17 1514 11 12 13 16 19 18 20 10 9457321 27 30 26 28 29 34 31 33 37 38 39 35 32 36 2225 21 23 24 B GIO DC V O TO B GIO DC V O TO p thỡ taú cú hmi eR hn cú Do ú, vi hm >' Cho p>rng chn jớ.hiu =),ta).max itp + rng 1, +Kd1} ta l mt hm suy Cho J)E vi th Vi u e >'(r), cú giỏ t: TRNG I HC z q H E NI C n g m i n h t ( t ) = ( t ) vi e D(R") ta cú ( , ) ( * ) ( x Do < a t /( ) = ( ) = S dng cụng thc Leibniz ta cú suy nh -n Trong V ngha vi Ê ú mi 3.7 vi khụng Vi , compact V mi cú tng tớch ta s ký R no hiu l , f cỏc bờn ( x Ê phn ) ( trỏi ỡ = ) l O t õy ( i e ) hp din tn tt ti, ca c nhng cỏc hm u Ngoi trờn s : ny ta , ỡ cng ) cũn cú CTớnh hKhai hh g m i n h Gi s rng ti ụ e X>'(R) Ly dóy Delta tựy ý (ỏ), n = Nhỡn mt cỏch trc quan, dóy ( ) , n = 1,2, nh l mt dóy tin ti hm cht 2.2 ViTớch i p e X>(R ); / ,jgesuy (ớt nht mt hm suy rng cú giỏ n1 3.3 hai hm Colombeau theo cỏch ca p rng l Do W l li TRNG nờn I HC s PHM H NI bc p kh tớch trờn X , ngha l I f ( x ) \ L vi X(R) E K Khi K =hm { vy, (ký ,cp phiu )eatrong lp kh tớch phng L R mi e o ca suy rng u ja c v 1Núl ic nathm K jx2ụ+ 1hm fxdng K H cỏctrong na chun Pnh Nú,viviN =hin 1hm , rng suy , xc ỏrng cbit + b l l ca A & => Tht vi A l ta |(|x| }-n (e = cụng xõy cỏc khỏi mi, cng m cỏc khỏi Vớjs d V lim ú adcú \ó'e_ \= -= -)C(R"), aquan )./)u L.Schwartz ó m cỏnh trng cho hc nu i, l bi n (1trờn h2.8 amt yMikusinski ysupp C c(d )ca u \(A uq2anu ,,)u jae }h \luụn ay j,- \ > sup \trong Dcompact j=(trng xthuc )nim \ Vphỏt >Chn \trờn trờn j ( xToỏn )X, \0T m ta chng minh /l e.ỳng thỡ /)v = s Tht vy, /cú l thỡ vi Athỡ (l u ,hm vvi 0, csup Vngha (trin K )D cú: n = cú Ta c{ngha xõy dng cho ( iu ú cú u c ú ta (, C(R") v j=i mang Vit / = cho Ê(") ý M thỡ ( compact , n X ) tựy ý, khụng Vit nờn lp / X = gian c thỡ cỏc z R" e hm theo ú suy ú ỏnh X ta rng x Ê(f) trờn th X>'(R) l l nh khụng phộp 1,2, ta cú gii hn lim ) tn ti v> e X>(R) e X>(R) Delta Dirac ti gc ca R Trong hp ta phi nh ngha thờm ô (ớ) = ,ô (i) = v vi mi Ê nh ktoo compact) thỡ ta cú: & , A l phn bự C hMnh nNghiờn g h( _ *lýTp Ta chcỏc cnschng minh vi thng nL.Schwartz, = Xột toỏn t tuyn tớnh liờntp tccỏc s 3.6 phc thụng cúcỏc th nhỳng c vo cu ( '(R), luụn cú mt h cỏc nguyờn hm suy rng m hai nguyờn hm h sai khỏc 3.1 M u 24 1=1 dSau XA (lne \0 x \tha nh 1) 1=1 x }cú tớnh d {cht x (lnca |ổ| 1)} *X + X (ln |x| 1) A{mi ,Heaviside nằ00 (2TT) A & ,ca V nvc Tht vy, vi n ta^(R") taNbi nim ó cú nhn cỏc v)Wi )cỏc Vi Vớtrong detp 2.5 Hm xỏc lnh phng trỡnh o hm riờng tuyn ú, L.Schwartz ó -khỏc +ta SiWi E(K) -minh 5i + Wi nh bi P=> N (nõy, K(vo )nmt = max {|ụ/(:r)| :11 X e(1 K ,=hiu |a| N.nghiờn }=(lýWi c úthuyt cht: cỏc im compact cú st Nsuy e,c cho V c Êký Anh N N II/IIl, 11 /cng *,= (/ \tớnh (0\ớta dỡ ra, I ,( U/hm 2xu Ê(R ) t thỡ khỏc, athay b d nH g ỏ h x < / d x = ( ) ( |x| ] = sup ) \ \ d x \ Mt ta li cú Tht rng theo cỏch ca Mikusinski cúhai = vy, vi Q , = R, V e T ( Q ) ta cú = + X Núi cỏch khỏc d xỏc nh mt ỏnh x 3.3.1 Hm suy rng Colombeau < + 0 , V f c = , , (z) hm suy rng mt s trng hp x || 1) x } = { x (ln || 1)} X + d { x (ln || 1)} hng tiờn dn ti n -> oo vỡ th ~) sup Au )r{ (ln TO J R < R / |/(^)l | (^)l^ R < sup | (rc)| \ f ( x J ) \ d x \ J ' ( 29 2c v S c h k h i t m i t p c o m / l/(z)l(z)l p a c t ỡ , c ú m t s n g u y n k h ụ n g õ m v m t s DoX ú ta cú Trc tiờn, ta ikh tỡm hiu v hm suy rng Colombeau (ci) (V u) tớch trờn R vi mi U }nờn ,núi mkt >tauii ecú V )L.Schwartz ,suyrng Nu u-> cú suppu l compact D thỡ ta l cú giỏ compact 2hm ,mt (món ú, n xsuy vic ly tớch hai hm suy rng tng quỏt Trong lun cho rng khụng :n R c gi l mt c h u n trờn X nu nú tha cỏc iu kin sau: ( A ) l h m c cỏc phn t ri ca /r(ớớ) l khụng gian Frechet Hp tt x e R , n e N Do s tn ti ca gii hn lim ( , ) dóy (), n = , , b chn J K Ê ( è ) / X ( è ) l mt i s v cng c gi l s hm rng Colombeau trờn ớỡ t1 n t i j e N* s a o c h o s n p p i K j v i l e N* v -> t r o n g V ( J l )0., Lý ti nh ỏnh ngha Hn 2.4 na, Cho nu ớỡ, e o v thỡ ' ( ỡ ) ( Ta núi ) hm suy rng ( e ) c ú Ê cp -> 0, hu nờn hn trờn z = nu a i chn 2{ f _JVl a1 2)zK a= i)q N i suy M xi K ( y ) , { ( x ) , ( x + y ) ) ) = ( y , h ( y ) = f ( y ) h ( y ) d y ~ / X ( x ) d x , < j < f s { , x ) = { ụ ( y ) , ( y x ) ) ( ) v l K ng thi d 1.4 i,Gi dh 2(khụng 1bE , xn)(nhiu ệ (e2) ) v dX+TH uw 2d {gian Ve ,2xmetric ) cú = ogiỏ { ecompact) ~mt )( vi N itrong no Kin thc chun Tớnh cht /,ugw eU X>'(R"), nht mt suy khụng thỡ T ú ta{2.3 chn (iH^i) {=& 2W thỡ xhm e -rng Vu\(\x Vy T l tụpụ NGUYN NH n 2n nằ-oo nh ngha s gian nh chun l khụng y vi khong 3.3.2 S Colombeau 37 ế H , ) = (-1) { H , d LI ) LI = CAM CM d ( ) OAN d N x = ) 12 = ( ) = { , ) , Trong vt lý lng t ta thy cn ỏnh giỏ tớnh t l chuyn ca tng tỏc ht int c : Vy || l mt hm suy rng -'R" * l hm chn Ta s i chng ng s a o ll/lliằ )cỏc -> lim fa=(k C(R J(M =NGUYN lim / xfmón (vi xminh eNH t ) khp (U t )] d, tni Ac h o = v11/11 v(R E ,Rằ d ) fnRtớch pRdmcú {x ))nphi l/(^)I T > ( ỡ , ( ) = hay ta iu chng ly hai hm suy rng bt m tho cụng thc Leibniz v o hm ca ( i p m( ( x ) >0 Va: e X , x )ly : ) -> (R") cỏc khụng gian ú li ta cú khụng gian hm th 3.3.1 Hm suy Colombeau Do n Nờn hú l Mnh c chng 3.trong Nhim v cu chng Mi hm /cho erng Lmt Leibniz ,=Q)núi lmt mt hm suy rng xỏc nh sau: 3Vớ cg d > 2angha 0, kM nghiờn N o( c( Trong ny, ta trỡnh >0 by s >cú Icú c bn lý suy rng nh 3.2 (Mikusinski) Ta rng 5c v Tthc ly tớch Snh vi Tthuyt nu vi mi dóy Delta lim (//) ,Q xD )khỏi ={chỳng kin 00bn (_hm xÊjvf(R") + yis ei l (c y )i dhai ybi ú Do ú, theo cụng ta s ca Ê(R") Tuy 1.1 Mt s thut ng v lú ,(nim x )))rX ,0Ê.-suy V^P(R) Z/ èthc 2minh (K) thỡ hỡnh n v l yu nờn tn ti Nhn xột 3.2 Ta thy rng (ca cu èhm 0(0) mi phộp ly phõn Dluụn v cụng D(2) (K) Hin ò(xbi l c s Gi s compact i),th l phn t tựy ýhm ca x>(f) thc Vi 2tớch n) 2vi nl Trong Toỏn hc, toỏn o cỏc mt toỏn ph bin nhiờn ta - 1v 1liờn cỏch p ( x , y )nhiờn = II y)||) Khi c gi l mt k h ụ n g g i a n n h c h u n 3.3.3 Vớ hai hm rng Colombeau theo cỏch xỏc v=d v \ f ( y ) h ( y ) \ < c \ \ g \ \ \ f ( y \ Do ú ( f ( y ) ( g ( x ) , ( x + y ) } ) tn ti nờn Vn xỏc nh tớch cỏc hm suy rng cng h cht ch vi chun húa Lv itỡm Ta cũn chng minh c e (M ) cú dng ) + T minh s hng th hai phi hi t ti ' ( ) Tht vy, ta cú: ( f * g ) * h T > ' _ lim ( f * g ) * ( h * P L ) = T > ' _ lim f * ( g * ( h n / ^ + I e ( l ) , zi = ặ ~ - k Ơ < x > A ) v Ta thy h ( L j ), < j ' < q c lp tuyn tớnh, 'R ú vi mi cú mt khụng gian Trong chng ta ó nghiờn cu v khụng gian hm suy rng Schwartz v cú c avo a e cỏc p Hm suy rng Colombeau ( Q suy rng) trờn M / |(cu) (V u) I d x ph thuc liờn tc 00 X>(2 ),VV> x>(ớớa;) mt tớch Tuy nhiờn rt nhiu ng dng cn ly tớch hai hm suy rng Rt nhiu nh Toỏn pd Rm (i-> xngha ) (/,=Vi 0{X =t Jphm 6)f ((R) c.unoK nh/=c bti uúú cmt htca , suy rng u nu o hm suy rng u l u ngha l d u nn Hm rng / e mt phim hm liờn tc trờn khụng gian X>(R") m Jfljn cp nh ca lý 2.3 hm C suy h o / rng (2), u ' K ( Q ) v a l a h s t y ý i avỡ - ( Q ) d { x khụng (ln gian 1)} hm th t s f u i ) n c t i X o ) z toỏn tuyn tớnh liờn tc trờn X>'(R) Mt khỏc ta li cú X>"(R) = tham kho [ ] 3.4 Ta gi phn t u Ê Ê(R ) n u l l nu mi compact K c R v mi toỏn C s ca nh ngha 3.2 l lim n = X>'(K ) ú lim ( s * n ) = s k rng t o o theo cỏch ca Mikusinski T ú m hng xõy dng khụng gian cỏc hm suy rng Ctrong h n g m i n h chng minh iu kin ta ch cn chng minh tớnh liờn tc ú a = * ( x ) , nờn a ~ = * [(-)Ê-] = x ( S * s ~ ) + ( x n ) * , thụng thng n n n n tớch ca hai hm suy rng bt k Mikusinski ó a mt cỏch xỏc nh tớch hai hm suy S p ( x ) c gi l chun (hay di) ca vect p ( x ) , thụng thng ta kớ hiu ||z;|| ỳTheo nchp g Trong hnh ca u quỏ kc h hm trỡnh pca nsuy nghiờn li iprng trờn cu Xnrng lun nu tớnh vn, cht tụi ó úk ỳng tha thnh qu khoa Xrng hc ngoi ca tr mt ngha hm suy Colombeau thỡ miakhp hmni Q -trờn suygiỳp lvmt lp Tỏc gi xin gi cm chõn thnh ti TS Ngc Trớ S hng nT 2n Tớch hai nằ00 > 0 2.1.1 nh ngha Ta thy X>(Q) = u T > (Q), nờn V ( p , ) l khụng gian vect, ú cũn l khụng r n g k h i v c h k h i Trong úTrong t.em =R" (hh.Trc ,Ta tphm , s i.chng , tKt2ht, )vi e nghiờn R", anhng = (ai,a , tvỡt r= (ớ" , , " " ) Ta cú th Ti i tng v cu v , ,a n ) N 1.5 Khụng gian L cú hin tng im X ta n s Colombeau (hay cũn phc gkhụng n /cú Tht vy, Alun i>a ta cú C(R") tC rquyt ohE nliu gplý V (cỏc Q )Vt nhm cp2)kh ,nvụ uminh {cú s i }giỏ ^núi !Ê(") (2.1) mt d óÊ yTa Ccng aõy udng c hcú yG n geli Tú (nờn Qrng )x t htuyn ỡgi nl ts = i hm jz 44 G9 nh ngha 1.5 Mt khụng gian Frechet l khụng gian vect phng, kh metric Kký aigian khụng gian =1 vi compact chỳng ta cú ỏnh tớnh tham kho Vy chng Nu t cú s tn t nhiờn khn no nh ngha cú 3.2 vi s th oV no kt thỡ ta rng gi l b Hm suy rng L (Tti xbjlý Colombeau ,ú quyt )theo trờn m oo R" ; cú nh Ênkhụng c hiu bi minh utrin -ne.smt zN* nu s qx()i N, A n ta cú lim (tetớch v lim T *dkhụng chng )hm =l tn ti rng k( Êcụng =núi 1)2, qtham M z,\dng t vi phõn c ú mt s N v ò ec rphn cho M q >2) N , em A q ta cú Colombeau v sau ú cỏch lm ca Mikusinski xỏc nh c th ca hai ca ti gc, ngha nu dóy ^(ớ) V _ lim ! j = lim { u , j ) = 0, S dng thc khai Taylor ta Mnh 2.1 Mi suy rng u X>'(R) u cú nguyờn hm suy rng rừ nu V 1>V ii(K) thỡ * = (x-i) * + * Nờn A ta cú rng v cỏch ny ó gii c mt nhõn hai hm suy rng Khi gia thay cho p ( x ) Khụng gian vect X cựng vi chun II II nú c gi l mt cú o khụng no ca X tng ng i s iu (R") Trong mc nymt chỳng talýgiỳp ssau tỡm biuhydin ca cỏc gian vect li a phng ny c th hin qua nh cú: R cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit dn tn tỡnh thy sut quỏ ó tỏc gi trng thnh hn Trong lý thuyt ca mỡnh, Schwartz ó0{n a khng lhm khụng xõy 71ằ00 3lun ù ovng o Ej -() 1q D { qj+trỡnh -1 )lm : \nim \ \ < \ \c - bn \ \ }nh 1.1 Mt ng khỏi thy rng A lpca D.s 2thut D A A Hn na ta cú: 2.1 Mi phim =cỏc (.Ơ>J lv )tớch -ằd\ ochp tuyn tớnh tc visuy tụpụ trờn D(fi) c nh ngha (cú Cho u , v ohm ca hai hm rng u , v lthụng mt JL (v p: fV \3X>'(R) qt r+1 vt lý m takhụng th toỏn hc húa mt cỏch chớnh xỏc bng mt hm suy rng) t liờn v N* s a o c h o h i t t r n g T > K (ớỡ) ú h i t o n g x>(ớ) v y Khi ú L x , i ) l hp lp tng ng (ngha l bng hu khp ni) dóy suy ( rng ) , n = 1,2, cp khụng vụ hi hn t trờn (ii) Theo A n t o s i k : cho L j,rng ((iX /tỏc jlý )thuyt =)ta .hfjiu kla ])hc ,nsuy ksau = 1,2, t chn Colombeau qchng t = ỡ[3], px o) [4], ,=suy takhụng cú Lgi jgian (v l >) = hm j Q -hay Khụng gian hm suy rng 12 kú hm suy Cỏc kin tham kho [cũn 6rng ],iu [7] [9] i tng: rng v vic tớch hai Mnh Tng t, ta cng c cỏc liờn nhm (2)Do cú aj=X^ớớx) -suy ad ~ac =Schwartz x (nu S *.=sly ~ Mnh 3.2 pminh N p n(X, nghiờn cu, ó chn xem ly hai rng vo thỡ knh ụmi n {thy j+3.4 nR = n u ny n kớ thy II thit II) chng minh C c cho ihm trờn Hm /tớch gi nh fg s.gi -l () hm xcgtthc rng ta ec\hin at-t )0trung ó (trờn u (ihiu ,-ằ xcỏch )gi o){duy ev ^ tớch -nht ,hay lý 1.3 K ụ0 ntrờn gmi i (asuy cng m tmi h =xột x>(f) l Khng )(ln m thm k h1 ụsuy ny g+U gsuppc i + akin n Iv v+cn ehm t nu ụtrong p(3.7) ụ suy l ei vhm m ibit d:< órng ytrong } (R h i{o 2cn tpnmt 0ỏd,vn kvn h)A jE1 oo rt nhiu cỏch tip dng mt ca cỏc hm mt y nh c th Cvi hhlim iVic n ggu m ixpean h}{ ngha Vi eic\rng C^(R) t Ta jth (tng vi u l Hn na, z) x (ln x \ ) } d { x |ổ| )} j * ( 1) mt =Va giKý l mt hm suy rng hm suy rng Schwartz Khụng hm suy rng fằ cxỏc phim hm tớnh, ký hiu u *D(2) V, bi: thỡ w egi òó v 1m gian lt 2x=hay +c Sn{%) Suy mi im l x>(f) tụpụ r thng bit Chng hn nh vic tớch p(thy mt t im Êtuyn l tt hm t A iv:enin ti D rng Êthỡ lcp mt khụng M tKhụng hhiu i = mgin, hv ra)(rc) ttp u yic a n ớLebesgue nd h A :0, -ằ l(nh iRl nc ú cGcp h.úng is vnu ttrong ccỏc hngun kA h i vit vs) ktheo iti mP mt ( X i qớ j)trờn GNu N 3o -i 9kLebesgue + 1ugian )! > 01 ,R Ê'mt , Vtcú n Nca 1eq Khi Xpddự l mt o ,ớnc o ta L gian t ) Ta n mi phn ta núi rng hm (wvo acỏc 1, suy !nhau rng ,an) l ớờx mt ỡrng ) nch kMikusinski (hay nú a ch trờn csc( 7ti (3-8) / Rn 2.1 ( x ) x cú /th x ( x = 12, ( , x ) u ( ) , ú tỡm hiu phng phỏp xỏc nh tớch hai suy ca v cỏc liờn rng trờn mtra nh R tng t nhhon nh ngha trờn R nm Khi Q, =ph R thỡ ta cúvo nh ngha 1trờn n2015 nh dung aTa hkhi Khụng n gchng, Ê 1.4 ni nh lý sau: cỏc cú kim ngha xỏc la H Ni, 06 vỡ lh1ụgian )xmt hiu l tt talo dựng phn ngha l gi s compact vi mi úxthuc Z+ ta u j= z Êp-> 0th u trờn K Chuyờn hiu cỏc null Ê(R )nl I.tp lý 3.1 Kixin n gTa gt iký nm c m k0 nfTa ithỏng vh< ụnh u nmi tCo ờhm R" crng he c n, vhcỏc ỳ(vic nH vNi o Tỏc gi cng by lũng bit ti giỏm hiu trng i phm lý 1.1 G sminh thỡ Xs llim arng tỏ(R ktp hh{ụn nth g= gphn ihBan aton v cMó n2, :rkhụng V i46 m Dirac ihc ,eytS X xut tgcú Va chm :cú :gii (t xlý )nký ahca }pAnh v C5 +A 2hiu 3.1 M u c kớ Vi suy ' )uX 2.1.2 o hm suy b) Bõy gi ta chng cỏc phộp toỏn trờn v ( ) liờn tc vi tụpụ T Vi mi ngnh : Toỏn tớch so 60 01 02 Chớnh t hin tng nm 1926, nh vt ngi l Paul ó khỏi vect v (*"} l mt =, i = t n t i N j e N v h n g s C j > s a o c h o VI bLC |q| Oớ CH 2ny 1" I" cu Suy { x (ln |x| 1)} X = Pvo X = [ a , ] c R , l o Lebesgue thỡ ta vit L ( a , b ) hoc L j v nu = 1,2, Vy mnh c chng minh ( u * V , ) = ( u ( y ) , ( v ( x ) , { x + y ) ) ) , e D(R ) 2.1.1 nh ngha 12 Tng t, mi / Ê L ( Ê L ) cng l mt hm suy rng (iii) Theo I t a n o : nhng nh ngha cho tớch hai hm suy rng Cỏc cỏch ú l t nhiờn nhng Vớ d 2.6 Mi hm suy rng e L (2) u cú cp hm suy rng C h n g m i n h Gi s tn ti G A q Ta cú bin i Fourier ca ( t ) : u (h ,Qn*Vi X-gg)suy Jrụng )f(tip y) -cn dyy.)xột n =fớch quan mc cu hckhụng hin i, di s nh nờn (/ )=m (x) /(Rn y(R" (nhn tx )-mt dhng y xỏc nh, hm (3.1) ca Ka iToỏn (ớớ) l Frechet chn I pTa sau v trờn sup =,T +ngnh 00 Trong ú 0nrng ~(fi) IMIc*(fi) Trong gian X>'(Q) cú: p ( x , y ) = IK* y ) II nh ngha gi Ê o l t ụ n h ũ a Ê o nu cú s nguyờn dng cha gii quyt trit tớch hai hm suy rng Chng hn, ta X = Mt khỏc, + 00 L.Schwartz ó a mt nh ngha tớch hai hm suy rng da trờn khai trin sup \ x d ( x ) hng v hng dn ca TS T Ngc Trớ, tụi ó la chn ti Cỏch xỏc nh tớch cỏc Vớ d 2.7 Trờn R xột hm suy rng xỏc nh nh sau , _ , _ , _ Trc ht, vi X e R ta xột phộp tnh tin xỏc nh bi Vi Chỳ > e ý X>(R"), rng Ê ta > cú , th ta t coi ( C(R) t ) c Êm(K) Ta thy nh rng l > mt e A khụng e A gian Ta ký sup |((^>)| < C j sup { \ ( ) \ : |a| < N j } (1-4) E q E q Chỳ ý 2.2.1 (i) u * = * u = u vi mi u X>'(R") Tht vy, ta cú cú giỏ compact VớuTuy d 2.2 (Hm Hm Dirac ký hiu 5b, )ca " ^ \ "c y tr x phc a ) xỏc = nh l.a = 0 , cho = f tn iu ti vi ny a ch s a Giỏ Nu hm = thỡ tc / : thy rng Co < t c Tht vy, u , u = + N ( ) = ^(0), V^I thỡ Ê Ê ztớch n = ( x ) tt f ( x ) l hm o c Khi ú phõn Lebesgue hm f ( x ) trờn o c A 2ớỡ (/ /) ( s , ) = ( e ) , e -> trờn K p 2.1.3 Cp ca suy rng 16 cho N 0trong (|| QCÊ(fi), T Q )Ê cú: Fourier Tuy nhiờn, cỏch nh cúv hn th ly tớch hay {ỏp s(,dng xv)ny h fu ytt e~ (x)+ -)-l x=)thc d(ta yT nh 1.6 C ỏktin c'Mikusinski hbin ụ) nta gNu gcú i supp atanngha L( -)jR i=X cnú n cEnghip hch o(y> bkhụng i-ằ ||/|| P n h Trong ký t(Êớo) cho w(0) = T p ( Q ) = vChn th n g c L e i b n z d ( a b ) d ( a b + b t h t h ỡ t a c ú (||) / X , { ( y ), x ) , ( x + y ))) = ( u ( y ) ) = ( u , ) X^K), n = , , v J ) d x ú ta cú: 00 ^ R ( n ) ( t ) = X ) hiu u nh n P j < 0i j , j = , , n Nu /3 < a ta vit: ( d chng õy K suy 5vAbng 0(Hm compact tớnh ta khụng hiu xõy Vl l et Cn ^) i c Kdng J= (){xj )rng dÊ ftrong x)khụng ,nh ({th xhfthng )dvjhoc / Mjftớnh xgi )n,dhp ){/ U ,I-ằ fl ny (hm { R", ( dkhụng jrng ftz)Jt (ký =dớchun U /(ờ)lxncon 1.2 Dóy X c l X osupp/ i hai X 'õkphộp WkWc^n) nh 3.5 suy Colombeau) s (fkh R ,hi ký hiu cho eh qn=pghthỡ lim n:thun =l hay u CoP ộl pngha lmt qu yTa ikhụng nhMõu (nx z)d+mt asuy y i nx)x)tvn n trỡnh +ihm ờ(Ê n ttp /)i cumt t)s rcht D(2) v0(R") i: tớch m (hoc 18 2.2 Phng phỏp tớch hai v ahoc cng rng gian ca Ênh mt cp quy tminh rhờmt nkt lc n ụcu gtrong inp a~ n)Mgcú B ctheo, hgian vi l hm th Tht ụng vy, ta Tip xrng quan, X>(R") v cỏch liờn tc xỏc mi v hm nh nh cng iu tng t vi vect (uubng lun ,bit ú /d2by a Thu thp nghiờn cỏc ti liu liờn bỏo mi v tớch /nờn (ngha xcú + esuy tx>'(f2) )Vớ rng (thy te->0 dX>(Q) tgca v (gian asuy encú ,do )- = /ERn,xỏc gc ()nờn xcon +s el tphỏp )cỏc ,mt (S t-bi )c dn ndng t ,ờvi nhng nhỡn chung Vi t2.1.1 v v v )tớch ta R n fô c cỏc ( ) = 1, e M" Mt khỏc, Ê A q , q = , n X>(K") v vi Chỳ ý l khụng vi cỏc phộp toỏn xõy dng trờn nh nh khỏc hai hm suy rng phng s dóy Delta v cho tin thỏng 06 nm 2015 Mt vớ =d khỏc vnờn hm Heaviside ( xfH )xR xNi, H =cúnh H Vt n ={ uvy, ,t2(pvỡR) ,do ^(rc) eVớ vi mi hm suy rng th,rng ) (3.2) =G nTa xta Gớlo (), suppVjfc Êau ,e'(K), )rng dmón t ton 3.2 hm rng Mikusinski a(u An=l X K tha nhn cỏc b s ú cụng n1" ga23'(R) id nm v Trc ht, thy xỏc /mt n )suy = /*Ơ> = (trờn P n(ớ', -tHC ) Sau ta s xột mt s tớnh ca quan (.fhm dhai utp ,* :thc ) -tt )Colombeau W (h ,)trờn dc )tha ,d V (2.2) nu LUN THC S Q c gi l i s suy rng Mi phn t gi l cC h).ớ skhỏc 2.2.1 rng lim (h (*tớch cỏc (sau cht )/i,J(Leibniz =cht, V(0) \t ÊA VX (ú RG )Tht nc Tớch hai rng fVN (ỏnh x) + Êucỏc tc gyphn ()x= +-TON Êtng t ()(xn () )) d,)t n )l )hm vi m Ký hiu U ( J l hp c , ) e thuc l ớỡ cho Mt 18 A A A hm ca Mikusinski v cỏc tớnh vớ ng T cho thy s phỏt Rằ hm suy rng lý c chng minh 00 n nh ngha 3.9 Ta ký hiu Xo l hp tt c cỏc phn t G Ê tha tớnh cht: Ơ 00 \ \ x / /2 hp cú dng + w vi e >(2) v w e /3 mi m = 1,2, c > cho sau: 3p (2.5) qua gii B < r, coitrờn ta c cú ^) c), C(R) 0(R Tip cng , uMt ) khỏc uta eR), +AV00 Q ( i p y = >'(R) v cú (v u J= Rằ =^ {c^ (, j )li ,y).)cú evằ C(c) ^ (theo u ) A)H3.1 Khi ú u.m th etớch X>'(R) ú( (c H =Cho T ú ta cú: o, 'Nh =i (.nvy, t)2hn pnờn )taH kh R =( ta 1a ,a)cú v n\ { a v _ lim = , , ) \ > * /() Vfc = x(R )( H-ằ ) Mt + ) ( f) Q , ) = dkh ( C(R = e ) khỏc, f ( x ) , Ê 2TT CV h n g m i n h Tht vy, ta cú: ( , u ( , X ) )TS )v> dgTa xMikusinski nn mi Colombeau phõn bit vi hm rng thụng ta21 lim ||x Xoll ={b ca du i(Nu fngha i rng ffTrong c(fỡ) th ỡ, n xvic Z (xdn :tn !-> fhm c(suy x,suy n I= uiColombeau yvi }Trớ tc ớ\n=h=thng lZ i ờign t N cA tur -ớ' ờzs n 2.2.2 cht ehm msuy )yu ú, cú compact (esuy x )l dQrng (supp xecTớnh )ýR", (R )., Z 3=0 Mnh 3.7 Nu usuy Z _trờn -* ,Vg 00 cho u\ng i\nht Zt1 Nu trin ca v xõy dng i s rng z (ngha z z hi n hm eV húa hai {} v { N ,)Ido '(/.*l.sup ixkhoa /3 Êngha A qngha ta cú )jthỡ =dóy 0{jta (cn ecú ò)=+ớ (.XV, icompact ~= )T nh Ê TO Ta chng T Ê>(2) v l mt c s lõn ca -00 t Phộp Vi mi , chng T > ' ( ỡ ) ta u + v nh sau: { ) = 2-dóy hay lim in') ( n ) ' tớch trờn R, ny l vụ lý Vy t M(M) cú th c coi l ca (R") {iu Ssuy *ò U ,l ( (mt > )bt =*tụpụ { S ( y ) , { u ( x ) , + y ) } } = { u ( x ) , ( x ) ) = u , 71ằ00 ) (^) d , Tớch hai hm rng k nh ngha 3.1 Mt dóy (C(R") nu cú chỳng 1.-d mt din dóy ca gian cỏc ndz x X =sao |x| xTht (|x|) |x|biu +hc xoo rng denu (|x|) Vi ngha nh trờn thỡ Toỏn Vt ó gii V Ta cú th ti ^ 5VDo theo cỏch nh ngha trờn Khi ú, hiu Vi moi w Gnh 5hm 0'T cho Khi G -2vy, Wtõ =II011 t mi = 77 \l w 3l Tht vy, *)'tai ,/luminh V 2e >|x|) Êckhụng v )vn Ê)+ ch cn chng tn ti wdo Êchng \ )Tmi Jntheo oo Jvi ', -, Trong ú u (vi )) Vỡ kh vi hn jVi Xhm c nh cúkhụng M supp^ -x{V compact R Do ú .= l mt suy (gi hm suy rng Dirac ( hcng ,chỳng )gta V, , G >tn u5cú ỡ|(iớ, ú + V ev T >D(2) 'minh (lýQ )Do Ta -nu 2.fta(vụ Xth C nú m n h v ( ỡ nờn ^)| , e ú Vy nờn u/+ *cs\ px{iK = = u vi r k pe X>'(K") p< C r 1) Delta tha món: 1 " f X j ^ \ 00 theo ; im hay hm Delta Dirac) Phộp nhõn vi phn t vụ hng: Vi mi e v ' ( ) v mi s ta nh ngha X u (nờn ^n) ) , hp = l (, t ( ) = e( ~ ) Li(R).Tht ú ( li )ngha = 1Khụng , (X * * nPP0 (71ằ00 - *;J/,-Rằ )Sg- n> 1.5 suy (ii)Ttp nh tớch chp trờn cng vi v cõn tagian cú (lim ca ^ hai w vy, vi x Q( hoc x Xmun Q , n > oo n = X ^jKôj P j e Bõy gi chỳng ta nh ngha tớch aVb n g ỏ n h x ci\,ó tng ng (K") iu mõu Mnh ligian cõu hi ú 2nm Cui vo khong hm suy cho {ngha ,.Êjiớ compact ) }tựy (nú, )nhng 1980, nờn rng (khụng tr )= {cho xV hai eny :lm ((R") suy ,) \T {U ,{ ) Vy Igỡ \a d(thun? ) \ (.)d = (3.11) z nhiờn z =h zra Mt khỏc A ta dxphi (nu |ổ|) 2Êcỏch |ổ| Suy (,=X ||) 2/= dcú \nh T ú dn c l phi m khỏi nim cú lp hm mi luụn th ly rng khụng lỳc no thc hin V (cỏc -> eD(M) Vi mi a a=mt ta1,2 nh ngha Cho *th Ufc=0 (l T J.F.Colombeau ),0s lnu , nhng da Ta núi rng dóy hi t) nh ngha 2.2 Cho kxõy Vdng 'mi Q=> trờn )'((ch suy rng vỡ2.5 fcompact i cú khụng s,v hm th /n+cú ecỏch X>(R 03.1 l mt s X, ngha l h ca X cho: d u , y ) + ( U , p ) Beurling, Romieu Cỏch ca vo cỏch tip cn ban u ngha hm suy rng Colombeau M bng dựng u{) thay cho X v / l phn t biu din / ó theo nh lýnhng Th thỡmi t 1,2 a cnh úDo / hm + x =Dirac Vic chng minh c suy x+cho \t :sÊ nh V ((R R )bit ngha ucỏc n c nc o hm bao hm hm T ([I) == 0tp gi ta xột hm k / Bõy Suy G Êcỏc (R ),K ú 1sao ) Colombeau (hay s phc suy rng Chn compact cnhng cho ly ,gv(tớch i e3.2 Tx.> K T > K/ +nxWtrong mú trong (M") I-ằ +y,) d x= 0gian X>'(R) cxkhụng e*ta ~nhõn < jgm ,phn ta chn E j/ta cho hm kh pca tớch trờn X vi Mnh 3.1 Trong X>'(R) khụng th theo nh ngha d mi K c, ktrong hl ()= yliờn ) = J xu) thỡ ( + ,ta cú acho a ( 3.2 chỳng cú phộp vi t vụ hng tc V ( J l ) theo tụpụ T iu trin ny c v bit, cho ) l ^ vit = X tt R / ( p |Ê| ( s d || s -> oo t (3.5) ) -ằ iu Trong [7] ta ó bit rng + oo \ n x>'(f ) -ằ oo nu sup / f ta ( x s+ xột Êpt )mt d u) (cỏch t ) d t=nh < sup \ f ( x + y ) \ / \ d ( t ) d t \ Sau õy chỳng ngha tớch hai hm suy rng da trờn khai ( * (z) u ( y ) , p ( x y ) } , X T K kt 2( ) \ -ỏnh x u z Co = caxmnh I-ằz'(R) ) \cú=th >nh Px,ngha \) =X mt Vi u khụng =qu ^ thỡ ^~ = 1= X, |rc| (ln |ổ|) qle eVy s ;ukhụng pgp Rfl ntụpụ , ( xeR chng t thun gian th vG( R )j \y1)l gian v ny mõu fXcỏc (( x )) hm =XlX,(ln V x.X chng t vect rng A =hn 0(R),na cũn l khụng X vi Fourier T { x ) { x ) = X ie[0;l] haiphi hmk suy rng bt k (9ằ)(ớSi) ( (Ê-"), lim (, ) = = trờn ,k (3.4) (3.6) =1) , e v ' { n ) v ( p * u ) ( X ) l mt hm kh vi vụ hn R" nờn tn ti > , i = , cho u z \ - z Tuy nhiờn, ỏnh x ú khụng phi l phộp chiu Tht vy, = 1ly u C; u = + n Mc lc k 00 00 M U Chng 12 Kin Khụng gian hm suy rng Chng thc Chng Cỏch xỏc nh tớch hai Schwartz chun bi rng theo Mikusinski hm suy - + - 00 J 00 A 00 L \a\h p h õ n , NXB ip(s ) phộp t ( t )ly d t dtớch s iphõn =0 Vi : = , , , 2r v chỳng ta ó thay i th t ca vớ d minh cho phng phỏp ny Ngoi lun cũn xem xột vớ d c th cho Giỏo dc t L Jt, dựng s = (quy t tc s ) vphộp ta cú: Tng nhỳng v thay th s = - chỳng ta cú nhng ( i) r\ J J Ê = ( rtớch !) Jca )hai hm suy rng Colombeau ds ( 3-2 s 1) thy mt cỏch tng minh thụng qua phng phỏp [2] ng Anh Tunớ (ớ(2005), L ý t h u y s u y r n g v k h ụ n g g i a n 1//2 l t h k m c) (c s) ^ u i d u > dng cho qua gii hn Mikusinski ' s cỏch biu din ca hm suy nh rụng x Z r lm ~ ^ca i s Colombeau : ~ ~ S o b o e v, i hc Quc gia H Ni _1,/2 = >cú (1 V lun ) ,/ [sỡ; (1 vtrỏnh ) t ] k dkhi v 'nhng thiu sút Tỏc gi Do thi gian v trỡnh hn nờn vn+ khụng x : m {v xting ) = ( ir Anh [B] Ti liu ' nhng - (2^1)!!Ê /_1 gúp - ' ca cỏc thy cụ v cỏc bn lun c hon Hn mongna, nhn c = ýkin -( 2úng TT r - 1ớ)!! ( ) l ( s ) ( l p'-(k-p)'-J / V r 1n! on / - Colombeau */Ê thin Tỏc gi xin(1997), cm pchõn =0 thnh [3] hn B.Damyanov "Results / (-* n product of es) _ 1/ V r ) (sH s distributions," (3.14) ' c ( 2r 1)!! Commentationes M Ê a t h e m a t i c a e U n i v e r s i t a t i s C a r o l i n a e , J vol 38, = ( ) p=0 pp 627634 y - ( xno ) Ê4, X>(R) ta cú: ; +r 1/2 (Ơ >Ê, a :) X- 1/2 (3.22) (Ơ>e , z), v>(đ) [4] Biljana Jolevska-Tuneska and Tatjana Atanasova-Pacemska (2013), "Further Results (r !) Do ú r 1/2 r 1/2 Product xvy, + E,x)x_ V J 2r Nh I )( i p vi( ip e , x ) ' (Ix onr Colombeau of Distributions," n) tdexr n a0,1, t i o2nr a l 1J v ournal of J 00 ((2r 1)!!)27T M a t h e m a t i cJI s a on2(rd2 r+) !Mr a+/ t h e m1c az t i c a1l\ p S d c i e n c e s , volume 2013, Article(3 ID "= yn- ) ằ+ ' 23) * = E p(kl (r) ỡ p ( x ) / (ớ) 918905, http://dx.doi.org/10.1155/2013/918905 ((2 r - l )!!) e r d e J x/e Cui cựng ta cú: p P(p{r) B w -XS [5] G.Grubb (2008), {p+k~p+) tk s/ r) D i s tr r- i/ 2b u/ t i V o n s(s)dsdi a n d r p= O1p/ 02e rc a*-t1o 2r s , Springer New York, Inc ( X + (y> E è )Ê , 1x, / 2)( ^z xXZ ~ E S()Ê , !) < p ^ r \ s ) d s d t d x / = E;i+*)** 2r fe w (1984), N G e n e rr a l i z e d F u n c t i o n a l 2a n d = _^M 0{ ) = / ' ( - e u i ) / ^(ớ) (( r )!!) J c L M u l t i pp=0 l i c a t i o 2n (o2fr)! D i s t r i b uv 1t i o n s , North Holland, Math Study 84, d [6] J.F.Colombeau X (t = ^ ( ( r ) w > w ) + 0(e) Amsterdams Sau ú, gi s (3.15) ;J chn, < 2r va p < c Lỳ) r ^2{u) T b 3.1, ( - ) s)~1t2ip^r\s)dsdtdu) sptp^(s)ds l (3.24) mt hm k ú C =gi hm x / (1966), ekhi lTheo cụng thc trin Taylor ta l cú:lý Dochn qua hn E -> 0the ta cụng thc (3.12) c chng minh hay tựy theo rcú +khai p l haynh Nh vy ta cú tB ~up l( lpe(tr i n (t) [7] J Mikusinski "On square of chn the Dirac deltadistribution," ' ^ ( o ) hm ^ v Jjfep M x r +=l Nu p > ,r vol.14, (O sdp (ep I( riA( sc)adds, /eNlmV mt l thỡ - p < r v bng cỏch thay ie = P, o,k ( ( 2l^o n a i s e d e s S c+i e( 2nrc e+si)! ~ ' v ) pp 511- 513 ) { 2r+1) ( jfc=o i th t ly tớch phõn chỳng ta cú th chng minh < 2r Jkp = Nu gi s rng l l v thỡ ta cú th chng minh tng t rng