Luận văn một số vấn đề về tích hai hàm suy rộng

BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌC s P H Ạ M H À N Ộ I HOÀNG THỊ D U Y Ê N MỘT s ố VẤN ĐỀ VỀ TÍCH HAI HÀM SUY RỘNG L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N HỌC H À N Ộ I, 2015 BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌC s P H Ạ M H À NỘI HOÀNG THỊ D U Y ÊN MỘT s ố VẤN ĐỀ VỀ TÍCH HAI HÀM SUY RỘNG Chuyên ngành : Toán giải tích Mã so : 60 46 01 02 L U Ậ N VĂN T H Ạ C Sĩ T O Á N H Ọ C Người hướng dẫn khoa học: TS Tạ Ngọc Trí H À N Ộ I, 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Tạ Ngọc Trí Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới TS Tạ Ngọc Trí Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình thầy suốt trình làm luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng sau đại học, thầy cô giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình tác giả học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 08 năm 2015 H oàng T hị D uyên LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Tạ Ngọc Trí Trong trình nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 08 năm 2015 H oàng T hị D uyên M ục lục M đầu 1 K iến thứ c chuẩn bị 1.1 Một số thuật ngữ khái niệm b ả n 1.2 Không gian hàm t h K hông gian hàm suy rộng Schwartz 2.1 Không gian hàm suy rộng T>'{ũ) 2.1.1 Định n g h ĩ a 2.1.2 Đạo hàm suy r ộ n g 11 2.1.3 Sự hội tụ không gian hàm suy rộngT>'{íĩ) 13 Vấn đề tích hai hàm suy rộng Schw artz 14 2.2.1 Tích chập hai hàm suy r ộ n g 14 2.2.2 Tích hàm trơn hàm suy rộng 15 2.2.3 Tích hai hàm suy rộng 16 2.2.4 Sự không tồn tích hàm suy rộng tổng quát 2.2 Hàm suy rộng C olom beau 3.1 3.2 20 22 Định nghĩa hàm suy rộng Colombeau 22 3.1.1 Hàm suy rộng Colombeau ( Q- suy rộng) Rn 22 3.1.2 Hàm suy rộng Colombeau tập mở rỉ c Các tính chất vi phân đại số C/(Mn) 25 26 3.3 Số phức suy r ộ n g 31 3.4 Giá trị điểm hàm Q- suy rộng 33 3.5 Tích phân hàm Q— suy r ộ n g 35 3.6 Khái niệm Ợ(Rn) 3.7 Hàm Q— suy rộng tăng c h ậ m 43 3.7.1 38 Định n g h ĩ a .43 3.7.2Tích phân hàm suy rộng tăng c h ậ m 45 3.7.3 Biến đổi Fourier hàm suy rộngtăng chậm 3.8 48 Một số ví dụ cụ t h ể 48 K ết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 MỞ Đ Ầ U Lý chọn đề tài Có thể nói lý thuyết hàm suy rộng phát triển L Schwartz mở cửa cho phát triển số lĩnh vực toán học đại, chẳng hạn lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng Lý thuyết L.Schwartz làm sáng tỏ vấn đề vật lý mà trước toán học chưa thể lý giải cách hoàn hảo Sau hoàn thành việc xây dựng lý thuyết hàm suy rộng L.Schwartz công bố công trình cho thấy lấy tích số hai hàm suy rộng tùy ý Điều dẫn đến việc tiếp tục nghiên cứu để tìm cách xác định tích hai hàm suy rộng số trường hợp cụ thể mà thực tiễn đặt Nhiều nhà toán học khác tham gia vào trình để giải vấn đề tích hai hàm suy rộng Một số thành công việc xác định tích hai hàm suy rộng số trường hợp, cách Mikusinski hay cách xác định dựa vào biến đổi Fourier Trong trường hợp tổng quát, để định nghĩa cách tổng quát rõ ràng dừng lại lý thuyết hàm suy rộng L.Schwartz, phải có đại số mà hàm suy rộng L.Schwartz tập ( theo nghĩa đó) từ lấy tích cách tùy ý Cuối vào năm 80 kỷ 20, lý thuyết hàm suy rộng nhà toán học người Pháp J F Colombeau giới thiệu hai chuyên khảo liên tiếp [9] [10] ông trình bày cách xây dựng đại số hàm suy rộng mới, hàm suy rộng Colombeau Trong đại số này, mong muốn hàm suy rộng L Schwartz nhúng vào tập con, từ mặt lý thuyết ta xác định tích hai hàm suy rộng Đại số hàm suy rộng J.F.Colombeau sau đời giúp số nhà toán học ứng dụng đưa kết nghiên cứu việc giải phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Hiện nay, nhóm nghiên cứu (chẳng hạn Đại học Bách khoa Viên- Áo) hoạt động thường xuyên đưa kết Với mục đích tiếp cận hướng nghiên cứu toán học đại, định hướng hướng dẫn TS Tạ Ngọc Trí, lựa chọn đề tài "M ột số vấn đề tích hai hàm suy rộng" cho luận văn tốt nghiệp khóa học thạc sỹ Trong luận văn này, nghiên cứu kết lý thuyết hàm suy rộng L Schwartz kết thể lấy tích hai hàm suy rộng cách tổng quát Tiếp theo tìm hiểu số cách xác định tích hai hàm suy rộng để giải số ví dụ cụ thể tích hai hàm suy rộng Phần cuối luận văn trình bày vấn đề đại số hàm suy rộng J.F.Colombeau tìm hiểu số ví dụ cụ thể tích hai hàm suy rộng Colombeau công bố gần M ục đích nghiên cứu - Nghiên cứu tìm hiểu phát triển toán tích hai hàm suy rộng - Tìm hiểu không gian hàm suy rộng L.Schwartz đại số hàm suy rộng Colombeau 3 N hiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu nêu , nhiệm vụ nghiên cứu luận văn là: - Trình bày định nghĩa, ví dụ cụ thể hàm suy rộng - Một số vấn đề thực tiễn dẫn đến việc phải nghiên cứu tích hai hàm suy rộng - Một số giải pháp tìm cách xác định tích hai hàm suy rộng vấn đề liên quan Đ ối tượng phạm vi nghiền cứu - Đối tượng nghiên cứu: Hàm suy rộng L Schwartz, số phương pháp tìm cách xác định tích hai hàm suy rộng; đại số hàm suy rộng Colombeau số vấn đề liên quan - Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, báo nước liên quan đến tích hai hàm suy rộng Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng kiến thức, phương pháp công cụ giải tích hàm để tiếp cận vấn đề - Thu thập nghiên cứu tài liệu liên quan, đặc biệt báo vấn đề tích hai hàm suy rộng Đ óng góp -Đây tài liệu giúp cho người quan tâm tìm hiểu vấn đề liên quan đến phát triển toán tích hàm suy rộng Chương K iến thức chuẩn bị Chương hệ thống lại số thuật ngữ, khái niệm kết không gian để làm sở cho việc tiếp cận kiến thức chương Các kiến thức tham khảo tài liệu [3], [4] [14] 1.1 M ột số thuật ngữ khái niệm Ta gọi phần tử a = (qíi,q;2) ■■■ĩ&n) € Nn n- số (hay đa số) với bậc ỊaỊ = «1 + 0.2 + + a n Với đa số a , toán tử vi phân ký hiệu d a = ỡaiô “ = 5Ỉ ;3 toán tử D•0 e->0 d aF1 « ỡ“F □ M ệ n h đề 3.14 ổ2 không tương hợp với hàm T G Chứng minh Thật vậy, giả sử ta có hàm T G X^M) choỏ2 PH T Khi ta viết f R (ìpỏ2)(x)dx = g + z ẽ C , ^ E ^ ( ^ ) , a(ộ) = j R ^ ( z ) 2( -z ) d z ,ự > e Ai => {ộe) = f R l / > ( x ) $ ( - x ) d x = - Ị R ý { - £ x ) ệ (x)dx Vì ổ2 « T lim ^ (0 e) = {T,ìp} E c,\/tp £ T>(R) Tuy nhiên, với Ip E £->0 D (R ), = m ột lân cận th ì f R ộ 2( x ) d x 7^ => — JR ệ ( x ) d x -/>• £ —> Từ suy điều phải chứng minh □ M ệ n h đ ề 3.15 Trong Ị7(K) ta có H m ~ H , m = 1,2, với H hàm Heaviside 42 Chứnq minh Thât vây ta có H( x ) = d x +, x + = S i n?u x ^ ^ y J w + ь + I X < nên H e Ơ°(K) Vì H = h + ẽ Q (M) với h ( ộ , x ) = í Н(у)ф(у - x)dy = í ф(у - x)dx = í ộ ( y ) d y , ộ e A u x e R n ''R ‘'О X Vì H m = hm + I G Q ("), với Ф G Ai đặt x ( x ) = ệ(y)dy ỵ G c°° (IR), x ( —oo) = 0,x(oo) = ĩ , x ' ( x ) = ф(х),х £ 1R Hơn ta th h ( ộ £, x ) = — X ( -j ,£ > 0,ж € Với ự) £ T>(R) f m [(p(Hm — H)](x)dx = к + НФе) = fm0 M ệ n h đề 3.16 Quan hệ □ không tương hợp với phép nhân Ợ(Rn) Chứng minh Ta xét Fị = F = xổ, ta có Fị æ ,^ ~ Ổ(K) Tuy nhiên lại có F F Ф Thật vậy, giả sử F F = f + 1, với /(, X) = х 2ф2(—х),ф E A i , x G M Khi với Ц) £ т>(ш) ta có f R ( N, Ф £ A q ta có (1 + \x \N^j ịdaR) (фе, х ) — Ö (e^9_iV) £ —>• шп Nghĩa sup f l + \x\N} (d aR ) ( ộ e, x ) < ceß^ ~ N (3.5) XẼR" với с > £ đủ nhỏ Ta nhận thấy £M T []Rn] с £м [Kn] Хт с X Ngoài XT Ideal 8м т[К”] Hơn ta có Хт с X X (jt Ем т[кп] Bằng cách tương tự định nghĩa hàm Q— suy rộng ta có: Đ ịn h n g h ĩa 3 M ỗi phần tử th uộc đại số thương £ м T | д п]/^ т gọi hàm Q— suy rộng tăng chậm Tập hợp hàm Q— suy rộng tăng chậm ký hiệu Ç/T(Mn) Một hàm Q— suy rộng tăng chậm F F — f + I T với / G £м т[®n] từ suy DÇ7T(Mn) С Ç/r (]Rn) công thức Leibniz V í d ụ 3.5 Một ví dụ hàm Q— suy rộng tăng chậm hàm / €E CV(Rn) với CT(Rn) = | / e ơ°(Mn) : 3c > 0, N G N cho |/(ж)| < с ^1 + \x\N^ Thật vậy, với / £ CT(Rn) ta cho tương ứng với R £ Ем T [Kn] xác định bởi: R ( ộ , x ) = f Rn f ( x + y)ộ{y)dy = / Rn f { y ) ộ { y - x)dy Ta có (daR) (ф,х) = ( - l ) H f Rn f ( y ) ( d aộ)(y - x)dy Vậy nên (daR) (фе, х ) = ( - l ) |a| / Rn f ( x + £t){daộ){t)dt 45 Từ ta có (daR) (£, x) < Ci / (1 + 1X + et\)N (daệ)(t)dt < Ci ( + Ị^Ị^) [ (1 + ỊeíỊ^ ) ( d a ộ ) ( t ) d t < Ci (1 + \x\N ) , Va; G Rn,V0 G Ai Vậy suy CV(]Rn) c QT 7.2 T ích p h ân củ a hàm su y rộng tă n g chậm Cho F € QT(M.n) , F — R + I T với R € £m T [K71] Khi với £ > đủ nhỏ, N € N ,0 € Ajv R ( ệ e: € S(M.n) R & Í ìiítỊ R 11] ộ E X>(Mn) Do I(ộe) = f Rn R{Ộeì x ) ộ £(x)dx xác định số phức suy rộng với số tự nhiên N £ > đủ nhỏ Trong định nghĩa số phức suy rộng ta định nghĩa hàm ậ & Aị Tuy nhiên ta thấy định nghĩa không thay đổi cho ậ E Ajv với N xét £ không đủ nhỏ Vậy ậ € A n £ không đủ nhỏ ta đặt I(ậs) = Ta có M ệnh đề 3.18 Với F = R + XT €E ổ T(]Rn) ta đặt (3.6) Nếu ộ ẽ A n , £ đủ nhỏ I ( ộ £) = trường hợp ngược lại /ỄC Chứng minh Ta chứng minh I e S m ■ Do 4>e(x) = ộ{ex) nên I(ộe) = /r» R ( ộ s,x)ộ(£x)dx Ta cần chứng minh I e £ m trường hợp ậ e Ajv, £ > đủ nhỏ Ta có \R(ộe,x)\ < c 1+ịĩ l , Vx e Mặt khác, ộ £ T)(Mn) =$■ ộ £ 5'(Mn) với p có: 46 Chọn p = N + n + Vx e Kn ta có _ /s \R(ộe,x)\ ф{ех) < + \x eN £ÌV+n+i( + |ж|лг+и+1) С Ш ) \ < IN Ç-2N+71+1 hay I e £M- Ngoài R ẽ I T |i?(0eỊ < Сд ( l + ßß(9)~N g Mn,/3 ẽ г Tương tự ta có \1(фе\ < C r £j ^ ~ n , (g) = ß(q) — N — n — hay I G X q Vậy I Çl С không phụ thuộc vào việc chọn phần tử biểu diễn F £ Ç/T(Rn) □ Trên cở sở mệnh đề 3.18 ta có định nghĩa Đ ịnh nghĩa 3.14 số phức suy rộng I xác định m ệnh đề 3.18 gọi tích phân F R n Ký hiệu f Rn F(x)dx Nếu hàm Ợ— suy rộng có giá compact f R„ F ( x ) d x = f p F(x)dx Như có định nghĩa tích phân F Mn Tuy nhiên hai tích phân tương đương với Thật vậy, F có giá compact nên ta chọn hàm biểu diễn R G Ем [fl£n] cho R(ậs, x) = |ж| > а, а > supp F с {ж : |ж| < a} £ > đủ nhỏ Theo định nghĩa 3.10 ý ?? f Rn F ( x ) d x = f Rn R ( ộ , x ) d x = ĩ\x\ < a ^ ^ x )d x Mặt khác theo định nghĩa 3.14 JR„ F( x ) d x = /| |< R ( ậ , x ) ệ ( x ) d x Bây ta đặt d(ậ) = fị d( ộ e ) = Я(ф,х) ф(х) — dx suy ị < Ị Я{Фе,х) ф{ е х ) ~ dx \х\ ,77 > : | / ( x ) | < l + |a R ,Vx {р\ и Ш - е и ) ^ Vм ( - ) *(*)* ln Iet - eu\ ip{k]{t)dtdu, (3.15) với и = — Theo công thức khai triển Taylor ta có V’(- e u ) = E ^ т р ^ (-г и )* + k Г Г + T ji t ~ g,))p+t+1 (ЗЛ6) Với 77 £ (0,1) Thay (3.16) vào (3.15) thay đổi thứ tự phép lấy tích phân ta có ( x ~ k(e, X), Ip(x)ỳ =Е т т г- гìy.EP+b-ĩ т ^ т ^ ^ + ° (v£)-ln£’ r ' i\(k ' Jị = Ị q (3-17) K (t)dt Ịyỉĩiịet — euị vĩ t p^ ( u) du, i = 0,1, ,p + k Dùng công thức tích phân phần ta có: Ji = í ip^k\ t ) d t í ln \et — eu\ Jo Jo = —-— [ (f^k\ t ) d t [ ln Ie t —e u\ ip(p\ u ) d ( u i+1 Ỉ + 1J0 J0 = — J + Î ụ>(k\ t ) d t Ị (ui+1 — ti+l) ln \et — £u\ip(p+1\ u ) d u f l [...]... ụn g gian hm suy rng Schwartz Trong chng ny, ta trỡnh by mt s kin thc c bn trong lý thuyt hm suy rng Schwartz v vn v tớch hai hm suy rng Schwartz Cỏc kin thc ny c tham kho trong cỏc ti liu [4] v [14] 2.1 2.1.1 Khụng gian hm suy rng V'(ớ) n h n gh ó n h n g h a 2.1 Mi phim hm u : ?(ớ) > c tuyn tớnh liờn tc vi tụpụ trờn x>(f) c gi l mt hm suy rng hay hm suy rng Schwartz Khụng gian cỏc hm suy rng trờn... chỳng ta ó nh ngha tớch ca mt hm trn / G C(2) v mt hm suy rng u e T>'(ớỡ) Bõy gi chỳng ta mun nh ngha tớch ca hai hm suy rng tựy ý, núi riờng trờn ]Rm, rừ rng khụng th dựng nh ngha 2.6 cho 2 hm suy rng vỡ f cú th khụng l hm th nu / G T>'{\Rm); G 2}(]Rm) Sau õy chỳng ta s xột mt s cỏch nh ngha tớch hai hm suy rng Trc tiờn l nh ngha tớch hai hm suy rng ca Mikusinski nh ngha 2.7 Mt dóy ('(M) u cú nguyờn hm suy rng Chng minh Vi mi ớp E c (R) t ){x) = ip{x) - p ( x ) / ip(t)dt, J oo \&(:r) = ớ }(t)dt 00 Cú ty(x) CÊ(IR) nờn vi mi hm suy rng u Ê = (m,) Khi ú u ta cú th t EV' (R) v (du, ip) = (U, ip') = ( u, >(x) \ px / p+oo p(y) / 00 00 \ ip'(t)dtdy ) = (u , ip) / 13 Nu hm suy. .. ) = (u , ip) / 13 Nu hm suy rng u cú o hm suy rng d u = 0 thỡ (U, ) + ( / : {,p) = e V ( R n) M supp c K compact c Mn Do ú l mt hm suy rng (gi l hm suy rng Dirac hay hm Delta Dirac) 11 V ớ d 2.3 Hm |x| : V ( R ) - (\\,) = R || (x)dx l mt hm suy rng Tht... ) \ \ { x ) \ d x < s u p \ { x ) \ ớ \ f {x)\ dx JK K Jk Nờn lim ( p , ) - 0(0) = 0 hay ta cú iu phi chng minh k oo (2.3) 14 2.2 Vn v tớch hai hm suy rng Schwartz 2.2.1 T ớch chp c a hai hm su y rng nh ngha 2.5 Cho , V Ê )'(), tớch chp ca hai hm suy rng u, v l m t phim hm tuyn tớnh, ký hiu * V, xỏc nh bi: ( * V, ) = (u ( y ), ( + ) ) } , (Mn) Chỳ ý 2.2.1 (i ) u * = * u = u vi mi... )( / II da: R R \4 / Vy |ổ| l mt hm suy rng V ớ d 2.4 Vi mi hm / L]oc(f) v vi a Nn, ỏnh x Uf a : H-> f n f ( x ) ( d a)(x)dx l mt hm suy rng n h lý 2.1 Mt phim hm tuyn tớnh xỏc nh trờn T>{t) l mt hm suy rng khi v ch khi lim (u, j) = 0 , vi mi dy { j } hi t ti 0 khi j Ơ oo 2.1.2 o hm su y rng Trong khụng gian T>'{ớ) ta cú: B 2.1 Cho G )!(r) l mt hm suy rng Khi ú, vi mi a ch s N" toỏn... ụn(x)dx = 1 T ú ta cú: lim ( ( - * n-^00 \ hay / { * n), ) = ' {0) = / 2 ( * n) = ' trong 2 (1, ) , V0 e Ê>(R) 1 Do ú, chỳng ta cú .s = X ' trong V !(R) Vi nh ngha tớch hai hm suy rng ca Mikusinski ta cú th ly tớch ca hai hm suy rng Tuy nhiờn khụng phi lỳc no ta cng thc hin c Ta cú mnh sau M nh 2.2 Trong X^R) ta khụng th ly tớch . theo nh ngha 2.8 Chng minh Gi s rng tn ti 2 Ê V ^ R ) Ly dóy Delta... khụng tn ti 2 theo nh ngha 2.8 Ta cng cú th kt lun rng dóy (