Tài Liệu Phát Triển Năng Lực Tư Duy Toán Học Cho Học Sinh Qua Việc Giải Các Dạng Toán Cực Trị Số Phức.pdf

0 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài “Phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh qua việc giải các dạng toán Cực trị số phức bằng phương pháp hình học” LĨNH VỰC TOÁN HỌC[.]

1 of 98 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: “Phát triển lực tư toán học cho học sinh qua việc giải dạng toán Cực trị số phức phương pháp hình học” LĨNH VỰC: TỐN HỌC Vinh, tháng 4/2023 Tng hp án, khóa lun, tiu lun, chuyên lun tt nghip i hc v chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Cơng ngh thông tin document, khoa luan, tieu luan, 123 of 98 SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG PT HERMANN GMEINER SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: “Phát triển lực tư toán học cho học sinh qua việc giải dạng tốn Cực trị số phức phương pháp hình học” LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Giáo viên: Nguyễn Thị Soa Điện thoại: 0976453635 Đơn vị: Trường PT Hermann Gmeiner Vinh, tháng 4/2023 Tng hp án, khóa lun, tiu lun, chuyên lun tt nghip i hc v chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Công ngh thông tin document, khoa luan, tieu luan, 123 of 98 MỤC LỤC I MỞ ĐẦU…………………………………………………… … .… 1.1.Lí chọn đề tài…………….……… …………… ………….…… … 1.2 Mục tiêu đề tài……………………………… ……….…… … 1.3.Nhiệm vụ đề tài…………………………………………….…… 1.4 Phương pháp nghiên cứu……………………………………… … … II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU…………………………………………… 2.1 Cơ sở lí luận………………………… …………………………… … 2.2 Cơ sở thực tiễn……………………………………………………… … 2.3 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm…………… 2.4.Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp ……………… ………… 2.5 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động…………… 2.6 CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP…………………………… …… … III THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM……………………………………….….… 45 3.1 Mục đích thực nghiệm………………………………… ………….…… 45 3.2 Yêu cầu thực nghiệm……………………… .…… ……………… … 45 3.3 Nhiệm vụ thực nghiệm……………………………………….….… … 45 3.4 Nội dung thực nghiệm…… ……………………………….…………… 45 3.5 Kết thực nghiệm sư phạm ……………………………….… …… 45 3.6 Phân tích mặt định tính……………………………………………… 46 V KHẢO SÁT SỰ CẤP THIẾT VÀ TÍNH KHẢ THI ……………………… 46 4.1 Mục đích khảo sát……………………………………………… …… 46 Nội dung phương pháp khảo sát …………………………….…….… 46 4.3 Đối tượng khảo sát ……………………………………….………….… 48 4.4 Kết khảo sát cấp thiết tính khả thi ……………………… 48 V KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ……………………………………….…… 51 5.1 Kết luận……………………………………………………….………… 51 5.2 Kiến nghị………………………………………….……………….… 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………… …………………………….… 52 Tng hp án, khóa lun, tiu lun, chuyên lun tt nghip i hc v chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Cơng ngh thơng tin document, khoa luan, tieu luan, 123 of 98 I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Ta biết đời số phức nhu cầu mở rộng tập hợp số, số phức cầu nối hồn hảo phân mơn Đại số, Lượng giác, Hình học Giải tích (thể sâu sắc mối quan hệ cơng thức 𝑒 𝑖𝜋 + = 0) Số phức vấn đề khó học sinh, nên giảng dạy nội dung giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển tốn để tạo nên lơi cuốn, hấp dẫn người học Bằng việc kết hợp tính chất số phức với số kiến thức đơn giản khác lượng giác, giải tích, đại số hình học giáo viên xây dựng nhiều dạng tốn với nội dung hấp dẫn hồn tồn mẻ Hơn nhiều toán số phức, chuyển sang hình học, từ số trừu tượng, tốn hoạ cách trực quan, sinh động giải Hình học với phương pháp hay nhằm phát triển lực tư toán học cho học sinh Đặc biệt kỳ thi Đại học, Cao đẳng THPT Quốc gia năm gần đây, việc sử dụng phương pháp Hình học để giải tốn Số phức phương pháp hay hiệu quả, đặc biệt toán Cực trị số phức Vì tơi chọn đề tài: “Phát triển lực tư toán học cho học sinh qua việc giải dạng toán Cực trị số phức phương pháp hình học” 1.2 Mục tiêu đề tài Trong thực tế giảng dạy, việc chuyển từ tốn Đại số nói chung Số phức nói riêng sang tốn Hình học nhiều học sinh nói chung cịn nhiều lung túng, việc giải toán Số phức gây nhiều khó khăn cho học sinh Bài tốn Cực trị số phức thơng thường có nhiều cách lựa chọn để giải như: dùng Bất đẳng thức, dùng khảo sát hàm số,… Qua đề tài này, muốn hướng dẫn cho học sinh lối tư vận dụng linh hoạt phương pháp chuyển đổi từ toán Đại số sang Hình học giúp em có nhìn cụ thể hơin việc chuyển đổi phát triển lực tư cho toán khác Với mục tiêu đó, đề tài tơi tập trung giải tốn theo hướng Hình học Không đặt nặng việc so sánh phương pháp nhanh hơn, tối ưu phương pháp Trong tốn tính tốn tập số phức, tìm số phức thoả mãn điều kiện cho trước, tìm điểm biểu diễn số phức…thì học sinh trung bình làm , cịn tốn Cực trị số phức cần có tính tư duy, vận dụng học sinh thường thụ động việc tiếp cận tốn, khơng trọng đến chất tốn, phần học sinh ngại tốn khó, phần giáo viên dạy chưa trọng khai thác hướng dẫn học sinh Nhằm giúp học sinh vận dụng tốt phương pháp, kỹ để giải toán Cực trị Tng hp án, khóa lun, tiu lun, chuyên lun tt nghip i hc v chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Cơng ngh thông tin document, khoa luan, tieu luan, 123 of 98 số phức cách hiệu sau nhiều năm giảng dạy dạng toán này, với kinh nghiệm tích luỹ học hỏi được, tơi mạnh dạn chọn đề tài để giúp học sinh giáo viên tham khảo nhằm đạt kết cao giảng dạy học tập 1.3 Nhiệm vụ đề tài Đề tài nghiên cứu cách phát triển lực tư toán học học sinh qua việc giải dạng toán Cực trị số phức phương pháp hình học 1.4 Phương pháp nghiên cứu * Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết, đưa phương pháp giải chuyển đổi nội dung toán Đại số sang tốn Hình học * Phương pháp thu thập thơng tin, tìm kiếm tốn đề tài đề minh hoạ, đề thi THPT quốc gia qua năm, đề thi thử trường toàn quốc * Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: tự giải phương pháp hình học tìm kiếm lời giải sách báo, mạng internet II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 2.1 Cơ sở lý thuyết  Các định nghĩa kí hiệu a) Số i: thoả mãn i2 = -1 b) Số phức: có dạng z = x + yi với x, y số thực; x gọi phần thực, y gọi phần ảo c) Với số phức z = x + yi xác định điểm M(x; y) mặt phẳng toạ độ Oxy, điểm M gọi biểu diễn hình học số phức z d) Với số phức z = x + yi, mô đun số phức z |z|=√𝑥 + 𝑦 e) Với số phức z = x + yi ta có số phức liên hợp 𝑧̅ = 𝑥 − 𝑦𝑖  Các phép toán tập số phức Cho hai số phức 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖, 𝑧 ′ = 𝑥′ + 𝑦′𝑖 * Phép cộng: 𝑧 + 𝑧 ′ = (𝑥 + 𝑥 ′ ) + (𝑦 + 𝑦 ′ )𝑖 * Phép trừ: 𝑧 − 𝑧 ′ = (𝑥 − 𝑥 ′ ) + (𝑦 − 𝑦 ′ )𝑖 * Phép nhân: 𝑧 𝑧 ′ = (𝑥𝑥 ′ − 𝑦𝑦 ′ ) + (𝑥𝑦 ′ + 𝑥 ′ 𝑦)𝑖 * Phép chia: z z.z '  với 𝑧′ ≠ z ' z '.z '  Một số tính chất cơng thức * Với 𝑀(𝑥; 𝑦) |𝑧| = 𝑂𝑀 Tng hp án, khóa lun, tiu lun, chuyên lun tt nghip i hc v chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Công ngh thông tin document, khoa luan, tieu luan, 123 of 98 * 𝑀(𝑥; 𝑦), 𝑀′ (𝑥 ′ ; 𝑦 ′ )thì|𝑧 − 𝑧 ′ | = 𝑀𝑀′|𝑧 𝑧 ′ | = |𝑧||𝑧 ′ |; |𝑘𝑧| = Với 𝑧 |𝑧| 𝑧1 |𝑘||𝑧|, 𝑘 ∈ 𝑅 | | = (|𝑧1 ≠ 0|) |𝑧 | *|𝑧 | = 𝑧 𝑧̅ ; |𝑧|2 = |𝑧̅|2 = |𝑧||𝑧̅| * Cơng thức tính khoảng cách từ điểm 𝑀0 (𝑥0 ; 𝑦0 ) đến đường thẳng ∆: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = d ( M ; )  Ax0  By  C  Một số quỹ tích cần nhớ Biểu thức liên hệ x, y 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0(1) |𝑧 − 𝑎 − 𝑏𝑖| = |𝑧 − 𝑐 − 𝑑𝑖|(2) (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑅2 |𝑧 − (𝑎 + 𝑏𝑖)| = 𝑅 ( x  a ) ( y  c)   1(1) b2 d2 |𝑧 − 𝑎1 − 𝑏1 𝑖| + |𝑧 − 𝑎2 − 𝑏2 𝑖| = 2𝑎(2) A2  B Quỹ tích điểm M (1) Đường thẳng ∆: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐=0 (2) Đường trung trực đoạn AB với 𝐴(𝑎; 𝑏), 𝐵(𝑐; 𝑑) Đường trịn tâm 𝐼(𝑎; 𝑏) bán kính R (1) Elip (2) Elip 2a > AB 𝐴(𝑎1 ; 𝑏1 ), 𝐵(𝑎2 ; 𝑏2 ) (3) Đoạn AB 2a = AB với 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐, (𝑎 ≠ 0) 𝑥 = Parabol 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 + 𝑐, (𝑎 ≠ 0) 2.2.Cơ sở thực tiễn Hướng tới mục tiêu đổi giáo dục, đổi phương pháp giảng dạy, đội ngũ giáo viên tìm tịi trăn trở khơng trọng truyền thụ tri thức mà phát triển tư cho học sinh thông qua học, làm hành trang vững cho em bước vào tương lai Trong kì thi THPT Quốc gia phần Cực trị hàm số khai thác nhiều, mức độ vận dụng tương đối lạ so với SGK Trong trình dạy học tối thấy em lúng túng phương pháp giải Chính tơi tập trung nghiên cứu tài liệu dạng toán giúp em giải dạng toán, đồng thời bồi dưỡng lực tư toán học 2.3 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Bài toán cực trị nói chung tốn cực trị số phức nói riêng dạng tốn tương đối khó, học sinh thấy khó khăn, ngại học, khơng chủ động, hứng thú làm bài, mặt kiến thức mặt phẳng toạ độ Oxy em học từ lâu (lớp 10), mặt thời gian học lớp hạn chế, tập số phức lại tập hợp mà em vừa tiếp cận Tng hp án, khóa lun, tiu lun, chuyên lun tt nghip i hc v chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Cơng ngh thông tin document, khoa luan, tieu luan, 123 of 98 Theo số liệu thống kê trước dạy đề tài hai lớp trực tiếp áp dụng năm học 2022-2023 kết sau: Năm học Lớp Sĩ số Số học sinh giải trước thực đề tài 2022-2023 12A1 48 18 12A7 49 16 Từ thực tế thấy cần phải đưa phương pháp giải cho dạng Cực trị số phức nhằm tháo gỡ khó khăn mà đa phần học sinh không nắm vững 2.4 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Bài tốn Cực trị số phức có cách giải khác nhau, đánh giá theo Bất đẳng thức, Khảo sát hàm số, đặc biệt thi trắc nghiệm dung máy tính cầm tay để khảo sát giá trị, từ tìm đáp án đúng… Trong sáng kiến kinh nghiệm này, tơi chia tốn cực trị số phức thành dạng, có phân tích, nhận xét vai trò, tác dụng, hiệu dạng, từ em có cách nhận biết để tiến hành lời giải tìm kết 2.5 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân đồng nghiệp nhà trường Đề tài “Hướng dẫn học sinh giải lớp toán Cực trị số phức phương pháp Hình học” giúp học sinh củng cố hình học giải tích mặt phẳng toạ độ Oxy, có tư linh hoạt, nhìn nhận tốn Đại số mắt hình học để thấy ý nghĩa hình học tốn Từ tốn hình học trực quan giúp học sinh dễ dàng tìm lời giải, đặc biệt vẽ hình biểu diễn mặt phẳng toạn độ Oxy để suy đáp án câu hỏi trắc nghiệm khách quan, học sinh thấy hứng thú, tự tin giải toán loại Từ kinh nghiệm giúp học sinh học tốt mơn Tốn chương trình THPT, từ nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường 2.6 CÁC BÀI TỐN THƯỜNG GẶP Bài tốn 1:Cho số phức 𝑧0 = 𝑎0 + 𝑏0 𝑖 tập hợp số phức z thoả mãn hệ thức: |𝑧 − 𝑧1 | = |𝑧 − 𝑧2 | a) Tính giá trị nhỏ z b) Tính giá trị nhỏ |𝑧 − 𝑧0 | c) Tìm z để |𝑧 − 𝑧0 | nhỏ Tng hp án, khóa lun, tiu lun, chuyên lun tt nghip i hc v chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Cơng ngh thơng tin document, khoa luan, tieu luan, 123 of 98 Phân tích tốn Gọi M  M ( z), M  M ( z0 ); A  A( z1 ), B  B( z2 ) z  z0  MM Từ đẳng thức z  z1  z  z2 , suy M thuộc đường trung trực  đoạn AB Bài toán chuyển thành hình học: a) Tìm giá trị nhỏ OM toạ độ điểm M với M   cho OM nhỏ b) Tìm giá trị nhỏ M M với M   c) Tìm M   cho M M nhỏ Ta thấy điểm M   M M  M H , H hình chiếu M lên  Do đó, z  z0  d (M ; ) M hình chiếu M lên  Phương pháp giải: + Từ hệ thức z  z1  z  z2 , suy phương trình đường thẳng  + Câu a: Tính khoảng cách d (O; ) kết luận z  d (O; ) Tìm số phức z cho z nhỏ  Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d qua O vng góc với   Bước 2: Giải hệ gồm hai phương trình:  d suy nghiệm (x; y)  Bước 3: Kết luận số phức cần tìm z  x  yi + Câu b: Tính khoảng cách d (M ; ) kết luận z  z0  d (M ; ) + Câu c:  Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d qua M vng góc   Bước 2: Giải hệ gồm hai phương trình  d suy nghiệm (x; y)  Bước 3: Kết luận số phức cần tìm z  x  yi Ví dụ 1.1.Trong tất số phức z thoả mãn z   3i  z   i a) Tính giá trị nhỏ z , tìm số phức z Tng hp án, khóa lun, tiu lun, chuyên lun tt nghip i hc v chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Cơng ngh thơng tin document, khoa luan, tieu luan, 123 of 98 b) Tìm giá trị nhỏ z  1 2i c) Tìm z để z  1 2i nhỏ Bài giải Đặt z  x  yi, x, y ℝ M ( x; y) Ta có: z   3i  z   i  ( x  1)2  ( y  3)2  ( x  2)2  ( y  1)2  x  y   Vậy tập hợp số phức z biểu diễn điểm M ( x; y) thuộc đường thẳng  : 6x  y   a) Khoảng cách từ O đến  d (O; )   (8) 2  1 Vậy z  2 Gọi d đường thẳng qua O(0;0) vuống góc với  phương trình d x có dạng d :  y  4x  y  8 Gọi M    d toạ độ điểm M nghiệm hệ phương trình:  x    4 x  y  10  suy z    i có z nhỏ  10 6 x  y  5  y   b) Ta có z   2i  d (M ; ) với M (1;2) d ( M ; )  Ax0  By0  C A2  B Vậy z   2i   6.1  8.2  62  (8)  2 Gọi d1 đường thẳng qua M (1;2) vuống góc với  phương trình x 1 y    x  y  10  d1 có dạng d1 : 8 Gọi H    d1 toạ độ điểm H nghiệm hệ phương trình: 13  x   10 4 x  y  10 13  z   i có z  1 2i nhỏ  suy 10 6 x  y  5  y   Bình luận: Ta thể tốn giấy kẻ ơ, đoán đáp án toán trắc nghiệm Tng hp án, khóa lun, tiu lun, chuyên lun tt nghip i hc v chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Công ngh thông tin document, khoa luan, tieu luan, 123 10 of 98 Ví dụ 1.2.Trong tất số phức Z thoả mãn z   2i  z  4i Tìm giá trị nhỏ P  iz  Bài giải Đặt z  x  yi, x, y ℝ M ( x; y) Theo đề ta có: z   2i  z  4i  ( x  2)2  ( y  2)2  x  ( y  4)2  x  y   Hay M   : x  y   Ta có: P  iz   i( z  )  i z  i  z  i M (0;1) i P  d ( M ; )  1 12  12  2 Bình luận: Ta thể tốn giấy kẻ ô, đoán đáp án tốn trắc nghiệm Ví dụ 1.3 Trong tất số phức z thoả mãn z  z  1 2i Tìm giá trị nhỏ P  (1  2i).z  11  2i Bài giải Đặt z  x  yi, x, y ℝ M ( x; y) 2 2 Theo đề ta có: z  z   2i  x  y  ( x  1)  ( y  2)  x  y   Tng hp án, khóa lun, tiu lun, chuyên lun tt nghip i hc v chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Công ngh thông tin document, khoa luan, tieu luan, 123