Tích phân itô

ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I KHOA TỐN NGUYEN ÁNH TUYET TÍCH PHÂN ITƠ KHĨA LU¾N TOT NGHIfiP ĐAI HOC Chuyên ngành Toán Nng dnng Ngưèi hưéng dan khoa hoc Th.s NGUYEN TRUNG DŨNG Hà N®i - 2013 LèI CÃM ƠN Lòi đau tiên cúa khóa lu¾n em xin gúi lòi cám ơn sâu sac tói thay giáo hưóng dan ThS.Nguyen Trung Dũng Thay giao đe tài t¾n tình hưóng dan em q trình hồn thành khóa lu¾n Nhân d%p em xin gúi lòi cám ơn cúa tói tồn b® thay giáo khoa Tốn giáng day giúp đõ chúng em suot q trình hoc t¾p tai khoa Đong thòi, em xin cám ơn anh Pham Văn Duan nhi¾t tình giúp đõ em q trình làm khóa lu¾n em xin cám ơn ban lóp K35CN TỐN nghành cú nhân Tốn, khoa Tốn nhi¾t tình giúp đõ em q trình hoc tai lúp H nđi, ngy 22 thỏng 04 nm 2013 Sinh viên Nguyen Ánh Tuyet LèI CAM ĐOAN Tên em là: Nguyen Ánh Tuyet, sinh viên đai hoc khóa 2009 – 2013 lóp K35CN Tốn Khoa Tốn – Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i Em xin cam đoan đe tài: “Tích phân Itơ”, ket q nghiên cúu thu th¾p cúa riêng em Các lu¾n cú, ket thu đưoc đe tài trung thnc, khơng trùng vói tác giá khác Neu có khơng trung thnc khóa lu¾n em xin hồn ton ch%u trỏch nhiắm trúc hđi ong khoa hoc H n®i, ngày 22 tháng 04 năm 2013 Sinh viên Nguyen Ánh Tuyet Mnc lnc Me ĐAU Chương Cơ sé lý thuyet 1.1 Không gian Hilbert bien ngau nhiên .9 1.1.1 Không gian bien ngau nhiên đơn gián 1.1.2 Ví dn 10 1.2 SN h®i tn cúa dãy bien ngau nhiên 13 1.2.1 H®i tn bình phương trung bình .13 1.2.2 H®i tn theo xác suat 14 1.2.3 H®i tn hau chac chan( H®i tn vói xác suat 1) 14 1.2.4 H®i tn yeu 15 1.2.5 Lu¾t so lón Đ%nh lí giói han trung tâm .15 1.2.6 Ví dn 16 1.3 Khơng gian Hilbert q trình ngau nhiên 17 1.3.1 Đ%nh nghĩa .17 1.3.2 M®t so ví dn ve sn h®i tn cúa dãy q trình ngau nhiên .19 Chương Tích phân ngau nhiên Itơ .22 f (s, ω )ds .22 2.1 Tích phân có a dang ¸t 2.1.1 Tích phân cúa hàm đơn gián 22 2.1.2 Tích phân cúa hàm bat kì 24 2.1.3 Ví dn 25 2.2 Tích phân ngau nhiên Itơ 25 2.2.1 Tích phân ngau nhiên Itơ cúa hàm đơn gián 25 ¸b 2.2.2 Tích phân ngau nhiên Itơ danga f (s)dW (s) 27 ¸t 2.2.3 Tích phân ngau nhiên Itơ danga f (s)dW (s) 27 2.2.4 Tính chat cúa tích phân Itơ .28 2.2.5 M®t so ví dn 29 2.3 Vi phân ngau nhiên công thNc Itô 2.3.1 .Đ%nh nghĩa (V i.phân ngau nhiên Itô) 30 Công thúc Itô 30 2.3.2 .2.3.3 Ví dn 34 KET LU¾N Tài li¾u tham kháo Me ĐAU Lý chon đe tài Có the nói giái tích tốn hoc lĩnh vnc nghiên cúu phép tính vi phân tích phân Tù cuoi the ký 17, Newton Leibniz xây dnng phép tính vi phân tích phân co đien Tói núa đau the ký 20, tích phân ngau nhiên bat đau đưoc xây dnng Ngày nay, giái tích ngau nhiên đóng m®t vai trò het súc quan trong lý thuyet xác suat- thong kê hi¾n đai, có úng dnng r®ng rãi ó tat cá lĩnh vnc khác cơng ngh¾ thơng tin, cơng ngh¾ vien thơng, kinh te, th% trưòng chúng khốn, báo hiem, nơng nghi¾p Và hi¾n đưoc day ó hau het trưòng đai hoc ngồi nưóc, thu hút rat nhieu nhà khoa hoc không ngùng nghiên cúu phát trien ve Trong tích phân Itơ m®t nhung khái ni¾m quan cúa giái tích ngau nhiên Tù khái ni¾m ngưòi ta xây dnng nên m®t lóp q trình ngau nhiên Itơ, chúng rat có ý nghĩa ve m¾t lý thuyet úng dnng Đe có the hieu rõ ve tích phân Itơ nên em chon đe tài “Tích phân Itơ” cho khóa lu¾n tot nghi¾p cúa Khái qt ve n®i dung pham vi nghiên cNu Tích phân Itơ l mđt nhung khỏi niắm quan cỳa giỏi tích ngau nhiên, đưoc xây dnng theo q trình Wiener tù ho xây dnng nên m®t lóp q trình ngau nhiên Itơ Khóa lu¾n em trình bày ve tích phân Itơ Khóa lu¾n gom chương: • Chương 1: Cơ só lý thuyet • Chương 2: Tích phân ngau nhiên Itơ Mnc đích- Yờu cau õy l mđt d%p e cú the t¾p dưot nghiên cúu (vói sn đ%nh hưóng cúa giáo viờn húng dan) ve mđt nđi dung khoa hoc Nam bat đưoc nhung n®i dung bán cúa lý thuyet (Các khái ni¾m, tính chat, tốn ó oc ra, mđt so ỳng dnng, ) Biet cách the hi¾n nhung hieu biet cúa Đoi tưeng nghiên cNu Tích phân ngau nhiên Itơ kien thúc liên quan Pham vi • Các tài li¾u tham kháo cá nhân tn tìm hieu v thu thắp thờm Thũi gian thnc hiắn e ti Ni hon thnh khúa luắn (nhung khú khn v thuắn loi) Nđi dung chớnh Tờn e ti Tích phân Itơ Ket cau cúa n®i dung Gom chương: • Chương 1: Cơ só lý thuyet - Khơng gian Hilbert bien ngau nhiên - Sn h®i tn cúa dãy bien ngau nhiên - Không gian Hilbert q trình ngau nhiên • Chương 2: Tích phân ngau nhiên Itơ - Tích phân có dang a f (s, ω)ds ¸t - Tích phân ngau nhiên Itơ Vi phân ngau nhiên công thúc Itô Phương phỏp nghiờn cNu Thu thắp, tra cỳu, phõn tớch ti liắu Phng phỏp quan sỏt, oc sỏch Chương Cơ sé lý thuyet 1.1 Không gian Hilbert bien ngau nhiên 1.1.1 Không gian bien ngau nhiên đơn gián Đ%nh nghĩa 1.1.1 (bien ngau nhiên đơn gián) Cho (Ω, A , P) không gian xác suat Cho A ∈ A IA hàm chí tiêu cúa A Nghĩa là, IA bien ngau nhiên đưoc đ%nh nghĩa neu ω ∈ Ai IA(ω) = neu ngưoc lai Ta có E(IA) = P(A) Khi to hop tuyen tính cúa huu han hàm chí tiêu đưoc goi bien ngau nhiên đơn gián Neu X bien ngau nhiên đơn gián X có dang n X (ω) = ∑ ciIAi (ω) i=1 n E(X ) = ∑ ciP(Ai) i=1 Đ%nh nghĩa 1.1.2 Không gian bien ngau nhiên đơn gián Kí hi¾u SRV = {X : X bien ngau nhiên đơn gián đ%nh nghĩa không gian xác suat (Ω, A , P)} Ta có tong cúa hai bien ngau nhiên đơn gián tích cúa m®t so vói bien Chúng minh Tiep tnc chúng minh chúng minh tính chat 2.2.3 Áp dnng bat thúc tam giác ta có, " I( f m) "RV − " I( f ) − I( f m) "RV ≤ ≤ " I( f ) "RV " I( fm) "RV + " I( f ) − I( f m) "RV Tù ta có " I( f m) "RV −ε ≤" I( f ) "RV ≤" I( fm) "RV +ε m > M Ta có the chí rang " I( f m) "RV = → Vói ε giá tr% tùy ý, " I( f ) 2" 1/2 (m) b − a ∑ E f (t ) i m i=0 ¸ b m → ∞ E | f (t)|2 1/2 dt a m−1 ¸ b RV = E f (t)dW (t) = a ¸ b a E | f (t)| dt Tích phân J( f ) thóa mãn tính chat 2.2.1 tính chat 2.2.2 khơng thóa mãn tính chat 2.2.3 tính chat 2.2.4., tích phân I( f ) thóa mãn tính chat 2.2.1 - 2.2.4 M®t so ví dn 2.2.5 Ví dn 2.2 Trung bình bình phương trung bình cúa tích phân ngau nhiên ¸1 Cho I( f ) = tdW (t) Tù tính chat 2.2.3 2.2.4 cúa tích phân Itơ ta có ¸ E(I( f )) = E(|I( f )| )= t dt = Ví dn 2.3 Trung bình bình phương trung bình cúa tích phân ngau nhiên Cho I( f ) = ¸1 W (t)dW (t) Tù tính chat 2.2.3 2.2.4 cúa tích phân Itơ ta E(I( f )) = E(|I( f ) | có )= ¸ E |W (t)| ¸ dt = tdt = 2.3 Vi phân ngau nhiên công thNc Itô 2.3.1 Đ%nh nghĩa (Vi phân ngau nhiên Itơ) Q trình ngau nhiên {X (t), t ∈ [a, b]} xác đ%nh không gian xác suat (Ω, A , P) đưoc goi có vi phân ngau nhiên Itơ dX (t) = f (t)dt + g(t)dW (t) vói a < t < b neu thóa mãn ¸ t ¸ t f (s)ds + g(s)dW (s) vói a ≤ t ≤ b, a X (t) = X (a) + (2.1) (2.2) a f , g ∈ HSP cho P{ω : a HRV , P{ω : ¸b a ¸b | f (t, ω)| dt < ∞} = 1, X (a) ∈ |g(t, ω)| dt < ∞} = f g thóa mãn giá thiet (c1) - (c3) 2.3.2 Cơng thNc Itụ Mđt so giỏ thiet Giỏ thiet (c4): Vúi hàm G : [a, b] × R → R, ton tai hang so khơng âm k3 cho vói moi t1, t2 ∈ [a, b] X ∈ HSP E |G(t2, X (t2)) − G(t1 , X (t1))| ≤ k3(|t2 − t1 | + E |X (t2) −X (t1)| ) • Giá thiet (c5): Vói hàm G : [a, b] × R → R G(a, X (a)) ∈ HRV neu X (a) ∈ HRV Đ%nh lý 2.3.1 ( Công thúc Itô) Cho X ∈ HSP thóa mãn (2.2) vói t ∈ [a, b], ó f g thóa mãn giá thiet (c1) - (c3) " f 2(t) "RV ," g2(t) "RV ≤ k4 vói t ∈ [a, b] Cho F m®t hàm theo bien t x Giá thiet rang F(t, x) có đao hàm liên tnc ∂ F(t, x) ∂ F(t, x) ∂ 2F(t, x) ∂ F(t, x) ∂ 2F(t, x) ∂t ∂x ∂ x2 ∂t vói t ∈ [a, b] x R , , , , ∂ x∂t hàm F đao hàm cúa thóa mãn giá thiet (c4) (c5) Giá sú rang hàm f (t) ∂ F(t, x) ∂x , g2 (t) ∂ F(t, , g(t) ∂ F(t, x) ∂x x) ∂ x2 thóa mãn giá thiet (c4) (c5) Đ¾t f,˜(t, x) x) = ∂ F (t ∂t (t) ∂ F (t , x) +f ∂x g + 2 (t ) ∂ F (t , x) ∂ x2 g˜(t, x) = g(t) ∂ F(t, x) ∂x F thóa mãn vi phân ngau nhiên dF(t, X (t)) f˜(t, X (t))dt + g˜(t, X (t))dW (t) = Chúng minh Cho ˆ f (t) (2.3) f˜(t, X (t)) gˆ(t) ≡ g˜(t, X (t)) X(t) ≡ thóa mãn vi phân ngau nhiên (2.2) Ta có the chí fˆ gˆ thóa mãn giá rang thiet (c1) - (c3) Do cho Y(t) m®t q trình ngau nhiên HSP thóa mãn vi phân ngau nhiên Do đó, dY (t) = fˆ(t)dt + gˆ(t)dW (t) vói Y (a) = F(a, X (a)) ¸ t fˆ(s)ds + gˆ(s)dW (s) vói a ≤ t ≤ b Y (t) = F(a, X (a)) + t a ¸ a Bây giò ý rang neu hàm G thóa mãn giá thiet (c4) X thóa mãn (2.2) ton tai hang so k5 > cho E |G(t2, X (t2)) − G(t1 , X | ≤ k5 |t2 − t1 | vói moi t1, t2 ∈ [a, b] (t1)) Vì v¾y, sú dnng ket neu G thóa mãn giá thiet (c4) - (c5) X thóa mãn (2.2) ton tai hang so k6 > cho " G(t, X (t)) "RV ≤ k6 vói moi t ∈ [a, b] Co đ%nh t ∈ [a, b] cho tk = a + k∆t, ∆t = (t − a)/m, ∆Wk = W (tk+1) −W (tk) vói k = 0, 1, , m Theo đ%nh lí Taylor, ton tai θk, ≤ θk ≤ cho F(tk+1, X (tk+1)) = F(tk, X (tk)) + + ∆t + ∂ 2F(t k, X (tk)) g (tk) ∂F(t k ,X (tk )) ∂t ∆t + ∂F(t k ,X (tk )) ∂x ∆Xk ∂ 2F(tk + θk∆t, X (tk + θk∆Xk)) (∆t)2 ∂ x2 ∂ F(tk + θk∆t, X (tk + θk∆Xk)) + ∆t∆Xk ∂ x∂t ∂t + ∂ 2F(tk , X (tk)) 2 ∂ F(tk + θk∆t, X (tk + (∆Xk)2( ∂ 2F(tk, X (tk)) + ∂ x2 θk∆Xk)) ∂ x2 − ∂ x2 ) ((∆Xk)2 − g2 (tk )∆t) ∆Xk εk = X (tk+1) −X (tk) = f (tk)∆t + g(tk)∆Wk + εk ¸ = giá thiet (c2), ¸ ( f (t) − f tk+1 (tk))dt + tk+1 tk (g(t) − g(tk ))dW (t) tk " εk "2R ≤ k2((∆t)3 + (∆t)2) V Tong cúa bieu thúc Taylor vói k = 0, 1, , m− đưoc ket ¸ t F(t, X (t)) − F(a, X (a)) − (m) = (m) E ¸ t fˆ(s)ds − a (t) + E2 (t) + · · · + E10(m)(t), a gˆ(s)dW (s) m−1 ¸ tk+1 E (m ) (m E2 ) E (t) = (t) = ∑ (t )) (t) = ∂t k ∂ F (t , X (t )) ∂x (t )) ∂ F (t , X∂x ∑ f (t) dt f (tk) − m−1 ¸ tk+1 k=0 tk dt ∂t ∂ F (t , X ∑ k=0 tk − k k=0 tk m−1 ¸ tk+1 (m) (t )) ∂ F (t , X (t )) ∂ F (t , X k ∂ x2 g k (∆W )2 k (tk ) ∆t − dt E (m) (t) = m−1 ¸ tk+1 (t )) E ) )E (t) = (m (m E10 ) ∑ F(t 2 k ∂t∂ x ∑ ∑ k= = (∆t) k k k ∆t∆Xk ∂ 2F(tk + θk∆t, X (tk) + θk∆Xk) − F(tk , X (tk)) (∆Xk) ∂ x2 k= m−1 (t) + θ ∆t, X ) + ∆X ) (t θ k (t) = (∆Xk) − g2 (tk)(∆Wk)2 ∂t ∂ m−1 k= (m g(t) dW (t) ∂x ∂ F(tk + θk∆t, X (tk) + θk∆Xk) ∑ E8 (t) ) = g ∂ F(tk, X (tk)) ∂ x2 (t) dt ∂ x2 ∂ F (t , X (t )) g(tk) ∂x − k= m−1 )E k=0 m−1 (m ∑ (tk) − k m−1 2 ∂ F (t , X k=0 tk (t) = k g ∑ ∂ F(t, X (t)) ∂ x2 k=0 tk (t )) E5 (t) ) = 6(m k ∑ m−1 ¸ tk+1 (m ∂ F (t , X ∂ F(t , X (t )) k ∂x k εk Lay Y(t) trù F(t, X(t)) sú dnng bat thúc tam giác ta đưoc 10 " Y (t) − F(t, X (t)) "RV ≤ (m) ∑ "i E (m) (t) "RV vói moi t ∈ [a, b] i=1 Ta có " Ei (t) "RV → m → ∞ vói moi i thóa mãn ≤ i ≤ 10 vói moi t ∈ [a, b] Th¾t v¾y, F thóa mãn vi phân (II.3) Ta thay rang " iE (m) (t) "RV → (m) (m) m → ∞ vói moi i thóa mãn ≤ i ≤ 10 Chúng ta se xét chi tiet E1 E3 so hang lai làm tương tn (m) Vói E , áp dnng bat thúc Cauchy - Schwarz giá thiet (c3) ta đưoc (m) ¸ m−1 ∂ F(tk , X ∂ F (t , X (t )) tk+1 (tk)) dt − " E1 (t) "RV = E ∑ ∂t k=0 tk m−1 ≤.E ∑ 1/2 (∆t) k=0 ∂t ¸ ∂ F(t , X tk+1 k (tk)) tk ∂t 1/2 ∂ F (t , X (t )) − dt ∂t ≤ (b − a) ∑ E k=0 tk m−1 ¸ tk+1 ≤ ∑ k5 (b − a) ∂ F (t , X (t )) dt − m−1 ¸ tk+1 ∂ F(tk , X (tk)) ∂t ∂t (t − tk )dt ≤ k5 (b − a)2 /(2m) k=0 tk v¾y " E1 (m) (m) Xét E (t) "RV → m → ∞ Áp dnng bat thúc Cauchy - Schwarz, sỳ dnng sn đc lắp cỳa (∆W )2 k ∂ 2F(tk, X (tk)) g (t ) k ∂ x2 E (∆W )2 k ∆t ta đưoc ∆t −1 , −1 =0 (m) " E3 (t) "2 RV = m−1 E ∑ k=0 ∂ 2F(t , X k (tk)) ∆t m−1 = ∑ (∆t) E k=0 ≤ k2 m−1 ∑ (∆t) = k=0 ∂ x2 k62 (b − a)2 2m − (∆Wk ) ∆t (∆Wk)2 g2(t ) E − k ∆ t g2(tk ) ∂ x k, X ∂ 2F(t (tk)) , ó sú dnng giá thiet rang q trình thóa mãn giá thiet (c3) (c4) đe suy tính b% ch¾n cúa trình Tù bieu thúc ta suy " (m) E (t) "RV → m → ∞ 2.3.3 Ví dn Ví dn 2.4 Tính tích phân ngau nhiên ¸t sdW (s) Cho dX (t) = dW (t) v¾y g = f = Cho F(t, x) = tx Áp dnng công thúc Itơ ta đưoc ¸ t d(sW (s)) = ¸ t ¸ t W (s)ds + sdW (s) vỡ vắy t W (s)ds + tW (t) t sdW (s) = − Ví dn 2.5 Tính tích phân ngau nhiên ¸t W (s)dW (s) Cho dX (t) = dW (t) v¾y g = f = Cho F(t, x) 2= x2 Áp dnng công thúc Itô ta đưoc W 2(s)) ¸ t ¸ ¸ t = t W (s)dW (s) ds + d( 2 0 vỡ vắy t Vớ dn 2.6 W (t) W (0) − t W (s)dW (s) − 2 = Cho dX (t) = W (t)dt X (0) = f = W g = Cho F(t, x) = tx theo cơng thúc Itơ ta đưoc d(tX (t)) = (X (t) + tW (t))dt Do đó, tX (t) = ¸ ¸ t sW (s)ds t Vì X (t) = ¸t 0 X (s)ds + W (s)ds áp dnng ví dn 2.4 ta đưoc ¸ t¸ s 0 W (z)dzds = t = ¸ t ¸ sW (s)ds t W (s)ds − (t + 1) ¸ t W (s)ds − tW (t) KET LU¾N Khóa lu¾n tot nghi¾p vói đe tài: “ Tích phân Itơ”, em nghiên cúu đưoc nđi dung chỳ yeu sau: C sú lý thuyet cúa tích phân ngau nhiên Itơ • Tích phân ngau nhiên Itơ Ngồi sn no lnc hoc hói tìm tòi cúa bán thân, đe tài cúa em đưoc hồn thành dưói sn giúp đõ, hưóng dan chí báo t¾n tình cúa thay giáo NGUYEN TRUNG DŨNG ý kien đóng góp cúa thay khoa Tốn ban sinh viên Khóa lu¾n tot nghi¾p bán đat đưoc mnc đích đe Tuy nhiên thòi gian có han mói bat đau làm quen vói phương pháp nghiên cúu khoa hoc nên đe tài khơng tránh khói thieu sót Em rat mong đưoc sn chí báo, đóng góp ý kien cúa thay cô ban đe đe tài đưoc hồn thi¾n Em xin chân thành cám ơn Tài li¾u tham kháo [1] Đào Huu Ho, Xác suat thong kê, Nxb Đai hoc Quoc gia Hà N®i, 1999 [2] Tran Trong Ngun, Cơ só tính tốn tài chính, giáng chun đe, khoa Tốn trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2, 2003 [3] Tran Hùng Thao, Tích phân ngau nhiên phương trình vi phân ngau nhiên, Nxb Khoa hoc Kĩ thu¾t, 2000 [4] Tran Hùng Thao, Tốn hoc tài chính, Nxb Khoa hoc Kĩ thu¾t, 2004 [5] E.Allen, Modeling with I.to Stochastic Differential Equations, DifferentialEquations, Springer, 2007 [6] I.I Gihman.A.V Springer, 1995 Skorohod, Stochastic [7] A.D Ventxel, Giáo trình lý thuyet trình ngau nhiên, Bán d %ch Nguyen Viet Phú, Nguyen Duy Tien ... 25 2.2 Tích phân ngau nhiên Itơ 25 2.2.1 Tích phân ngau nhiên Itơ cúa hàm đơn gián 25 ¸b 2.2.2 Tích phân ngau nhiên Itơ danga f (s)dW (s) 27 ¸t 2.2.3 Tích phân ngau nhiên Itô danga... the nói giái tích tốn hoc lĩnh vnc nghiên cúu phép tính vi phân tích phân Tù cuoi the ký 17, Newton Leibniz xây dnng phép tính vi phân tích phân co đien Tói núa đau the ký 20, tích phân ngau nhiên... Hilbert q trình ngau nhiên • Chương 2: Tích phân ngau nhiên Itơ - Tích phân có dang a f (s, ω)ds ¸t - Tích phân ngau nhiên Itô Vi phân ngau nhiên công thúc Itô Phng phỏp nghiờn cNu Thu thắp, tra