Số phức và các phép biến đổi đồng dạng

Khoá luận tốt nghiệp Lời cảm ơn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo, cô giáo khoa Toán tạo hội cho em làm khoá luận Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Đinh Văn Thuỷ, người trực tiếp hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc giúp đỡ em hồn thành khố luận Mặc dù có nhiều cố gắng thời gian làm khóa luận hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót, em mong giúp đỡ q thày bạn đọc để khố luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2010 Tác giả Phùng Thị Ngọc K32E Toán Lời cam đoan Em xin cam đoan kết nghiên cứu đề tài đích thực em Đề tài nghiên cứu em không trùng với kết nghiên cứu tác giả khác Nếu có khơng trung thực, em xin hồn tồn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2010 Tác giả Mục lục Trang Lời nói đầu ………………………………………………………………… A Mở đầu…………………………………………………………………….3 Lý chọn đề tài……………………………………………………3 Nhiệm vụ nghiên cứu…………………………………………… 3 Phương pháp nghiên cứu……………………………………… … B Nội dung………………………………………………………………… Chương Cơ sở lý thuyết……………………………………… Sơ lược số phức………………………………………………………4 1.1 Định nghĩa số phức……………………………………………… 1.2 Dạng đại số số phức………………………………………… 1.3 Dạng lượng giác số phức……………………………………6 1.4 Đường thẳng mặt phẳng phức…………………………….9 1.5 ánh xạ afin, biến đổi afin………………………………… …….11 Phép biến đổi đồng dạng mặt phẳng phức………………………13 2.1 Phép vị tự………………………………………………………13 2.2 Phép đồng dạng………………………………………………… 16 Chương ứng dụng phép đồng dạng vào giải tốn cơng cụ số phức……………………………………… ……………………………… 26 Những toán áp dụng……………………………………….… …….26 Bài tập luyện tập………………………………………………… …….41 Hướng dẫn giải tập luyện tập……………………………… …… 42 Tài liệu tham khảo………………………………………………………….48 Kết luận…………………………………………………………… …… 49 Lời nói đầu Số phức, từ đời, thúc đẩy toán học tiến lên giải số vấn đề khoa học kỹ thuật Chẳng hạn, ứng dụng số phức thể đại số phương trình bậc hai có nghiệm, hình học, số phức có ứng dụng quan trọng Nó tỏ hữu ích lớp tốn phép biến hình mặt phẳng Trong khn khổ khố luận em xin giới thiệu việc áp dụng số phức nghiên cứu biến đổi đồng dạng áp dụng để giải số tốn hình học Nội dung luận văn bao gồm hai chương: Chương Cơ sở lý thuyết Chương gồm hai phần nhằm trang bị kiến thức số phức phép đồng dạng mặt phẳng phức để áp dụng giải toán Sơ lược số phức Phần trình bày lý thuyết số phức mối liên hệ lý thuyết số phức hình học Phép biến đổi đồng dạng mặt phẳng phức Phần giới thiệu phép vị tự, phép biến đổi đồng dạng gồm định nghĩa, tính chất kiến thức liên quan, phần kiến thức trọng tâm để áp dụng cho toán chương Chương ứng dụng phép đồng dạng vào giải tốn cơng cụ số phức Chương đưa toán áp dụng số phức phép biến đổi đồng dạng gồm nhận xét nêu hữu ích sử dụng số phức, sau tập luyện tập có hướng dẫn lời giải Luận văn hoàn thành nhờ động viên, hướng dẫn, bảo tận tình thầy giáo Đinh Văn Thuỷ đóng góp q báu thầy giáo tổ Hình học Qua đây, em gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo tổ Hình học,đặc biệt thầy Đinh Văn Thuỷ giúp em hoàn thành tốt luận văn tốt nghiệp A Mở ĐầU Lý chọn đề tài Trong việc giải toán, sử dụng nhiều phương pháp khác giúp cho việc hiểu toán cách thấu đáo cặn kẽ Sử dụng số phức để giải tốn hình học phẳng phương pháp tỏ hữu ích Sử dụng số phức nghiên cứu phép biến hình mặt phẳng phương pháp cần thiết, giúp học sinh diễn đạt toán theo nhiều hướng khác nhau, li ảnh hưởng khơng có lợi trực giác.Trong khn khổ khố luận em tiếp cận sâu lý thuyết tốn phép đồng dạng mặt phẳng dùng cơng cụ số phức Đó lý mà em chọn đề tài: “Số pHức phép biến đổi đồng dạng” Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống kiến thức số phức Nghiên cứu kiến thức biến đổi đồng dạng công cụ số phức Đưa toán áp dụng Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo tài liệu khác có liên quan Suy luận để áp dụng cộng cụ số phức biến đổi đồng dạng Đưa tâp giải b nội dung Chương sở lý thuyết sơ lược số phức 1.1 Định nghĩa số phức a) Định nghĩa Tập hợp số phức, kí hiệu  tập hợp □ cặp (có thứ tự) số thực với phép toán cộng nhân xác định bởi: x, y  , x   ,  , y x, y   , x.y., x.y. Vậy số phức z thuộc  cặp số thực viết x, y ; z x, y  x phần thực z , kí hiệu Re z ; y phần ảo z , kí hiệu Im z ; Số phức mà phần ảo số thực, số phức mà phần ảo số ảo 0=(0,0): Phần tử không 1=(1,0): Đơn vị i =(0,1): Đơn vị ảo Phép cộng phép nhân số phức dạng x,0 ; phép cộng phép nhân số thực x : x,0 x ' ,0 x x ' ,0  x,0 . x' ,0 x.x' ,0  x  giống Từ đồng tập hợp  số thực x với tập hợp  gồm phần tử x,0  ;  viết x x,0 b) Tính chất phép cộng, nhân số phức - Với z1, z2 , z3  : z1 z2 ( giao hoán ) z2 z1 z1 z2 z3 z1 z2 z3 ( kết hợp ) z1 00 z1 z1 Cho z1 thuộc  , có z1  z1 0 suy -Với  thuộc  cho z1 z2 z1 z2  z  z1, z2 , z3 , z4  : z1.z2 z2 z1 (giao hoán ) z1.z2 .z3 z1  (kết hợp ) z2 z3  1.z1 z1.1 z1 (tức phần tử đơn vị phép nhân ) - Tính chất phân phối phép cộng phép nhân Với z1, z2 , z3  z1 z2 .z3 z1.z3 z2 z3 , z1.z2 z3 z1.z2 z1.z3 - Với z  ; n  * : z n z.z z n c) Số phức liên hợp Cho số phức z Ta có : z x iy,x, z x iy y   z z 2Re z gọi số phức liên hợp z z 2i Im z Vậy z số thực z z Khi z z * Với z, w  : số ảo với giả thiết tam giác đồng dạng ta sử dụng hệ thức (3) để giải toán Bài tập luyện tập Bài tập Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, AD=a, DC=b, hai đỉn A, B cố định Gọi I giao hai đường chéo h a) Tìm tập hợp điểm thay đổi b) Tìm tập hợp điểm thayđổi câu a) Bài tập Cho tam giác ABC Với điểm P mặt phẳng, gọi P,Q, R điểm đối xứng P theo thứ tự qua BC,CA, AB ; gọi G trọng tâm hệ điểm PQR a) Tìm điều kiện để G cố định b) Tìm quỹ tích điểm G P di động đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài tập Cho tam giác ABC Dựng vào phía tam giác tam giác đòng ABK, BCL,CAM Chứng minh tam giác KML ABC có dạng trọng tâm Bài tập Cho đường thẳng a b cắt điểm C Tìm a,b điểm A, B tương ứng cho tam giác ABC vuông cân A Bài tập Cho tứ giác lồi ABCD Dựng vào phía tứ giác hai hình vng ABMN CDKL Chứng minh trung điểm đường chéo tứ giác ABCD MNKL đỉnh hình vng trùng Bài tập Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Từ điểm K đường tròn dựng đường thẳng song song với BC,CA, AB , chúng cắt đường tròn thứ tự A1 , B1 ,C1 Gọi A2 , B2 ,C2 điểm đối xứng với A, B,C qua đường thẳng B1C1 ,C1 A1 , A1B1 Chứng minh: a) Tam giác ABC tam giác b) A2 B2C2 Các trung điểm đoạn AA2 , BB2 nằm đường ,CC2 thẳng Gọi O1 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A2 trung điểm B2C2 OO1 thuộc đường thẳng Bài tập Cho hai hình chữ nhật có tỉ số chiều dài chiều rộng Chứng minh rằng: ln có phép đồng dạng bién hình thành hình Bài tập Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) o Quay tứ giác quanh (O) góc với 0o  thành tứ 360 1 giác A B C D Chứng minh giao thẳng AB A1 B1 , BC B1C1 , CD C D1 điểm cặp đường bốn đỉnh hình bình hành Hướng dẫn giải tập luyện tập Bài tập 1.Trong mặt phẳng phức, chọn hệ tọa độ Oxy cho A O , B điểm đơn vị có tọa vị a) Lấy điểm E có tọa vị b 0;b  Khi AE  có tọa vị b Gọi D có tọa vị b  x2  y   x iy  AD  a 2 x y a Xét phép tịnh tiến: (1)  AE D(x iy)  f (D)(x b iy)  f T : z z b  Df (D) b Vì Df (D) có tọa vị b nên Do f thuộc đường thẳng DC (vì AB CD ) (D) Vậy f (D) C Ta có : có tọa vị x b iy b(x iy)  E   EC a (theo (1)) Vậy D chạy đường tròn tâm A có toạ vị O , bán kính a C chạy đường tròn tâm E có tọa vị b , bán kính a     b) Ta có : AI , AB CI ,CD     I có tọa vị x b iy  ; C có tọa vị x b iy b 1 z Xét phép vị tự :V1  b1 : z  b 1 V  A, V1 ( A)  A V1 (C) I Gọi F ảnh E qua V1 Tọa vị F b 1 b  x by  b  x y   có tọa vị JF   Suy : IF  i  i   1 1 b  1 1  b b b 2 b  x   y  a 1b 1 b      x  1 1b 1 y b Vậy tập hợp điểm I đường tròn tâm F có tọa vị b 1 b (thuộc trục Ox ) bán kính a b Bài tập Coi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đường tròn đơnn vị mặt phẳng phức Gọi A, B,C có tọa vị theo thứ tự , ,và P có tọa vị w P Viết phương trình đường thẳng BC : z z , suy tọa vị w0 w  Tương tự, tính tọa vị P1 , P2 Từ tính tọa vị G   ,  ,    ,  1 a) Điểm G cố định 2 0 1 mà 2 nên G cố định  1 0 đều.( G O : gốc tọa độ)  0  ABC b) Khi 2 0 , biến đổi w  hai f , hệ số đồng dạng    w  biến đổi đồng dạng  loại 3  OG , G trọng tâm tam giác ABC 1 3 1 Vậy với P chuyển động hình H chuyển động hình f ( H) Khi 2 tức tam giác ABC đều, suy f ánh xạ hằng, suy 0 điểm mặt phẳng O Khi P chuyển động đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khơng G chuyển động đường tròn có tâm điểm có tọa vị   OO1 2OG1 , bán kính 1 tức O1 mà OG 1 (Đường tròn đường kính HG , H trực tâm tam giác ABC ) Bài tập Cách làm tương tự tập Bài tập Gọi phương trình đường thẳng a đường thẳng b mặt phẳng phức là: z 1 z 1, 11 1 0; z 1, 2  2 0  1 , 1  2 z 2 , 2 Gọi dạngtọa vị điểm C c Xét phép đồng 1  1  Z : z    i z   i 2      2  A, B Gọi thuộc    Z Z C, ,    2 a,b có tọa vị ,  Suy Z(B) A Khi ta có:   1  2 2     1 1 1      ii   2      2    Từ tìm , , xác định điểm A, B Bài tâp Gọi a,b,c,d,m,n,l,k tọa vị A, B,C, D, M , N, L, K mặt phẳng phức Sử dụng phép quay tâm O góc quay  Suy tọa vị điểm N n i  b a a ib (1 i)a , Tương tự ta có tọa vị điểm M m b i(b a) ; tọa vị tìm Gọi theo u,v, s,t thứ tự trung điểm đường chéo AC, BD, KM , LN , ta có: Ta có: a c b d u 2 ;v2  b d i(b d a c) s a c i(b d a  c) t a b c d i(b d a c) v t  v t  u s  u s b d a c1 i   a c b d 1 i  K,L Biện luận a c theo trường hợp khác không khơng ta có kết b d tốn Bài tập Coi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đường tròn đơn vị mặt phẳng phức Gọi A, B,C có tọa vị theo thứ tự , , w tọa vị    P Qua phép quay tâm O , góc quay OC,OA1   OP,OBthì C biến thành A1 nên tọa vị A a1    w  w  a) Đường thẳng B1C1 có phương trình z b1c1 z b1 c1 , hay 2 A2 z w z w 2, nên tọa vị Suy a2   w 2 a2 w  w   w  w    w    w 2 w 3 w  Trong :  2 w, w,  3 w 1 ,2 , 3   Tương tự, A2 ,C2 có tọa vị b2 ,c2  Vậy A2 , B2 ảnh theo thứ tự A, B,C qua biến đổi mặt phẳng phức ,C2 xác định z  z  ,  1,là phép đối xứng trượt b) Đường thẳng d trục đối xứng trượt đối xứng trượt biến O thành O1 nên trung điểm OO1 thuộc d Bài tập Giả sử có hai hình chữ nhật ABCD ' ' ' A BC D mà Trong mặt phẳng phức chọn hệ tọa độ cho ' ' ' BC ' BC  ' ' AB A B ' A O; B (1) Từ suy Giả sử D '  i  C '  D i      2   2 ' i  i  ' C  Gọi tọa vị    2    2 i Tọa vị D  tọa vị C A, ,  KhiB đó: i    và 2 Xét phép biến đổi f :z z    Ta có : f ( A)  ' A f (B)  ' B f (D)  ' D f (C)  ' C Vậy có phếp đồng dạng f biến hình chữ nhật ABCD thành hình chữ nhật A' B'C' D' Bài tập Cách làm tương tự toán Kết luận Trong khoá luận “Số phức phép biến đổi đồng dạng’’, sơ lược kiến thức số phức, đưa khái niệm đường thẳng biến đổi afin mặt phẳng phức, đặc biệt sử dụng số phức để nghiên cứu phép biến hình mặt phẳng, tiếp cận sâu phần biến đổi đồng dạng gồm định nghĩa, tính chất tốn áp dụng sử dụng cơng cụ số phức Do thời gian hồn thành nghiên cứu lực hạn chế nên khoá luận đạt số kết định Kính mong đóng góp thầy cơ, bạn sinh viên, bạn đọc Qua nghiên cứu đề tài “Số phức phép biến đổi đồng dạng’’ em có điều kiện củng cố kiến thức số phức, phép đồng dạng có cách nhìn tổng qt tốn hình học phẳng Em mong muốn có điều kiện tiếp tục nghiên cứu sâu nội dung Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Đinh Văn Thuỷ tận tình hướng dẫn em hồn thành khoá luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2010 Tác giả Tài liệu tham khảo 1 Đoàn Quỳnh, Số phức với hình học phẳng, NXB Giáo Dục 1997  2 Bùi Văn Bình, Bài tập hình sơ cấp, NXB Hà Nội 1993 3 Nguyễn Mộng Hy, Các phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo Dục 2004 4 Đỗ Thanh Sơn, Phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo Dục 2004 5 B.I.Acgunốp_M.B.Ban, Hình học sơ cấp, NXB Giáo Dục 1977 ... thức số phức phép đồng dạng mặt phẳng phức để áp dụng giải tốn Sơ lược số phức Phần trình bày lý thuyết số phức mối liên hệ lý thuyết số phức hình học Phép biến đổi đồng dạng mặt phẳng phức Phần... toán phép đồng dạng mặt phẳng dùng công cụ số phức Đó lý mà em chọn đề tài: Số pHức phép biến đổi đồng dạng Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống kiến thức số phức Nghiên cứu kiến thức biến đổi đồng dạng. .. afin, biến đổi afin………………………………… …….11 Phép biến đổi đồng dạng mặt phẳng phức ……………………13 2.1 Phép vị tự………………………………………………………13 2.2 Phép đồng dạng ……………………………………………… 16 Chương ứng dụng phép đồng dạng