn).
Chứng minh. Tính tuyến tính của các ánh xạ là do các không gianD0(Rn),E0(Rn)là tuyến tính và với mỗiλ, à∈R, ϕ∈D(Rn)
• hλf+àh,(g∗ϕˆ)ˆi=λhf,(g∗ϕˆ)ˆi+àhh,(g∗ϕˆ)ˆi,
Giả sử{hk}∞
k=1 là một dãy trongD0(Rn)và D0 − lim
k→∞hk = 0thì
• nếug ∈E0(Rn), ϕ∈D(Rn)có (g∗ϕˆ)ˆ∈D(Rn)nên lim
k→∞hhk,(g∗ϕˆ)ˆi= 0.
Giả sử{hk}∞
k=1 là một dãy trongE0(Rn)và E0 − lim
k→∞hk = 0thì
• nếug ∈D0(Rn), ϕ∈D(Rn)có (g∗ϕˆ)ˆ∈E(Rn)nên lim
k→∞hhk,(g∗ϕˆ)ˆi= 0.
• nếug ∈E0(Rn)cósupp(g∗hk)⊂(suppg+ supphk), k = 1,2, . . . ,
• nếug ∈S0(Rn),hoặc vớiϕ ∈D(Rn)có sốl, m∈Z+, l > mvà cm >0sao cho (i)|hg, ψi| ≤cm sup
x∈Rn
(1 +||x||2)m P
|α|≤m
|Dαψ(x)|,∀ψ ∈D(Rn)
(ii) từ bất đẳng thức (2.5), với mỗik ∈Ncó
sup x∈Rn (1 +||x||2)m X |α|≤m |Dα(hk∗ϕˆ)ˆ(x)| ≤csup y∈Rn (1 +||x||2)lX |β|≤l |Dβϕ(x)|, và có một tập compactK ⊂Rn,đểsupp(hk∗ϕ)⊂K, nên|hg,(hk∗ϕˆ)ˆi| ≤c sup x∈Rn (1 +||x||2)l P |α|≤l |Dαϕ(x)|, k= 1,2, . . . ,
hay vớiϕ ∈S(Rn)cóg∗ϕ∈E(Rn)nên lim
k→∞hhk,(g∗ϕˆ)ˆi= 0.
Giả sử{hk}∞
k=1 là một dãy trongS0(Rn)và S0 − lim
k→∞hk = 0thì vớig ∈E0(Rn), ϕ ∈D(Rn)
có(g∗ϕˆ)ˆ∈D(Rn)và, từ bất đẳng thức (2.4), một số tự nhiênl0,một số dươngcsao cho
(1 +||x||2)m X |α|≤m |Dα(g∗ϕˆ)ˆ(x)| ≤c(1 +||x||2)m X |α|≤l0 |Dαϕ(x)|,∀m ∈N màS0(Rn)và S0 − lim
k→∞hk = 0 nên có một số tự nhiênm > l0 và một số dươngcđể
|hhk,(g∗ϕˆ)ˆi| ≤csup x∈Rn (1 +||x||2)m X |α|≤m |Dα(g∗ϕˆ)ˆ(x)| ≤ sup x∈Rn (1 +||x||2)m X |α|≤m |Dαϕ(x)|,
hay vớiϕ ∈S(Rn)cóg∗ϕ∈S(Rn)nên lim
k→∞hhk,(g∗ϕˆ)ˆi= 0.
Định lý 2.8. (i) ChoLlà một ánh xạ tuyến tính liên tục từD(Rn)vàoE(Rn)thoả mãn
Lτhϕ =τhLϕ, h∈Rn, ϕ∈D(Rn),
với phép dịch chuyểnτh được xác định bởi τhϕ(x) =ϕ(x−h).
Khi đó, có duy nhất một hàm suy rộngT ∈D0(Rn)đểLϕ=T ∗ϕ, ϕ∈D(Rn)
(ii)Cho T ∈ D0(Rn).Khi đó, ánh xạ biến mỗi ϕ ∈ D(Rn) thành T ∗ϕ là ánh xạ tuyến tính liên tục từD(Rn)vào E(Rn).
Chứng minh. (i) Do ánh xạ ϕ 7→ ϕˆlà ánh xạ tuyến tính liên tục trong D(Rn) nên phiếm hàmϕ7→L(ϕˆ)(0)xác định một hàm suy rộngT ∈D0(Rn).
Do với mỗiϕ ∈D(Rn)cóLτxϕ =τxLϕ, x∈Rn nên
L(ϕ)(x) = (τxL(ϕ))(0) = (L(τxϕ))(0) =T ∗(τxϕ) = (T ∗ϕ)(x)
nênL(ϕ) = T ∗ϕ.
(ii) Việc chứng minh dựa vào Mệnh đề 2.3.
Nhận xét. Từ định lý 2.8 có thể coi mỗi hàm suy rộng (phiếm hàm tuyến tính liên tục từ
D(Rn)vàoR) là một ánh xạ tuyến tính từ D(Rn)vàoE(Rn)giao hoán với phép toán dịch chuyển, do đó tích chập của hai hàm suy rộng (ít nhất một trong chúng có giá compact) có thể coi là một ánh xạ tuyến tính từD(Rn) vàoE(Rn)giao hoán đối với phép dịch chuyển, và ngược lại.