Tích chập, Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosine và ứnh dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————————————— CAO VĂN NHẬM TÍCH CHẬP, TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER, FOURIER SINE, FOURIER COSINE VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Minh Khoa Hà Nội - 2011 LỜI CẢM ƠN Trước tiên tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Minh Khoa - Trưởng khoa Khoa học cơ bản Trường Đại học Điện lực, người thầy đã hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô đã và đang tham gia giảng dạy, công tác ở phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Các thầy cô đã nhiệt tình giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa học tại trường. Đồng thời tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới tất cả bạn bè, đồng nghiệp và người thân đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và viết luận văn. Mặc dù đã dành nhiều thời gian nghiên cứu tìm hiểu song bản luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong muốn nhận được sự góp ý của tất cả quý vị để luận văn này được hoàn thiện hơn. Hà nội, tháng 12 năm 2011 Học viên Cao Văn Nhậm LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng số liệu và các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Tác giả Cao Văn Nhậm Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 Các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine 8 1.1. Phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine . . . . . . . . 15 1.3. Ứng dụng các phép đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine vào giải các phương trình vi phân và phương trình đạo hàm r iêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 Tích chập, tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine 27 2.1. Tích chập với hàm trọng γ 2 (y) = cosy đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2. Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3. Tích chập suy rộng với hàm trọng γ 3 (y) = sign y đối với ba phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3 Ứng dụng giải phương trình và hệ phương trình tích phân dạng chập 53 3.1. Các phương trình tích phân Toeplitz - Hankel . . . . . . . 53 3.2. Các hệ phương trình tích phân dạng chập . . . . . . . . . . 59 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 - 1 - MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phép biến đổi tích phân là một trong những vấn đề quan trọng của giải tích toán học và được phát triển liên tục trong khoảng hai trăm năm trở lại đây. Phép biến đổi tích phân đóng vai trò quan trọng trong toán học cũng như trong nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên khác, đặc biệt là trong việc giải các bài toán với điều kiện ban đầu và điều kiện biên của phương trình vi phân, phương tr ình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, và các bài toán của vật lý - toán. Các phép biến đổi tích phân là những công cụ có hiệu lực để chuyển các toán tử vi phân, toán tử đạo hàm riêng, toán tử tích phân về toán tử đại số và đồng thời đưa các hệ phương trình vi phân, tích phân về hệ phương trình đại số tuyến tính quen thuộc. Những phép biến đổi tích phân phổ biến nhất, có ứng dụng rộng rãi nhất và ra đời sớm nhất đó là các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine. Cùng với sự phát triển của lý thuyết các phép biến đổi tích phân, một hướng phát triển mới của lý thuyết các phép biến đổi tích phân là tích chập của các phép biến đổi tích phân xuất hiện vào khoảng đầu thế kỷ 20. Các tích chập được nghiên cứu đầu tiên đó là: Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier F của hai hàm f và g được xác định như sau [4,9,15] ( f ∗g) F (x) = 1 √ 2π +∞  −∞ f (x −y)g(y)dy, x ∈ R. Tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa F( f ∗g F )(y) = (F f )(y).(Fg)(y), ∀y ∈ R,∀f ,g ∈ L 1 (R). - 2 - Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine F c của hai hàm f và g được xác định như sau [9,15] ( f ∗g) F c (x) = 1 √ 2π +∞  0 f (y)[g ( | x −y | ) + g (x + y)]dy, x > 0. Tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa F c ( f ∗g F c )(y) = (F c f )(y).(F c g)(y), ∀y > 0, f ,g ∈ L 1 (R + ). Tiếp đến là tích chập đối với các phép biến đổi Laplace [9, 15], Mellin, Hilbert [9], Hankel [5] và Stieltjes [6,10]. Các tích chập nói trên đều có cùng một thuộc tính đặc trưng đó là trong đẳng thức nhân tử hóa của chúng chỉ có duy nhất một phép biến đổi tích phân tham gia. Điều này ít nhiều làm hạn chế đến cấu trúc và việc ứng dụng chúng vào giải các các phương trình, hệ phương trình tích phân dạng chập và các bài toán thực tế. Năm 1951, I. N. Sneddon đã xây dựng được tích chập suy rộng đầu tiên đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier sine và Fourier cosine [9] ( f ∗ 1 g)(x) = 1 √ 2π +∞  0 f (t)[g ( | x −t | ) −g(x + t)]dt, x > 0. Tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa F s ( f ∗ 1 g)(y) = (F s f )(y).(F c g)(y), ∀y > 0, f , g ∈L 1 (R + ). Năm 1958, lần đầu tiên tích chập với hàm trọng ra đời . Đó là tích chập với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân Mehler – Fox được khám phá bởi Vilenkin Y. Ya. Sau đó, năm 1967, trong một công trình công bố trên tạp chí D.A.N. [5], V. A. Kakichev đã xây dựng phương pháp kiến thiết tích chập với hàm trọng γ(y) đối với phép biến đổi tích phân K bất kì, thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau K ( f γ ∗ g)(y) = γ(y)(K f )(y)(Kg) (y). Nhờ phương pháp này mà một số tích chập với hàm trọng đã được xây dựng và nghiên cứu [6]. - 3 - Đến đầu những năm 90 của thế kỷ trước, S. B. Yakubovich đã đưa ra một số tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân với chỉ số, chẳng hạn như tích chập đối với phép biến đổi tích phân Mellin, tích chập đối với phép biến đổi tích phân Kontorovich - Lebedev, biến đổi G, biến đổi H. Vào năm 1998, V. A. Kakichev và Nguyễn Xuân Thảo đã đưa ra phương pháp mới kiến thiết tích chập suy rộng của ba phép biến đổi tích phân bất kì K 1 ,K 2 ,K 3 với hàm trọng γ (y) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa [6] K 1 ( f γ ∗ g)(y) = γ (y).(K 2 f )(y).(K 3 g)(y). Từ ý tưởng của bài báo này trong vòng sáu, bẩy năm trở lại đây Nguyễn Xuân Thảo và Nguyễn Minh Khoa đã xây dựng và nghiên cứu hàng chục tích chập, tích chập suy rộng và đa chập đối với chùm ba phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine [2, 8,11–14]. Chẳng hạn như: Tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine [7] được xác định bởi ( f ∗ 2 g)(x) = 1 √ 2π +∞  0 f (t)[sign(t −x)g( | t −x | ) + g(t + x )] dt, x > 0. (0.1) Khi f và g là các hàm thuộc L 1 (R + ) thì tích chập ( f ∗ 2 g) cũng thuộc vào L 1 (R + ) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau F c ( f ∗ 2 g)(y) = (F s f )(y).(F s g)(y), ∀y > 0. (0.2) Tích chập suy rộng với hàm trọng γ 1 (y) = sin y đối với phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine [12] được xác định bởi ( f γ 1 ∗ 3 g)(x) = 1 2 √ 2π +∞  0 f (t)[g ( | x + t −1 | ) + g ( | x −t + 1 | ) −g(x + t + 1) −g( | x −t −1 | )]dt, x > 0. (0.3) Khi f và g là các hàm thuộc L 1 (R + ) thì tích chập ( f γ 1 ∗ 3 g) cũng thuộc vào L 1 (R + ) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau F c ( f γ 1 ∗ 3 g)(y) = sin y.(F s f )(y).(F c g)(y), ∀y > 0. (0.4) - 4 - Xây dựng, nghiên cứu các tích chập, tích chập suy rộng với hàm trọng thực sự có ý nghĩa trong lý thuyết về các phép biến đổi tích phân, tích chập và phương trình vi, tích phân. Vì vậy tôi đã chọn hướng nghiên cứu của luận văn là xây dựng và nghiên cứu tích chập, tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine và ứng dụng chúng vào giải phương trình và hệ phương trình tích phân dạng chập. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Xây dựng và nghiên cứu ba tích chập, tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine và ứng dụng chúng để giải phương trình tích phân Toeplitz – Hankel và hệ phương tr ình tích phân dạng chập. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tích chập, tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine và ứng dụng vào giải phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân dạng chập. 4. Phương pháp nghiên cứu • Sử dụng các phép biến đổi tích phân và các kết quả của giải tích, giải tích hàm. • Sử dụng phương pháp kiến thiết tích chập với hàm trọng của V. A. Ka- kichev, Nguyễn Xuân Thảo và kỹ thuật trong các bài báo của Nguyễn Xuân Thảo, Nguyễn Minh Khoa để tìm tòi, nghiên cứu các tích chập, tích chập suy rộng và các ứng dụng của chúng. 5. Bố cục của luận văn Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm ba chương: - 5 - • Chương 1. Các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine Nhắc lại định nghĩa, các tính chất cơ bản của các phép biến đổi Fourier, Fourier cosine, Fourier sine và một số ví dụ áp dụng các phép biến đổi này trong việc giải các phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng. • Chương 2. Tích chập, tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine Xây dựng lại và nghiên cứu các tính chất của ba tích chập, tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine. • Chương 3. Ứng dụng giải phương trình và hệ phương trình tích phân dạng chập Sử dụng các tích chập, tích chập suy rộng ở chương 2 để giải phương trình và hệ phương trình tích phân dạng chập. - 6 - Một số kí hiệu dùng trong luận văn • R + là tập các số thực dương. • L 1 (R) là tập các hàm f xác định trên R sao cho: +∞  −∞ | f (x) | dx < +∞. • L 1 (R + ) là tập các hàm f xác định trên R + sao cho: +∞  0 | f (x) | dx < +∞. • L(R,e x ) là tập các hàm f xác định trên R sao cho: +∞  −∞ e x | f (x) | dx < +∞. • L(R + ,e x ) là tập các hàm f xác định trên R + sao cho: +∞  0 e x | f (x) | dx < +∞. - 7 - [...]... U(k,t) sin kxdk 0 (1.3.13) (1.3.14) Chương 2 Tích chập, tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine 2.1 Tích chập với hàm trọng γ2 (y) = cos y đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine Định nghĩa 2.1.1 Tích chập với hàm trọng γ2 (y) = cos y của hai hàm f , g đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine được xác định bởi γ2 1 ( f ∗ g) (x) = √... - 1.3 Ứng dụng các phép đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine vào giải các phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng Ví dụ 1.3.1 Áp dụng biến đổi Fourier vào giải phương trình vi phân thường bậc n với hệ số hằng Ly(x) = f (x) (1.3.1) Với L là toán tử vi phân bậc n L = an Dn + an−2 Dn−1 + · · · + a1 D + a0 , d trong đó an , an−1 , , a1 , a0 là các hằng số, D ≡ dx và f (x) là...Chương 1 Các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine 1.1 1.1.1 Phép biến đổi Fourier Phép biến đổi Fourier Định nghĩa 1.1.1 Cho f ∈ L1 (R), hàm F( f ) xác định bởi 1 (F f ) (y) = f (y) = √ 2π +∞ e−iyx f (x)dx , y ∈ R (1.1.1) −∞ được gọi là biến đổi Fourier của f Định nghĩa 1.1.2 (Biến đổi Fourier ngược) Nếu F(y) ∈ L1 (R) thì hàm F −1 {F(y)}... F −1 1.2 1.2.1 1 f (y).g(y) (x) = √ 2π +∞ f (x − t)g(t)dt (1.1.5) −∞ Phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine Phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine Định nghĩa 1.2.1 Cho f ∈ L1 (R+ ), hàm Fc ( f ) xác định bởi f (y) = (Fc f ) (y) = 2 π +∞ f (x) cos yxdx 0 được gọi là biến đổi Fourier cosine của hàm f Ta có công thức biến đổi ngược là f (x) = Fc f (x) = 2 π - 15 - +∞ f (y) cos xydy 0 (1.2.1)... lại được chứng minh tương tự Định nghĩa 1.2.3 Tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosine của hai hàm f và g được xác định bởi 1 ( f ∗ g) (x) = √ 2π Fc +∞ f (t) [g(x + t) + g (|x − t|)]dt , x > 0 (1.2.3) 0 Tính chất 3 (Định lí tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosine) Cho f , g ∈ L1 (R+ ) Khi đó tích chập (1.2.3) cũng thuộc L1 (R+ ) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa Fc ( f ∗ g) (y) = (Fc f... = +∞ e−ax sin yxdx 0 2 π e−(a−iy)x − e−(a+iy)x dx 0 2 π 1 2i 2 π = +∞ 1 1 − a − iy a + iy y a2 + y2 1.2.2 Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier cosine và Fourier sine Tính chất 1 Các phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine là các toán tử tuyến tính Chứng minh Với ∀ f , g ∈ L1 (R+ ) và với ∀λ , µ ∈ R ta có Fc [λ f (x) + µ.g(x)] (y) = = λ 2 π +∞ [λ f (x) + µ.g(x)] cos yxdx 0 2 π +∞ f (x) cos... u(x,t)e−ikx dx −∞ = ut (k,t) Tương tự, biến đổi Fourier vế phải (1.3.6) và sử dụng tính chất 7 của biến đổi Fourier ta có F {uxx (x,t)} (k) = (ik)2 u(k,t) = −k2 u(k,t) Như vậy việc biến đổi Fourier hai vế của (1.3.6) cho ta phương trình vi phân thường theo biến t ut (k,t) = −k2 u(k,t) (1.3.8) Điều kiện ban đầu của phương trình vi phân (1.3.8) có được bằng cách biến đổi Fourier hai vế của (1.3.7) Khi đó... (x) = √ 2 2π 4 +∞ f (t)[g(x + 1 + t) + g (|x + 1 − t|) + 0 + g (|x − 1 + t|) + g (|x − 1 − t|)]dt (2.1.1) Định lý 2.1.1 Giả sử các hàm f và g thuộc L1 (R+ ) Khi đó tích chập với hàm trọng γ1 (y) = cos y của chúng đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine cũng thuộc L1 (R+ ) và có đẳng thức nhân tử hóa γ2 Fc ( f ∗ g)(y) = cos y (Fc f ) (y) (Fc g) (y), 4 - 27 - ∀y > 0 (2.1.2) Chứng minh Theo định nghĩa... định bởi q(x) = F −1 {Q(k)} Ví dụ 1.3.2 Tìm nghiệm của phương trình vi phân d 2u − 2 + a2 u = f (x), − ∞ < x < +∞ dx (1.3.4) (trong đó f (x) là hàm cho trước) bằng phương pháp biến đổi Fourier - 22 - Giải Áp dụng biến đổi Fourier vào hai vế của (1.3.4) ta được −(ik)2 u(k) + a2 u(k) = f (k) f (k) k2 + a2 Áp dụng biến đổi Fourier ngược và công thức (1.1.5) ta được ⇒ u(k) = u(x) = F −1 1 {u(k)} = √ 2π +∞... hàm bậc càng cao trong L1 (R) thì f (y) hội tụ về 0 càng nhanh khi |y| → ∞ Định nghĩa 1.1.3 Tích chập của hai hàm f và g đối với phép biến đổi Fourier kí hiệu là ( f ∗ g) và được xác định bởi F 1 ( f ∗ g) (x) = √ 2π F +∞ f (x − t)g(t)dt (1.1.3) −∞ Tính chất 8 (Định lí tích chập) Cho f , g ∈ L1 (R), khi đó tích chập (1.1.3) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa F( f ∗ g) (y) = (F f ) (y) (Fg) (y) , ∀y ∈ R F . chập, tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine 27 2.1. Tích chập với hàm trọng γ 2 (y) = cosy đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine. dựng và nghiên cứu tích chập, tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine và ứng dụng chúng vào giải phương trình và hệ phương trình tích phân. phân dạng chập. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Xây dựng và nghiên cứu ba tích chập, tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine và ứng dụng chúng