Tích chập suy rộng và đa chập đối với các phép biến đổi tích phân fourier sine, fourier cosine, kontorovich-Lebedev

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI e*e NGUYỄN ĐỨC THỤY TÍCH CHẬP SUY RỘNG VÀ ĐA CHẬP ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER SINE, FOURIER COSINE, KONTOROVICH–LEBEDEV Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Trịnh Tuân LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS.Trịnh Tuân Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS.Trịnh Tuân, người quan tâm, động viên tận tình hướng dẫn tơi q trình thực luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, thầy giáo, giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Nhân tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, Ban Giám hiệu trường THPT Tự Lập – Mê Linh – Hà Nội bạn bè, đồng nghiệp tạo điều kiện, động viên giúp đỡ nhiều suốt trình học tập, nghiên cứu Hà Nội, ngày 11 tháng năm 2012 Học viên Nguyễn Đức Thụy LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn TS.Trịnh Tuân Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Tác giả Nguyễn Đức Thụy MỤC LỤC Trang Các kí hiệu dùng luận văn Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tích chập phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosine Kontorovich-Lebedev …………… 1.2 Tích chập suy rộng với hàm trọng phép biến đổi tích phân …………………………………………………………… 1.3 Đa chập phép biến đổi tích phân ……………… Kết luận ………………………………………………………… 13 15 17 Chương Tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine Kontorovich-Lebedev 18 2.1 Định nghĩa đẳng thức nhân tử hóa ……………………… 18 2.2 Một số tính chất tốn tử ………………………………… 24 2.3 Ứng dụng giải hệ phương trình tích phân ………………… 29 Kết luận ………………………………………………………… 38 Chương Đa chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier sine Kontorovich-Lebedev 39 3.1 Định nghĩa đẳng thức nhân tử hóa ……………………… 39 3.2 Các tính chất tốn tử đa chập ………………… 43 3.3 Ứng dụng giải phương trình tích phân hệ phương trình tích phân …………………………………………………………… 46 Kết luận ………………………………………………………… 56 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN • F : Phép biến đổi Fourier • F −1 : Phép biến đổi Fourier ngược • Fs : Phép biến đổi Fourier sine • Fc : Phép biến đổi Fourier cosine • K : Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev • K −1 : Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ngược • ( ∗ g) : Tích chập hai hàm f , g f • ( γ ∗ g ) : Tích chập hai hàm f , g với hàm trọng γ f • ( f • ∗g ) : Tích chập hai hàm f , g phép biến đổi T T γ ( f ∗ g ) : Tích chập có trọng γ hai hàm f , g phép biến đổi T tích phân T • *(f , g, h) : Đa chập ba f , g,h hàm • ℝ + = {x ∈ ℝ : x ≥ 0} • L1 ( ℝ tập hợp tất hàm f xác định (−∞; +∞) ) cho +∞ ∫ f ( x) dx < +∞ −∞ • tập hợp tất hàm f xác định ( 0; L1 (ℝ+ ) +∞ cho ) +∞ ∫ f ( x ) dx < +∞ •  L ℝ  + , 1 x  tập hợp tất x c định ( 0; +∞ ) hàm f +∞ ∫  x  f ( x ) dx < +∞ cho MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Năm 1951 nhà toán học người Mỹ I.N Sneddon (xem [12]) xây dựng tích chập suy rộng hai phép biến đổi tích phân Fourier sine Fourier cosine Mãi đến năm 1998 (xem [10]) nhờ kỹ thuật xây dựng tích chập suy rộng với hàm trọng ba phép biến đổi tích phân K 1, K , K3 V.A Kakichev Nguyễn Xuân Thảo kết tóm tắt sơ đồ sau  γ  ( ) = γ (y )( K2 f )( y )( K3g )( y ) K1  f *g  y     Trong đó, f g hàm thuộc không gian hàm xác định, trọng ( γ y hàm ) Từ kỹ thuật đó, thời gian gần có số kết cơng bố tích chập suy rộng tạp chí có uy tín nước quốc tế (xem [7], [14], [15], [17], [19], ) Song song với việc nghiên cứu tích chập suy rộng với hàm trọng năm 1998 V.A Kakichev (xem [9]) xây dựng sơ đồ đa chập với hàm trọng phép biến đổi tích phân K, Ki (i = 3,n) γ K * f1, f2, ,  fi y ,  ( )( ) Trong fi hàm trọng (i = 3,n)  n ) ( ) = γ (y ) ∏ ( K i fn  y   n≥3 i =1 hàm thuộc không gian hàm xác định, γ (y ) Nhờ có kết cơng bố đa chập (xem [13], [16], [18]) Sự phát triển tích chập suy rộng đa chập phép biến đổi tích phân cho ta ứng dụng phong phú, chẳng hạn giải phương trình, hệ phương trình tích phân dạng chập, nghiệm biểu diễn dạng đóng đặc biệt phương trình tích phân Toeplitz–Hankel Với mong muốn tìm hiểu sâu vấn đề này, nhờ giúp đỡ, hướng dẫn tận tình TS Trịnh Tuân, mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Tích chập suy rộng đa chập phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine, Kontorovich–Lebedev ” Luận văn trình bày thành ba chương phần tài liệu tham khảo Để tiện cho việc theo dõi luận văn phần đầu chúng tơi có trình bày thêm bảng ký hiệu tốn học dùng để viết luận văn Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu cách có hệ thống tích chập suy rộng đa chập có hàm trọng phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine Kontorovich–Lebedev (nghiên cứu tồn không gian L1 ( ℝ + ) , đẳng thức nhân tử hóa, tính chất đại số tích chập, đa chập ứng dụng để giải phương trình, hệ phương trình tích phân) Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu tính chất tốn tử tích chập suy rộng đa chập phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine Kontorovich–Lebedev - Tìm hiểu tính chất - Ứng dụng để giải đóng số phương trình tích phân hệ phương trình tích phân dạng chập Đối tượng nghiên cứu - Tích chập suy rộng đa chập phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine Kontorovich–Lebedev - Định nghĩa, tính chất, tồn tại, đẳng thức nhân tử hóa, tính chất đại số, ứng dụng Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng số cơng cụ giải tích hàm (khơng gian hàm, lý thuyết tốn tử, ….) - Sử dụng kỹ thuật phép biến đổi tích phân đánh giá bất đẳng thức với phép biến đổi tích phân - Sử dụng kiến thức hàm đặc biệt, chẳng hạn hàm Macdonald, … Dự kiến đóng góp - Trình bày cách có hệ thống lý thuyết tích chập đa chập - Trình bày chi tiết tích chập suy rộng với hàm phép biến đổi Fourier sine, Fourier cosine Kontorovich-Lebedev đa chập phép biến đổi Từ cho ứng dụng để giải phương trình tích phân hệ phương trình tích phân dạng chập ... minh họa tích chập suy rộng đa chập để thấy khác biệt rõ rệt tích chập đẳng thức nhân tử hóa có phép biến đổi tích phân tham gia tích chập suy rộng đa chập có nhiều phép biến đổi tích phân khác... tích chập tương ứng phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich–Lebedev - Trình bày hệ thống sơ đồ tích chập suy rộng có hàm trọng đa chập phép biến đổi tích phân. .. phép biến đổi tích phân …………………………………………………………… 1.3 Đa chập phép biến đổi tích phân ……………… Kết luận ………………………………………………………… 13 15 17 Chương Tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Fourier sine,