Chứng minh. Thật vậy, ngược lại chúng ta giả sử rằng tồn tại δ2 ∈ D0(R). Lấy dãy Delta tùy ý (δn), n = 1,2, ..., ta có giới hạn lim
n→∞hδ2n, ψi
luôn tồn tại ∀ψ ∈ D(R). Chọn ψ ∈ D(R) sao cho ψ ≡1 trong lân cận của 0. Thế thì ta có: hδ2n, ψi = Z +∞ −∞ δ2nψdx = Z +∞ −∞ δn2dx
Do sự tồn tại của giới hạn lim
n→∞hδn2, ψi nên có dãy (δn), n = 1,2, ... bị chặn trongL2(R). Mà trong L2(R)thì hình cầu đóng đơn vị là compact yếu nên tồn tại dãy con (δnk), k = 1,2, ... của dãy (δn), n = 1,2, ... hội tụ yếu tới g ∈ L2(R). Bởi vậy ∀ψ ∈ L2(R) thì hg, ψi = lim
k→∞hδnk, ψi, nhưng do ψ ∈ D(R) nên ta lại có lim
k→∞hδnk, ψi = hg, ψi. Điều đó chứng tỏ rằng δ = g ∈ L2(R) dẫn đến mâu thuẫn. Vậy chứng tỏ không tồn tại δ2 theo định nghĩa Mikusinski. Ta cũng có thể kết luận rằng dãy
(δn2), n = 1,2, ... không hội tụ trong D0(R).
Như vậy cách định nghĩa của Mikusinski chưa giải quyết triệt để việc lấy tích hai hàm suy rộng.
2.3.2. Định nghĩa dựa trên khai triển Fourier Với u ∈ D0(Rm) có giá compact, ta đặt:
uˆ(ξ) = hu(x), e−ix.ξi, uˇ(x) = (2π1)mhu(ξ), eiξ.xi
Gọi M(Rm) bao gồm tất cả các cặp (u, v) ∈ D0(Rm)× D0(Rm) sao cho
∀x ∈ Rm, tồn tại một lân cận Ωx của x sao cho: 1.(ωu)ˆ(ψv)ˇkhả tích trên Rm với ∀ω, ψ ∈ D(Ωx), 2. R
Rm(ωu)ˆ(ψv)ˇdx = R
Rm(ψv)ˆ(ωu)ˇdx với ∀ω, ψ ∈ D(Ωx), 3. R
Rm|(ωu)ˆ(ψv)ˇ|dx phụ thuộc liên tục vào ω ∈ D(Ωx),∀ψ ∈ D(Ωx).
Định nghĩa 2.3.3. Nếu u, v ∈ M(Rm), tích của u và v trong D0(Ωx), ký hiệu uv xác định trên Ωx như sau:
huv, ωi =
Z
Rm
(ωu)ˆ(ψv)ˇdx
với mọi ω ∈ D(Ωx) và ψ ∈ D(Ωx) được chọn sao cho ψ(x) = 1 trên supp ω.
Ta có thể kiểm tra định nghĩa trên là hoàn toàn xác định và không phụ thuộc vào việc lựa chọn ψ.
Tuy nhiên định nghĩa này cũng có hạn chế đó là ta không thể lấy tích chẳng hạn là δ2 hay x1δ.
Thật vậy nếu tồn tại δ2, ta lấy x = 0, ω và ψ ∈ D(Ω0) sao cho ω(0) =
ψ(0) = 1 và ψ = 1 trên supp ω ở đây Ω0 là một lân cận của điểm 0.
Giả sử rằng δ2 ∈ M(R) thì (ωδ)ˆ(ψδ)ˇkhả tích trên R. Mặt khác ta lại có (ωδ)ˆ= 1 và (ψδ)ˇ= 21π, chứng tỏ 21π khả tích trên R, điều này là vô lý. Vậy chứng tỏ δ2 không thuộc M(R).
Ta cũng có thể chứng minh không tồn tại x1δ theo cách chứng minh trên. (Xem [11]).
Nhận xét 2.3.1. Giữa định nghĩa (2.3.2) của Mikusinski và định nghĩa (2.3.3) bằng khai triển Fourier có sự tương thích với nhau. Ta có nếu u, v ∈ D0(Rm) và tồn tại tích u.v theo định nghĩa (2.3.2) thì cũng tồn tại theo định nghĩa (2.3.3) với mọi dãy Delta sao cho δn(x) ≥ 0
và hai tích đó bằng nhau.
Mặc dù ở trên các nhà toán học đã cố gắng xây dựng những định nghĩa cho tích hai hàm suy rộng. Các cách đó là tự nhiên nhưng rõ ràng là chưa giải quyết triệt để vấn đề tích của hai hàm suy rộng. Vẫn có những nghịch lý trong việc lấy tích hai hàm suy rộng. Chẳng hạn, ta có x1.x= 1 và x.δ = 0 trong D0(Ω). Nếu ta áp dụng nó trong D(Ω)
ta sẽ có:
Một ví dụ khác về hàm Heaviside H(x). Ta biết rằng Hn = H, n = 1,2, ... do đó H = H2 = H3. Từ đó ta có H0 = 2H.H0 = 3H2.H0 = 3H.H0, do đó H0 = 2H.H0 = 0 ⇒ H0 = δ trong D0(R).
2.3.3. Định nghĩa của ColombeauVới q = 1,2, ... đặt: