Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)1 Đáp án Kiểm tra cuối kỳ K50A1T lÇn I
Câu1.Hàmf :R2 →Rđược xác định
f(x, y) = (
1 nÕu0< x <1,
0 trường hợp lại, coi hàm suy rộng cách
hf, ϕi= Z
R2
f(x, y)ϕ(x, y)dxdy, ϕ∈D(R2)
Tích phân hồn tồn xác định doϕlà hàm liên tục có giá compact nên tồn sốM >1 chosuppϕ⊂[−M, M]ì[−M, M]
Khi tích phân đơn giản
hf, ϕi= Z
0
dx Z M
−M
ϕ(x, y)dy
(i) Kiểm tra tính tuyến tính, liên tục hàm suy rộngf xác định định nghĩa
(ii) Ta chứng minhf ∈S0 bằng cách kiểm tra bất đẳng thức |hf, ϕi| ≤C sup
(x,y)∈R2
(1 +x2+y2)m X
|α|≤m
|D(x, y)|
vớiC, m số không phụ thuộc(kể giá nó!)
Docú giỏ compact nên có số M >1đểsuppϕ⊂[−M, M]ì[−M, M] Khi đó,
|hf, ϕi|=|
Z
0
dx Z M
−M
ϕ(x, y)dy|
=|
Z
0
dx Z M
−M
(1 +y2)(1 +y2)−1ϕ(x, y)dy| ≤ |
Z
0
dx Z M
−M
(1 +y2)−1dy| sup
(x,y)∈R2
(1 +y2)|ϕ(x, y)| ≤π sup
(x,y)∈R2
(1 +x2+y2)X
|α|≤1
|Dαϕ(x, y)| Nh vËyf ∈S0(
R2)
(iii) Vớiϕ∈D(R2),suppϕ⊂[−1,1]ì[1,2],từ đánh giá |hf, ϕi|=|
Z
0
dx Z
1
ϕ(x, y)dy| ≤ sup
(x,y)∈R2
|ϕ(x, y)|
(2)2
• Víi(x0, y0)/ [0,1]ìRthì hoặcx0 <0hoặcx0 >1nên0 = min{|x0|,|x01|}>0
Chn lõn cậnω= (x0−0, x0+0)ì(−1 +y0,1 +y0)∩[0,1]ìR=∅.Do đó, với
ϕ∈D(ω)cã
hf, ϕi= Z
0
dx Z 1+y0
−1+y0
ϕ(x, y)dy=
• Với(x0, y0)∈[0,1]ìR,thì0≤x0 ≤1nên lân cậnωbất kỳ chứa(x0, y0)đều chứa
điểm(x1, y1)sao cho0< x1 <1nênω∩(0,1)ìRlà tập mở khác rỗng Khi đó, ta luụn chn c hmD(R2),
supp (x, y)>0,(x, y)(0,1)ìR Ta cã
hf, ϕi= Z
0
Z
R
ϕ(x, y)dy >0
(iv) Vớiϕ∈D(R2),suppϕ⊂[−M, M]ì[−M, M](M > 1đủ lớn)có hD(1,0)f, ϕi=−hf, D(1,0)ϕi
=−
Z M
−M dy
Z
D(1,0)ϕ(x, y)dx =−
Z M
−M
(ϕ(1, y)−ϕ(0, y))dy;
hD(0,1)f, ϕi=−hf, D(0,1)ϕi
=−
Z
0
dx Z M
−M
D(0,1)ϕ(x, y)dy =−
Z
0
((x, M)(x,M))dx= nênD(0,1)f = 0.
(v) HàmF :R2 →
Rxác định sau
F(x, y) =
0 nÕux≤0, x nếu0x1, nếux1, coi hàm suy rộng b»ng c¸ch
hF, ϕi= Z
R2
F(x, y)ϕ(x, y)dxdy, ϕ∈D(R2)
Tích phân hồn tồn xác định doϕlà hàm liên tục có giá compact nên tồn sốM >1 chosuppϕ⊂[−M, M]ì[−M, M]
Khi tích phân đơn giản
hF, ϕi= Z
0
dx Z M
−M
xϕ(x, y)dy+ Z M
1
dx Z M
−M
(3)3 Kiểm tra tính tuyến tính, liên tục hàm suy rộng F xác định định nghĩa
§Ĩ kiĨm traD(1,0)F =f
hD(1,0)F, ϕi=−hF, D(1,0)ϕi
=−
Z
0
dx Z M
−M
xD(1,0)ϕ(x, y)dy−
Z M
1
dx Z M
−M
D(1,0)ϕ(x, y)dy =−
Z M
−M dy
Z
0
xD(1,0)ϕ(x, y)dx−
Z M
−M dy
Z M
1
D(1,0)ϕ(x, y)dx =
Z M
−M dy
Z
0
ϕ(x, y)dx−
Z M
−M
ϕ(1, y)dy−
Z M
−M
(ϕ(M, y)−ϕ(1, y))dy =
Z M
−M dy
Z
0
ϕ(x, y)dy=hf, ϕi
Ta chứng minhF ∈S0 bằng cách kiểm tra bất đẳng thức |hf, ϕi| ≤C sup
(x,y)∈R2
(1 +x2+y2)m X
|α|≤m
|Dαϕ(x, y)|
vớiC, m số không phụ thuộc(kể gi¸ cđa nã!)
Doϕcó giá compact nên có số M >1đểsuppϕ⊂[−M, M]ì[−M, M] Khi đó,
|hF, ϕi|=|
Z
0
dx Z M
−M
xϕ(x, y)dy+ Z M
1
dx Z M
−M
ϕ(x, y)dy| ≤
Z M
0
dx Z M
−M
|ϕ(x, y)|dy
≤
Z M
0
dx Z M
−M
(1 +x2+y2)2(1 +x2)−1(1 +y2)−1|ϕ(x, y)|dy
≤π2 sup
(x,y)∈R2
(1 +x2+y2)2 X
|α|≤2
|Dαϕ(x, y)|
Nh vËyF ∈S0(
R2)
Câu2.Do hàm Dirac có biến đổi FourierFδ = (2π)−3/2 hàm nênδ∈Wk(R2)khi khi(1 +||ξ||2)k khả tích, với||ξ||2 =ξ2
1 +ξ22+ξ32
Mµ
Z
R3
(1 +||ξ||2)kdξ = Z 2π
0
dϕ Z π
0
dθ Z ∞
0
(1 +r2)kr2sinθdr