Tích các hàm suy rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————————————– LÊ QUANG TÍCH CÁC HÀM SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI , 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————– * ——————— LÊ QUANG TÍCH CÁC HÀM SUY RỘNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Tạ Ngọc Trí Hà Nội - 2012 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí. Thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập cũng như nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin trân thành cảm ơn Ban giám hiêu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng các quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở GD&ĐT Phú Thọ, Ban giám hiệu trường THPT Yên Lập - Yên Lập - Phú Thọ, Tổ Toán - Lí - Tin và đồng nghiệp đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn. Hà Nội, tháng 07 năm 2012 Tác giả Lê Quang LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 07 năm 2012 Tác giả Lê Quang Mục lục Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Chương 1. Lý thuyết hàm suy rộng Schwartz . . . . . . . . . . 8 1.1. Một số thuật ngữ và khái niệm cơ bản . 8 1.2. Không gian các hàm thử. . . 9 1.3. Hàm suy rộng Schwartz . . . . 12 1.4. Đạo hàm của hàm suy rộng . . 15 1.5. Biến đổi Fourier của hàm suy rộng . . . 17 1.5.1. Biến đổi Fourier trong S(R n ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.2. Biến đổi Fourier trong S  (R n ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Chương 2. Tích các hàm suy rộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1. Tích chập . . . . 20 2.1.1. Tích chập trong không gian L p (R n ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.2. Tích chập của hai hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2. Tích của một hàm trơn và một hàm suy rộng. 24 2.3. Tích của hai hàm suy rộng tùy ý . . . . . 25 2.3.1. Định nghĩa của Mikusinski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.2. Định nghĩa dựa trên khai triển Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.3. Định nghĩa của Colombeau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.4. Định nghĩa của Bagarello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3 4 Chương 3. Một số ví dụ về tích giữa hàm Delta và các đạo hàm của nó. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.1. Tích xét theo nghĩa Colombeau . . . 44 3.2. Tích xét theo nghĩa Bagarello . . . . 46 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết Hàm suy rộng được phát triển bởi L.Schwartz đã mở ra cánh cửa quan trọng cho sự phát triển của Toán học hiện đại, đặc biệt là trong lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng. Với lý thuyết đó, L.Schwartz đã được nhận giải thưởng Fields năm 1950. Lý thuyết Hàm suy rộng của L.Schwartz đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng tuyến tính. Tuy nhiên những bài toán phi tuyến dẫn đến việc xem xét lấy tích hai hàm suy rộng. Về vấn đề này L.Schwartz đã đưa ra kết luận về một "kết quả không thể" trong việc lấy tích hai hàm suy rộng tổng quát. Trong kết luận đó L.Schwartz cho rằng không thể lấy tích hai hàm suy rộng bất kỳ mà vẫn thỏa mãn công thức Leibniz về lấy đạo hàm của một tích. Tuy nhiên rất nhiều ứng dụng cần lấy tích hai hàm suy rộng. Nhiều nhà Toán học đã nghiên cứu để có thể giải quyết vấn đề này. Họ đã cố gắng tìm ra những cách định nghĩa tích hai hàm suy rộng bất kỳ. Một số cách đã giải quyết được một phần vấn đề nhân hai hàm suy rộng. Trong đó có thể kể đến phương pháp của Mikusinski với việc định nghĩa thông qua giới hạn dãy, hay phương pháp lấy tích dựa trên khai triển Fourier. Tuy nhiên các cách đó chưa giải quyết một cách đầy đủ vấn đề tích hai hàm suy rộng. Vào năm 1980, một lý thuyết mới về hàm suy rộng đã được nhà toán học Pháp là J.F.Colombeau giới thiệu. Trong lý thuyết này, hàm 6 suy rộng của L. Schwartz được coi như một tập con và trong đó có thể lấy tích hai hàm suy rộng tùy ý. Sau khi lý thuyết hàm suy rộng của J.F.Colombeau ra đời, nhiều nhà toán học đã ứng dụng và có những kết quả quan trọng trong việc giải các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến. Với mục đích tiếp cận một hướng nghiên cứu của toán học hiện đại, được sự định hướng và hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí, tôi đã lựa chọn đề tài "Tích các hàm suy rộng" cho luận văn tốt nghiệp khóa học thạc sỹ của mình. Trong luận văn này, tôi sẽ tóm tắt những kiến thức cơ bản về lý thuyết hàm suy rộng của L.Schwartz. Tiếp theo luận văn sẽ trình bầy các kết quả về tích các hàm suy rộng đã được các nhà toán học Mikusinski, J.F.Colombeau, F.Bagarello nghiên cứu và xây dựng. Cuối cùng là những ví dụ cụ thể về tích giữa các hàm Delta Dirac cùng với các đạo hàm của nó. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết hàm suy rộng của L.Schwartz làm nền tảng cho việc xây dựng các định nghĩa tích của các hàm suy rộng. Trên cơ sở đó tìm hiểu các kết quả giữa các hàm Delta cùng với các đạo hàm của nó. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Tìm hiểu về lý thuyết hàm suy rộng của L.Schwartz, • Tìm hiểu các định nghĩa về tích các hàm suy rộng, 7 • Nghiên cứu hướng phát triển tích của Colombeau và tích của Bagarello, • Một số ví dụ và ứng dụng. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Tích các hàm suy rộng, tích giữa các hàm Delta cùng với các đạo hàm của nó. Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên quan đến tích các hàm suy rộng. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận vấn đề. Thu thập và nghiên cứu các tài liệu liên quan, đặc biệt là các bài báo mới về vấn đề tích các hàm suy rộng. 6. Dự kiến đóng góp mới Luận văn có thể dẫn đến kết quả mới về tích các hàm suy rộng, đặc biệt là tích giữa các hàm Delta và các đạo hàm của nó. Chương 1 Lý thuyết hàm suy rộng Schwartz Chương này trình bày tóm tắt một số vấn đề xung quanh lý thuyết hàm suy rộng Schwartz. Xem [8], [9], [10] và [11] để biết thêm chi tiết. 1.1. Một số thuật ngữ và khái niệm cơ bản Trong luận văn này, ta ký hiệu N=0,1,2, là tập các số tự nhiên, N ∗ là tập các số tự nhiên khác 0, Z là tập các số nguyên, R là tập các số thực và C là tập các số phức với đơn vị ảo i = √ −1. Với mỗi số tự nhiên n, tập N n ={α = (α 1 , α 2 , , α n )|α j ∈ N, j = 1, 2, n}, tập R n ={x = (x 1 , x 2 , , x n )|x j ∈ R, j = 1, 2, n} là không gian thực n chiều với chuẩn Euclid: ||x|| =  n  j=1 x 2 j  1 2 Ta gọi mỗi phần tử α = (α 1 , α 2 , , α n )|α j ∈ N n là một n-chỉ số (hay đa chỉ số) với bậc |α| = α 1 + α 2 + + α n . Với mỗi đa chỉ số α toán tử vi phân ký hiệu ∂ α = ∂ α 1 1 ∂ α 2 2 ∂ α n n ở đây α j = ∂ ∂ x j và toán tử D α 1 1 D α 2 2 D α n n trong đó D j = ∂ i∂ x j = −j∂ j , j = 1, 2, n. 8 [...]... đó suy ra điều phải chứng minh 2.3 Tích của hai hàm suy rộng tùy ý Ở trên chúng ta định nghĩa tích của một hàm trơn f ∈ C ∞ (Ω) và một hàm suy rộng u ∈ D (Ω) Bây giờ chúng ta muốn định nghĩa tích của hai hàm suy rộng tùy ý, nói riêng trên Rm , rõ ràng không thể dùng cách (2.2) cho hai hàm suy rộng vì f φ có thể không là hàm thử nếu f ∈ D (Rm ) và φ ∈ D(Rm ) Sau đây chúng ta sẽ cùng trao đổi một số cách... [Rn ]/I Định nghĩa 2.3.6 Đại số thương EM [Rn ]/I, ký hiệu G(Rn ) (hoặc G) được gọi là đại số các hàm suy rộng Colombeau Mỗi phẩn tử thuộc G được gọi là một hàm suy rộng Colombeau Để tiện phân biệt với hàm suy rộng thông thường ta sẽ gọi các hàm suy rộng Colombeau là hàm G -suy rộng ¯ ¯ Ta thấy rằng f là hàm suy rộng thuộc G(Rn ) khi và chỉ khi f = ¯ f + I, trong đó f ∈ EM [Rn ] là phần tử đại diện cho... Hàm suy rộng Schwartz Định nghĩa 1.3.1 Mỗi phiếm hàm u : D(Ω) → C tuyến tính và liên tục trên D(Ω) được gọi là một hàm suy rộng hay hàm suy rộng Schwartz Không gian các hàm suy rộng trên Ω được ký hiệu D (Ω) Với mỗi hàm suy rộng u ta viết u(φ) là u, φ với φ ∈ D(Ω) Như vậy D (Ω) là không gian đối ngẫu của D(Ω) Dựa vào tính liên tục của phiếm hàm trên D(Ω) ta có: Mệnh đề 1.3.1 Cho u là một phiếm hàm tuyến... Cho u ∈ D (Ω) 1 Hàm suy rộng u được gọi bằng 0 trên tập mở K ⊂ Ω, ký hiệu u|K = 0 nếu u, φ = 0, ∀φ ∈ D(K) 2 Giá của hàm suy rộng u được ký hiệu supp u và được xác định bởi: 15 supp u = Ω\( {K|K mở } ⊂ Ω và u|K = 0) Nếu u có supp u là tập compact trong Ω thì ta nói u là hàm suy rộng có giá compact Tập hợp các hàm suy rộng có giá compact được ký hiệu bởi E (Ω) 1.4 Đạo hàm của hàm suy rộng Một trong những... theo định nghĩa (2.3.3) với mọi dãy Delta sao cho δn (x) ≥ 0 và hai tích đó bằng nhau Mặc dù ở trên các nhà toán học đã cố gắng xây dựng những định nghĩa cho tích hai hàm suy rộng Các cách đó là tự nhiên nhưng rõ ràng là chưa giải quyết triệt để vấn đề tích của hai hàm suy rộng Vẫn có những nghịch lý trong việc lấy tích hai hàm suy rộng Chẳng hạn, 1 ta có x x = 1 và x.δ = 0 trong D (Ω) Nếu ta áp dụng... do cần mở rộng khái niệm hàm đó là mọi hàm trong đó phải khả vi Trong không gian D (Ω) ta có: Mệnh đề 1.4.1 Cho u ∈ D (Ω) là một hàm suy rộng Khi đó, với mỗi đa chỉ số α ∈ Nn toán tử tuyến tính, được ký hiệu ∂ α u xác định bởi: ∂ α u, φ = (−1)|α| u, ∂ α φ , φ ∈ D(Ω) (1.4) là một hàm suy rộng Định nghĩa 1.4.1 Cho u ∈ D (Ω) Hàm suy rộng xác định bởi (1.4) được gọi là đạo hàm cấp α của hàm suy rộng u Ví... L1 (Rn ) ⊂ S (Rn ): Mọi hàm suy rộng có giá compact đều là hàm suy rộng tăng chậm Định nghĩa 1.5.5 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng u ∈ S (Rn ) là một hàm suy rộng u ∈ S (Rn ) xác định bởi: ˆ ˆ u, φ = u, φ , φ ∈ S(Rn ) ˆ (1.9) 19 Định nghĩa trên là xác định vì nếu φj → 0 trong S(Rn ) khi j → ∞ ˆ thì φ → 0 trong S(Rn ) khi j → ∞ Do đó vế phải của (1.9) xác định một hàm suy rộng tăng chậm Vì L1 (Rn... y) , x ∈ Rn và (ρ ∗ u)(x) là hàm khả vi vô hạn trên Rn (2.2) 24 2.2 Tích của một hàm trơn và một hàm suy rộng Định nghĩa 2.2.1 Cho f ∈ C ∞ (Ω) và u ∈ D (Ω) tùy ý Tích của hàm f và hàm suy rộng u được ký hiệu là f u và được xác định như sau: f u, φ = u, f φ với mọi φ ∈ D(Ω) (2.3) Ta nhận thấy φ ∈ D(Ω) nên f φ ∈ D(Ω) do đó vế phải của (2.3) hoàn toàn xác định một hàm suy rộng Nghĩa là định nghĩa trên... L1 (R) nên ta không thể xem loc hàm suy rộng suy rộng 1 x 1 x ở dạng tích phân Tuy nhiên có thể định nghĩa hàm ∈ D (Ω) là đạo hàm của hàm ln|x| và 1 x ∈ D (Ω)\L1 (R) loc 1 Như vậy ∂ln|x| = x Biểu thức lim + →o +∞ φ(x) −∞ x dx − φ(x) −∞ x dx+ +∞ φ(x) x dx thường được kí hiệu P.V và được gọi là tích phân chính của +∞ φ(x) −∞ x dx 17 1.5 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng 1.5.1 Biến đổi Fourier trong... là một hàm suy rộng f : φ → f, φ = Ω f (x)φ(x)dx Thật vậy, với mọi tập compact K ⊂ Ω và mọi hàm φ ∈ D(Ω) sao cho supp φ ⊂ K ta có:        f (x)φ(x)dx =  | f, φ | =    Ω ≤ K   f (x)φ(x)dx  |f (x)||φ(x)|dx ≤ sup |φ(x)| K Chọn N = 0 và c = K K |f (x)|dx K |f (x)|dx thì ta thấy f là hàm suy rộng cấp 0 2 Tương tự với mọi hàm f ∈ Lp (Ω) cũng là một hàm suy rộng Ví dụ 1.3.2 (Hàm Dirac) Hàm Dirac . về tích các hàm suy rộng, đặc biệt là tích giữa các hàm Delta và các đạo hàm của nó. Chương 1 Lý thuyết hàm suy rộng Schwartz Chương này trình bày tóm tắt một số vấn đề xung quanh lý thuyết hàm. D(Ω). 1.3. Hàm suy rộng Schwartz Định nghĩa 1.3.1. Mỗi phiếm hàm u : D(Ω) → C tuyến tính và liên tục trên D(Ω) được gọi là một hàm suy rộng hay hàm suy rộng Schwartz. Không gian các hàm suy rộng trên. u là hàm suy rộng có giá compact. Tập hợp các hàm suy rộng có giá compact được ký hiệu bởi E  (Ω). 1.4. Đạo hàm của hàm suy rộng Một trong những lý do cần mở rộng khái niệm hàm đó là mọi hàm trong