Thông thường, một phép nhân của hai hàm suy rộng T1 và T2 được định nghĩa có thể tóm tắt trong ba bước:
Bước 1: Người ta quy chiếu những hàm suy rộng này bằng cách sử dụng một số "thủ thuật" hợp lệ để thu được những hàm (tốt hơn)
T1(r) và T2(r),
Bước 2: Nhân T1(r) và T2(r) (theo nghĩa các hàm suy rộng),
Bước 3: Để tìm được kết quả, sử dụng một số cách giới hạn mà nhận lại T từ hàm T(r).
Năm 1995, nhà toán học người Italy là Bagarello đã giới thiệu một lớp mới phép nhân của các hàm suy rộng trong một chiều, khái niệm phép nhân các hàm suy rộng dựa trên hai quy tắc:
Quy tắc 1: Mở rộng giải tích.
Cho hàm suy rộng T với giá compact, xác định hàm T0(z) ≡
1
2πiT.(x−z)−1 chỉnh hình trên z và tất cả mặt phẳng z trừ giá của T, tiếp tục thác triển các lớp hàm ở trên để nó bao hàm cả những hàm suy rộng có giá không compact.
Thực hiện tìm lại T bằng cách lấy giới hạn → 0 của các hàm sau đây:
Tred(x, ) ≡ T0(x+i)−T0(x−i) (2.8) Cho hai hàm suy rộng S và T theo nghĩa mở rộng giải tích, xác định một phép nhân (S T) như sau:
(S T)(φ) ≡lim
→0
Z +∞
−∞
Sred(x, )Tred(x, )φ(x)dx
Khi nào giới hạn này tồn tại với bất kỳ hàm thử φ ∈ D(K), trong đó K ⊆ R là giá của hàm thử (ký hiệu D thay cho D(K)). Đặc biệt nếu S(x) và T(x) là các hàm liên tục thì Sred(x, ) và Sred(x, ) hội tụ đến S(x) và T(x) tương ứng. Khi đó giới hạn trên tôn tại và bằng
R+∞
−∞ S(x)T(x)φ(x)dx. Như vậy đối với các hàm liên tục thì phép nhân này quy về tích các hàm thông thường.
Nếu S(x) và T(x) là các hàm suy rộng tùy ý thì giới hạn này tồn tại hoặc không.
Quy tắc 2. Mở rộng dãy.
Chúng ta có thể xác định δ-dãy bởi δn(x) =nφ(nx).
Bất kỳ hàm suy rộng T ∈ D0, tích chập (T ∗ δn)(x) là một hàm C∞
với bất kỳ n cố định, hơn nữa lim
n→∞(T ∗δn) = T.
Xét hai hàm suy rộng S và T trong D0(Rm), choδn(x) là δ-dãy. Khi đó (T ∗δn)(x); (S∗δn)(x) là các hàm C∞ với bất kỳ n cố định. Ta nói rằng tích của T và S, nếu mọi δ-dãy, tích (T ∗δn).(S∗δn) hội tụ trong
D0(Rm) đến một giới hạn độc lập của (δn) khi n→ ∞.
Tuy nhiên định nghĩa này không cho phép tính δ2, đối với hàm liên tục thì định nghĩa trên trùng với phép nhân thông thường.
Sử dụng cả hai quy tắc trên cho ta xây dựng một phép nhân mới các hàm suy rộng.
Xác định không gian V là không gian con của tất cả những hàm (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
C∞ với giá ε tùy ý có tính chất sau: i) φ(x)|x| ≤k0 với |x| → ∞
ii) φ(n)(x)|x| ≤ kn với x → ∞
với k0, k1, ... là những hằng số.
Biểu thị V0 không gian đối ngẫu của V thì quy tắc có thể được biết ngay cả đối với những hàm suy rộng ở trong V0.
Với bất kỳ cặp các hàm suy rộng T, S ∈ V0,∀α, β > 0 và ∀Ψ ∈ D
chúng ta xác định đại lượng như sau:
(S⊗T)(nα,β)(Ψ) = 1 2 Z +∞ −∞ [Sn(β)(x)Tred(x, 1 nα)+Tn(β)(x)Sred(x, 1 nα)]Ψ(x)dx (2.9) trong đó Sn(β)(x) ≡ (S ∗δ(nβ))(x), với δn(β)(x) ≡ nβΦ(nβx) (2.10)
Thấy rằngδn(β) là một δ-dãy với ∀β > 0. Với bất kỳ việc chọn α, β, T, S
và Φ,(S ⊗T)(nα,β)(Ψ) là hoàn toàn xác định.
Định nghĩa 2.3.10. Cho hai hàm suy rộng S và T ∈ V0 mà trên đó tồn tại giới hạn, tích (S ⊗T)(α,β)(Ψ) được xác định như sau:
(S ⊗T)(α,β)(Ψ) ≡ lim
n→∞(S ⊗T)(nα,β)(Ψ) (2.11) Ghi chú. Phép nhân trên thực sự là phép nhân vô hạn những hàm suy rộng, để có một tích nhất định chúng ta phải cố định các giá trị dương α và β và đặc biệt hàm Φ để sử dụng δ-dãy.
Phép nhân ⊗(α,β) ở trên là mở rộng phép nhân thông thường của những hàm liên tục với mọi đại lượng dương α và β.
Định lí 2.3.1. Cho S(x) và T(x) là hai hàm liên tục với giá compact và α và β là một cặp số thực dương bất kỳ. Thì:
i) Tn(β).Sred(x,n1α) hội tụ đều đến S(x).T(x),
ii) ∀Ψ ∈ D ta có (T ⊗S)(α,β)(Ψ) = R−∞+∞T(x)S(x)Ψ(x)dx.
Chứng minh. i) Là hệ quả đơn giản của sự hội tụ đều các hàm
Tn(β)(x) và Sred(x,n1α) đến các hàm liên tục T(x) và S(x) tương ứng với giá compact, chúng ta có thể dễ dàng kiểm tra rằng:
|Tn(β)(x)Sred(x, 1
nα)−T(x)S(x)| <
∀n > n0 cho trước chỉ phụ thuộc và không phụ thuộc vào x. ii) Chứng minh dễ dàng từ phần i)
Thấy rằng tích (S⊗T)(α,β) là phiếm hàm tuyến tính trên D do tính tuyến tính của các tích phân và các tính chất của giới hạn.
Một số ví dụ về tích giữa hàm Delta và các đạo hàm của nó