Tích các hàm suy rộng

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I ——————————————– LÊ QUANG TÍCH CÁC HÀM SUY RđNG LUắN VN THAC S TON HOC H NđI , 2012 B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I ——————– * ——————— LÊ QUANG TÍCH CÁC HÀM SUY R®NG Chun ngành: Tốn Giái tích Mã so: 60 46 01 LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC Ngưài hưáng dan khoa hoc: TS Ta Ngoc Trớ H Nđi - 2012 LốI CM N Luắn đưoc thnc hi¾n hồn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan nhi¾t tình cna Tien sĩ Ta Ngoc Trí Thay hưóng dan truyen cho tác giá nhung kinh nghi¾m quý báu hoc t¾p nghiên cúu khoa hoc Thay luụn đng viờn v khớch lắ e tỏc giá vươn lên hoc t¾p vưot qua nhung khó khăn chun mơn Tác giá xin bày tó lòng biet ơn, lòng kính sâu sac nhat đoi vói thay Tác giá xin trân thành cám ơn Ban giám hiêu trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, khoa Tốn to Giái tích q thay tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc tot đep chương trình Cao hoc hồn thành lu¾n văn tot nghi¾p Tác giá xin trân cám ơn Só GD&ĐT Phú Tho, Ban giám hi¾u trưòng THPT n L¾p - n L¾p - Phú Tho, To Tốn - Lí Tin đong nghi¾p tao moi đieu ki¾n giúp đõ đe tác giá an tâm hoc t¾p hồn thành tot luắn H Nđi, thỏng 07 nm 2012 Tỏc giỏ Lê Quang LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan Lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan trnc tiep cna Tien sĩ Ta Ngoc Trí Trong q trình nghiên cúu, tơi ke thùa thành khoa hoc cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng 07 năm 2012 Tác giá Lê Quang Mnc lnc Má đau Chương Lý thuyet hàm suy r®ng Schwartz .8 1.1 Mđt so thuắt ngu v khỏi ni¾m bán 1.2 Khơng gian hàm thú 1.3 Hàm suy r®ng Schwartz 12 1.4 Đao hàm cna hàm suy r®ng 15 1.5 Bien đoi Fourier cna hàm suy r®ng 17 1.5.1 Bien đoi Fourier S(Rn) 17 1.5.2 Bien đoi Fourier St(R n) 18 Chương Tích hàm suy r®ng 20 2.1 Tích ch¾p 20 2.1.1 Tích ch¾p khơng gian Lp(Rn) 20 2.1.2 Tích ch¾p cna hai hàm suy r®ng .22 2.2 Tích cna m®t hàm trơn m®t hàm suy r®ng 24 2.3 Tích cna hai hàm suy r®ng tùy ý 25 2.3.1 Đ%nh nghĩa cna Mikusinski 25 2.3.2 Đ%nh nghĩa dna khai trien Fourier 28 2.3.3 Đ%nh nghĩa cna Colombeau 30 2.3.4 Đ%nh nghĩa cna Bagarello 40 Chương M®t so ví dn ve tích giĐa hàm Delta đao hàm cúa 44 3.1 Tích xét theo nghĩa Colombeau .44 3.2 Tích xét theo nghĩa Bagarello 46 Ket lu¾n 55 Tài li¾u tham kháo 56 Mé ĐAU Lý chon đe tài Lý thuyet Hàm suy r®ng đưoc phát trien bói L.Schwartz mó cánh cúa quan cho sn phát trien cna Tốn hoc hi¾n đai, đ¾c bi¾t lĩnh vnc phương trình đao hàm riêng Vói lý thuyet đó, L.Schwartz đưoc nh¾n giái thưóng Fields năm 1950 Lý thuyet Hàm suy r®ng cna L.Schwartz đóng vai trò quan trong lý thuyet phương trình đao hàm riêng tuyen tính Tuy nhiên nhung tốn phi tuyen dan đen vi¾c xem xét lay tích hai hàm suy r®ng Ve van e ny L.Schwartz ó a ket luắn ve mđt "ket q khơng the" vi¾c lay tích hai hàm suy rđng tong quỏt Trong ket luắn ú L.Schwartz cho rang khơng the lay tích hai hàm suy r®ng bat kỳ mà van thóa mãn cơng thúc Leibniz ve lay đao hàm cna m®t tích Tuy nhiên rat nhieu úng dung can lay tích hai hàm suy r®ng Nhieu nhà Tốn hoc nghiên cúu đe có the giái quyet van đe Ho co gang tìm nhung cách đ%nh nghĩa tích hai hàm suy r®ng bat kỳ M®t so cách giái quyet đưoc m®t phan van đe nhân hai hàm suy r®ng Trong có the ke đen phương pháp cna Mikusinski vói vi¾c đ%nh nghĩa thơng qua giói han dãy, hay phương pháp lay tích dna khai trien Fourier Tuy nhiên cách chưa giái quyet m®t cách đay đn van đe tích hai hàm suy r®ng Vào năm 1980, m®t lý thuyet mói ve hàm suy r®ng đưoc nhà tốn hoc Pháp J.F.Colombeau giói thi¾u Trong lý thuyet này, hàm suy rđng cna L Schwartz oc coi nh mđt có the lay tích hai hàm suy r®ng tùy ý Sau lý thuyet hàm suy r®ng cna J.F.Colombeau đòi, nhieu nhà tốn hoc úng dung có nhung ket quan trong vi¾c giái phương trình đao hàm riêng phi tuyen Vúi muc ớch tiep cắn mđt húng nghiờn cỳu cna tốn hoc hi¾n đai, đưoc sn đ%nh hưóng hưóng dan cna TS Ta Ngoc Trí, tơi lna chon e ti "Tớch cỏc hm suy rđng" cho luắn tot nghi¾p khóa hoc thac sy cna Trong lu¾n văn này, tơi se tóm tat nhung kien thúc bán ve lý thuyet hàm suy r®ng cna L.Schwartz Tiep theo lu¾n văn se trình bay ket q ve tích hàm suy r®ng đưoc nhà tốn hoc Mikusinski, J.F.Colombeau, F.Bagarello nghiên cúu xây dnng Cuoi nhung ví du cu the ve tích giua hàm Delta Dirac vói đao hàm cna Mnc đích nghiên cNu Nghiên cúu lý thuyet hm suy rđng cna L.Schwartz lm nen tỏng cho viắc xây dnng đ%nh nghĩa tích cna hàm suy r®ng Trên só tìm hieu ket q giua hàm Delta vói đao hàm cna nú Nhiắm nghiờn cNu Tỡm hieu ve lý thuyet hm suy rđng cna L.Schwartz, Tỡm hieu cỏc %nh ngha ve tớch cỏc hm suy rđng, Nghiên cúu hưóng phát trien tích cna Colombeau tích cna Bagarello, Mđt so vớ du v ỳng dung Đoi tưang pham vi nghiên cNu Đoi tưong nghiên cúu: Tích hàm suy r®ng, tích giua hàm Delta vói đao hàm cna Pham vi nghiên cúu: Các tài li¾u, báo ngồi nưóc liên quan đen tích hàm suy r®ng Phương pháp nghiên cNu Sú dung kien thúc phương pháp cna giái tích hàm đe tiep c¾n van đe Thu th¾p nghiên cúu tài li¾u liên quan, đ¾c bi¾t báo mói ve van đe tích hàm suy r®ng DN kien đóng góp mái Lu¾n văn có the dan đen ket quỏ múi ve tớch cỏc hm suy rđng, ắc bi¾t tích giua hàm Delta đao hàm cna Chương Lý thuyet hàm suy r®ng Schwartz Chương trình bày tóm tat m®t so van đe xung quanh lý thuyet hàm suy r®ng Schwartz Xem [8], [9], [10] [11] đe biet thêm chi tiet 1.1 Mđt so thuắt ngẹ v khỏi niắm c bán Trong lu¾n văn này, ta ký hi¾u N=0,1,2, t¾p so tn nhiên, N∗ t¾p so tn nhiên khác 0, Z t¾p so nguyên, R t¾p so thnc C t¾p so phúc vói đơn v% áo i = √−1 Vói moi so tn nhiên n, t¾p Nn={α = (α1, α2, , αn)|αj ∈ N, j = 1, 2, n}, t¾p Rn={x = (x1, x2, , xn)|xj ∈ R, j = 1, 2, n} không gian thnc n chieu vói chuan Euclid: ||x|| = n 21 x2j j=1 Ta goi moi phan tú α = (α1, α2, , αn)|αj ∈ Nn m®t n-chí so (hay đa chí so) vói b¾c |α| = α1 + α2 + + αn Vói moi đa chí so α Đe tính tốn tích phân (cũng tat cá tích phân khác ví du sau này), se sú dung đ%nh lí "h®i tu b% chăn Lebesgue": Cho dãy hàm {fn} h®i tn theo đ o en hm f trờn mđt hop A |fn| ≤ g hau khap nơi A vói moi n, g m®t hàm tích trờn A thỡ lim á fdà fndà A= n A Dóy {fn(t)} hđi tu v b% chắn e cắp đen là: φ(t)Ψ(t/nβ ) πnα−2β t2 + 1/n2(α−β) De dàng thay rang sn ton tai hàm g(t) cho |fn(t)| ≤ |g(t)| túc [−1, 1] yờu cau cna %nh lớ "hđi tu b% chắn Lebesgue", neu α − 2β ≥ neu Φ có dang  Φ(x) =   xm F exp{x2−1 }, |x| < 0, (3.10) |x| ≥ Trong m m®t so tn nhiên F mđt hang so tiờu chuan e cho á Φ(x)dx = Đe không Φ(x)dx = 0, m phái so chan, tù −1 có ngăn ch¾n Φ hàm lé Ta có the thay rang, neu m > 1, hàm u cau g(t) có dang g(t) = ML πF | t| m− , M ≡ supt [ 1,1]exp{ ∈− x2−1 L ≡ supt [ } ∈ 1,1]|Ψ(t)| − Tat nhiên g(t) tích [−1, 1] Bây giò, tùy thu®c vào giá tr% cna α β có the xác đ%nh ket khác sau: i) Neu α = 2β de dàng chúng minh rang giói han cna dãy {fn(t)} hàm f (t) = Φ(t)Ψ(0) πt2 H®i tu xác [−1, 1] h®i tu hau khap nơi khống ii) Neu α > 2β dãy {fn(t)} h®i tu giói han cna f (t) = 0, sn xuat hi¾n thùa so giám (t) β ¸ +∞fnΦ(t) Xác đ%nh đai lưong sau Aj ≡ dt, bat cú chúng ton tai nα−2 tj −∞ sú dung đ%nh lí "h®i tu b% chăn Lebesgue" ta nh¾n đưoc:  A2δ(Ψ), α =  π (δ ⊗ δ)(α,β)(Ψ) = 2β 0, α >  2β r Ví dn 3.2.2 (δ ⊗ δ )(α,β) Phép nhân đưoc xác đ%nh bói giói han sau (neu ton tai vói bat kỳ Ψ ∈ D) (δ⊗δr)(α,β)(Ψ) ≡ ¸ lim [δ (x)δr +∞ n→∞ (x , 1) α +δ (β) −∞ red n r (β ) (x) δ re d (x , )]Ψ(x)dx n n nα (3.11) Sú dung công thúc (3.4)−(3.9) thnc hi¾n đoi bien thích hop t = nβx ta có the tính tốn riêng hai tích phân (3.11) đưoc I1 ≡ lim ¸ +∞ n→∞ = lim n→∞ I2 ≡ lim δ (x)δr n −∞ −2 πnα−3β ¸ (x , (β) +∞ n→∞ ¸ red n nα β tΦ(t)Ψ(t/n )dt 2 −1 (t + 2(α−β) ) δr(β)(x)δ (x, −∞ )Ψ(x)dx n nα )Ψ(x)dx = lim n→∞ πnα−3β ¸ Φ1(t)Ψ(t/nβ )dt − t2 + n2(α−β) Chúng ta sỳ dung %nh lớ "hđi tu b% chắn Lebesgue" cho cá hai giói han Chúng minh đưoc rang neu α− 3β ≥ cá hai đ%nh nghĩa I1 v I2 b% chắn búi mđt hm dng (khỏc nhau) mà tích [−1, 1] Lna chon hàm Φ(x) giong (3.10) vói m > Nhung giá tr% cna m đám báo h®i tu xác cna dãy Xét hai trưòng hop: α = 3β α > 3β Trưòng hop thú nhat, sú dung %nh lớ "hđi tu b% chắn Lebesgue" de dng thay rang −2 I1 = A Ψ(0); I2 = −I1 π Neu α > 3β I1 = I2 = Vì v¾y có the ket lu¾n (δ ⊗ δr)(α,β)(Ψ) = 0, ∀α ≥ 3β Ví dn 3.2.3 (δr ⊗ δr)(α,β) Phép nhân đưoc xác đ%nh bói giói han sau ¸ +∞ r (β) r r r (δ ⊗ δ )(α,β)(Ψ) ≡ lim δn (x)δred(x, n →∞ −∞ nα )Ψ(x)dx Ψ(x) ∈ D Sú dung cơng thúc (3.5) (3.8) thnc hi¾n đoi bien thích hop t = nβx ta đưoc: (δr ⊗ δr)(α,β) = lim n→∞ −2 ¸ tΦ1(t)Ψ(t/nβ )dt πnα−4β (t2 + − 1 n2(α−β) )2 Khi đieu ki¾n α β phái đưoc thay đoi đe thóa mãn giá thiet cna đ%nh lí "h®i tu b% ch¾n Lebesgue", α − 4β ≥ m > Đ¾c bi¾t neu đ¾t α = 4β dãy {fn(t)} h®i tu đen hàm Φ (t) f (t) = −2 Ψ(0) Neu α > 4β giói han cna (t)} dãy {f π n t3 V¾y ta có ket q:   r r (δ ⊗ δ )(α,β)(Ψ) =  −6 π A4δ(Ψ), α = 4β 0, α > 4β Ví dn 3.2.4 (δ ⊗ δrr)(α,β) Tù (2.11) có: ¸ lim n→∞ rr (δ ⊗ δ )(α,β)(Ψ) ≡ +δ +∞ [δ(β)(x)δrr n −∞ rr (β) (x)δred(x, n Ψ(x) ∈ D Xét hai giói han: I1 ≡ lim ¸ n→∞ = −∞ lim n→∞ πnα−4β lim n→∞ ≡ −∞ = lim n→∞ 1 Φ(t)Ψ(t/nβ )(3t2 − (t + ¸ +∞ )]Ψ(x)dx nα − I2 red ¸ nα (x )Ψ(x)dx , δ(β) rr (x)δ n +∞ (x ) , nα ) )Ψ(x)dx nα n (x, ¸ n2(α−β) δrr(β)(x)δ πnα−4β n2(α−β) )dt Φ2(t)Ψ(t/nβ )dt t2 + − 1 n2(α−β) Giá thiet cna đ%nh lí "hđi tu b% chắn Lebesgue" oc thúa giong nh (3.10), vói m > neu α − 4β ≥ Đ¾c bi¾t, neu α = 4β nh¾n đưoc I1 = I2 = Neu α > 4β I1 = I2 = A4Ψ(0), π Vì v¾y có the ket lu¾n: rr (δ ⊗ δ )(α,β)(Ψ) =    A δ(Ψ), π α= 4β 0, α > 4β Ngau nhiên nh¾n thay rang (δ⊗δrr)(α,β)(Ψ) = −(δr⊗δr)(α,β) (Ψ) Ví dn 3.2.5 (δr ⊗ δrr)(α,β) Chúng ta có: r ¸ lim n→∞ rr (δ ⊗ δ )(α,β)(Ψ) ≡ +δ rr +∞ [δ(rβ)(x)δrr n −∞ (β) (x ) , nα r (x)δred(x, n nα )]Ψ(x)dx Ψ(x) ∈ D Xét hai giói han: ¸ +∞ r I1 ≡ lim (x )Ψ(x)dx δ( β) , rr n (x)δ red n→∞ −∞ nα ¸ = lim Φ (t)Ψ(t/nβ )(3t2 − 1 n→∞ πnα−5β ¸ I2 ≡ = rr +∞ lim n→∞ lim n→∞ (t + − −∞ (β) δn −2 n2(α−β) (x)δred(x, ¸ πnα−5β − )dt n2(α−β) ) r 1 nα )Ψ(x)dx β Φ2(t)Ψ(t/ )tdt n (t2 + 2(α−β) n Đe đáp úng vói giỏ thiet cna %nh lớ "hđi tu b% chắn Lebesgue" phái có m > α − 5β ≥ Sau m®t vài thao tác, thay giong vói tích giua δ δr , gián ưóc xay giua I1 I2 đó: (δr ⊗ δrr)(α,β) = 0, ∀α ≥ 5β Ví dn 3.2.6 (δrr ⊗ δrr)(α,β) Phép nhân đưoc xác đ%nh bói giói han sau: ¸ +∞ rr (β) rr rr rr (δ ⊗ δ )(α,β)(Ψ) ≡ lim δn (x)δred(x, n →∞ −∞ nα )Ψ(x)dx Ψ(x) ∈ D, có the đưoc ¸ viet là: Φ2(t)Ψ(t/nβ )(3t2 −n )dt rr rr 2(α−β) (δ ⊗ δ )(α,β) = lim (t2 + )3 n→∞ πnα−6β − n2(α−β) Đe đáp úng vói giá thiet cna đ%nh lí "h®i tu b% ch¾n Lebesgue" phái có m > α − 5β ≥ Vói giá thiet ta nh¾n đưoc   12 A6δ(Ψ), α = rr rr (δ ⊗ δ )(α,β)(Ψ) = 0π  6β 0, α > 6β Ghi chú: Chúng ta có the khái quát ket quỏ trờn, bang viắc xỏc %nh mđt tớch có the giua hai hàm suy r®ng giong δ(l) δ(k), đieu có the đưoc thnc hi¾n bang cách sú dung (2.11) Đieu đn đe nh¾n thay rang, neu lay m (chan) lón l + k + chon α > (l + k + 2)β thu đưoc ket (δ(l) ⊗ δ(k))(α,β) = 0, neu α = (l + k + 2)β tích (δ(l) ⊗ δ(k))(α,β) có the khác Khi co đ%nh m, α β, có (δ(i) ⊗ δ(j))(α,β) = neu i + j < l + k Neu muon xác đ%nh (δ(l) ⊗ δ(k)) can phái xem xét tình huong khác tùy thu®c vào tính chan lé cna so nguyên k l Chúng ta nh¾n đưoc ket quá:    (δ(l) ⊗ δ(k))(α,β) α > (k + l + 2)β  (k+l+1)! Ak+l+2δ, α = (k + l + 2)β k, l chan π  (k+l+1)! = − π Ak+l+2δ, α = (k + l + 2)β k, l lé   α = (k + l + 2)β k chan, l lé  xm Φ(x) =   F exp{x2−1 }, |x| < 0, |x| ≥ é đay F hang so chuan xác đ%nh (bat cú ¸ +∞hóa Φ(t) chúng ton tai), Aj ≡ dt, vói j so nguyên Đe có ket −∞ tj ta phái chon hàm Φ(x) vói m chan m > k + l + Tù ket có nh¾n xét sau:   (δrr ⊗ δrr)  (α,β) = −(δr ⊗ δrrr)(α,β) = (δ ⊗ δrrrr)(α,β) (δr ⊗ δr)(α,β) = −(δ ⊗ δrr)(α,β), Qua đó, the hi¾n rang (ít nhat cho ví du này), tích thơng thưòng đao hàm cna hàm suy r®ng thúa búi tớch (,) KET LUắN Nđi dung chớnh cna luắn l trỡnh bay: Túm tat lý thuyet hm suy rđng Schwartz Tỡm hieu %nh nghĩa tích hàm suy r®ng Qua tùng bưóc giái quyet van đe nhân hai hàm suy r®ng tùy ý không gian Dr(Rn) cna Colombeau Bagarello Vắn dung %nh ngha tớch cỏc hm suy rđng (theo nghĩa cna Colombeau Bagarello) xét tích cna hàm Delta vói đao hàm cna mđt so trũng hop Luắn vúi muc ớch tiep cắn v nghiờn cỳu tớch cỏc hm suy rđng Trong thòi gian có han kien thúc han che, tác giá mói chí dùng lai ó vi¾c tìm hieu, nghiên cúu phép nhúng Dr(Rn) vào G(Rn) làm só đe có the nhân hai hàm suy r®ng tùy ý, đong thòi tìm hieu tích theo đ%nh nghĩa cna Bagarello cho hai hàm suy r®ng khơng gian m®t chieu Lu¾n văn có the đưoc phát trien tiep theo hưóng mó r®ng phép nhân nhieu hàm suy r®ng tùy ý chieu bat kỳ theo đ%nh nghĩa cna Bagarello, (xem [3], [4] [5] đe biet thêm) Tác giá kính mong q thay ban đóng góp ý kien đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tác giá xin chân thành cám ơn Hà N®i, tháng 07 năm 2012 Tài li¾u tham kháo [1] R A Adams(1975), Sobolev spaces, Academic Press [2] W Arveson(2002), A short Course on Spectral Theory, Springer [3] F Bagarello(1995), "Multiplication of Distributions in One Dimension: Possible Approaches and Applications to δ-function and its Derivatives", J Math Anal Appl., 196, 885-901 [4] F Bagarello(2002), "Multiplication of Distributions in one dimension and a First Application to Quantum Field Theory", J Math Anal Appl., 266, 298-320 [5] F Bagarello(2007), "Multiplication of distributions in any dimension: applications to δ-function and its derivatives", J Math Anal Appl, 337, 1337-1344 [6] J F Colombeau(1984), New Generalized Functional and Multiplication of Distributions, North Holland, Math Study 84, Amsterdam [7] B P Damyanov(1997), Results on Colombeau product of distributions, 4, 627-634 56 57 [8] L Schwartz(1954), Sur l’Impossibilité de la Multiplication des Distributions, Comptes Rendus Acad Sci Paris, 239, pp 847848 [9] L Schwartz(1966), Théorie des distributions, Hermann, Paris [10] L Schwartz(2001), A mathematician grappling with his century, English version translated by L Schneps, BirkhAă auser Verlag [11] Ta Ngoc Trí(2005), The Colombeau theory of generalized functions,Master Thesis, KdV Institute, University of Amsterdams, The Netherlands ... )u, φ) Tù suy đieu phái chúng minh 2.3 Tích cúa hai hàm suy r®ng tùy ý é đ%nh nghĩa tích cna m®t hàm trơn f ∈ C∞(Ω) m®t hàm suy r®ng u ∈ Dr(Ω) Bây giò muon đ%nh nghĩa tích cna hai hàm suy r®ng... Tích ch¾p khơng gian Lp(Rn) 20 2.1.2 Tích ch¾p cna hai hàm suy r®ng .22 2.2 Tích cna m®t hàm trơn m®t hàm suy r®ng 24 2.3 Tích cna hai hàm suy r®ng tùy ý 25 2.3.1 Đ%nh nghĩa... ρ(x − y)), x ∈ Rn (ρ ∗ u)(x) hàm vi vô han Rn (2.2) 2.2 Tích cúa m®t hàm trơn m®t hàm suy r®ng Đ%nh nghĩa 2.2.1 Cho f ∈ C∞(Ω) u ∈ Dr(Ω) tùy ý Tích cúa hàm f hàm suy rđng u oc ký hiắu l fu v oc